專(zhuān)題09函數(shù)的圖像函數(shù)的零點(diǎn)（八大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01畫(huà)函數(shù)的變換圖像

?題型02識(shí)別函數(shù)的圖像

?題型03函數(shù)圖像變換的應(yīng)用

?題型04求函數(shù)的零點(diǎn)及個(gè)數(shù)

?題型05二分法求函數(shù)的零點(diǎn)

?題型06根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)

?題型07函數(shù)零點(diǎn)的其他應(yīng)用

?題型08補(bǔ)函數(shù)的應(yīng)用（一）：幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型,函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

?題型01畫(huà)函數(shù)的變換圖像

L（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）作出下列函數(shù)的圖象：

X3

（1）kn；

（3）,y=|log2x-l|；

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【分析】⑴去絕對(duì)值化簡(jiǎn)成分段函數(shù)，畫(huà)出圖象即可.

（2）原式變形為y=l+',先作出的圖象，再結(jié)合圖象變換，即可得出結(jié)論.

x-1X

⑶先作出y=bg2x的圖象，結(jié)合圖象變換，即可得出結(jié)論.

x2,x>0

【解析】（1）首先要化簡(jiǎn)解析式，y=

-x2,x>0

利用二次函數(shù)的圖象作出其圖象，如圖①所示.

』Hl

33

⑵原式變形為y=l+—先作出歹的圖象，再將其圖象向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位,

x

即得如圖②所示.

圖2

⑶先作出了=IOg2X的圖象，再將其圖象向下平移一個(gè)單位，保留X軸上方的部分，將X軸下方的圖象翻折

到X軸上方來(lái)，即得y=|log2X—1］的圖象，如圖③所示.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值函數(shù)圖象的畫(huà)法，關(guān)鍵是化為分段函數(shù)或利用圖象變換來(lái)畫(huà)圖，屬于中檔

題.

?題型02識(shí)別函數(shù)的圖像

2

2.(23湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)尸二的圖象為()

【答案】D

【分析】利用特殊點(diǎn)法與圖象平移即可得解.

22

【解析】因?yàn)椤?所以當(dāng)x=0時(shí)，y=--=2,故排除ABC,

1-XL-X

222

又V—=——；的圖象可由函數(shù)>=--的圖象向右平移一個(gè)單位得到，則D正確.

1-xx-\X

故選：D.

1

3.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=e，_/-lnx2的圖象大致為()

【分析】根據(jù)x<0時(shí)/(無(wú))的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

_1_ex-cx-2In(-x),x<0

［解析】/(x)=e^-e"-lnA-2

e"-cx-21nx,x>0

因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，y==—//=—21n(—x)都為增函數(shù)，

所以，y=e，-e-21n(r)在(一°°，°)上單調(diào)遞增，故B，C錯(cuò)誤;

又因?yàn)?(一,二？—"-ex-Inx2

所以/(x)不是奇函數(shù)，即圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤.

故選：A

4.（2024?寧夏固原?一模）已知函數(shù)/（%）的部分圖像如圖所示，則/（力的解析式可能為（）

A?=WB./（力=送

U?。?2D」（上后

【答案】A

【分析】利用“X）在（1,+8）上的值排除B,利用奇偶性排除排除C,利用/（%）在（1,+動(dòng)上的單調(diào)性排除D,

從而得解.

【解析】對(duì)于B,當(dāng)x>l時(shí)，f（x}=-———,易知行-片”>0,3-4x<0,

I'3-4x

則y（x）<0,不滿(mǎn)足圖象，故B錯(cuò)誤；

33

對(duì)于C,〃x)=,定義域?yàn)閁2,

4國(guó)-3一?454

又"一無(wú)）=：,T-」X\：；J=療T-LXTJ，則〃x）的圖象關(guān)于歹軸對(duì)稱(chēng)，故c錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)X>1時(shí)，/（x）=TT7=—r=1+—r，

|x-1x-1x-\

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，/（X）在（1,+8）上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；

檢驗(yàn)選項(xiàng)A,=一y滿(mǎn)足圖中性質(zhì)，故A正確.

故選：A.

?題型03函數(shù)圖像變換的應(yīng)用

5.(2024?四川南充?二模)已知函數(shù)/(x)=g,則函數(shù)>=/(x-l)+l的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)(U)對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)(-1」)對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)

【答案】A

【分析】

首先判斷函數(shù)/(x)=；為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則判斷即可.

