第03講三角形一邊的平行線

【知識梳理】

1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例.

如圖，已知AABC,直線”ABC,且與AB、AC所在直線交于點。和點E,那么一=—.

DBEC

2、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.

如圖，點E分別在AABC的邊至、AC上，

3、三角形的重心

定義：三角形三條中線交于一點，三條中線交點叫三角形的重心.

性質(zhì)：三角形重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍.

4、三角形一邊的平行線判定定理

如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

5、三角形一邊的平行線判定定理推論

如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那

么這條直線平行于三角形的第三邊.

4DAF

如圖，在AABC中，直線/與AB、AC所在直線交于點。和點石，如果——=——那么/〃5C.

DBEC

A

AE

6、平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

DFFG

如圖，直線乙/〃2〃/3,直線加與直線〃被直線4、4、4所截，那么"=坦.

FBGC

7、平行線等分線段定理

兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相

【考點剖析】

三角形的重心（共13小題）

1.（2023?青浦區(qū)一模）三角形的重心是（）

A.三角形三條角平分線的交點

B.三角形三條中線的交點

C.三角形三條邊的垂直平分線的交點

D.三角形三條高的交點

2.（2023?奉賢區(qū)一模）在△ABC中，是8c邊上的中線，G是重心.如果AO=6,那么線段。G的長

是.

3.（2022秋?楊浦區(qū)期末）如圖，△ABC中，/BAC=90°,點G是△ABC的重心，如果AG=4,那么

的長為_________

4.（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，已知在Rt^ABC中，/C=90°,點G是△ABC的重心，GELAC,

垂足為E,如果CB=10,則線段GE的長為（）

5.（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知點G是△A8C的重心，那么S^BCG：S”BC等于（）

6.（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）如圖，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點。，延長CG交A3于點E,

P、。分別是△2CE和△8C。的重心，8c長為6,則P0的長為

7.（2022秋?徐匯區(qū)期末）在RtZXABC中，ZB=90°,NA4c=30°,BC=1,以AC為邊在△ABC外作

等邊△AC。，設(shè)點E、F分別是AABC和△AC。的重心，則兩重心E與F之間的距離

是_______________________

8.（2022秋?黃浦區(qū)月考）已知點G是AABC的重心，那么S?BG：SAABC=.

9.（2023?金山區(qū)一模）如圖，AABC為等腰直角三角形，ZA=90°,AB=6,Gi為AABC的重心，E為

線段AB上任意一動點，以CE為斜邊作等腰RtZkCDE（點。在直線BC的上方），S為RtZkCDE的重

心，設(shè)Gi、G2兩點的距離為d,那么在點E運動過程中d的取值范圍是.

10.（2023?松江區(qū)一模）已知△ABC,P是邊BC上一點,△PMMPkC的重心分別為GI、G2,那么一；；——

SAABC

的值為.

11.（2022秋?徐匯區(qū)期中）已知點G是等腰直角三角形ABC的重心，AC=BC=6,那么AG的長

為.

12.（2018?寶山區(qū)校級自主招生）G為重心，DE過重心，SAABC=1,求SAADE的最值，并證明結(jié)論.

13.（2019秋?嘉定區(qū)校級月考）如圖，點G是△ABC的重心，過點G作E/〃8C,分別交42、AC于點￡、

F,且EF+BC=7.2cm,求BC的長.

A

平行線分線段成比例（共19小題）

14.（2022秋?徐匯區(qū)期末）在△ABC中，點。、E分別在邊A3和上，A￡>=2,DB=3,BC^10,要使

DE//AC,那么BE必須等于

15.（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知AB〃CO〃EF,它們依次交直線/1、/2于點A、C、E和點8、D、

1,BF=10,那么。尸等于（）

B謂cD

34-f

16.（2023?寶山區(qū)一模）在△A8C中，點。、E分別在邊A3、AC上，如果A。：BD=1：3,那么下列條件

中能判斷。E〃8C的是（）

RAE1CAD=1D.

