專題14立體幾何常見壓軸小題全歸納

目錄

題里01球與截面面積問題................................................................

02體積、面積、周長(zhǎng)'角度、距離定值問題............................................2

03體積、面積、周長(zhǎng)、距離最值與范圍問題............................................4

04立體幾何中的交線問題............................................................

05空間線段以及線段之和最值問題.....................................................6

題型06空間角問題......................................................................7

題瞿07軌跡問題.........................................................................8

08以立體幾何為載體的情境題........................................................9

09翻折問題.......................................................................11

W01球與截面面積問題

1.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）已知二面角尸一3C的大小為彳，球。與直線?目切，且平面

PAB,平面ABC截球。的兩個(gè)截面圓的半徑分別為1、啦,則球。半徑的最大可能值為（）

A.B.2yf2D.V10

2.（2023?海南?？?海南中學(xué)?？级＃﹤髡f(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一

個(gè)圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個(gè)圓柱容球，Q,a為圓柱上下底面

的圓心，。為球心，跳'為底面圓Q的一條直徑，若球的半徑r=2,則平面OEF截球所得的截面面積最

小值為（）

A.2兀

3.（2023?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知球。是正三棱錐A-BCD（底面是正三

角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=e,A3=0,點(diǎn)￡是線段8c的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E

作球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

,32兀0兀一兀

A.—B.——C.-D.-

4324

4.（2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正方體ABCD-A4GR中，AB=2,M,N分別為AD,BC的中

點(diǎn)，該正方體的外接球?yàn)榍?。，則平面截球。得到的截面圓的面積為（）

A.如B.辦c.也D.也

5555

一^型02體積、面積、周長(zhǎng)、角度、距離定值問題

5.（多選題）（2021?新高考I）在正三棱柱ABC-中，AB=A4,=1,點(diǎn)尸滿足/=X前+〃甌，其

中/le[0,1],〃e[0,1],則（）

A.當(dāng)2=1時(shí)，△明尸的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P-48C的體積為定值

C.當(dāng)X時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得4尸，8尸

D.當(dāng)〃=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A3,平面AB/

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）正三棱柱4BC-ABC1的各條棱的長(zhǎng)度均相等，。為M的中點(diǎn)，M,

N分別是線段2片和線段CG上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足3M=GN,當(dāng)M,N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的

是（）

A.在ADMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面DAW_L平面8CG4

C.三棱錐A-DVW的體積為定值

D.△加W可能為直角三角形

7.（2023?湖南?邵陽(yáng)市第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-中，P為線段

用鼻上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則以下結(jié)論正確的有（）

B.三棱錐尸-AB。的體積為定值

C.過(guò)點(diǎn)尸平行于平面AB。的平面被正方體ABC。-4AGQ截得的多邊形的面積為G

D.直線P\與平面\BD所成角的正弦值的范圍為

8.（2023?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3,其外接球的球心為。.點(diǎn)E滿足

AE=2AB（O<A<1）,過(guò)點(diǎn)E作平面a平行于AC和3D,設(shè)。分別與該正四面體的棱BC、CD、相

交于點(diǎn)尸、G、H,則（）

A.四邊形的周長(zhǎng)為定值6

B.當(dāng)2時(shí)，四邊形EFG”為正方形

C.當(dāng)幾=；時(shí)，。截球。所得截面的周長(zhǎng)為叵

D.3Ae（O,l）,使得四邊形瓦G”為等腰梯形

9.（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體A8CD-A4Gs中，點(diǎn)P滿足

DP=XDDx+piDA,Ae[0,l],we[0,1],則()

A.當(dāng)a=4時(shí)，BP±AC{

B.當(dāng)〃=；時(shí)，三棱錐G-PBC的體積為定值

C.當(dāng);1+〃=1時(shí)，PC+PB的最小值為J3+6

D.當(dāng)￡+〃2=i時(shí)，存在唯一的點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到A8的距離等于到的距離

一^903體積、面積、周長(zhǎng)、距離最值與范圍問題

10.（2022?乙卷）已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四

棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.-C.—D.—

3232

11.（2022?新高考I）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬(wàn)，且

3剔3如，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A.[18,—]B.[―,—]C.[―,—]D.[18,27]

44443

12.（2023?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中）已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)均為雙,M,N分別為棱