【解析】函數(shù)=j的定義域?yàn)閧刈"0},又/(r)=4=_/(x),

所以/(x)=:為奇函數(shù)，則函數(shù)“X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)，

又丁=/(X-l)+l的圖象是由/(x)=j的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到,

所以函數(shù)y=/(x-i)+i的圖象關(guān)于點(diǎn)(草)對(duì)稱(chēng).

故選:A

6.(22-23高二上?河南?階段練習(xí))直線(xiàn)2G+如-2=0(a>0力>0)過(guò)函數(shù)/(司=工+—二+1圖象的對(duì)稱(chēng)中心,

X—1

則？4+;1的最小值為()

ab

A.9B.8C.6D.5

【答案】A

【分析】先利用函數(shù)圖象平移與奇函數(shù)的性質(zhì)求得了(x)的對(duì)稱(chēng)中心，從而得到。+6=1,再利用基本不等

式"1”的妙用即可得解.

【解析】函數(shù)f(x)=x+工+1=無(wú)一1+工+2的圖象，

x-lX-]

可由y=x+^的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上2個(gè)單位得到，

X

又丫=*+，的定義域?yàn)?-e,0)U(0,+oo),-x+^-=-fx+-\

所以y=x+，是奇函數(shù),則其對(duì)稱(chēng)中心為(0,0),

X

故/(X)的對(duì)稱(chēng)中心為(1,2),所以2a+26-2=0,即a+b=l,

所以一+—=(°+6)—+—=5+―+—>5+2./-----=9,

ab\ab)ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)竺=*,即a=26=:時(shí)，等號(hào)成立，

ab3

所以之4+：1的最小值為9.

ab

故選：A.

7.(2022高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知二次函數(shù)/(x)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,2),且截工軸所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度是

4,將函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線(xiàn)y=g(x),則拋物線(xiàn)y=g(x)與了軸的交點(diǎn)是

()

A.(0,-8)B.(0,-6)C.(0,-2)D.(0,0)

【答案】B

【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合待定系數(shù)法求得了(x),再利用平移的特征求得g(“，從而得解.

【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)/(x)的圖象的頂點(diǎn)為(2,2),

故〃X)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2,

又/(x)的圖象截x軸所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度是4,

所以/(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(4,0),

設(shè)〃x)=a(尤-2)2+2(“彳0),將點(diǎn)(0,0)代入得。(-2y+2=0,解得。=-；,

19

所以/■(X)=-5(X-2『+2,

因?yàn)間(x)的圖象為/(x)的圖象右移2個(gè)單位得到的，

所以g(x)=/(x_2)=Tx-2_2y+2=_g(x_4y+2,

19

令x=0,貝iJy=g(0)=_/(O_4)~+2=_6,

所以g(x)與了軸交點(diǎn)生標(biāo)為(0,-6).

故選：B.

8.(23-24高一上?河南南陽(yáng)?期末)已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?1,+⑹,且滿(mǎn)足/(3，+l)=x,xeR,將/(x)

的圖象先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g("的圖象.

⑴分別求/(x)與g(x)的解析式;

⑵設(shè)函數(shù)為(x)=［g(x)f+機(jī)g.),若g)在區(qū)間［1,&］上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴/(x)=log3(x-l)(x〉l)，gW=log3x+l(x>0)

9

⑵_6，T

o

【分析】(1)利用換元法求得〃X)的解析式，根據(jù)圖象變換的知識(shí)求得g(x)的解析式.

(2)先求得力(x)的解析式，然后利用換元法，根據(jù)根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解、分離參數(shù)法、對(duì)鉤函數(shù)的

性質(zhì)求得切的取值范圍.

【解析】⑴令3*+l=f,xeR,pjij?e(l,+co),x=\og3(t-I),

所以/(0=log3?T)，則/(x)=log3(x-l)(x>l).

由題意可得，gM=f(^+l)+l=log3(x+l-l)+l=log3x+l(x>0).

22

(2)/z(x)=(log3x+l)+m(log3x+l)=(log3x+l)"+w(21og3x+l).

令”=logs無(wú)，當(dāng)xe工行］時(shí)，0,-,

函數(shù)/7(X)有零點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于〃的方程("+1)2+加(2〃+1)=0在0,；上有解.

11—I

令2n+1=〃，則〃￡[1,2],n=----,

2

所以，-3I/2+2K+1

=UH---1-2

2〃+1u4〃4(u

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，

函數(shù)加=-；/+;+2］在［1,2］上單調(diào)遞減，

當(dāng)〃=2時(shí)，該函數(shù)取得最小值，即加mm=—x12+g+2］=T

當(dāng)"=1時(shí)，該函數(shù)取得最大值，即％出=-2］+；+2)=-1,

9-

因此，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為-g,T.