EC41AB4

17.（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）如果點H、G分別在△。所中的邊DE和DF上，那么不能判定HG//EF

的比例式是（）

A.DH：EH=DG：GFB.HG-.EF=DH-.DE

C.EH-.DE=GF：DFD.DE：DF=DH：DG

18.（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，a//b//c,若坦萼,則下面結(jié)論錯誤的是（）

DF2

'B

b

AAD3RBC3rAB2nBC3

AF5CE2EF3BE5

19.(2021秋?嘉定區(qū)期末)如圖，已知AB〃C￡?〃ERAC：A￡=3：5,那么下列結(jié)論正確的是()

A.BD：DF=2：3B.AB：CD=2：3C.CD：EF=3：5D.DF：BF=2：5

20.（2023?長寧區(qū)一模）如圖，AD//BE//CF,已知AB=5,DE=6,AC=15,那么EP的長等于.

存c\

21.（2023?松江區(qū)一模）如圖，已知直線AD//BE//CF,如果空=2,DE=3,那么線段EF的長

BC3

是.

22.（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點D在A8上，點E在AC上，>DE//BC,A￡>=3,AB

=4,AC=6,求EC.

23.(2022秋?松江區(qū)月考)如圖，DE//BC,EF//CG,AD-.AB=1：3,AE=3.

(1)求EC的值；

(2)求證：AD-AG^AF-AB.

A

24.（2023?崇明區(qū)一模）四邊形A8C￡）中，點尸在邊上，的延長線交C。的延長線于E點，下列式

子中能判斷AD〃BC的式子是（

AB=AF口更=股

EDFD-BEEC

25.（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）如圖,已知A8〃CZ）〃ERAD：AF=3：5,BE=24,那么BC的長等于

72

D.8

T

26.（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，DF//AC,DE//BC,下列各式中正確的是（）

AA.-B-D=-A-BD口.-A-D-=BFVr,.-A-D=-C-EDn.-A-E-=BF

CEACBDFCDEBDCECF

27.（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，已知直線/1、12、/3分別交直線/4于點A、B、C,交直線K于點。、

E、F,且/1〃/2〃/3,AB=6,BC=3,。尸=12,則。E=

28.(2022?寶山區(qū)二模)已知：如圖，點。、E、F分別在△ABC的邊48、AC,BC_L,DF//AC,BD=2AD,

AE=2EC.

(1)如果A8=2AC,求證：四邊形AOFE是菱形；

(2)如果A8=J，AC,且BC=1,聯(lián)結(jié)。E,求QE的長.

29.(2021秋?楊浦區(qū)校級月考)如圖，點。為AABC中內(nèi)部一點，點E、F、G分別為線段A8、AC、AD

上一點，且EG〃BD,GF//DC.

(1)求證：EF//BC；

(2)當(dāng)處=鄉(xiāng)，求S4EFG的值.

30.(2021秋?寶山區(qū)校級月考)如圖，已知直線/1、/2、/3分別截直線/4于點A、B、C,截直線/5于點。、

E、F,且/1〃/2〃/3.

(1)如果AB=4,8C=8,EF=n,求。E的長.

(2)如果。E：EF=2：3,A8=6,求AC的長.

31.（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知直線八〃/2〃/3,直線AC和。F被A、3/3所截.若A8=3c:w,BC

=5c〃z,EF=4c7ti.

（1）求DE、。尸的長;

CF=80cm,求BE的長.

32.（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖，已知點A、C、E和點3、F、。分別是N。兩邊上的點，且AB〃

ED,BC//EF,AF.8c交于點M,CD、EF交于點N.

(1)求證：AF//CD；

(2)若。4：AC：CE=3：2：4,AM=1,求線段￡W的長.