AO,3c的中點(diǎn)，尸為棱上異于A8的動(dòng)點(diǎn).有下列結(jié)論：

（0

①線段MN的長(zhǎng)度為1；②點(diǎn)C到面VFN的距離范圍為0,—；

I2）

③AKWN周長(zhǎng)的最小值為血+1；④NM7W的余弦值的取值范圍為0,

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為2的正方體A5CQ-，棱。2中點(diǎn)為M，動(dòng)點(diǎn)尸、

。、R分別滿足：點(diǎn)尸到異面直線BC、G2的距離相等，點(diǎn)。使得異面直線40、所成角正弦值為定

值雪，點(diǎn)R使得=彳.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、。兩點(diǎn)恰好在正方體側(cè)面CDD￡內(nèi)時(shí)，則多面體RWPGQ體積

最小值為（）

C.—D-T

2

一題鱉04立體幾何中的交線問題

14.（2023?四川成都?高三校聯(lián)考期末）在正方體ABCD-ABJGP中，E為線段AD的中點(diǎn)，設(shè)平面

A3G與平面CGE的交線為〃?，則直線優(yōu)與AC所成角的余弦值為（）

A.1B.在C.叵D.正

2255

15.（2023?河北保定?高三統(tǒng)考期末）已知三棱錐￡>-ABC的所有棱長(zhǎng)均為2,以3。為直徑的球面與

△ABC的交線為L(zhǎng),則交線乙的長(zhǎng)度為（）

.2A/3TI?4^3?1?2新n4通兀

A.r>.----------C.---------L）.---------

9999

16.（2023?安徽?統(tǒng)考一模）安徽徽州古城與四川闔中古城、山西平遙古城、云南麗江古城被稱為中國(guó)四

大古城.徽州古城中有一古建筑，其底層部分可近似看作一個(gè)正方體A8CD-AqG0.已知該正方體中，點(diǎn)

瓦方分別是棱MKG的中點(diǎn)，過(guò)A，耳廠三點(diǎn)的平面與平面A3C。的交線為/,則直線/與直線A2所成角

為（）

71兀

A.B.C.D.

42

一題型05空間線段以及線段之和最值問題

17.（2023?河北?高一校聯(lián)考期末）己知四棱錐尸-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，底

面ABC。，PA=4及，則四棱錐P-ABCD外接球表面積為;若點(diǎn)2是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，貝U

|尸。|+|。同的最小值為

7T

18.（2023?浙江紹興?高一統(tǒng)考期末）直三棱柱ABC-A4G中，ZB=j,AB=BBl=BC=l,P、Q

分別為線段AG、AA的動(dòng)點(diǎn)，則△用PQ周長(zhǎng)的最小值是.

19.（2023?廣西玉林?統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉席.如圖，在

鱉腌B4BC中，R4_L平面ABC,AB±BC,AB=3,BC=y[5,E4=4,D,E分別為棱PC,PB上一點(diǎn),

則AE+DE的最小值為.

20.（2023?北京門頭溝?統(tǒng)考一模）在正方體ABC。-4月￡。中，棱長(zhǎng)為1,已知點(diǎn)P、。分別是線段

A%、A。上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.

①PQ與8c垂直；

②直線P。與直線8不可能平行；

③二面角AC-。不可能為定值；

④則|尸。|+|。。|的最小值是；

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

一題型06空間角問題

21.（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱A2C-44G,AC=AAI,E,歹分別是棱3C,AG上的點(diǎn).記EF

A.源版/B.鷹yC.力物aD.磅//3

22.（2022?甲卷）在長(zhǎng)方體ABC。-A耳G2中，已知2。與平面ABCD和平面照用臺(tái)所成的角均為30。,

則（）

A.AB=2AD

B.AB與平面A4GD所成的角為30。

C.AC=CBt

D.BQ與平面BB|GC所成的角為45。

23.（2023?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）如圖，斜三棱柱ABC-ABIG中，底面AABC是正三角形，及EG分別

是側(cè)棱AA，84，CG上的點(diǎn)，S.AE>CG>BF,設(shè)直線與平面斯G所成的角分別為名尸，平面

￡FG與底面ABC所成的銳二面角為8,貝1J（)

A.sin^<sina+sin^,cos0<costz+cos；0

B.sin。2sine+sin"cos8vcosa+cos4

C.sin。vsina+sin"cos。>cosa+cos4

D.sin82sina+sinQ,cos82cosa+cos4

24.（2023?浙江?高三專題練習(xí)）在三棱錐尸-"C中，頂點(diǎn)尸在底面的射影為AABC的垂心。（。在

△ABC內(nèi)部），且尸。中點(diǎn)為M,過(guò)AM作平行于8C的截面a,過(guò)3M作平行于AC的截面夕，記a,夕

與底面ABC所成的銳二面角分別為4，%,若NPAM=NPBM=6,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若*=%,則AC=8C

B.若442，貝！Jtan6}-tan名=；

C.?？赡苤禐?