O

【點(diǎn)睛】利用換元法求函數(shù)的解析式，要注意函數(shù)的定義域在求解過(guò)程中的變化.求解函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，可

轉(zhuǎn)化為方程的根來(lái)進(jìn)行研究.如果零點(diǎn)問(wèn)題含有參數(shù)，則可以考慮分離參數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為值域問(wèn)題

來(lái)進(jìn)行求解.

?題型04求函數(shù)的零點(diǎn)及個(gè)數(shù)

9.(2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知指數(shù)函數(shù)為/'")=4，，則函數(shù)>=〃x)-2向的零點(diǎn)為()

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，解指數(shù)方程即可作答.

【解析】函數(shù)/(x)=4*,由〃x)-2i=0,即4，一2小=0,整理得2、(2工-2)=0,解得無(wú)=1,

所以函數(shù)>=/(x)-2㈤的零點(diǎn)為1.

故選：C

10.(2023?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)〃x)=l-lg(3'+2)的零點(diǎn)為()

A.logs8B.2C.log37D.log25

【答案】A

【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義即可求解.

【解析】令/(x)=l-lg(3*+2)=0,得3*+2=10,貝h=1(^8.

故選：A

11.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)/(x)=2x+x—2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【解析】

解析：f(x)=2xln2+l>0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增，f(0)=~1,/(I)=1,故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

為1.故選B.

Y2y_7r<Q

,,'.二零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

{-1+lnx,x>0

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義計(jì)算即可.

【解析】由/(司=0得：

+x-*2=01—1+In尤=0,

解得％=-2或%=0.

因此函數(shù)共有2個(gè)零點(diǎn).

故選：B.

13.(2024?廣東湛江?二模)已知函數(shù)/'(x)=12,—“-a,g(x)=X?—4忖+2—a,則()

A.當(dāng)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，〃x)只有1個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)〃x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)/(無(wú))有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g(x)有4個(gè)零點(diǎn)

【答案】D

【分析】作出函數(shù)了=忙-1|,了=尤2-4國(guó)+2圖象，兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為它們的圖象與>的圖象

的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象可得答案.

【解析】?jī)蓚€(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與歹=。的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

作出了=歸-1|,>-4同+2的大致圖象，如圖所示.

由圖可知，當(dāng)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，/(x)無(wú)零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí),/(x)只有1個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)/'(x)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g(x)有4個(gè)零點(diǎn).

14.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)=2sin(2x+0[-]<°<曰的圖像關(guān)于點(diǎn)仁,0)中心對(duì)稱(chēng),將函數(shù)

的圖像向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖像，則函數(shù)g(x)在區(qū)間卜兀,對(duì)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角函數(shù)圖像的平移變換

【解析】??.函數(shù)"X)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，.?./(5]=2sin[[L+，=O,.??亨+O=

=,則/(x)=2sin12x+|^.

將函數(shù)的圖像向右平移方個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)=2sin(2x-「的圖像，

令2x-1=E,LeZ,得x=g+"，左eZ,.,.函數(shù)g(x)在區(qū)間[-兀，兀]內(nèi)的零點(diǎn)有x=-y戶(hù)=-2,尤=:，

3626363

共4個(gè).

故選：D.

?題型05二分法求函數(shù)的零點(diǎn)

15.(2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))用二分法求函數(shù)/(x)=ln(x+l)+x-l在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)，要求精確度

為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由于長(zhǎng)度等于1區(qū)間，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，那么經(jīng)過(guò)〃(〃eN*)次操作后,

區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椤?，若要求精確度為0.01時(shí)則《<0.01，解不等式即可求出所需二分區(qū)間的最少次數(shù).

【解析】因?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(。,1)的長(zhǎng)度等于1，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，

所以經(jīng)過(guò)〃(〃eN*)次操作后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)橐唬?/p>

<0.01,解得“27,且“eN*,

故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.

故選：C.

16.(2019高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是

【答案】c

【分析】根據(jù)零點(diǎn)的存在定理及二分法分析各選項(xiàng)的函數(shù)圖象，即可得到答案.

【解析】根據(jù)二分法的思想，函數(shù)/（X）在區(qū)間［。向上的圖象連續(xù)不斷，且伍）<0,即函數(shù)的零點(diǎn)

是變號(hào)零點(diǎn)，才能將區(qū)間（。，6）一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值.

對(duì)各選項(xiàng)的函數(shù)圖象分析可知，A,B,D都符合條件，

而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)沒(méi)有發(fā)生變化，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn).

故選：C.