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023?上海?校考一模）如圖，已知AB〃CD〃班，AD:AF=3:5,BE=24,那么3c的長等于

)

2.（2022秋?上海浦東新?九年級?？计谥校┰贏ABC中，D、￡分別在AABC的邊A3、AC上，下列條件

中不能判定。石〃3c的是（）

ADDEADAE.…ADAE

A.——=——B.—=—C.ZAED=ZCD.—=——

ABBCABACBDEC

3.（2022秋?九年級單元測試）在AABC中，點從D、尸分別在邊A3、BC、AC上，聯(lián)結(jié)。E、DF,如果

DE//AC,DF//AB,AE.EB=3:2,那么A尸：尸。的值是（）

3223

A.-B.-C.-D.一

2355

4.（2021秋?上海?九年級校考階段練習(xí)）如圖，點。、點E在從RC的邊A2上，點E在邊AC上，

DE//BC,且±二=:，要使得E尸〃CD,還需添加一個條件，這個條件可以是（）

DB3

DF3EF4BD_3

AO-7CD~7~AD~4

5.（2023?上海浦東新??？家荒＃┤鐖D，點。、￡分別在AB、AC上，以下能推得。石〃3C的條件是

A.AD:AB=DE:BCB.AD:DB=DE:BC

C.AD:DB=AE:ECD.AE:AC=AD:DB

6.（2022秋?上海崇明?九年級?？计谥校┰贏ABC中，點。、E分別在邊AB、AC上，如果A￡>=2,

BD=3,那么由下列條件能夠判定/出〃3c的是（）

DE2AE2AE2CE2

A.=-B.=~C.=-D.=一

BC5AC5AD5AC5

二、填空題

7.（2022秋?上海嘉定?九年級?？计谥校┰谥?，點E分別在線段A3、AC的延長線上，DE平

彳丁于BC,AB=1,BD=3,AC=2,那么AE=.

8.（2022春?上海普陀?九年級校考期中）如圖，YABCD中，E是邊AO的中點，曲交對角線AC于點F

9.（2022秋?上海黃浦?九年級統(tǒng)考期中）如圖，AD.BC相交于點。，點E、尸分別在BC、AD上,

AB//CD//EF,如果CE=6,EO=4,BO=5,AF=6,那么AD=.

10.（2022秋?上海奉賢?九年級校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABC。中，AD//BC//EF,如果

AE=3,AB=8,8=10,則CF的長是.

11.（2022秋?上海寶山?九年級統(tǒng)考期中）在z1ABe中，點。、E分別在直線A3、AC上，如果

DE//BC,AB=\,AC=2,AD=3,那么CE=.

12.（2022秋?上海浦東新?九年級統(tǒng)考期中）在AABC中，點。、E分別在邊45、AC上，AD.AB=2.3,

AE=4,當(dāng)AC=時，DE//BC.

13.（2022秋?上海長寧?九年級?？计谥校┤鐖D，點。、/在線段A3上，點E、G在線段AC上，

DE//FG//BC,AD:DF:FB=2:3:4,如果EG=4,那么AC的長為.

14.（2022秋?上海奉賢?九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知AD為AABC角平分線，DE//AB,如果

AE1

=",AB=6,那么DE=.

15.（2017秋?上海?九年級?？计谥校┤鐖D，直線。〃b〃c,直線小乙與這三條平行線分別交于點

A,B,C和點D,E,F.若AB：3c=1:2,DE=3,則所的長為.

16.（2022秋?上海青浦?九年級?？计谥校┤鐖D，在梯形ABCD中，AD//BC,對角線AC、相較于點

O,己知的面積為2,ADOC的面積為4,那么.

17.（2022秋?上海奉賢?九年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AD//BC//EF,如果AE=3,

18.（2023,上海長寧?統(tǒng)考一模）如圖AD〃郎〃CF,己知AB=5,DE=6,AC=15,那么所的長等于

19.（2019秋?上海?九年級?？茧A段練習(xí)）己知：如圖，點。、F在上，點E在邊AC上，且

ADAF4什

EF//DC,---=---.求證:DE〃BC.

