2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)題型點(diǎn)撥訓(xùn)練

概率統(tǒng)計(jì)

【題型一】條件概率

【題型二】全概率公式與貝葉斯公式

【題型三】離散型隨機(jī)變量的分布列和概率性質(zhì)

【題型四】二項(xiàng)分布

【題型五】超幾何分布

【題型六】正態(tài)分布

概率屬于解答題必考題，大多考察兩方面，一個(gè)是超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別，還有就是線性回歸

方程與獨(dú)立性檢驗(yàn)。小題中新教材新加的全概率公式和條件概率是重點(diǎn)，當(dāng)然古典概型和相互獨(dú)立事件的

判斷以及正態(tài)分布也是需要熟練掌握的。今年還需對(duì)冷門的知識(shí)點(diǎn)，比如用樣本方差估計(jì)總體方差、最小

二乘法、殘差等知識(shí)點(diǎn)的掌握和理解。均是書本上提到的內(nèi)容，但長(zhǎng)久未考，學(xué)生都容易忽視。

易錯(cuò)點(diǎn)一：回歸方程

_n_及

X(X,一元)(X—y)EX，％—w

(1)回歸方程為y=bx+a,其中￡=J------------=得----------,a=y-bx.

方(西一無了之玉2_麻2

z=li=l

（2）通過求Q=Z（X-6受-。）2的最小值而得到回歸直線的方法,即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距

?=1

離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.

例（2024.天津.高考真題）鶯是鷹科的一種鳥，《詩(shī)經(jīng)?大雅?旱麓》曰：“鶯飛戾天，魚躍余淵”.鶯尾花因花

瓣形如鶯尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長(zhǎng)度和花

瓣長(zhǎng)度（單位：cm）,繪制散點(diǎn)圖如圖所示，計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為/*=0.8642,利用最小二乘法求得相應(yīng)

的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7501x+0.6105,根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（）

花萼長(zhǎng)度

A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)

C.花萼長(zhǎng)度為7cm的該品種鶯尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值為5.8612cm

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是Q8642

變式1：（2024?青海海南?一模）近些年來，促進(jìn)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展政策頻出，新能源市場(chǎng)得到很大發(fā)展,

銷量及滲透率遠(yuǎn)超預(yù)期，新能源幾乎成了各個(gè)汽車領(lǐng)域的熱點(diǎn).某車企通過市場(chǎng)調(diào)研并進(jìn)行粗略模擬，得

到研發(fā)投入x（億元）與經(jīng)濟(jì)收益，（億元）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下：

研發(fā)投入X/億元12345

經(jīng)濟(jì)收益y/億元2.546.5910.5

（1）計(jì)算的相關(guān)系數(shù)小并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入X與經(jīng)濟(jì)收益y具有較高的線性相關(guān)程度：（若

0.3<|r|<0.75,則線性相關(guān)程度一般，若H>0.75,則線性相關(guān)程度較高）

（2）求出y關(guān)于X的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)研發(fā)投入10億元時(shí)的經(jīng)濟(jì)收益.

參考數(shù)據(jù)：t（X,-元）2=10,￡（%-刃2=44.5,5/445

i=\i=l

附：相關(guān)系數(shù)一不-線性回歸方程的斜率B........................,截距&=y-匾.

宓%-寸肉%-可2"%一寸

變式2：（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)業(yè)大學(xué)組織部分學(xué)生進(jìn)行作物栽培試驗(yàn)，由于土壤相對(duì)貧瘠，前期作物

生長(zhǎng)較為緩慢，為了增加作物的生長(zhǎng)速度，達(dá)到預(yù)期標(biāo)準(zhǔn)，小明對(duì)自己培育的一株作物使用了營(yíng)養(yǎng)液，現(xiàn)

統(tǒng)計(jì)了使用營(yíng)養(yǎng)液十天之內(nèi)該作物的高度變化

天數(shù)X12345678910

作物高度y/cm9101011121313141414

（I）觀察散點(diǎn)圖可知，天數(shù)無與作物高度y之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，用最小二乘法求出作物高度y關(guān)于天

數(shù)x的線性回歸方程亍=液+&（其中之方用分?jǐn)?shù)表示）；

（2）小明測(cè)得使用營(yíng)養(yǎng)液后第22天該作物的高度為21.3cm,請(qǐng)根據(jù)（1）中的結(jié)果預(yù)測(cè)第22天該作物的高度

的殘差.