?題型06根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)

17.（23-24高三上?浙江紹興?期末）已知命題P：函數(shù)/（x）=2x3+x-a在0,2］內(nèi)有零點(diǎn)，則命題P成立的

一個(gè)必要不充分條件是（）

A.3<a<18B.3<。<18C.a<18D.a>3

【答案】D

【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理列式求出。的取值范圍，結(jié)合必要不充分條件的意義判

斷即得.

【解析】函數(shù)/（xhZd+x-a在R上單調(diào)遞增，由函數(shù)/（x）=2x3+x-a在（1,2］內(nèi)有零點(diǎn)，

得【二1Q、八，解得3<。418,即命題p成立的充要條件是3<。<18，

顯然3<aV18成立，不等式3Wa<18、3<a<18>a<18都不一定成立，

而3<aW18成立，不等式恒成立，反之，當(dāng)。上3時(shí)，3<。418不一定成立，

所以命題P成立的一個(gè)必要不充分條件是?>3.

故選：D

18.(2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)〃幻=%?2。質(zhì)-2在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)后的取值范圍是.

【答案】(0,3)

7

【分析】根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為>=左與g(x)=2;4,xe(1,2)的圖象有交點(diǎn)，再由g(x)在(1,2)上遞增,

X

可求得結(jié)果.

2

【解析】令/⑴=0,貝!lx-2=0,即左=2'——,

x

2

即尸左與ga)=2'——,x￡(l,2)的圖象有交點(diǎn)，

X

因?yàn)槎?2、和y=—-在(1,2)上遞增，所以g(x)=2——在(1,2)上遞增，

所以g(l)<g(x)<g(2),即0<g(x)<3,

所以0<左<3,

即實(shí)數(shù)人的取值范圍是(0,3),

故答案為：(0,3)

19.(22-23高三?全國(guó)?課后作業(yè))已知函數(shù)f(x)=20.3一*-X的零點(diǎn)(函左+1),keZ,則斤=.

【答案】2

【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)的范圍，即可得答案.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)夕=3一，為R上單調(diào)減函數(shù)，

故函數(shù)〃x)=20-3T-x為R上單調(diào)減函數(shù)，

X/(2)=20-3^-2=y-2=->0,/(3)=20-3^-3=--3<0,

故〃尤)=203*-尤在(2,3)上有唯一零點(diǎn)，

結(jié)合題意可知左=2,

故答案為：2

20.(22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考)方程-2=0在區(qū)間口,5］上有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為,

-23"

【答案】-y,l

【分析】根據(jù)〃尤)=/+辦-2在區(qū)間［1,5］端點(diǎn)的正負(fù)列式求解即可.

【解析】考查/(切=/+"-2,因?yàn)椤?)=-2<0,且〃x)開(kāi)口向上,

故/(無(wú))在區(qū)間口,5］上最多有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得，若方程/+?-2=0在區(qū)間工5］上有解,

〃1)4。l2+a-2<0

則《，解得

"052+5a-2>0T』

23

故答案為：-不」

21.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若不等式/(x)>0或/(x)<0只有一個(gè)整數(shù)解，則稱(chēng)不等式為單元集不等式.已

知不等式.(工+1)2一|10氏刈+1>0為單元集不等式，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［：，0

【分析】不等式轉(zhuǎn)化為hg2M<a(x+l『+l，引入函數(shù)〃"=|唾爐|,g(x)=a(x+l『+l,分類(lèi)討論作出

函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

［解析】根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為滿(mǎn)足hg2xl<。(X+以+1的整數(shù)X的個(gè)數(shù)為1.

令〃x)=|log2x|,g(x)=a(x+l『+l,

當(dāng)a>0時(shí)，作出函數(shù)f(x)=|k)g2H和g(x)=a(x+l)-l的圖象，如圖所示,

數(shù)形結(jié)合得，/(x)<g(x)的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)，不符合題意；

當(dāng)。=0時(shí)，g(x)=l,所以110gH<1,解得g<x<2,只有一個(gè)整數(shù)解x=l,

所以。=0符合題意；

當(dāng)”0時(shí)，作出函數(shù)/'(x)=|log2x|和g(x)=a(x+l)-l的圖象，如圖所示,

fg⑴>0

要使log/<a(x+l)2+1的整數(shù)解只有一個(gè),只需滿(mǎn)足⑵,

「4〃+1〉01

即八C1‘結(jié)合可得一:<。<0?

［l>9a+l4

綜上所述，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

故答案為：

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍，一般方法：

(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)解決；

(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題；

(3)參變分離法，結(jié)合函數(shù)最值或范圍解決.