DBFD

20.（2021秋?上海寶山?九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知直線//、12、人分別截直線〃于點4B、C,截直線

/5于點。、E、F,旦1\莊以3

（1）如果AB=3,BC=6,DE=4,求E尸的長；

（2）如果DE：EF=2：3,AC=25,求A8的長.

A

D

21.（2022秋?上海寶山?九年級校考階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至

⑴如圖1已知小明的身高是1.6米，他在路燈AB下的影子長為2米，此時小明距路燈燈桿的底部3米,

求燈桿AB的高度;

（2）如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著8c方向移

動1.8米至。E的位置，此時測得其影長。尸為3米，求燈桿A3的高度.

22.（2022秋?上海嘉定?九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AC與8。相交于點E,點P在線段

AB_1BF

CD-2'CF-2

D

⑴求證：AB//EF；

⑵求AB:EF:CD.

23.（2022秋?上海楊浦?九年級統(tǒng)考期中）如圖，點。、E分別在AABC的邊A3、AC上，DE//BC.如

果SAADE=2,SABCE=7.5.求S&BDE?

24.（2022秋?上海松江?九年級校考階段練習(xí)）如圖，在EABC中，點。在48上,點E在AC上，且

DE//BC,AD=3,AB=4,AC=6,求EC.

A

25.（2022秋?上海奉賢?九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知直線4〃/2〃，3,直線AC和小被4、4、4所

截.若AB=3cm，BC=5cm，EF=4cm.

⑴求DE、。尸的長；

（2）如果AD=40cm,CF=80cm,求BE的長.

26.（2022秋?上海徐匯?九年級?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長為5,點E是邊CD上的一點.

Q__________C

(1)當(dāng)DE=2時，求點B到直線AE的距離；

⑵將正方形ABCD沿直線AE翻折后，點。的對應(yīng)點是點DC,連接CD'交正方形ABCD的一邊于點R如

果AF=CE,求■的長.

第03講三角形一邊的平行線

【知識梳理】

1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例.

如圖，已知AABC,直線///3C,且與AB、AC所在直線交于點D和點E,那么絲=把.

2、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三

邊對應(yīng)成比例.

如圖，點、D、E分別在AABC的邊AB、AC上,

,DEADAE

DE//BC,那411r么——=——=——

BCABAC

3、三角形的重心

定義：三角形三條中線交于一點，三條中線交點叫三角形的重心.

性質(zhì)：三角形重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍.

4、三角形一邊的平行線判定定理

如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第

三邊.

5、三角形一邊的平行線判定定理推論

如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)

線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

AT）A/7

如圖，在AABC中，直線/與AB、AC所在直線交于點。和點E,如果一=—那么/

DBEC

6、平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

DFFG

如圖，直線“〃2〃/3，直線加與直線"被直線4、6、4所截，那么一=—?

7、平行線等分線段定理

兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上

截得的線段也相等.

Wr【考點剖析】

三角形的重心（共13小題）

1.（2023?青浦區(qū)一模）三角形的重心是（）

A.三角形三條角平分線的交點

B.三角形三條中線的交點

C.三角形三條邊的垂直平分線的交點

D.三角形三條高的交點

【分析】根據(jù)三角形的重心概念作出回答，結(jié)合選項得出結(jié)果.

【解答】解：三角形的重心是三角形三條中線的交點.

故選：B.

【點評】考查了三角形的重心的概念.三角形的外心是三角形的三條垂直平分線的交點；

三角形的內(nèi)心是三角形的三條角平分線的交點.

2.（2023?奉賢區(qū)一模）在△ABC中，AD是8C邊上的中線，G是重心.如果AD=6,那么

線段。G的長是2.

【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)三角形的重心到一頂點的距離等于到對邊中點距離的2倍，直

接求得結(jié)果.

【解答】解：???三角形的重心到頂點的距離是其到對邊中點的距離的2倍，

：.DG=^AG=2.

