10類球體的外接及內(nèi)切解題技巧

（特殊幾何體、墻角、對(duì)棱相等、側(cè)棱垂直底面、側(cè)面垂直底面、

二面角綜合、數(shù)學(xué)文化、最值、內(nèi)切、球心不確定）

技法01特殊幾何體外接球的應(yīng)用及解題技巧技法02墻角問(wèn)題的應(yīng)用及解題技巧

技法03對(duì)棱相等問(wèn)題的應(yīng)用及解題技巧技法04側(cè)棱垂直底面問(wèn)題的應(yīng)用及解題技巧

技法05側(cè)面垂直于底面問(wèn)題的應(yīng)用及解題技巧技法06二面角與球體綜合的應(yīng)用及解題技巧

技法07數(shù)學(xué)文化與球體綜合的應(yīng)用及解題技巧技法08最值與球體綜合的應(yīng)用及解題技巧

技法09內(nèi)切球綜合的應(yīng)用及解題技巧技法10球心不確定類型的應(yīng)用及解題技巧

技法01特殊幾何體外接球的應(yīng)用及解題技巧

哨高年?常見(jiàn)題型解讀

對(duì)于長(zhǎng)方體、正方體、正棱柱、圓柱、正三棱錐、正四棱錐、圓錐、正四面體等特殊幾何體，其外接球

通常可以直接求解，是高考的高頻考點(diǎn)，常以小題形式考查，需強(qiáng)化訓(xùn)練.

知識(shí)遷移球的表面積：5=4兀/?2球的體積：K=-7t/?3

3

底面外接圓的半徑『的求法

（1）正弦定理，一=2「（通用）（2）直角三角形：半徑等于斜邊的一半

sinZ

（3）等邊三角形：半徑等于三分之二高（4）長(zhǎng)（正）方形：半徑等于對(duì)角線的一半

幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

（1）正方體的棱長(zhǎng)為。，球的半徑為R,

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=四；

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2尺=°；

③若球與正方體的各棱相切，則2R=^2a.

（2）若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=后不再

⑶正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

正棱錐類型

(h-R)2+M=R2,解出R

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例1-1.（2020?天津?統(tǒng)考高考真題）若棱長(zhǎng)為2月的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.127rB.24%C.36〃D.144萬(wàn)

解題

技巧點(diǎn)撥

這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，即在“26）2+（2行『+（2.『

所以，這個(gè)球的表面積為5=4加腔=4%x3,=36%.

例1-2.（全國(guó)?高考真題）長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)為3、4、5,且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，這

個(gè)球的表面積是（）

A.20也兀B.25亞兀C.50%D.2004

技巧點(diǎn)撥

球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，所以（242=32+42+52=50,

解得H=逑，所以球的表面積為：5=4萬(wàn)尺2=50萬(wàn)

2

例1-3.（全國(guó)?高考真題）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的

表面積為（）

27兀

萬(wàn)

C.9D.~T~

技巧點(diǎn)撥

正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高產(chǎn)口上,記為0,PO=AO=R,尸。1=4,OQ]=4-R,

在RtZXZOOi中，A0、=日

由勾股定理上=2+（4-夫）2得及=；,...球的表面積S=2萬(wàn)

唱篇i?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（陜西?高考真題）已知底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為血的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的

體積為

32%c4〃

A.-----B.4"C.27rD.—

33

【答案】D

【詳解】試題分析：根據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線，故

243+F+（收）2=2,即得R=l,所以該球的體積%=（萬(wàn)&=g力2=與，故選D.

考點(diǎn)：正四棱柱的幾何特征；球的體積.

2.（全國(guó)?高考真題）設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2〃,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為

A.3%a2B.6萬(wàn)a?C.12^a2D.24^a2

【答案】B

【詳解】方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2aM。，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的

長(zhǎng)就是外接球的直徑，所以球直徑為：痘，

所以球的半徑為逅°，所以球的表面積是=6°27，故選B

212J

3.（全國(guó)?高考真題）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為。，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面

積為

711

A.Tia1B.—Tta1C.—TIU1D.STTU2

33

【答案】B

【詳解】試題分析：根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長(zhǎng)都為a的正三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球

心，

如圖:

By

球的表面積為S球=4nx2—=3

3

故選B.