?題型07函數(shù)零點(diǎn)的其他應(yīng)用

22.(23-24高三上,山東威海,期末)已知函數(shù)J=/(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且/(x)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)是1,

2,則“九e(l,2),〃々)>0"是“也￡(1,2),2/>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，由充分必要條件的判斷方法求解即可.

【解析】解：由題意知，/(1)=/(2)=0,對(duì)任意xe(l,2)J(x)wO,

而函數(shù)V=的圖象是連續(xù)不斷的，

由加e(l,2),f(xo)>O,可得Vxe(l,2),/(x)>0,充分性成立，

反之Vxe(l,2),/(x)>0,顯然可推出設(shè)e(l,2),/(x0)>0,必要性成立，

故”叫?1,2),/g)>0"是"Vxe(l,2),〃幻>0”的充要條件，

故選：C

23.(2020?江西贛州?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(x)=e'+“x-l)+6在區(qū)間［0,1］上存在零點(diǎn)，則/+/的最小值

為()

A.eB.yC.7D.3e

【答案】B

【分析】設(shè)/為在［。,口上的零點(diǎn)，可得e'+a(-l)+6=0,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(。))在直線(xiàn)(…l)x+y+e'=0上,

2zIt

根據(jù)力+從的幾何意義，可得J+'u:令g(f)=,［2,，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，

(7-1)2+1(f-1)2+1

即可得答案.

【解析】設(shè)/為/(幻在［0,1］上的零點(diǎn)，則e'+a?-l)+6=0,

所以(f-l)a+6+e'=0,即點(diǎn)(。泊)在直線(xiàn)Q-l)x+y+e'=0,

又表示點(diǎn)(。⑼到原點(diǎn)距離的平方,

則，/+萬(wàn)之

II,即a1+b2>

(If+1

e2z202，(d+2-2￡)—e2，(2/-2)2e2,(?2-3/+3)

令g?)=可得g'")=

f+1(t2+2-2t)2(7+2-21)2

因?yàn)閑?'>0,t2-3Z+3>0,

所以g'?)>0,

可得g⑺在［0,1］上為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以當(dāng)/=0是，g(/)mm=g(0)=g，

所以/+/2/即/+〃的最小值為

故選：B

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)的幾何意義，將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求距離問(wèn)題，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

求解，分析、計(jì)算難度大，屬難題.

24.(2023?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))已知不是函數(shù)〃x)=4+lnx的一個(gè)零點(diǎn)，若占€(1,%),^^伉什⑹,

1-X

貝I」()

A./(Xj)<0,/(x2)<0B.〃%)>0,/(x2)>0

C./(再)>0,/(x2)<0D./(x2)>0

【答案】D

【分析】利用數(shù)形結(jié)合判定函數(shù)值大小即可.

【解析】令〃x)=4+lnx=0.從而有l(wèi)nx=」；，此方程的解即為函數(shù)/(x)的零點(diǎn).

1-xx-1

在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)>=lnx與/的圖象，如圖所示.

X-1

由圖象易知，」7>ln為，從而In』——故必再+^^—即〃再)<0.

再一1再_1i一再

同理，仁）>0.

故選：D

25.（23-24高三上?黑龍江齊齊哈爾?階段練習(xí)）已知三個(gè)函數(shù)〃X）=X3+X-3,g（x）=22-1+x-2,

〃（x）=lnx+x-5的零點(diǎn)依次為a,b,c,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理得出結(jié)果.

【解析】因?yàn)?gt;=x3,>=22*在R上為增函數(shù)，y=lnx在（0,+8）上為增函數(shù)，

所以由題知函數(shù)“X）,g（x）,〃（x）在各自定義域上都為增函數(shù)，又/⑴=-1<0,〃2）=7>0,

??.?e（l,2）;g⑼=-1<0,g（l）=3>0,赤（0,1）；

A（3）=ln3-2<0,/；（4）=ln4-l>0,.-.re（3,4）,

:?c>a>b.