3

故答案為：2.

【點評】本題考查的是三角形的重心，熟知心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之

比為2：1是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?楊浦區(qū)期末）如圖，△ABC中，/BAC=90°,點G是△ABC的重心，如果

【分析】延長AG交于點。，根據(jù)重心的性質(zhì)可知點。為8C的中點，S.AG=2DG

=4,則AO=6,再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.

【解答】解：如圖，延長AG交于點D

:點G是△ABC的重心，AG=4,

...點。為BC的中點，且AG=2OG=4,

：.DG=2,

：.AD=AG+DG=6,

「△ABC中，/A4c=90°,A。是斜邊的中線，

：.BC=2AD=n.

【點評】本題考查了三角形重心的定義及性質(zhì)，三角形的重心是三角形三邊中線的交點，

重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.同時考查了直角三角形的性質(zhì).

4.（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，已知在Rt^ABC中，/C=90°,點G是AABC的重

心，GELAC,垂足為E,如果CB=10,則線段GE的長為（）

A

【分析】因為點G是△ABC的重心，根據(jù)三角形的重心是三角形三條中線的交點以及重

心的性質(zhì)：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比是2：1,可知點。為8C的

中點，幽上，根據(jù)GE_LAC,可得NAEG=90°,進而證得從而得到

GD1

眼望，代入數(shù)值即可求解.

CDAD

【解答】解：如圖，連接AG并延長交BC于點Z).

?.?點G是△ABC的重心，

...點。為8C的中點，至上,

GD1

"：CB=10,

-'-CD=BD=yBC=5'

"?GELAC,

：.ZA￡G=90°,

VZC=90°,

：.ZAEG=ZC=90°,

?；/EAG=/CAD（公共角），

AAEG^/XACD,

?.?EG-AG,

CDAD

.-.AG=—2，

GD1

?.?AG-2,

AD3

?.?-E-G-=-A--G=—2

5AD3

故選：D.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心的定義及其性質(zhì)，熟練運

用三角形重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知點G是△ABC的重心，那么SABCG：%ABC等于（）

【分析】連接AG延長交于點。，由G是重心可得。是的中點，所以S》BD=S

△ACZ),S&BG=S&CDG,又由重心定理可AG=2GD,貝U2s△BGD=SAABG,進而得至U3sABDG

=S^ABC,即可求解.

【解答】解：連接4G延長交于點D

：G是△ABC的重心，

二。是8C的中點，

?'.S^ABD=S/^CD,S&BDG=SACDG,

:AG=2G￡),

??2sABDGS/^ABG>

：.3SABGD=S^ABD,

??3S/\BDG~S/\ABC)

?'?S^BDG:S^ABC=1:3,

故選：B.

【點評】本題考查三角形的重心，熟練掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面積

的特點求解是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）如圖，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點。，延長CG

交AB于點E,P、Q分別是△BCE和的重心，BC長為6,則尸。的長為1.

B

【分析】連接。E,由G是△ABC的重心，可證QE是△ABC的中位線，從而可求出。E

的長.延長EP交8c于F點，連接。凡利用三角形重心的定義和性質(zhì)得到EP=2PF,

DQ=2QF,再證明得到世即可.

EDFE3

【解答】解：連接。E,延長EP交BC于尸點，連接。R如圖，

B

：G是△ABC的重心，

:.D、E分別是A3、AC的中點，

，￡）E是△ABC的中位線，

DE-|BC=3-

:P點是△BCE的重心，

歹點為8C的中點，EP=2PF,

:。點是△3C。的重心，

，點。在中線。F上，DQ=2QF,

'：ZPFQ=ZEFD,里

FEFD3

:.△FPQS^FED,

.PQFP.1

,?而冠而，

PQ]ED=I，

O

故答案為：1.

【點評】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質(zhì).三角形

的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：

1.