4.（四川?高考真題）如圖，正四棱錐尸底面的四個(gè)頂點(diǎn)4瓦C,。在球。的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)p在

球面上，如果噎'B=H，則求。的表面積為（）

D.16%

【答案】D

【分析】根據(jù)正四棱錐尸-/BCD的體積公式，列出方程，求得R=2,再利用球的表面積公式，即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)外接球。的半徑為尺，則OP=GU=凡/3=應(yīng)及，

則正四棱錐P-23。的體積為p=1x（V27?）2x7?=y,解得R=2,

所以球。的表面積為5=4;*=4]x2?=16萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及錐體的體積、球的表面積的計(jì)算，其中解答中根據(jù)組合

體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合錐體的體積公式和球的表面積公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能

力。

5.（全國(guó)?高考真題）已知正四棱錐O-ABCD的體積為逑，底面邊長(zhǎng)為百，則以。為球心，0A為半徑的

2

球的表面積為.

【答案】24%

【詳解】設(shè)正四棱錐的高為人則gx（百附=孚，解得高/7=芋.則底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為血、百=

y/6，所以0A=—）2+~~=A/6，S以=4兀（y/6）2=24n.

N2I"

6.（廣東?高考真題）棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為.

【答案】27n

【分析】正方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出后，即可求出球的表面積.

【詳解】解：正方體的體對(duì)角線就是球的直徑，設(shè)其體對(duì)角線的長(zhǎng)為/,

貝11=A/32+32+32=36，

所以＜7=36，所以7?=*^,所以S=4無(wú)甯=27兀.

2

故答案為：27n.

7.（遼寧?高考真題）若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為無(wú)，側(cè)棱長(zhǎng)為痛的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則此

2

球的體積為

9乃

【答案】y

【分析】作出六棱柱的最大對(duì)角面與外截球的截面，設(shè)正六棱柱的上下底面中心分別為口,。2,球心為。一個(gè)

頂點(diǎn)為4可根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定理算出球的半徑。4再用球的體積公式即可得到外接球的體積.

作出六棱柱的最大對(duì)角面與外截球的截面，如右圖，則該截面矩形分別以底面外接圓直徑和六棱柱高為兩邊,

設(shè)球心為0,正六棱柱的上下底面中心分別為

，則球心。是的中點(diǎn).

???正六棱柱底面邊長(zhǎng)為是，側(cè)棱長(zhǎng)為V6

2

Rt^AOfl中=，,o0=當(dāng)

，可得力。=+op1=-

因止匕，該球的體積為憶/

故答案為萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題給出一個(gè)正六棱柱,求它的外接球的體積，著重考查了球的內(nèi)接多面體和球體積公式等知識(shí)點(diǎn),

屬于基礎(chǔ)題.

8.（2023?福建泉州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)的高為1,下底面邊長(zhǎng)為2百，側(cè)棱與底面所成的角為

45°,其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為（）

A32兀20后

33

C.8面兀D.36兀

【答案】B

【分析】連接NC,過(guò)4作/C的垂線垂足為E,過(guò)。作NC的垂線垂足為尸，求得上、下底面所在圓的半

徑彳=1,々=2,設(shè)球心到上下底面的距離分別為4,球的半徑為R,利用球的截面圓的性質(zhì)，列出方程

求得R2=5,結(jié)合球的體積公式，即可求解.

【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑分別為小弓，連接ZC,

過(guò)4作ZC的垂線垂足為E，過(guò)C1作/C的垂線垂足為尸，

因?yàn)檎睦馀_(tái)的高為1,下底面邊長(zhǎng)為2亞，側(cè)棱與底面所成的角為45。,

可得/E=C尸,E尸=/Q]=2,即4=1,々=2,

設(shè)球心到上下底面的距離分別為4,《，球的半徑為五，

2

可得4=J/??—1，d2=ylR—4f故|&|=1或4+d2=1，

即IJ7?2—1—41=1或,&2_]+,夫2_4=],解得R2=5,符合題意,

所以球的體積為憶=4成3=3的加

33

技法02墻角問(wèn)題的應(yīng)用及解題技巧

喟3?常見(jiàn)題型解讀

墻角模型（三條直線兩兩垂直）可直接補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球，可快速求解.