D.當(dāng)e取值最大時(shí)，4=2

25.（2023?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體ABC。-A'B'C'D的棱長(zhǎng)為3,E為棱A3上的靠近點(diǎn)B的三

等分點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面CC'D'O上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面3'EP與平面ABCD和平面CC'D'D所成的角相等時(shí)，則ZXP的

最小值為（）

A3A/10口3Mc9回n7a

5101010

一題型07軌跡問題

26.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正方體ABCD-A'B'C'。'的棱長(zhǎng)為4,E,尸分別為班'，C'D的

中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面中，2尸=2拈，點(diǎn)N在線段AE上，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（)

①點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2萬(wàn)；

②線段FP的軌跡與平面A'8'C。的交線為圓??；

③NP的最小值為吟=也；

④過(guò)A、E、下作正方體的截面，則該截面的周長(zhǎng)為4+:曲+26

33

A.4B.3C.2D.1

27.（2023?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABC。-A及G，的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)P在△AGB的內(nèi)部及其邊界上

運(yùn)動(dòng)，且。尸=Ji7，則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）

A."rB.27tC.2缶D.3兀

28.（2023?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知棱長(zhǎng)為3的正四面體A-BCD,P是空間內(nèi)的任一動(dòng)點(diǎn)，且滿足

PA>2PD,E為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的平面。〃平面8CE,則平面a截動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所形成的圖形的面積為

（）

A.7TB.2TtC.3%D.47r

29.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為上的正方體ABC。-中，P為側(cè)面BCC由內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直

線與的夾角為30。，則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)為；若點(diǎn)A與動(dòng)點(diǎn)P均在球。表面上，球。的表

面積為.

30.（2023?江蘇無(wú)錫?高三期末）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為12,在平面BC。內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸，且滿足

AP=673,則尸點(diǎn)的軌跡是：設(shè)直線AP與直線BC所成的角為6,則cos。的取值范圍為

W08以立體幾何為載體的情境題

31.（2023?河北?高三校聯(lián)考期末）由空間一點(diǎn)。出發(fā)不共面的三條射線。4,OB,0C及相鄰兩射線

所在平面構(gòu)成的幾何圖形叫三面角，記為O-ABC.其中。叫做三面角的頂點(diǎn)，面AOB,BOC,C6M叫

做三面角的面，ZAOB,NBOC,/AOC叫做三面角的三個(gè)面角，分別記為a,B，丫，二面角

A-OB-C.B-OA-C.A—OC—3叫做三面角的二面角，設(shè)二面角A—OC-3的平面角大小為x,則一

定成立的是()

cosa-cosScosycosa+cos￡cos/

A.cosx=------；------------—B.cosx=-----；------J-------

sin夕sin/sin,sin/

sinor-sin/?sinysina+sin￡siny

C.cosx=--------------------D.cosx=--------------------

cos夕cosycos夕cos/

32.(2023?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考一模)刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性,

規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角

度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.則正

八面體（八個(gè)面均為正三角形）的總曲率為（）

A.2兀B.4兀C.6兀D.8兀

33.（2023?山西長(zhǎng)治?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在尸處的離散曲

率為1-1（/。/。,+/。,尸。3+~+/2尸9）其中2，。=123..,Q3）為多面體加的所有與點(diǎn)尸相鄰的頂

27r

點(diǎn)，且平面。|尸。2，02尸。3，……，遍及多面體加的所有以尸為公共點(diǎn)的面如圖是正四面體、正八

面體、正十二面體和正二十面體，若它們?cè)诟黜旤c(diǎn)處的離散曲率分別是a,b,c,d,則a,b,c,1的大

小關(guān)系是（）

正四面體正八面體正十二面體正二十面體

A.a>b>c>dB.a>b>d>c

C.b>a>d>cD.c>d>b>a

W09翻折問題

34.（2023?江蘇南京?高一南京師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形ABC。中，ZABC=60°,M為