7.（2022秋?徐匯區(qū)期末）在中，ZB=90°,ZBAC=30°,BC=\,以AC為邊

在△ABC外作等邊△AC。，設(shè)點E、尸分別是△ABC和△AC。的重心，則兩重心E與尸

之間的距離是近

【分析】取AC中點。連接08、OD、BD、EF.根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求

出AC=2BC=2,利用勾股定理得出根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出0=4。=

AC=2,ZCAD=60°,那么NBAC+/CAO=90°,利用勾股定理求出BD=

V7.然后證明△￡（?人"△go。，得出所=工8。=近.

33

【解答】解：如圖，取AC中點。，連接08、OD、BD、EF.

在RtZXABC中，ZB=90°,NBAC=30°,BC=1,

：.AC=2BC=2,AB=ylhc2-BC2r22_],2=炳,

：△AC。是等邊三角形，

.?.C￡）=AO=AC=2,

：.ZCAD^60°,

AZBAD^ZBAC+ZCAD^90°,

*'?BD=7AB2+AD2=73+4=*-

點E、F分別是△ABC和△AC。的重心，

.0E=0F=_1

"OBOD百，

又NEOF=NBOD,

:.△EOFs^BOD,

.EF=0E

"BDOBODI）

:.EF=LBD=①.

33

故答案為：近.

3

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三

角形的性質(zhì)，三角形重心的定義與性質(zhì)，掌握重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距

離之比為2：1是解題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?黃浦區(qū)月考）已知點G是△A8C的重心，那么S^ABG：SAABC=1：3.

【分析】三角形的重心是三角形三邊中線的交點，重心到頂點的距離與重心到對邊中點

的距離之比為2：1,由此即可計算.

【解答】解：延長AG交8c于。，

:點G是△ABC的重心，

:.BD=CD,AG：DG=2：1,

.'.AG：A￡）=2：3,

S/\ABG：S/\ABD=2:3,

,**S/\ABD:S/\ABC=1：2,

??SAABG：SAABC=1：3.

故答案為：1：3.

【點評】本題考查三角形的重心，關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì).

9.（2023?金山區(qū)一模）如圖，△A8C為等腰直角三角形，ZA=90°,AB=6,Gi為AABC

的重心，E為線段AB上任意一動點，以CE為斜邊作等腰RtACD￡（點D在直線BC的

上方），S為Rt^CDE的重心，設(shè)Gi、G2兩點的距離為d,那么在點E運動過程中d的

取值范圍是0<^V10.

【分析】分別求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范圍.

【解答】解：當(dāng)E與8重合時，G1與S重合，此時d最小為0,

當(dāng)E與A重合時，G1S最大，連接并延長AG1交BC于H,連接并延長OS交AC于

K,連接HK,過G2作G2TLAH于T,如圖：

VG1為等腰直角三角形ABC的重心，

為2C中點,

；.NAHB=/AHC=90°,

△AB”和△AC”是等腰直角三角形，

BH=CH=AH=螞=3近，

V2

:AGi=2G田，

；.AGi=2&,GiH=y/2,

：G2是為等腰RtACDE的重心，

；.K為AC中點，

/.ZAKD=ZCKD=90°,ZAKH=ZCKH=90Q,

：.ZAKD+ZAKH^1SO0,

：.D,K,H共線，

?/AK=CK=DK=^-AC=^AB=3=HK,

22

G1K=-DK^1,G1D=DK-G2K=2,

3

:.G2H=GiK+HK=4,

"JTG1//ED,

.TG2_TH_HG2_4_2即TG2—TH—2

"ADAHHD4^2TsTTITT石

:.TGi=2近,TH=242,

：.TG\=TH-G\H=42,

GIG2=,TG[2+TG[2=，

...G1G2最大值為JIU,

：.G1G2的范圍是OWG1G2W,

故答案為：owdwJIU.

【點評】本題考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌

握三角形重心的性質(zhì).