力（占一可（?-刃10

參考公式：5=J-----------------，&=歹-會(huì).參考數(shù)據(jù)：W>/=710.

i=l

易錯(cuò)點(diǎn)二：獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義

獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對(duì)其是否有關(guān)系的判斷.

例(2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點(diǎn)利用短視頻宣傳增加旅游

熱度，為調(diào)查某天南北方游客來此景點(diǎn)旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點(diǎn)對(duì)當(dāng)天前來旅游的500名游客

調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來的280名游客中南方游客有200人.

(1)依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值￡=0。01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析南北方游客來此景點(diǎn)旅游是

否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：?jiǎn)挝唬喝?/p>

短視頻

游客合計(jì)

收看未看

南方游客

北方游客

合計(jì)

(2)為了增加游客的旅游樂趣，該景點(diǎn)設(shè)置一款5人傳球游戲，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余4人之

一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.

(i)求經(jīng)過i次傳遞后球回到甲的概率；

(ii)記前加次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2fjn\jn

參考公式：z2=其中〃=a+〃+c+d；E

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)Ii=lJi=l

藥品①和治療甲流藥品甲，根據(jù)研發(fā)前期對(duì)動(dòng)物試驗(yàn)所獲得的相關(guān)有效數(shù)據(jù)作出統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)選取其中的100

個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到如下2X2列聯(lián)表:

甲流病毒

預(yù)防藥品①合計(jì)

感染未感染

未使用242145

使用163955

合計(jì)4060100

(1)根據(jù)a=0。5的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析預(yù)防藥品①對(duì)預(yù)防甲流的有效性;

(2)用頻率估計(jì)概率，從已經(jīng)感染的動(dòng)物中，采用隨機(jī)抽樣方式每次選出1只，用治療藥品+對(duì)該動(dòng)物進(jìn)行

治療，已知治療藥品叩的治愈數(shù)據(jù)如下：對(duì)未使用過預(yù)防藥品①的動(dòng)物的治愈率為0.5,對(duì)使用過預(yù)防藥品

①的動(dòng)物的治愈率為0.75,若共選取3只已感染動(dòng)物，每次選取的結(jié)果相互獨(dú)立，記選取的3只已感染動(dòng)

物中被治愈的動(dòng)物只數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

n{ad-be)2,,

附：72=--------------:-------,n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

搶分通關(guān)

【題型一】條件概率

一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即尸(8)>0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為條件

概率，記作P(A|B),而且P(A|8)=寡.

?—?

典例精講

【例1】(多選)(2024.湖南婁底.一模)對(duì)于事件A與事件8,若AuB發(fā)生的概率是0.72,事件B發(fā)生的概

率是事件A發(fā)生的概率的2倍，下列說法正確的是()

A.若事件A與事件3互斥，則事件A發(fā)生的概率為0.36

B.P(B\A)=2P(A|B)

C.事件A發(fā)生的概率的范圍為[0.24,0.36]

D.若事件A發(fā)生的概率是0.3,則事件A與事件8相互獨(dú)立

【例2】(2024?北京石景山?一模)一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球.若從中不放回地取球2次，每

次任取1個(gè)球，記“第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件8,則尸(叫A)=()

4234

A.—B.-C.-D.一

15555

【例3】(2024.遼寧沈陽(yáng)?二模)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列

的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻"--------------''和陰爻"---------”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨

機(jī)取一重卦，記事件"取出的重卦中至少有1個(gè)陰爻"，事件3="取出的重卦中至少有3個(gè)陽(yáng)爻”.則

P(B|A)=()

BC.—D.—

-記6364

I—I

名校模擬

【變式1］（2024?山西?二模）一個(gè)盒子里裝有5個(gè)小球，其中3個(gè)是黑球，2個(gè)是白球，現(xiàn)依次一個(gè)一個(gè)地

往外取球（不放回），記事件A表示“第七次取出的球是黑球"，笈=1,2,…,5,則下面不正確的是（）

A.P（A）=-B.P（AA）=-

9i

C.P（A［+A）=而D.尸（&IA）=§

【變式2］（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)游戲比賽，其規(guī)則如下：每一輪兩人分別投擲一枚質(zhì)

地均勻的骰子，比較兩者的點(diǎn)數(shù)大小，其中點(diǎn)數(shù)大的得3分，點(diǎn)數(shù)小的得0分，點(diǎn)數(shù)相同時(shí)各得1分.經(jīng)

過三輪比賽，在甲至少有一輪比賽得3分的條件下，乙也至少有一輪比賽得3分的概率為（）

209c210_211-212

A.B.-----C.D.

277277277277

【變式3］（23-24高二下?遼寧大連?階段練習(xí)）小明爬樓梯每一步走1級(jí)臺(tái)階或2級(jí)臺(tái)階是隨機(jī)的，且走1

31

級(jí)臺(tái)階的概率為了，走2級(jí)臺(tái)階的概率為7.小明從樓梯底部開始往上爬,在小明爬到第4級(jí)臺(tái)階的條件下，

44

他走了3步的概率是（）

,27n108-81八1

A.—B.-----C.D?—

6420520564

【題型二】全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式

一般地，設(shè)44,...4是一組兩兩互斥的事件，411M2U…LM”=a,且尸（4）＞0,i=l,2,…，小則對(duì)

任意的事件BUQ,有

P(B)=2P(Ai)P(B|A)

i=l

我們稱上面的公式為全概率公式.

*貝葉斯公式:

一般地，設(shè)4,…,4是一組兩兩互斥的事件，AU4U…U4=。，且P（a）〉o,，=L2,…〃，則

對(duì)任意的事件30。4（5）＞0,有

p（a）尸（B4）尸（a）p（Bia）

P(A\B)=,z=1,2,???,?.

iPCB）￡p（4）PGBI4）

k=l

I—I

典例精講

［例1］（2024.江西南昌.一模）假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲

袋中任取2個(gè)球放入乙袋，混勻后再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球.已知從乙袋中取出的是2個(gè)白球，則從甲袋中取

出的也是2個(gè)白球的概率為（）

“37-9〃18r1

A.B.—C.—D.—■

15075372

【例2】（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)

理論，隨機(jī)事件A,5存在如下關(guān)系:。（陋二用曹.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05,現(xiàn)有一

種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為95%,即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，

有95%的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性；該試劑的誤報(bào)率為0.5%,即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有0.5%的

可能會(huì)誤報(bào)陽(yáng)性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性，則此人患病的概率為（）

495995_10-21

A.----B.----C.—D.—

100010001122

【例3】（2024.全國(guó).二模）某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪

支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8,選“使命”隊(duì)獲勝的概率為0.7,單位在比賽中獲勝的條件

下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為（）

7

D.

15

名校模擬

【變式1］（多選）（2024?山西朔州.一模）在信道內(nèi)傳輸信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送某一信號(hào)

時(shí)，收到的信號(hào)字母不變的概率為。（0（/<1）,收到其他兩個(gè)信號(hào)的概率均為三%.若輸入四個(gè)相同的信

號(hào)MMMM,NNNN,PPPP的概率分別為Px,p2,Pi,且R+P?+幺=1.記事件弧，M［分別表示“輸入

MMMM”“輸入NNNN”“輸入PPPP”,事件。表示“依次輸出MVPM"，則（）

A.若輸入信號(hào)則輸出的信號(hào)只有兩個(gè)M的概率為〃（l-a）2

B.尸⑷必）=02n:

C.尸⑷片）=《一j

DP（M1|D）=-——--------

'/（3a-1）p1+1-a

【變式2］（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%,第2,

3臺(tái)加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的

25%,30%,45%.任取一個(gè)零件，如果取到的零件是次品，則它是第2臺(tái)車床加工的概率為.