8C的中點(diǎn)，將“IBM沿直線A"翻折成連接與C和耳。，N為耳。的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中,

下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

B.不存在某個(gè)位置，使得平面ACN

C.存在某個(gè)位置，使得A片，CD

D.AS1與CN的夾角為三

35.（2023?浙江衢州?高一統(tǒng)考期末）在矩形A3CL（中，BC=4,M為3c的中點(diǎn)，將AABMr和△DCM

沿AM,DM翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)尸，若NAPr>=135。，則三棱錐V-7^4。外接球的表面積為

（）

A.12;tB.36KC.96-160）兀D.94一16四）兀

36.（2023?江蘇鹽城?高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）己知正方形A3CD的邊長(zhǎng)為2,現(xiàn)將AAOC沿

對(duì)角線AC翻折，得到三棱錐D-MC.記ACBCAD的中點(diǎn)分別為則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.MN與平面30。所成角的范圍是

B.三棱錐D-ABC體積的最大值為述

3

C.MV與AC所成角的范圍是

D.三棱錐ABC的外接球的表面積為定值

37.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖，已知矩形A8CD,48=1,&?=友.將4"。沿矩形的對(duì)角線

的所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中，（）

A'

A.對(duì)任意位置，三組直線“AC與30”，“A3與。”，“4。與2?！本淮怪?/p>

B.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線垂直

C.存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線3C垂直

D.存在某個(gè)位置，使得直線A3與直線CO垂直

專題14立體幾何常見壓軸小題全歸納

目錄

01球與截面面積問題................................................................13

02體積、面積、周長(zhǎng)、角度、距離定值問題............................................17

03體積、面積'周長(zhǎng)、距離最值與范圍問題............................................27

04立體幾何中的交線問題...........................................................35

05空間線段以及線段之和最值問題....................................................38

06空間角問題.....................................................................43

07軌跡問題........................................................................51

08以立體幾何為載體的情境題.......................................................57

09翻折問題.......................................................................59

一題型01球與截面面積問題

1.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）已知二面角尸-3C的大小為彳，球。與直線,相切，且平面

PAB、平面ABC截球O的兩個(gè)截面圓的半徑分別為1、后，則球0半徑的最大可能值為（

A.72B.2A/2C.3D.M

【答案】D

【解析】設(shè)點(diǎn)。在平面R1B、平面ABC內(nèi)的射影點(diǎn)分別為V、N,

設(shè)球。切A3于點(diǎn)E,連接ME、NE、MN,如下圖所示：

因?yàn)槠矫鍾R,ABu平面則

由球的幾何性質(zhì)可知，OE±AB,

因?yàn)?。MnOE=O,OM>OEu平面。0E,則AB2平面OME,

同理可知，2平面ONE,

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)E作直線A3的垂面，有且只有一個(gè)，所以，平面OME、平面ONE重合，

因?yàn)?"_1_平面BIB,MEu平面則同理可知，ON±NE,

所以，。、M,E、N四點(diǎn)共圓，

由已知條件可知，ME=1,NE=&.，

因?yàn)锳B2平面OME,NE、MEu平面OME,則AB_LME,ABINE,

所以，二面角尸-AB-C的平面角為/MEN或其補(bǔ)角.

37r

①當(dāng)NMEN=一時(shí)，

4

由余弦定理可得MN?=ME2+N￡2-2ME,NECOS3=1+2-2xlx夜x--

4I2J

=5,故MN=層，

易知，0E為AACVE外接圓的一條弦，

MN_卡>

所以，球。半徑0E的最大值即為出外接圓的直徑，即為sin/MEN=方

~T

JT

②當(dāng)=—時(shí)，

2-2ME-NEcos-=l+2-2xlxy/2x—=l

42

故肱V=l,

易知，0E為AACVE外接圓的一條弦,

MN=-L=J2

所以，球。半徑0E的最大值即為△肱VE外接圓的直徑，即為sin/MEN0

2

綜上所述，球。的半徑的最大可能值為質(zhì).

故選：D.