知識(shí)遷移墻角模型（三條直線兩兩垂直）

補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為凡貝！］27?=7層+抉+。2.

02

’崗里皇掰題,段壁所

例2.（2023?廣西模擬）己知三棱錐N-3CD的四個(gè)頂點(diǎn)4B,C,D都在球。的表面上，平

面3cD,且AC=2叵BC=CD=2,則球。的表面積為

A.4萬(wàn)B.8萬(wàn)C.16萬(wàn)D.2近兀

技巧點(diǎn)撥o

由題意可知C4CRCD兩兩垂直，所以補(bǔ)形為長(zhǎng)方形，三棱錐與長(zhǎng)方體共球，（2R『=（2后『+22+22=16,

求的外接球的表面積S=4萬(wàn)尺2=16萬(wàn)

叫零%i?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2023?天津河西?統(tǒng)考二模）在三棱錐P-A8C中，P/_L平面A8C,PA=40，AB=AC^4,ZCAB=90°,

則三棱錐尸-4BC外接球的表面積為（）

A.32兀B.48KC.64兀D.128兀

【答案】C

【分析】三棱錐P-ABC補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABDC-PEFG,計(jì)算出長(zhǎng)方體ABDC-PEFG的體對(duì)角線長(zhǎng)，即為三

棱錐尸的外接球直徑長(zhǎng)，再利用球體表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】在三棱錐中，尸/，平面NBC,PA=4g，AB=AC=4,ZCAB=90°,

將三棱錐尸-4BC補(bǔ)成長(zhǎng)方體4BDC-PEFG,如下圖所示，

所以，三棱錐尸-N8C的外接球直徑即為長(zhǎng)方體48DC-P￡FG的體對(duì)角線長(zhǎng)，

設(shè)三棱錐尸-A8C的外接球直徑為2R,則2R=J/Bi+NC'+N尸=8,則尺=4,

因此，三棱錐尸-/3C外接球的表面積為S=4成2=64兀.

故選：C.

2.（2023上?浙江?高二校聯(lián)考期中）在三棱錐P-/3C中，以、/2、/C兩兩垂直，AP=3,BC=4,則

三棱錐外接球的表面積為（）

A.1271B.20兀C.2571D.36兀

【答案】C

【分析】首先三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的外接球的半徑公式，即可求解.

【詳解】如圖，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，

三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，所以2R=AB2+AC2+AP2=^AP-+BC2=d+4?

則三棱錐外接球的表面積S=MR?=25兀.

故選：C

3.（2023?全國(guó)階段練習(xí)）三棱錐尸-N8C的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面的面積分別是1、1、逅

222

則該三棱錐的外接球的體積是（）

A.7TB.-----71C.布＞TlD.8面Tl

33

【答案】C

【分析】三棱錐尸-/8C的三條側(cè)棱P4、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接

球，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，就是球的直徑，然后求球的體積.

【詳解】三棱錐P-A8C的三條側(cè)棱尸N、PB、PC兩兩互相垂直，

它的外接球就是它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球，

設(shè)PA=a，PB—b，PC=c,

則!M=交1V6

-ca=----,

2222

解得，a=V2，6=1,。二百.

則長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)為痛.

所以球的直徑是指，半徑長(zhǎng)R=",

2

4廠

則球的表面積S=§位3="兀，

故選：C.

技法03對(duì)棱相等問(wèn)題的應(yīng)用及解題技巧

叫曾考?常見(jiàn)題型解讀

對(duì)棱相等可直接補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球，可快速求解.