【變式3］（2024.浙江麗水?二模）為保護(hù)森林公園中的珍稀動(dòng)物，采用某型號(hào)紅外相機(jī)監(jiān)測(cè)器對(duì)指定區(qū)域進(jìn)

行監(jiān)測(cè)識(shí)別.若該區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)，該型號(hào)監(jiān)測(cè)器能正確識(shí)別的概率（即檢出概率）為Pi；若該區(qū)域沒

有珍稀動(dòng)物活動(dòng)，但監(jiān)測(cè)器認(rèn)為有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率（即虛警概率）為P2.已知該指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活

動(dòng)的概率為02現(xiàn)用2臺(tái)該型號(hào)的監(jiān)測(cè)器組成監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，每臺(tái)監(jiān)測(cè)器（功能一致）進(jìn)行獨(dú)立監(jiān)測(cè)識(shí)別，若任

意一臺(tái)監(jiān)測(cè)器識(shí)別到珍稀動(dòng)物活動(dòng)，則該監(jiān)測(cè)系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng).

⑴若Pi=0.8,p2=0.02.

（i）在該區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的條件下，求該監(jiān)測(cè)系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率；

（ii）在判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率（精確到0.001）；

（2）若監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在監(jiān)測(cè)識(shí)別中，當(dāng)0.8W口W0.9時(shí)，恒滿足以下兩個(gè)條件：①若判定有珍稀動(dòng)物活動(dòng)時(shí)，該區(qū)

域確有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率至少為0.9；②若判定沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)時(shí)，該區(qū)域確實(shí)沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概

率至少為0.9.求心的范圍（精確到0.001）.

（參考數(shù)據(jù)：,35.04=0§866,J%。=0.9861,0.982）

=09604

66

【題型三】離散型隨機(jī)變量的分布列和概率性質(zhì)

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為:

XX2XiXn

pPiP2PiPn

則⑴020,=1,2,…,〃；

(2)pi+pz+...+p?+...+p〃=l；

(3)E(X)+%2〃2+…+%R+…

(4)Q(X)=(X」一E(X))2小+(X2—E(X))2>2+…+(X”—E(X))2%.

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差

(1)如果E(〃)和E(。都存在，則E化+n)=E(?+E(").

(2)若〃=a忑+6,則E(〃)=aE(2+b,DM=a2D(^.

(3)期望與方差的轉(zhuǎn)化：。?二改乎)一。?產(chǎn)

I—I

典例精講

【例1】(2024?山西臨汾?二模)已知質(zhì)量均勻的正〃面體，”個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到〃.

(1)拋擲一個(gè)這樣的正“面體，隨機(jī)變量X表示它與地面接觸的面上的數(shù)字.若尸(X<5)=：求〃；

(2)在(1)的情況下，拋擲兩個(gè)這樣的正〃面體，隨機(jī)變量Y表示這兩個(gè)正"面體與地面接觸的面上的數(shù)字和

的情況，我們規(guī)定：數(shù)字和小于7,等于7,大于7,Y分別取值0,1,2,求Y的分布列及期望.