2.（2023?海南?？?海南中學(xué)校考二模）傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一

個(gè)圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個(gè)圓柱容球，a，a為圓柱上下底面

的圓心，。為球心，E尸為底面圓Q的一條直徑，若球的半徑廠=2,則平面OE尸截球所得的截面面積最

13c14c16

A.27rB.——71C.---71D.——7T

555

【答案】D

【解析】由球的半徑為人可知圓柱的底面半徑為廣，圓柱的高為2r,過(guò)。作。于G,如圖所示:

275

丁

設(shè)平面OEF截得球的截面圓的半徑為｛,

當(dāng)所在底面圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí),

0到平面DEF的距離4VOG,

所以1=產(chǎn)一力=4_力＞4--|=y

所以平面DEF截得球的截面面積最小值為g兀，

故D正確；

故選：D.

3.（2023?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知球。是正三棱錐A-BCD（底面是正三

角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，BCf,A3=0,點(diǎn)￡是線段8c的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E

作球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

,37t2兀0兀一兀

A.—B.——C.-D.-

4324

【答案】A

【解析】如圖：

。1是A在底面的射影，由正弦定理得,△BCD的外接圓半徑xl=1.

sin60°2

由勾股定理得棱錐的高|AQ|=萬(wàn)1=1設(shè)球。的半徑為R,

貝I］我=（1-R>+1,解得R=l,

所以|oq|=o,即以與。重合,

所以當(dāng)過(guò)點(diǎn)E作球。的截面垂直于0E時(shí)，截面面積最小,

此時(shí)截面半徑為忸囿=立，截面面積為二.

1124

故選：A.

4.（2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正方體A8CZJ-AgG。中，AB=2,M,N分別為的中

點(diǎn)，該正方體的外接球?yàn)榍騉,則平面截球。得到的截面圓的面積為（）

A.如B.辦c.旦D.巴

5555

【答案】D

【解析】如圖，連接與N,由題意易知MN||A片，

MN=故四邊形4用20為平行四邊形.

設(shè)用CcBG=H,取4G的中點(diǎn)K,連接NK,

在RjgKN中，B、N=下,B、K=1,NK=2,

故點(diǎn)K到B\N的距離為半，故點(diǎn)H到B、N的距離為g,

因此圓心0到平面A、MN的距離為咚.由題易知球。的半徑R=有，

故平面AMN截球O得到的截面圓的半徑r=,故截面圓的面積S=無(wú)產(chǎn)=g兀.

題型02體積、面積、周長(zhǎng)、角度、距離定值問題

5.（多選題）（2021?新高考I）在正三棱柱ABC-AAG中，&2=的=1,點(diǎn)P滿足麗=2品+〃甌，其

中/le[O,1],〃e[0,1],則（）

A.當(dāng)；1=1時(shí)，△用P的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐尸-ABC的體積為定值

c.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得產(chǎn)

D.當(dāng)〃=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得平面AB/

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,當(dāng)4=1時(shí)，麗=阮+〃西，即5=〃西，所以喬//西,

故點(diǎn)P在線段CG上，此時(shí)△ABXP的周長(zhǎng)為ABX+BtP+AP,

當(dāng)點(diǎn)P為CG的中點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)為e+夜，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)G處時(shí)，△AB1尸的周長(zhǎng)為2點(diǎn)+1,

故周長(zhǎng)不為定值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)于3,當(dāng)〃=1時(shí)，BP=XBC+BB[,BP^P=ABC,所以肝//而,

故點(diǎn)P在線段上，

因?yàn)?G//平面ABC,

所以直線B￡上的點(diǎn)到平面A,BC的距離相等，

又△ABC的面積為定值，

所以三棱錐P-48c的體積為定值，故選項(xiàng)3正確;

對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，取線段3C,8c的中點(diǎn)分別為M,,連結(jié)MM,

因?yàn)槎?gm+"甌，即礪=〃西，所以而/函,

則點(diǎn)P在線段必加上，

當(dāng)點(diǎn)P在M處時(shí)，A,M}IBjCp4Ml

又瓦。10|瓦2=用，所以4必J■平面BAGC,

又u平面BBC。，所以即4尸_1,3尸，

同理，當(dāng)點(diǎn)P在〃處，\PLBP,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，當(dāng)〃=g時(shí)，取CG的中點(diǎn)，，的中點(diǎn)。，

因?yàn)辂?彳/+!西，BPDP=ABC,所以瓊//交，

則點(diǎn)P在線的￡>2上，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)2處時(shí)，取AC的中點(diǎn)E,連結(jié)A[E,BE,