知識(shí)遷移

推導(dǎo)過(guò)程：通過(guò)對(duì)棱相等，可以將其補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，補(bǔ)全的長(zhǎng)方體體對(duì)角線為外接球直徑，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬

高為別為a,b,c

\f

AD=BCa2+b2BC2=A2

ABCD'b2+c2=AC2=F

AC=BD）lc2+a2—AB2=k2

,A2+//2+k2+.2+.2

a29+b2+c2=7---------------nR=----------------

11

VA-BCD=abc——abcx4=—abc

63

或者R='/+”+c2

2

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3.（2023?河南?開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知四面體48c￡＞中,AB=CD=25AC=BD=標(biāo)，

AD=BC=a，則四面體4BCD外接球的體積為（）

15

A.457rB.與C.竺叵D.24后

22

?■■■技母巧E占點(diǎn)卅撥A。

四面體48co在一個(gè)長(zhǎng)寬高為6,c的長(zhǎng)方體中，如圖，

D

，則|；弋故R=2

+/745

------=------,

2

故四面體八BC。外接球的體積為廠=d兀&3=f兀*史空=今叵

3382

吃菜M?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2023?遼寧?鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P-A8C中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=

則三棱錐P-NBC的外接球的表面積為（）

A.26兀B.12TIC.8兀D.24兀

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造面對(duì)角線長(zhǎng)分別為4,5,而的長(zhǎng)方體，求出其體對(duì)角線長(zhǎng)即可求解作答.

【詳解】三棱錐尸一48c中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=^A,

構(gòu)造長(zhǎng)方體，使得面上的對(duì)角線長(zhǎng)分別為4,5,VTT-則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐尸-/3C外接球的

直徑，如圖，

設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為無(wú)，y>z,則/+了2=16,y2+z2=25,%2+z2=11,則x?+/+z?=26,

因此三棱錐外接球的直徑為必，

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為4,1.（孚產(chǎn)=26,1.

故選：A

2.（2023?甘肅張掖?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在四面體4-BCD中，AB=CD=5,AD=BC=5,AC=BD=/,

則四面體力-BCD外接球表面積是（）

256

A.64兀B.32兀C.256兀D.兀

3

【答案】B

【分析】利用割補(bǔ)法及勾股定理，結(jié)合長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是外接球的直徑及球的表面積公式即可求解.

【詳解】由題意可知，此四面體力-BCD可以看成一個(gè)長(zhǎng)方體的一部分，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為百，V25-

2,四面體4-BCD如圖所示,

所以此四面體/-的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即（2?2=（6『+（岳『+2?,解得立=2拒.

所以四面體力-BCD外接球表面積是S=4成2=4x7tx（2⑹°=323t.

故答案為：B.

3.（2023?四川成都?樹(shù)德中學(xué)校考三模）已知三棱錐尸-/BC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上,

PB=PC=2>!5,AB=AC=4,PA=BC=2,則球。的表面積為（）

3167915879

A.71B.—71C.71D.—兀

151555

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，證明尸平面N3C,再確定球心。的位置，求出球半徑作答.

【詳解】在三棱錐P-/5C中，如圖，AB2+PA2=20=PB2,則尸同理尸

而n/c=/,AB,ACC平面ABC,因此尸/_L平面ABC,

在等腰“3C中，AB=AC=4,BC=2,貝l]2^_1?sinZABC=y/1-cos2ZABC=—1

COSZCZLIJCZ-------------——A

AB44

1AC

令“BC的外接圓圓心為。一則。。一平面”C,olA=-.—^

有OOJIPA,取P/中點(diǎn)。，連接。。，則有OZ）_LP/,又。/U平面N8C,即QN-LP/,

從而O///。。，四邊形OD4Q為平行四邊形，OQ=/D=1,又

22）22_

因此球O的半徑K=OA=OtA+002=（+1=；

所以球。的表面積s=4而2=得兀.

故選：A

技法04側(cè)棱垂直底面問(wèn)題的應(yīng)用及解題技巧

喟3?常見(jiàn)題型解讀

側(cè)棱垂直底面問(wèn)題可直接補(bǔ)形為直棱柱，進(jìn)而用公式直接計(jì)算，可快速求解.