【例2】(2024?浙江寧波?二模)三個(gè)人利用手機(jī)軟件依次進(jìn)行拼手氣搶紅包活動(dòng)，紅包的總金額數(shù)為

3〃(〃N2,〃eN)個(gè)單位.第一個(gè)人搶到的金額數(shù)為1到2〃-1個(gè)單位且等可能(記第一個(gè)人搶完后剩余的金額

數(shù)為W),第二個(gè)人在剩余的W個(gè)金額數(shù)中搶到1到W-1個(gè)單位且等可能，第三個(gè)人搶到剩余的所有金額

數(shù)，并且每個(gè)人搶到的金額數(shù)均為整數(shù)個(gè)單位.三個(gè)人都搶完后，獲得金額數(shù)最高的人稱為手氣王(若有多

人金額數(shù)相同且最高，則先搶到最高金額數(shù)的人稱為手氣王).

(1)若〃=2,則第一個(gè)人搶到的金額數(shù)可能為1,2,3個(gè)單位且等可能.

Ci)求第一個(gè)人搶到金額數(shù)X的分布列與期望；

(ii)求第一個(gè)人獲得手氣王的概率；

(2)在三個(gè)人搶到的金額數(shù)為2,3,4的一個(gè)排列的條件下，求第一個(gè)人獲得手氣王的概率.

【例3】(2024.湖南.模擬預(yù)測(cè))有一枚質(zhì)地均勻點(diǎn)數(shù)為1到4的特制骰子,投擲時(shí)得到每種點(diǎn)數(shù)的概率均等，

現(xiàn)在進(jìn)行三次獨(dú)立投擲，記X為得到最大點(diǎn)數(shù)與最小點(diǎn)數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=()

,21八3r15

A.—B.-C.—D.—

16248

?—?

名校模擬

【變式1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在2002年美國(guó)安然公司(在2000年名列世界財(cái)富500強(qiáng)第16位，擁有

數(shù)千億資產(chǎn)的巨頭公司，曾經(jīng)是全球最大電力、天然氣及電訊服務(wù)提供商之一)宣布破產(chǎn)，原因是持續(xù)多

年的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)造假.但是據(jù)說這場(chǎng)造假丑聞的揭露并非源于常規(guī)的審計(jì)程序，而是由于公司公布的每股盈

利數(shù)據(jù)與一個(gè)神秘的數(shù)學(xué)定理一本福特定律一嚴(yán)重偏離.本福特定律指出，一個(gè)沒有人為編造的自然

生成的數(shù)據(jù)(為正實(shí)數(shù))中，首位非零的數(shù)字是1~9這九個(gè)事件并不是等可能的，而是大約遵循這樣一個(gè)

公式：隨機(jī)變量4是一個(gè)沒有人為編造的首位非零數(shù)字，則P(J=U=lg(l+J優(yōu)=1,2,…,9),則根據(jù)本福

特定律，在一個(gè)沒有人為編造的數(shù)據(jù)中，首位非零數(shù)字是8的概率約是（參考數(shù)據(jù)：坨2。0.301,lg3?0.477）

（）

A.0.046B.0.051C.0.058D.0.067

【變式2］（2024.貴州黔西?一模）高一（1）班每周舉行歷史擂臺(tái)比賽，排名前2名的同學(xué)組成守擂者組，

下周由3位同學(xué)組成攻擂者組挑戰(zhàn)，共答20題，若每位守擂者答出每道題的概率為:，每位攻擂者答出每

道題的概率為?.為提高攻擂者的積極性，第一題由攻擂者先答，若未答對(duì)，再由守擂者答；剩下的題搶答，

搶到的組回答，只要有一人答出，即為答對(duì)，記為1分，否則為0分.

（1）求攻擂者組每道題答對(duì)的概率々及守擂者組第1題后得分為。分的概率￡；

（2）設(shè)X為3題后守擂者的得分，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）.