因?yàn)锽EJ_平面ACGA，又ADU平面ACGA，所以ARJ.BE,

在正方形ACGA中，AD^A.E,

又BEp|AE=E，BE,AEU平面ABE,

故AD】_L平面ABE，又ABu平面ABE,所以ABLAR,

在正方體形AB4A中，AB_LA4，

又420|覆1=4,AD1；Agu平面A4R,所以_L平面ABQ],

因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)A與定直線AtB垂直的平面有且只有一個(gè)，

故有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A3,平面尸，故選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）正三棱柱ABC-A片G的各條棱的長(zhǎng)度均相等，。為人4的中點(diǎn)，M,

N分別是線段8耳和線段CQ上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足BM=GN,當(dāng)M,N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的

是（）

A.在AOMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面。MN_L平面8CG4

C.三棱錐A-OMV的體積為定值

D.ADMN可能為直角三角形

【答案】ABC

【解析】取MN、BC的中點(diǎn)。、E,連接。。、OE、AE.

對(duì)于A選項(xiàng)，?.?班//CC]且即=CG，BM=C[N,

:.BM+CN=ClN+CN=CCl=AA1,^BM//CN//A^,

易知四邊形3CW為梯形或平行四邊形，

因?yàn)椤?、E分別為MN、3c的中點(diǎn)，所以，OEHBMHCN,則。E7/AD,

gM+CjV

>OE==-CCl=-AAi,

222

QO為4A的中點(diǎn)，，Ar>=:44,=OE,

所以，四邊形ADOE為平行四邊形，.?.OD〃AE,

?.?ODO平面ABC,AEu平面ABC,；.OD〃平面ABC,A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，?.?△ABC為等邊三角形，E為BC的中點(diǎn)，則AELBC,

?.?2耳_1_平面48。，

QBCI.1AE，平面BCG4，ODIIAE,（9D±BCC^,

?rODu平面DMN,因此，平面Z）A/N_L平面BCC4,B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)锳ADM■的面積為定值，

CCJ/AA，。（^^平面抽耳？，A^u平面A4t耳8,所以，CG〃平面9片B,

因?yàn)镹eCC”所以，點(diǎn)N到平面4418n的距離為定值，進(jìn)而可知，三棱錐A-DMN的體積為定值，C選

項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，?.?8，平面8耳。（，％乂匚平面8月。。，.?.。。，阿，

?.?。為MN的中點(diǎn)，則DM=OV,

若ADAW為直角三角形，貝以DMN為等腰直角三角形，則。D=OM=ON=gMN,

設(shè)正三棱柱ABC-4與￡的棱長(zhǎng)為2,則OD=AE=2sin6（r=^,則MV=26,

因?yàn)镸NVBG=2及，散MN豐2乖,所以，ADMN不可能為直角三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

7.（2023?湖南?邵陽(yáng)市第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A8C。-ABIGA中，尸為線段

上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則以下結(jié)論正確的有（）

A.三棱錐4-8DG外接球表面積為3萬(wàn)

B.三棱錐尸的體積為定值

C.過(guò)點(diǎn)尸平行于平面4出。的平面被正方體AB8-AAG2截得的多邊形的面積為指

D.直線尸4與平面48。所成角的正弦值的范圍為岑，豐

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，三棱錐A-8DG外接球即為正方體A8C。-的外接球，

正方體ABC。-ABIGQ的外接球直徑為2R=A/L

故三棱錐A-BOG外接球的表面積為4萬(wàn)尺2=3%,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)锽即/。2且故四邊形B8QD為平行四邊形，

所以，BQJIBD,QgRa平面ABD,5Z）u平面Af。，「.BQi〃平面ABD,

??,PeBR,所以點(diǎn)p到平面AXBD的距離等于點(diǎn)Dx到平面的距離，

5"叩=/4A,DD]=—,Vp_\BD==^B-\DDX=§S"ODj"A3=：,B對(duì)；

對(duì)于c選項(xiàng)，?.?4月//0）且44=8,則四邊形4As為平行四邊形,

所以，AD“B,C,

???丹。0平面48。，ADu平面所以，B1C〃平面ABD,

又因?yàn)橛肦〃平面A?。，BCcBQi=Bi，所以，平面4CQ〃平面AB。，

所以，過(guò)點(diǎn)尸平行于平面48。的平面被正方體A8CD-A4GD截得的多邊形為ABC。，

易知ABCR是邊長(zhǎng)為行的等邊三角形，該三角形的面積為曰*（后『=*，C錯(cuò)；

設(shè)點(diǎn)尸到平面48。的距離為"由VP_AiBD=以“皿=g知，

l

點(diǎn)P到平面ABD的距離為h=等吧=一3x言=乎，

~2

當(dāng)點(diǎn)P在線段3a上運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)锳4=A2,若尸為BQ的中點(diǎn)時(shí)，PA-L^Dj,