故選：D.

|lgx|-tz,0<x<3

26.（20-21高三上?遼寧大連?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=1g；6-3<x<6（其中花”若?。┑乃?/p>

4

個(gè)零點(diǎn)從小到大依次為再用,無(wú)3，尤4，則?的值是（）

1=1

A.16B.13C.12D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義，通過(guò)轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

lgx|,0<x<3

【解析】令〃x）=Ona=

lg(6-x)],3<x<6

1gx|,0<x<3

設(shè)g(x)=圖象如下圖所示:

lg(6-x)|,3<x<6

所以有0<X1<1<X2<3<X3<5<X4<6,

且一恒再=lg%=-lg(6-x3)=lg(6-x4)=tz,

因此可得%二10一"/2=1°"，W=6—10一",招=6—10",

4

所以［%=10^+10°+6-10^+6-10"=12,

Z=1

故選：c

?題型08補(bǔ)函數(shù)的應(yīng)用（一）：幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

27.（2024,寧夏吳忠?模擬預(yù)測(cè)）從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車(chē)每小時(shí)耗油量。

（單位：L）與速度v（單位：km/h）（0<v<120）的下列數(shù)據(jù)：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車(chē)每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個(gè)函數(shù)模型中，最符合實(shí)際情況的函數(shù)模型是（）

A.2=0.5v+aB.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q^k\ogav+b

【答案】C

【分析】作出散點(diǎn)圖，根據(jù)單調(diào)性和定義域即可得解.

【解析】作出散點(diǎn)圖，由圖可知函數(shù)模型滿(mǎn)足：第一，定義域?yàn)椋?,120］；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位

增長(zhǎng)率變快；第三，函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn).

A選項(xiàng)：函數(shù)。=05+。在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：函數(shù)。=0+6的單位增長(zhǎng)率恒定不變，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：。=狽3+加2+”滿(mǎn)足上述三點(diǎn)，故C正確；

D選項(xiàng)：函數(shù)。二左1。&"+6在v=0處無(wú)意義，D錯(cuò)誤.

故選：C

24-

20-

16-

12-

8-

2-

20406080160120140160

O

28.(23-24高三上?福建泉州?期末)函數(shù)/(%)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如()

X-2-101235

2.31.10.71.12.35.949.1

A./(%)=左〃國(guó)+6

B.f^x)=kxQx+/?

C.f[x)=k\j^+b

D./(x)=A:(x-1)2+b

【答案】A

【分析】由函數(shù)/(x)的數(shù)據(jù)即可得出答案.

【解析】由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)/(-2)=〃2)J(-1)=/(1),

偶函數(shù)滿(mǎn)足此性質(zhì)，可排除B,D；

當(dāng)x>0時(shí)，由函數(shù)/(%)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)/(力增長(zhǎng)越來(lái)越快，可排除C.

故選：A.

29.(23-24高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))小明在調(diào)查某班小學(xué)生每月的人均零花錢(qián)時(shí)，得到了下列一組

數(shù)據(jù)：

x/月份23456

7/元1.402.565.311121.30

X

i2

請(qǐng)從模型y=/,模型7=g中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并預(yù)測(cè)小學(xué)生零花錢(qián)首次超過(guò)300元的月份為

（）（參考數(shù)據(jù)：lg3?0.477,lg2ao.301）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】利用給出函數(shù)的表格法確定自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，選擇出好的模型之后利用解不等式求出

自變量的范圍.

1>

【解析】根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，畫(huà)出散點(diǎn)圖，并畫(huà)出函數(shù)及的圖象?

［圖象上或附近，因此用y=F這一函數(shù)模型?

當(dāng),3。。時(shí)，2,>9。。，則有"皿。。=翳=普。9.814.

由1VXV12且xeN,x最小值為10.

故選：C.

30.（2024?北京朝陽(yáng)?二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力/滿(mǎn)足公式f=^pCSv2,其中2

是空氣密度，S是該飛行器的迎風(fēng)面積，v是該飛行器相對(duì)于空氣的速度，C是空氣阻力系數(shù)（其大小取

決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率尸=力.當(dāng)O，S不變，v比原來(lái)提

高10%時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若C不變，則尸比原來(lái)提高不超過(guò)30%

B.若C不變，則P比原來(lái)提高超過(guò)40%

C.為使尸不變，則C比原來(lái)降低不超過(guò)30%

D.為使尸不變，則C比原來(lái)降低超過(guò)40%

【答案】C

【分析】由題意可得尸弓i。CSM,。=商2P，結(jié)合選項(xiàng)，依次判斷即可.

I120

【解析】由題意，f=^PCSv\P=fv,所以尸=gpC”,C=—^,

A：當(dāng)0S,C不變，v比原來(lái)提高10%時(shí)，

333

貝q=；pCS(l+10%”=1/9CS(l.l)v=1.33.|pCSv,

所以尸比原來(lái)提高超過(guò)30%,故A錯(cuò)誤；

B：由選項(xiàng)A的分析知，4=1.33.；“^,

所以尸比原來(lái)提高不超過(guò)40%,故B錯(cuò)誤；

2P2Pyp

C:當(dāng)P，S,P不變，V比原來(lái)提高1。％時(shí)，CLE^^^R.75.市，

所以C比原來(lái)降低不超過(guò)30%,故C正確；

D：由選項(xiàng)C的分析知，C比原來(lái)降低不超過(guò)30%,故D錯(cuò)誤.