【變式3］（2024?湖南益陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）新鮮是水果品質(zhì)的一個(gè)重要指標(biāo).某品牌水果銷售店，為保障所銷售

的某種水果的新鮮度，當(dāng)天所進(jìn)的水果如果當(dāng)天沒有銷售完畢，則第二天打折銷售直至售罄.水果銷售店

以每箱進(jìn)貨價(jià)50元、售價(jià)100元銷售該種水果，如果當(dāng)天賣不完，則剩下的水果第二天將在原售價(jià)的基礎(chǔ)

上打五折特價(jià)銷售，而且要整體支付包裝更換與特別處理等費(fèi)用30元.這樣才能保障第二天特價(jià)水果售罄，

并且不影響正價(jià)水果銷售，水果銷售店經(jīng)理記錄了在連續(xù)50天中該水果的日銷售量無（單位：箱）和天數(shù)

y（單位：天）如下表所示：

日銷售量X（單位：箱）2223242526

天數(shù)y（單位：天）10101596

（1）為能減少打折銷售份額，決定70%地滿足顧客需求（即在100天中，大約有70天可以滿足顧客需求）.請(qǐng)

根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)，確定每天此種水果的進(jìn)貨量f的值.（以箱為單位，結(jié)果保留一位小數(shù)）

⑵以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量的概率，設(shè)（1）中所求f的值滿足，e\n0,n0+l）（n0eN*）,

請(qǐng)以期望作為決策依據(jù)，幫銷售店經(jīng)理判斷每天購(gòu)進(jìn)此種水果是"。箱劃算還是"o+1箱劃算？

【題型四】二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布：一般地，在“次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率

為P，則事件A恰好發(fā)生％次的概率為尸（X=?=0?（l-p）"f,%=0,1,2,…，小則稱隨機(jī)變量X服從二

項(xiàng)分布，記作X~B（n,p）,并稱p為成功概率.

事件N發(fā)生的概率

事件4發(fā)生的概率

P（XM［）=C：?（其中bO,12…,〃）

試驗(yàn)總次數(shù)

事件4發(fā)生的次數(shù)

二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差：若X?B(n,p),則E(X)="，D(X)=np(1-p)

典例精講

【例1】(2024?河北邢臺(tái)?一模)小張參加某知識(shí)競(jìng)賽，題目按照難度不同分為A類題和8類題，小張回答A

類題正確的概率為0.9,小張回答8類題正確的概率為0.45.已知題庫(kù)中2類題的數(shù)量是A類題的兩倍.

(1)求小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率；

(2)已知題庫(kù)中的題目數(shù)量足夠多，該知識(shí)競(jìng)賽需要小張從題庫(kù)中連續(xù)回答10個(gè)題目，若小張?jiān)谶@10個(gè)題

目中恰好回答正確及個(gè)(左=0,1,2,L,10)的概率為A，則當(dāng)上為何值時(shí)，外最大？

【例2】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某市物理教研員在一次高二全市統(tǒng)考后為了了解本市物理考試情況，從全市

高二參加考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生對(duì)其物理成績(jī)(單位：分，成績(jī)都在［30,100］內(nèi))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制

(1)求加的值，并以樣本估計(jì)總體，求本次高二全市統(tǒng)考物理成績(jī)的中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點(diǎn)值為代表)；

(2)從該市高二參加考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人中物理考試成績(jī)?cè)?60,70］內(nèi)的人數(shù)為X,求X的

分布列及數(shù)學(xué)期望.

【例3】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概

率為：，向右移動(dòng)的概率為2.若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于X的位

置，貝I］尸(X>0)=()

.4-3-2-10123456^

A,917

B.工D.——

243243CI81

r—1

名校模擬

【變式1】（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）一質(zhì)子從原點(diǎn)處出發(fā)，每次等可能地向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單

位長(zhǎng)度，則移動(dòng)6次后質(zhì)子回到原點(diǎn)處的概率是（）

55c25

A2LDD.----

1024512128

【變式2】（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量X~3（2,p）,其中。隨機(jī)變量F的分布列為

Y012

21

P——qq

33

表中。＜”（7,則。（丫）的最大值為..我們可以用加=￡P(guān)（X=左）m黑三口來刻畫X與F的相似

左=。

程度，則當(dāng)。（x）=g,且。"）取最大值時(shí)，絲市M

【變式3］（2024?北京西城?一模）10米氣步槍是國(guó)際射擊聯(lián)合會(huì)的比賽項(xiàng)目之一，資格賽比賽規(guī)則如下:

每位選手采用立姿射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8的選手進(jìn)入決賽.三位選手甲、乙、丙的資格賽成績(jī)?nèi)缦?