10.（2023?松江區(qū)一模）已知△ABC,P是邊BC上一點,△PAB、△?R4c的重心分別為G1、

SAAG,G,9

G2,那么丁~」的值為工.

SAABC一

【分析】由重心的性質(zhì)：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1,得到

△AGiG2s△AOE,推出△AG1G2的面積：△AOE的面積=4：9,而△ADE的面積=」

2

X△ABC的面積，即可解決問題.

【解答】解：延長AG1交尸3于。，延長AG2交PC于E,

V4c的重心分別為Gi、G1,

：.AGi：AD=AG2：AE=2：3,。是PB中點，E是PC中點，

,：ZGIAG2=ZDAE,

：.AAGiG2^AAr)￡,

...△AG1G2的面積：△AQE的面積=4：9,

\?。是尸8中點，E是PC中點,

AADE的面積=工XAABC的面積,

2

SAAGjG

的值為2.

SAABC9

故答案為：2

【點評】本題考查三角形的重心，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握

三角形重心的性質(zhì).

11.（2022秋?徐匯區(qū)期中）已知點G是等腰直角三角形ABC的重心，AC=BC=6,那么AG

的長為2炳.

【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍解答即可.

【解答】解：是等腰直角△ABC的重心，AC=BC=6,

:.CD=LBC=3,

2

由勾股定理得：AD=2=3"'/s,

.?.AG=Zx3v^=2遙，

3

故答案為：2遍.

【點評】本題考查了三角形的重心，熟記三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的

距離的2倍是解題的關(guān)鍵.

12.（2018?寶山區(qū)校級自主招生）G為重心，過重心，SAABC=1,求S4ADE的最值，并

證明結(jié)論.

【分析】設(shè)AO=7以2,AE^nAC,由G為△ABC重心得上二=3,再由當(dāng)工=工=旦

mnmn2

時，有最大值旦，則有最小值4，而無論。、E任何移動，mn,即可求出SA4DE

mn49

的最值.

【解答】解：SAADE的最大值為工，最小值為4.

29

證明：假設(shè)△ABC面積為Si,△AQE面積為8,

^AD=mAB,AE=nAC,

：G為△ABC重心，

?.?-1+—1—_.D,

mn

—AD'AE*sinA=_mAB,nAC*sinA=mnSi,

22

當(dāng)工=a=旦時，L.▲有最大值良，則如?有最小值居，

mn2mn49

而無論。、￡任何移動，機力

.?.4S1WS2W4,

92

...SAADE的最大值為工，最小值為芻.

29

【點評】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)G為△ABC重心得

到工二=3.

ntn

13.（2019秋?嘉定區(qū)校級月考）如圖，點G是△ABC的重心，過點G作跖〃BC,分別交

AB、AC于點E、F,且EF+8C=7.2C〃3求BC的長.

【分析】如果連接AG并延長，交BC于點P,由三角形的重心的性質(zhì)可知AG=2GP,

則AG：AP=2：3.XEF//BC,根據(jù)相似三角形的判定可知AAG尸SAAPC,得出AB：

AC=2：3,最后由E尸〃BC,得出△AEFSAABC,從而求出所：BC=AF：AC=2：3,

結(jié)合EF+BC=7.2an來求BC的長度.

【解答】解：如圖，連接AG并延長，交8c于點P.

：G為AABC的重心，

：.AG=2GP,

：.AG：AP=2：3,

過點G^.EF//BC,

：.AAGF^AAPC,

：.AF：AC=AG：AP=2：3.

又,：EF〃BC,

：.AAEFs^ABC,

.里=幽=2

"BCAC3"

又EF+BC=7.2cm,

.*.BC=4.32cm.

A

【點評】本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì).三角形三邊

的中線相交于一點，這點叫做三角形的重心.重心到頂點的距離等于它到對邊中點距離

的兩倍.平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得三角形與原三角形相似.相似三角

形的三邊對應(yīng)成比例.

