專題21全等與相似模型之半角模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了。本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方

便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.半角模型（全等模型）......................................................................................................................1

模型2.半角模型（相似模型）....................................................................................................................13

.................................................................................................................................................25

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

模型1.半角模型（全等模型）

半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點(diǎn)，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相等，通過(guò)旋

轉(zhuǎn)，可將角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，構(gòu)造全等三角形的幾何模型。

1）正方形半角模型

條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋

DF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。

證明：將CBE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CDG，即CBE≌△CDG，

∴∠ECB=△∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE△＝DG，CE△＝CG；

∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共線。

∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，

∵CF＝CF，∴CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，

∴AEF的周長(zhǎng)△=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EF，則∠CHE=90°，

∵CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：CBE≌△CHE，

∴△∠HEC=∠CBE，同理可證：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分別平分∠BEF和∠EF△D。

2）等腰直角三角形半角模型

條件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；

結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；

證明：將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ACG，即BAD≌△CAG，

∴∠BAD=△∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD△＝AG，BD△＝CG；

∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，

∵AE＝AE，∴DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，

222222

∴GE＝GC＋E△C,∴DE＝BD＋EC；

3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）

條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；

結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；

⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。

證明：將DBE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至DCG，即BDE≌△CDG，

∴∠EDB=△∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝△GC，DE＝△DG；

∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，

∵DF＝DF，∴EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，

∴AEF的周長(zhǎng)△=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EF，DM⊥GF，則∠DHF=∠DMF=90°，

∵EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：DHF≌△DMF，

∴△∠HFD=∠MFD，同理可證：∠BFD=∠FED，即DE、DF分別平分∠BEF和∠EF△C。

4）等邊三角形半角模型（60°-30°型）

條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；

2

1

結(jié)論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+3；

BD

22

證明：將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ACF，即BAD≌△CAF，

∴∠BAD=△∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD△＝AF，BD＝△CF；

∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，

∵AE＝AE，∴DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，

△

1133

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，F(xiàn)H=CF=BD，

2222

13

∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2；

22

5）任意角度的半角模型（2-型）

條件：∠BAC=2，AB=AC，∠DAE=；

結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-2。

證明：將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針°至ACF，即BAD≌△CAF，

∴∠BAD=△∠CAF，∠B=∠BCA=∠FC△A=90°-△，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-2。

∵∠BAC=2，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=，

∵AE＝AE，∴DAE≌△FAE。

△

例1．（2023·廣東廣州·二模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且EAF45，連接EF．

(1)如圖1，若BE2，DF3，求EF的長(zhǎng)度；(2)如圖2，連接BD，BD與AF、AE分別相交于點(diǎn)M、N，

若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，BE2，求DF的長(zhǎng)；(3)判斷線段BN、MN、DM三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明

你的結(jié)論﹒

【答案】(1)5(2)3(3)BN2DM2MN2

【分析】（1）延長(zhǎng)BE，使BGDF3，證明ADF≌ABG和AEF≌AEGSAS，求得

EF=GE=BE+GB=5．（2）設(shè)DFx，則FC6x，在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理可得，

22

426xx2，解得：x3．（3）BN、MN、DM三者之間的數(shù)量關(guān)系：HB2BN2HN2，證明

AHB≌AMDSAS和HAN≌MANSAS，根據(jù)勾股定理即可證明．

【詳解】（1）解：延長(zhǎng)EB，使BGDF，如圖所示：

∵四邊形ABCD為正方形，∴ABAD，ABEADFBADBCD90，

ADAB

在△ADF和ABG中，ADFABG90，∴ADF≌ABG，∴AFAG，DAFBAG，

DFBG

∵EAF45，∴DAFBAE45，∴BAGBAE45，∴EAFGAE，

AFAG

在△AEF和AGE中，EAFGAE，∴AEF≌AEGSAS，∴EF=GE=BE+GB=5．

AEAE

（2）解：設(shè)DFx，則FC6x，由（1）可知，EF=GE=x+2，

22

在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理可得，426xx2，解得：x3，∴DF3．

（3）BN、MN、DM三者之間的數(shù)量關(guān)系：BN2DM2MN2．

AHAM

證明：截取AHAM，在AHB和AMD中，HABMAD，∴AHB≌AMDSAS，

ABAD

∴BHDM，ABHADB45，又∵ABD45，∴HBN90，

AHAM

在△HAN和△MAN中，HANMAN，∴HAN≌MANSAS，

ANAN

∴HNNM，∴HB2BN2HN2．即BN2DM2MN2．

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形全等、勾股定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，熟悉三角形全等的證明．

例2．（23-24八年級(jí)下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出

題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．

(1)【問(wèn)題背景】已知：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF45，連接EF，則

EF、BE、DF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

（分析：我們把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ABG，點(diǎn)G、B、C在一條直線上．）

于是易證得：ADF和AEF，所以EF．

直接應(yīng)用：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，CF4，則EF的值為．

(2)【變式練習(xí)】已知：如圖2，在Rt△ABC中，ABAC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE45，請(qǐng)

寫出BD、DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，當(dāng)DAE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針一定角度后，點(diǎn)D落在線段BC上，點(diǎn)E落

在線段BC的延長(zhǎng)線上，如圖3，此時(shí)（2）的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的結(jié)論．