環(huán)數(shù)6環(huán)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)

甲的射出頻數(shù)11102424

乙的射出頻數(shù)32103015

丙的射出頻數(shù)24101826

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的射擊成績(jī)相互獨(dú)立.

（1）若丙進(jìn)入決賽，試判斷甲是否進(jìn)入決賽，說明理由;

（2）若甲、乙各射擊2次，估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率;

⑶甲、乙、丙各射擊10次，用X,?=1,2,3）分別表示甲、乙、丙的10次射擊中大于4環(huán)的次數(shù)，其中

”{6,7,8,9},寫出一個(gè)。的值，使。（X3）＞0（X2）＞D（XJ.（結(jié)論不要求證明）

【題型五】超幾何分布

超幾何分布列

「k「n-k

在含有/件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則P（X=k）=MN乂,左=0』,2,…，m,

品

X01m

「001「n-tn

p

G

若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從超幾何分布

超幾何分布列的數(shù)學(xué)期望與太差

KMn?M?(N-n)(N-M)

若X?H(n,M,N),則E(X)=R.D(X)=

N\N-1)

i—?

典例精講

[例1](23-24高三上?北京西城?期末)生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了解某地中

學(xué)生和大學(xué)生對(duì)跑步軟件的使用情況，從該地隨機(jī)抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使

用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：

跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四

中學(xué)生80604020

大學(xué)生30202010

假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對(duì)跑步軟件的喜愛互不影響.

(1)從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)這2人都最喜愛使用跑步軟件

一的概率；

(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機(jī)抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人.記X為這3人中最

喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)記樣本中的中學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為▲，巧，X3,匕，其方差為s；；樣本中的大

學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為為,%，丫3，%，其方差為S；；*1，X2,尤3，X4,%,%,

%，%的方差為S；.寫出s；,的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

【例2】(2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))某校舉行知識(shí)競(jìng)賽，最后一個(gè)名額要在A,B兩名同學(xué)中產(chǎn)生，測(cè)試方

案如下：A,8兩名學(xué)生各自從給定的4個(gè)問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題作答，在這4個(gè)問題中，已知A能正確

3

作答其中的3個(gè)，8能正確作答每個(gè)問題的概率都是二，A,8兩名同學(xué)作答問題相互獨(dú)立.

4

(1)求A,B兩名同學(xué)恰好共答對(duì)2個(gè)問題的概率；

(2)若讓你投票決定參賽選手，你會(huì)選擇哪名學(xué)生，簡(jiǎn)要說明理由.

【例3】(2024?江西鷹潭.模擬預(yù)測(cè))設(shè)隨機(jī)變量X~"(10,M/000)(2WM4991且MeN*),當(dāng)

H(2;10,M/000)最大時(shí)，E(X)=.

名校模擬

【變式1](2024?陜西西安.三模)每個(gè)國(guó)家對(duì)退休年齡都有不一樣的規(guī)定，2018年開始，我國(guó)關(guān)于延遲退

休的話題一直在網(wǎng)上熱議，為了了解市民對(duì)“延遲退休”的態(tài)度，現(xiàn)從某地市民中隨機(jī)選取100人進(jìn)行調(diào)查,

調(diào)查情況如下表：

年齡段(單位：歲)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

被調(diào)查的人數(shù)101520m255

贊成的人數(shù)612n20122

(1)從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此年齡在[35,45)的概率為：，求出表格中加，”的值；

(2)若從年齡在[45,55)的參與調(diào)查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進(jìn)行分層抽樣，從中抽取10人參與某項(xiàng)

調(diào)查，然后再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人參加座談會(huì)，記這4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)為X,求X的分布

列及數(shù)學(xué)期望.