知識(shí)遷移側(cè)棱垂直與底面-垂面型

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4-1.（2023?寧夏銀川?寧夏育才中學(xué)?？既＃┤忮F尸-48C中，尸/，平面A8C,

NABC=90。,AB=1,BC=M,PA=2,則三棱錐尸-NBC的外接球的表面積為（）

A.32兀B.16兀C.8兀D.12兀

解題

技巧點(diǎn)撥

先計(jì)算底面截面圓半徑/="江+'C?=1,由另=Jr2+《）2=&,表面積=8兀

例4-2.（遼寧?高考真題）已知S,48,C是球。表面上的點(diǎn)，5/，平面48。，/318。，SA=AB=1,BC=6，

則球。表面積等于

A.4乃B.3萬(wàn)C.24D.兀

技巧點(diǎn)撥o

球心0為SC的中點(diǎn)，所以球0的半徑為：SC=1,所以s球=4萬(wàn)

雅磊福?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2023?山西呂梁?統(tǒng)考二模）在三棱錐尸-/BC中，已知產(chǎn)/上底面/3C,CA=CB=PA=2,AC1BC,

則三棱錐外接球的體積為（）

A.167tB.4JJ兀C.48兀D.12缶

【答案】B

【分析】設(shè)中點(diǎn)。'，尸工中點(diǎn)。，由直角三角形外接圓為斜邊中點(diǎn)，且由題意可知。。7/尸/,所以

底面/BC,則O為三棱錐尸-/3C外接球的球心，可解.

【詳解】設(shè)中點(diǎn)。'，P/中點(diǎn)。，

由C/=CB=2,AC1BC,所以AABC的外接圓直徑2廠=28=20，

且圓心為。'，

由于產(chǎn)/上底面4BC,OO'UPA,所以。。」底面43C,

則O為三棱錐尸-48C外接球的球心，

所以外接球的直徑27?=P8=26，

所以外接球的體積憶=§成3=46兀.

故選：B

2.（2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐P-/5C的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，尸4,平面45C,在底

面“3C中，B=[,BC^2,AB^—,若球。的體積為茄兀，則尸N=()

42

31

A.1B.-C.-D.2

42

【答案】A

【分析】由球體積公式求球體半徑，正余弦定理求“BC外接圓半徑，結(jié)合線面垂直模型求尸/即可.

【詳解】由題意，設(shè)球。的半徑為K，則33t*=痂0尺=曲,

32

由=次+-2/mBCcos8=3n/C=巫，

22

^ABC外接圓半徑r=,

2sin52

根據(jù)線面垂直模型知：R2=也十戶nPA=2xJ---=1.

4V24

故選：A

7T

3.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐尸中，尸4,平面45cp4=61C=3,/C45=：,則三棱

6

錐尸-45。的外接球的表面積為（）

A.72兀B.36兀C.108兀D.144兀

【答案】A

PA

【分析】先用正弦定理求出“3C外接圓的半徑『，然后利用&=/+（手丫求出三棱錐尸外接球的

半徑R,即可算出表面積.

【詳解】設(shè)“8C外接圓的半徑為「，圓心為O,

cBC3

2尸=--------=-----=n

根據(jù)正弦定理，則sinZCAB.兀，故r=3,

sin—

6

設(shè)三棱錐尸-45。外接球的半徑為R,球心為O,

B

由。4=OP,可知AOP/為等腰三角形，

過(guò)。作。。_1尸4于。，則0為P/中點(diǎn)，由尸4_L平面48C,。。'，平面/8C,

故則尸,4。,。共面，

因?yàn)镻/_L平面4BC,ONu平面/BC,所以P4_L。3,

又。。_LP4,故O0//。'/,于是四邊形。。/。'為平行四邊形，

因?yàn)槭?，。宜，所以四邊形。"。'為為矩形，

pA

貝UR?=r+（彳）2=18,故三棱錐尸-48C的外接球的表面積為4位?2=72兀.

故選：A.