（必需=；與口=,，

當(dāng)點(diǎn)尸為線段8a的端點(diǎn)時(shí)，（缶）皿=1,即24PA41,

設(shè)直線尸4與平面48。所成角為e,Sin9=ge卓,當(dāng),D正確.

故選：ABD.

8.（2023?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3,其外接球的球心為O.點(diǎn)E滿足

AE=AAB（O<A<1）,過(guò)點(diǎn)E作平面。平行于AC和3D,設(shè)。分別與該正四面體的棱BC、CD、ZM相

交于點(diǎn)/、G、H,貝I」（）

A.四邊形EFGH的周長(zhǎng)為定值6

B.當(dāng)4=g時(shí)，四邊形E/GH為正方形

C.當(dāng)力=；時(shí)，。截球。所得截面的周長(zhǎng)為舊力

D.32G(O,l),使得四邊形瓦GH為等腰梯形

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)锳C//平面EFGH,ACu平面ABC,平面ABCpI平面瓦GH,

EF//AC,同理可得GH〃AC,所以，EF//GH,同理由〃/G,

所以，四邊形E/7GH為平行四邊形，則砂=G",EH=FG,

因?yàn)椤闒〃AC,則變=些=1一2,同理受=笠=2,

ACABBDAB

所以，Eb+￡H=3?！?+34=3,因此，四邊形瓦G”的周長(zhǎng)為定值6,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，取線段8。的中點(diǎn)“，連接AM、CM,

因?yàn)?"為3D的中點(diǎn)，所以，AM±BD,同理5D_LCM,

因?yàn)锳McCM=V,所以，3D_L平面ACM,?jACu平面ACM,:.AC±BD,

當(dāng)時(shí)，貝=

222

因?yàn)椤闒〃AC,EHUBD,ACLBD,：.EF±EH,

所以，四邊形EFGH為正方形，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，將正四面體ABCD補(bǔ)成正方體ABBQ-NCm,

則正方體APBQ-NCTD的棱長(zhǎng)為”=1A?=述，

22

該正方體的體對(duì)角線為AT=超AP=巫,

2

所以，線段AT的中點(diǎn)。為正四面體ABCD的外接球球心，則球。的半徑為R=亞，

4

因?yàn)镻B〃DNS.PB=DN,則四邊形P3DN為平行四邊形，所以，BD//PN,

因?yàn)镋F//AC,后「^平面""，4。＜=平面四。^,二￡/;7/平面兒?。^^

因?yàn)镋H1IBD,則EH//PN,因?yàn)镋H仁平面APCN,PNu平面APCN,〃平面APCN,

因?yàn)樵讣?￡,所以，平面EFG"〃平面APCN,

設(shè)平面E/G”分別交棱CT、PB、AQ、DN于點(diǎn)、I、J、K、L,連接〃、JK、KL、LI,

因?yàn)槠矫鍱FGHH平面APCN,平面APBQA平面EFGH=JK,平面APBQ^\平面APCN=AP,

JK//AP,

同理〃7/CN,因?yàn)锳PHCN,;.JKHIL,同理〃〃乙K,

所以四邊形"KL為平行四邊形，

AKAE11F)

-,-JK//AP,APHQB,則JK〃Q8,則〒=弁=胃，；.AK=上AQ=4，

AQAB332

因?yàn)辄c(diǎn)。到平面APCN的距離為＜4。=孚，

易知平面〃KL與平面APCN之間的距離為AK=YZ,

2

所以，球心。到平面EFGH的距離為1=述-"=",

424

所以，球。被平面EFGH所截的圓的半徑為r=VFK=巫，

2

因此，當(dāng)4=g時(shí)，。截球。所得截面的周長(zhǎng)為=,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，四邊形EFGH必為平行四邊形，D錯(cuò).

故選：ABC.

9.（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P滿足

DP=ADZ）i+//DA,[0,1],we[0,1],則（）

A.當(dāng)2=〃時(shí)，BP±AC,

B