【變式2](2024?新疆?二模)水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購(gòu)商從采

購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：

等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果

個(gè)數(shù)/個(gè)10254025

(1)若將頻率視為概率，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率；

(2)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取20個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)水果中隨機(jī)地抽取2個(gè)，用X表示抽

取的是精品果的數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

【變式3](2024?北京懷柔?模擬預(yù)測(cè))某學(xué)校為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況，從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了

500名高中學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，收集了他們參加公益勞動(dòng)時(shí)間(單位：小時(shí))分配情況等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)

據(jù)分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九組,繪制成如圖所示的

頻率分布直方圖.

頻率/組距

0.15--------------1—?

a---------------------

05

O.4

0.

.03

0.02

0.01

0.0

。2

681012141618時(shí)間(小時(shí))

(1)求a的值；

(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生參加公益勞動(dòng)時(shí)間的分配情況，從參加公益勞動(dòng)時(shí)間在(12,14],(14,16],

(16,18]三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人.記參加公益勞動(dòng)

時(shí)間在。4,16]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和期望；

(3)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該學(xué)校所有高中學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用“七優(yōu))”表示這20名學(xué)

生中恰有左名學(xué)生參加公益勞動(dòng)時(shí)間在(10,12](單位：小時(shí))內(nèi)的概率，其中％=0,1,2,L,20.當(dāng)呂左)

最大時(shí)，寫出發(fā)的值.(只需寫出結(jié)論).

【題型六】正態(tài)分布

正態(tài)分布的定義

對(duì)任意的尤GR<x)>0,它的圖象在X軸的上方.可以證明無軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱兀V)

為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線，如上圖所示.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)

2

為/(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為X~N(u,o).特別地，當(dāng)w=0,o=l時(shí)，稱隨機(jī)變量

X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即X?N(0,l).

1

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為/Xx)=J與h,X^R,

正態(tài)分布的期望和方差

參數(shù)H反映了正態(tài)分布的集中位置，。反映了隨機(jī)變量的分布相對(duì)于均值H的

離散程度。

若X~N(〃，/),則E(X)=〃，D(X)=/.

正態(tài)分布的3c原則

假設(shè)X?N(U,o2),可以證明：對(duì)給定的k￡N*,P(u-koWXWu+ko)

是一個(gè)只與k有關(guān)的值。

2b

j<--68.27%

.........95.45%............

.........99.73%............

典例精講

[例1]（2024?山西?二模）某高校對(duì)參加軍訓(xùn)的4000名學(xué)生進(jìn)行射擊、體能、傷病自救等項(xiàng)目的綜合測(cè)試，

現(xiàn)隨機(jī)抽取200名軍訓(xùn)學(xué)生，對(duì)其測(cè)試成績(jī)（滿分：100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本頻率分布直方圖，如圖.

八頻率/組距

0.035-------------廠

0.025---------廠

a---------------------

0.010-p

---—――~>

°5060708090100成績(jī)/分

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求出。的值并估計(jì)這200名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)（單位：分）.

⑵現(xiàn)該高校為了激勵(lì)學(xué)生，舉行了一場(chǎng)軍訓(xùn)比賽，共有三個(gè)比賽項(xiàng)目，依次為“10千米拉練”“實(shí)彈射擊”“傷

病救援”，規(guī)則如下：三個(gè)環(huán)節(jié)均參與，三個(gè)項(xiàng)目通過各獎(jiǎng)勵(lì)200元、300元、500元，不通過則不獎(jiǎng)勵(lì).學(xué)

生甲在每個(gè)環(huán)節(jié)中通過的概率依次為，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否通過是相互獨(dú)立的.記學(xué)生甲

在這次比賽中累計(jì)所獲獎(jiǎng)勵(lì)的金額為隨機(jī)變量4,求占的分布列和數(shù)學(xué)期望E傳）.

（3）若該高校軍訓(xùn)學(xué)生的綜合成績(jī)X