故選：C

31.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))2024年中國(guó)載人航天工程將統(tǒng)籌推進(jìn)空間站應(yīng)用與發(fā)展和載人月球探測(cè)兩大任

務(wù)，其中，中國(guó)空間站應(yīng)用與發(fā)展階段各項(xiàng)工作正按計(jì)劃穩(wěn)步推進(jìn).若空間站運(yùn)行周期的平方與其圓軌道半

徑的立方成正比，當(dāng)空間站運(yùn)行周期增加1倍時(shí)，其圓軌道半徑增加的倍數(shù)大約是(參考數(shù)據(jù)：

In2?0.693,e0462?1.587)()

A.1.587B.1.442

C.0.587D.0.442()

【答案】C

【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解即可.

【解析】空間站運(yùn)行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，

設(shè)伊=決，

當(dāng)空間站運(yùn)行周期增加1倍時(shí)，設(shè)此時(shí)半徑為4，

貝1(27)2=松/，

兩式相比得：4=,即ln4=ln[111%=次上。0.462,

UJUJR3

故&=e"462。1,587,

R

故圓軌道半徑增加的倍數(shù)大約是1.587-1=0.587.

故選：C.

32.（23-24高三下?陜西?階段練習(xí)）某種生物群的數(shù)量0與時(shí)間，的關(guān)系近似的符合：。⑺=±吱（其中e

一e+9

為自然對(duì)e^2.71828…），給出下列四個(gè)結(jié)論，根據(jù)上述關(guān)系，其中錯(cuò)誤的結(jié)論是（）

A.該生物群的數(shù)量不超過(guò)10

B.該生物群的數(shù)量的增長(zhǎng)速度先逐漸變大后逐漸變小

C.該生物群的數(shù)量的增長(zhǎng)速度與種群數(shù)量成正比

D.該生物群的數(shù)量的增長(zhǎng)速度最大的時(shí)間（2,3）

【答案】C

【分析】對(duì)解析式上下同時(shí)除以e',結(jié)合反比例函數(shù)模型可判斷A正確；對(duì)。（/）=/,求導(dǎo)，0'⑺即為

該生物種群數(shù)量的增長(zhǎng)速度與時(shí)間的關(guān)系式，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)特征和對(duì)勾函數(shù)模型可判斷C錯(cuò)，BD正確

【解析】因?yàn)閑'>0,牛=10x=J<10,故該生物種群的數(shù)量不會(huì)超過(guò)10,故A正確；

I，e，+9e,+9

10e，O'（ty-9°'_9°

由。（。=步，求導(dǎo)得-，81,顯然該生物種群數(shù)量的增長(zhǎng)速度與種群數(shù)量不成正

v7e'+9K+刃e/+18+—

e

比，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)閑'+之為對(duì)勾函數(shù)模型，故入。22）八號(hào)=1模

ee\e

當(dāng)且僅當(dāng)e'=9,即，=ln9時(shí)取到等號(hào)，

當(dāng)/e（0,ln9）時(shí)生物群的數(shù)量的增長(zhǎng)速度隨時(shí)間的增加而增加，當(dāng)/e（ln9,+s）時(shí)生物群的數(shù)量的增長(zhǎng)速度

隨時(shí)間的增加減小，即該生物群的數(shù)量的增長(zhǎng)速度先逐漸變大后逐漸變小；

且當(dāng)%=ln9e（2,3）時(shí)，。'⑺最大，故BD正確.

故選：C.

33.（23-24高三下?甘肅?階段練習(xí)）北京時(shí)間2023年12月18日23時(shí)59分，甘肅省臨夏州積石山縣發(fā)生

里氏6.2級(jí)地震，震源深度10公里.面對(duì)突發(fā)災(zāi)情，社會(huì)各界和愛(ài)心人士發(fā)揚(yáng)“一方有難、八方支援”的中

華民族團(tuán)結(jié)互助、無(wú)私奉獻(xiàn)的大愛(ài)精神，幫助災(zāi)區(qū)群眾渡過(guò)難關(guān).震級(jí)是以地震儀測(cè)定的每次地震活動(dòng)釋

放的能量多少來(lái)確定的，我國(guó)目前使用的震級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，是國(guó)際上通用的里氏分級(jí)表，共分9個(gè)等級(jí).能量E

與里氏震級(jí)M的對(duì)應(yīng)關(guān)系為lgE=4.8+1.5X,試估計(jì)里氏震級(jí)每上升兩級(jí)，能量是原來(lái)的（）

A.100倍B.512倍C.1000倍D.1012倍

【答案】C

I分析】借助能量E與里氏震級(jí)M的對(duì)應(yīng)關(guān)系計(jì)算即可得.