4.（2023?江西?江西師大附中校考三模）已知正方體9CD-44GA的棱長(zhǎng)為2,E為棱CQ上的一點(diǎn)，且

滿足平面8OE，平面4助，則四面體48CE的外接球的表面積為（）

A.9兀B.18兀C.36兀D.81兀

【答案】A

【分析】確定4”，平面5DE,得到族=1,根據(jù)勾股定理確定E為CG中點(diǎn)，將四面體48CE放入長(zhǎng)

方體ABCD-EFPQ中，計(jì)算半徑得到表面積.

【詳解】如圖所示：H為8。的中點(diǎn)，連接4”,A.E,EH,

。G

AtB=AD,則4H1BD,4Hu平面AXBD,平面BDEc平面A}BD=BD,

平面BZ)E_L平面4助，故4H，平面ADE,

HEu平面BDE,故&HLHE,

設(shè)CE=a,貝!14〃=6，HE=1a2+2,4E=,8+(2-〃J,

222

AXE=AXE+HE,即8+(2—〃)2=6+/+2,解得。=1,

將四面體ABCE放入長(zhǎng)方體ABCD-EFPQ中，

._________3

設(shè)四面體4SCE的外接球半徑為H,則2&=，22+22+『=3,7?=-,

9

外接球的表面積S=4成92=4兀x-=9兀.

4

故選：A.

技法05側(cè)面垂直于底面問(wèn)題的應(yīng)用及解題技巧

喟;考?常見(jiàn)題型解讀

側(cè)面垂直于底面是切接問(wèn)題中相對(duì)較難的模型，需要先確定球心位置，然后求出半徑即可求解，需重點(diǎn)

強(qiáng)化練習(xí).

知識(shí)遷移側(cè)面垂直與底面-切瓜模型

如圖：平面PAC1平面BAC,AB1BC(AC為小圓直徑)

(1)由圖知球心。必為△「人(7的外心，即APAC在大圓面上，先求出小圓面直徑

4c的長(zhǎng)；

(2)在aPAC中，可根據(jù)正弦定理號(hào)=2凡解出R

如圖：：平面P4CJ_平面BAC,P4=PC,4B1AC

(1)確定球心。的位置,由圖知P,。,“三點(diǎn)共線；

(2)算出小圓面半徑4H=z"，算出棱錐的高PH=/i

(3)勾股定理:。口2+=OA2

今(h—R)2+「2=R2,解出R

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例5-1.（江西?高考真題）矩形48co中，AB=4,8c=3,沿/C將4BCD矩形折起，使面A4C，面D/C,

則四面體的外接球的體積為（）

技巧點(diǎn)撥

如圖:

矩形N3CD中，因?yàn)?8=4,BC=3,所以O(shè)8=/C=5,

設(shè)。8交NC于。，則。是RtA48c和RtVDAC的外心，

所以。到點(diǎn)43,C,。的距離均為：，所以。為四面體的外接球的球心，

2

所以四面體4-BCD的外接球的半徑五=：,所以四面體力-BCD的外接球的體積憶=士x乃x（.

例5-2.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模）如圖，邊長(zhǎng)為石的正方形/BCD所在平面與矩形48跖所在的平面

2

垂直，BE=2,N為4b的中點(diǎn)，EM=-EF,則三棱錐”-5NC外接球的表面積為（）

25兀

~\2

技巧點(diǎn)撥o

由EM=—EF可知，F(xiàn)M=—,FN=NA=1,可求MN=，NB=2，MB=,

3333

因?yàn)槠矫鍭BCD1平面ABEF,平面ABCDc平面ABEF=AB,

又BCLAB,BCu平面48。,

所以8c4平面4S￡凡BWu平面/8EF,所以8c_L8M,

由=拽，8c=6，得MC=巫,

33

又NB=2,同理可得得NC=V7,又aw=2叵，

3

2=MC

所以A￡V2+NC2=孚］+(V7)=Y"，所以WNC.

所以MC為外接球直徑，

在RtZkAffiC中MC=辿，即尺=述,

36

故外接球表面積為S=4nR2=—.