二.平行線分線段成比例（共19小題）

14.（2022秋?徐匯區(qū)期末）在△ABC中，點。、￡分別在邊和上，AD=2,DB=3,

8c=10,要使。E〃AC,那么BE必須等于6.

【分析】此題主要考查了平行線分線段成比例定理的逆定理，根據(jù)題意得出要使。石〃AC,

必須巫色即可得出BE的長.

CEAD

【解答】解：：在△A2C中，點、D、E分別在邊48和上，AD=2,DB=3,BC=10,

要使。E〃AC,

.BEDB

??----------,

CEAD

.BE3

"10-BE^2

解得：BE=6.

【點評】此題主要考查了平行線分線段成比例定理的逆定理，根據(jù)題意得出要使Z）E〃AC,

必須巫典是解決問題的關(guān)鍵.

CEAD

15.（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知AB〃CO〃ER它們依次交直線/1、/2于點A、C、

E和點8、D、F,如果AC：CE=3：1,BF=10,那么。尸等于（）

【分析】由AB〃CD〃ER可得出史■二些，代入AC=3CE,BF=10,即可求出。尸的

BFAE

長.

【解答】解：?:AB〃CD〃EF,

.DF=CE

"BFAE'

即更=_皿-,

103CE+CE

;.DF=^-.

2

故選：C.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線

段成比例”是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?寶山區(qū)一模）在△ABC中，點。、E分別在邊AS、AC上，如果AO：BD=\-.

3,那么下列條件中能判斷。E〃8c的是（）

AAE1RAE1rAD1八

AC4EC4AB4

【分析】如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么

這條直線平行于三角形的第三邊，進而可得出結(jié)論.

【解答】解：BD=1：3,

?.?-A-D----1,

AB4

當(dāng)時，坦4,

ABAC

C.DE//BC,故A選項能夠判斷。E〃BC；

而C,B,。選項不能判斷DE〃8c.

故選：A.

A

【點評】本題主要考查了由平行線分線段成比例來判定兩條直線是平行線的問題，能夠

熟練掌握并運用.

17.（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）如果點X、G分別在中的邊。E和。尸上，那么不能

判定HG〃跖的比例式是（）

A.DH：EH=DG：GFB.HG：EF=DH：DE

C.EH：DE=GF：DFD.DE：DF=DH-.DG

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可.

【解答】解：A、當(dāng)DH：EH=DG：GF,即01=邁時，HG//EF,本選項不符合題意；

EHFG

B、當(dāng)HG：EF=DH：DE,不能判定"G〃ER本選項符合題意；

C、當(dāng)EH：DE=GF：DF,即旦旦=絲時，HG//EF,本選項不符合題意；

DEDF

D、當(dāng)DE：DF=DH：DG,即典=理■時，HG//EF,本選項不符合題意；

DFDG

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理成比例定理，靈活運用定理、找準對應(yīng)

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

18.（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，a//b//c,若他/，則下面結(jié)論錯誤的是（）

DF2

AF5CE2EF3BE5

【分析】已知a〃6〃c,根據(jù)平行線分線段成比例定理，對各項進行分析即可.

【解答】解：由坦/■,得幽=—^_=3,故A不符合題意;

DF2AFAD+DF5

''a//b//c,

.BCAD2故8不符合題意;

"CE=DF=2

根據(jù)已知條件得不出膽=2,故C符合題意;

EF3

由BC=_3_得BC=BC=3

CE-?'^BE-BC<E~5故。不符合題意;

故選：C.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線

段成比例.

19.（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，已知AB〃CD〃E尸，AC：AE=3：5,那么下列結(jié)論正確

的是（）

A.BD-.DF=2：3B.AB：CD=2：3C.CD：EF=3：5D.DF：BF=2：5

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可.

【解答】解：；AB〃CD〃EF,

：.BD；DF^AC：CE=3：2,A選項錯誤，不符合題意；

AB；CO的值無法