【解析】由lgE=4.8+1.5M,設(shè)lgE°=4.8+1.5(M+2),

則lgE0-lg￡=4.8+1.5(Af+2)-4.8-1.5Af=3,

即lg"=3,"=io3=iooo.

EE

故選：c.

34.（2024?江蘇?一模）德國(guó)天文學(xué)家約翰尼斯?開(kāi)普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷?布拉赫等人的觀測(cè)資料和星表,

通過(guò)本人的觀測(cè)和分析后,于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運(yùn)動(dòng)第三定律一一繞以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的

3

2na，

橢圓軌道運(yùn)行的所有行星,其橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。與公轉(zhuǎn)周期7有如下關(guān)系：T=其中M為

4GM

太陽(yáng)質(zhì)量，G為引力常量.已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為水星

的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】B

【分析】根據(jù)已知的公式，由周期的倍數(shù)關(guān)系求出長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的倍數(shù)關(guān)系即可.

【解析】設(shè)火星的公轉(zhuǎn)周期為十，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為生,火星的公轉(zhuǎn)周期為《，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為的，

2%3

編①

-JGM

則，北=峪,且

2

返②

4GM

知:尹閨=8,

②T2a2

t

所以，2=4,即：fll=4a2.

故選：B.

35.（23-24高三上?寧夏銀川,階段練習(xí)）"開(kāi)車(chē)不喝酒，喝酒不開(kāi)車(chē)."，飲酒駕駛和醉酒駕駛都是根據(jù)駕駛

人員血液、呼氣酒精含量來(lái)確定，經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值/（x）

隨著時(shí)間X（小時(shí)）的變化規(guī)律，可以用函數(shù)模型/（x）=U）來(lái)擬合，則該人喝一瓶

90?產(chǎn)+14,x>2

啤酒至少經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后才可以駕車(chē)？（）（參考數(shù)據(jù)：ln30?3.40）

駕駛行為類(lèi)別酒精含量值（mg/100mL）

飲酒駕駛>20,<80

醉酒駕駛>80

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】可結(jié)合分段函數(shù)建立不等式90e4，+14<20,利用指數(shù)不等式的求解即可.

【解析】對(duì)于析x）=40sin印+13,

TT27r

由0Vx<2,則無(wú)<彳，函數(shù)/（x）先增后減，

當(dāng)xe1|,21寸，/（x）=2073+13>20,

所以，該人喝一瓶啤酒后的2個(gè)小時(shí)內(nèi)，其血液酒精含量可能大于20,

[?>2\n-2

則駕車(chē)只能在2個(gè)小時(shí)之后，令90.^,+14<20,即]。'，<」，

115

解得〃>21111522x2.71=5.42,

?"eN*,的最小值為6,故至少經(jīng)過(guò)6小時(shí)才可以駕車(chē).

故選：B.

36.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的

=X0cosh

變化遵循蘭徹斯特模型：其中正實(shí)數(shù)X。，天分別為紅、藍(lán)兩方的

(y[abt^~^^XoSinh(yfabt^

y{t^=%cosh

初始兵力，，為戰(zhàn)斗時(shí)間；x（。，歹（。分別為紅、藍(lán)兩方，時(shí)刻的兵力；正實(shí)數(shù)。，b分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)

方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；儂』千和sm』三分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù).規(guī)定：

當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為則下

列結(jié)論不正確的是（）

A.若X°>環(huán)且。=6,則x⑺>了（。（04"）

貝！|T=Ln

B.若乂且。=6,

a

X。b

C.若”＞一，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利

Yoa

D.若§＞P，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利

YQVa

【答案】C

【分析】對(duì)于A根據(jù)已知條件利用作差法比較大小即可得出尤（。-了（。=6"（4-天）＞0,對(duì)于B,利用A

at.—afat—a/

中結(jié)論可得藍(lán)方兵力先為0,即為。=0解得7;對(duì)于C和D,若要紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝

22

利，分別解出紅、藍(lán)兩方兵力為0時(shí)所用時(shí)間4、G，比較大小即可.

尤(。=X。cosh(czf)-西sinh(a。

【解析】對(duì)于A,