琦篇福?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知三棱錐S-4BC中，底面4BC為等腰直角三角形，斜邊NC=2后,

側(cè)面為正三角形，。為的中點(diǎn),底面48C,則三棱錐S-43C外接球的表面積為（）

C

A.L1428

B.——兀C.7兀D.——71

333

【答案】D

【分析】設(shè)三棱錐S-n8C外接球的球心為O,確定球心的位置，即球心落在過(guò)底面外心的垂線上，利用圖

形的幾何性質(zhì)求得外接球半徑，即可求得答案.

【詳解】如圖，設(shè)E是NC的中點(diǎn)，連接DE,。為4B的中點(diǎn)，故DEUBC,

底面為等腰直角三角形，即故DE1AB；

設(shè)三棱錐S-/3C外接球的球心為。，

連接。4。5,。8,?！?

因?yàn)榈酌鍺8C為等腰直角三角形，￡是/C的中點(diǎn)，

即￡為“8C的外心，故OE_L平面4BC,

在等腰直角三角形A8C中，斜邊/C=20，則/B=8C=2.

因?yàn)槭钦切?，所以ZS=SB=2,

因?yàn)镃U=O8=OS,所以三棱錐是正三棱錐，

所以。在底面&43上的射影下是的重心，

則點(diǎn)尸在⑼上，所以DF==SD=LXGAB=6.

3323

因?yàn)镾_D_L底面48C,故OEHSD，

而DEu底面48C,故SD_LDE,

又因?yàn)镈E248,AB[}SD=D,48,SDu平面￡43,故」平面山8,

而OF_L平面>￡48,故OFIIDE,

故四邊形。成才'是矩形，所以O(shè)E=DF=g,所以。/=反+。石2=SJ=浮,

所以三棱錐S-ABC外接球的半徑R=叵,其表面積為4成2=§兀，

故選：D.

2.（2023?江西九江?統(tǒng)考一模）三棱錐/-BCD中，△48。與△BCD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若平面

平面3cD,則該三棱錐外接球的表面積為（）

8兀20K

A.——B.------C.8兀D.2071

33

【答案】B

【分析】取助中點(diǎn)E,連接CE,可得ZEJ■平面，CE_L平面4皿，取的外心。1，ABCD

的外心。2,分別過(guò)。1，Q作平面4四與平面BCD的垂線交于點(diǎn)。，。即為球心，結(jié)合球的性質(zhì)求得半徑,

可得三棱錐外接球的表面積.

【詳解】

解：如圖，取AD中點(diǎn)E,連接力E,CE,則/￡_LB。，CELBD,

因?yàn)槠矫嫫矫鍯8。，所以可得/E_1_平面。3。，C￡_L平面/皿,

取△48。的外心。，△BCD的外心。2,分別過(guò)《，。2作平面43。與平面3co的垂線交于點(diǎn)O,。即為球心,

連接OC,

易得CO2=~~，OO2=OtE=,

:.R2=OC2=COf+OO^=^,

220兀

二.S—ATIR------.

3

故選：B.

3.（2023?河南關(guān)B州?校聯(lián)考二模）如圖，在三棱錐Z-BCD中，AD=CD=2,AB=BC=AC=2血,平面

平面4BC,則三棱錐力-BCD外接球的表面積為（）

28

C.——71D.8兀

3

【答案】B

【分析】由題意說(shuō)明△ADC為等腰直角三角形，根據(jù)面面垂直性質(zhì)推出平面NCD,進(jìn)而結(jié)合球的幾

何性質(zhì)，確定三棱錐/-BCD外接球球心位置，求出外接球半徑，即可求得答案.

【詳解】由于AD=CD=2,AC=2yf2,故/a+CD?=/C?,

即△3C為等腰直角三角形，

取/C的中點(diǎn)為河，連接。

因?yàn)?8=3C=/C=2也，即"3C為正三角形，故W_LNC,

由于平面/CO_L平面4BC,平面4coPl平面48C=/C,8Mu平面48C,

故氏平面/CD,DWu平面/CD,悔BM，DM；

又加■為八4。。的外3

則三棱錐力-BCD外接球的球心必在BM±.,

設(shè)“BC的中心為。，則。在上且O/=O8=OC=2X2A/IX^=捶,

323

而（W=-BM=-x2V2x—=—,MD=-AC=6，

33232

貝1JOD=y/MD1+MCP=^|==--，

即OA=OB=OC=OD,

即O點(diǎn)即為三棱錐/-BCD外接球的球心，

故外接球半徑為R=嶇,所以外接球表面積為S=4兀叱=子兀，

33

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于要能根據(jù)條件，結(jié)合球的幾何性質(zhì)，確定出三棱錐外接球球心的

位置，進(jìn)而求得半徑.

技法06二面角與球體綜合的應(yīng)用及解題技巧

?常見(jiàn)題型解讀

本文梳理以二面角為背景的外接球問(wèn)題，這類問(wèn)題難度較大，對(duì)空間想象能力要求較高，基于此本文先

給出一般結(jié)論，再對(duì)其展開(kāi)詳細(xì)應(yīng)用，大家需重點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí).

知識(shí)遷移基本原理

如下圖，所示為四面體P-ABC,已知二面角P-AB-C大小為a,其外接球問(wèn)題的步驟如下：

⑴找出APAB和△4BC的外接圓圓心，分別記為0和外.

⑵分別過(guò)。1和02作平面PAB和平面ABC的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為0.

⑶過(guò)0作AB的垂線，垂足記為D,連接02D,則出。1AB.

(4)在四棱雉4一。。1。。2中，AD垂直于平面。。1。。2,如圖所示，底面四邊形。。1。。2的四個(gè)頂點(diǎn)共

圓且。。為該圓的直徑.

如圖，設(shè)01、02為面PAB與面CAB的外接圓圓心，其半徑分別為勺、r2,兩相交面的二面

角P-AB-C記為a,公共弦為AB的弦長(zhǎng)為，四面體P—ABC球。的半徑R.兩圓。八02

的弦心距：D。：=W=犬一理；

兩圓。八0的圓心距：2^DOl+DOj-由于四邊形D000的四個(gè)頂

20022DOXMO2-cosa,x2

點(diǎn)共圓且0D為該圓的直徑，而sina=V1-cos^a,則由正弦定理：D。=2,于是外接球。的

sma

半徑ROA2=DO2+I2可得，進(jìn)一步整理：

ri+r2—2必—2—Z2）-coscr

R2=+l2

sin2a

r彳+r與一2,2-2（4_必）仁一口）?cosa

特別地，當(dāng)a=］時(shí)，代入R2=+l2可得:

sm.2a

R2=rl+r1—I2

02

TT

例6-1.（2023?河南開(kāi)封?河南省杞縣高中?？寄M預(yù)測(cè)）在邊長(zhǎng)為6的菱形NBC?中，』/=；，現(xiàn)將△4瓦）

沿3。折起到的位置，當(dāng)三棱錐尸-8a）的體積最大時(shí)，三棱錐P-BCD的外接球的表面積為（）

A.60nB.45nC.30nD.20n

技巧點(diǎn)撥

2

BD=21=601=3,面BCD,面PCD的外接圓半徑分別為r1；r2,則勺=q=2次，代入公式：R-

戶+日-岸，可得：R2=15,故外接球的表面積為4兀/?2=60兀

例6-2.（2023上?湖北武漢?高三武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知48,C,。是半徑為火的球體表面

上的四點(diǎn)，AB=2,ZACB=90°,ZADB=30°,則平面C43與平面D/3的夾角的余弦值為（）

A.胃B,1

解題

2

由于設(shè)rlfr2分別為面ABC,面ABD的外接圓半徑，貝ljR=*,勺=1"2=2/=2,代入：R=

rl+r1-212-2l（rl-l2）（r^-l2）?cosa

---------J-----------+12,可得:NOEF=30。，故平面CAB與平面DAB的夾角為60。，故其余弦值

片公?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（2023上?浙江杭州?高二浙江省浦江中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在三棱錐/-BCD中，AB=AD=BD=2C，

/ADC=150。，CD=2,二面角N-3D-C的大小為60。，則該三棱錐外接球半徑是（