【答案】(1)ABG，AEG，DFBE，5(2)BD2CE2DE2，見解析(3)成立，見解析

【分析】（1）根據(jù)分析過(guò)程及圖形分析即可；（2）BD2CE2DE2，把△ACE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABF的位置

此時(shí)AC與AB重合，連接DF，證AFEAFG，得EFFG，CABF45，再證VBDF是直角三角

形，然后由勾股定理即可解決問(wèn)題；（3）根據(jù)第（2）問(wèn)的輔助線畫出圖形即可證明．

【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴ABAD，BBAD90，

把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ABG，則AB與AD重合，∴△ADF△ABG

∴GABDAF，AFAG,DFGB，DABG90∴點(diǎn)G、B、C在一條直線上

∵EAF45，∴BAEDAF45，∴BAGBAE45，∴EAFGAE，

∵AEAE，∴AFEAGESAS，∴EFGF，

∵EGBGBE，∴EFBEDF；∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，CF4，

∴DF2，∴EFBEDF2BE，ECBCBE6BE，

22

在Rt△EFC中，EC2+CF2=EF2，∴6BE422BE，解得BE3，

∴EF2BE5故答案為：ABG，AEG，DFBE，5；

（2）BD2CE2DE2，理由如下：把△ACE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABF的位置此時(shí)AC與AB重合，連接DF，

則ABFACE，∴FABCAE．BFCE，ABFC，∴FAEBAC90，

∵∠DAE45，∴DAF904545，∴FADDAE45，

∴ADFADESAS，∴DFDE，∵BAC90，ABAC，∴ABCC45，

∴CABF45，∴DBFABFABC90，∴VBDF是直角三角形，

∴BD2BF2DF2，∴BD2EC2DE2．

（3）BD2CE2DE2依然成立，理由如下：

把△ACE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABF的位置此時(shí)AC與AB重合，連接DF，

則ABFACE，∴FABCAE．BFCE，ABFACE，∴FAEBAC90，

∵∠DAE45，∴DAF904545，∴FADDAE45，

∴ADFADESAS，∴DFDE，∵BAC90，ABAC，∴ABCACB45，

∴ACEABF135，∴DBFABFABC90，

∴VBDF是直角三角形，∴BD2BF2DF2，∴BD2EC2DE2．

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三

角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性比較強(qiáng)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于

中考常考題型．

例3．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，在VABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D、E都在邊BC

上，∠BAD＝15°，∠DAE＝60°．若DE=3，則AB的長(zhǎng)為．

【答案】33

【分析】如圖（見解析），先根據(jù)等腰三角形的定義可得B30，再根據(jù)角的和差可得ADFDAF45，

BAEAEB75，從而可得AFDF,ABBE，設(shè)AFDFx，然后利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定

理可得BF3x,BD2x3，最后根據(jù)線段的和差建立方程，解方程即可得．

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AFBC于點(diǎn)F，

1

在VABC中，ABAC,BAC120，BC(180BAC)30，BAF90B60，

2

BAD15，ADFBBAD45,DAFBAFBAD45，ADFDAF，AFDF，

DAE60，BAEBADDAE75,AEB180BAEB75，

BAEAEB，ABBE，設(shè)AFDFx，

在RtABF中，AB2AF2x,BFAB2AF23x，BE2x，

DE3，BDBEDE2x3，

33

又BDDFBF，2x3x3x，解得x，則AB2x33，故答案為：33．

2

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，

構(gòu)造等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．

例4．（23-24九年級(jí)上·江西南昌·期中）（1）如圖①，在直角VABC中，BAC90，ABAC，點(diǎn)D為BC

邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），連接AD，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到△ACE，那么CE,BD之

間的位置關(guān)系為__________，數(shù)量關(guān)系為__________；（2）如圖②，在VABC中，BAC90，ABAC，

D，E（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)B，C重合）為BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠DAE45．求證：BD2CE2DE2．（3）如圖

③，在VABC中，CAB120，ABAC，DAE60，BC33，D，E（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)B，C重

合）為BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若以BD,DE,EC為邊長(zhǎng)的三角形是以BD為斜邊的直角三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng)．

【答案】（1）CE⊥BD；CE=BD；（2）見解析；（3）BE23．

【分析】（1）根據(jù)BADCAE，AD=AE，運(yùn)用SAS證明ABDACE，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)

邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，即可得到線段CE、BD之間的關(guān)系；

（2）把△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到ABG，連接DG，由SAS得到ADGADE，可得DE=DG，

即可把EF、BE、FC放到一個(gè)直角三角形中，從而根據(jù)勾股定理即可證明；

（3）把△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到△AFB，可得AF=AE，ABFACB，EC=BF，EAF120，

由SAS可證△ADE△ADF，可得DF=DE，由以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形，分兩種情況

討論，由直角三角形的性質(zhì)可求解．

【詳解】解：（1）CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE=BD

∵△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到△ACE∴BACDAE90

∴BAD90DAC，CAE90DAC∴BADCAE

∵BA=CA，AD=AE∴ABDACE∴ACEB45且CE=BD

∵ACBB45∴ECB=4545=90，即CE⊥BD故答案為：CE⊥BD；CE=BD；

（2）如圖②，把△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到ABG，連接DG，

則ACEABG∴AG=AE，BG=CE，ABGACF45

∵BAC90，GAE90∴GADDAE45

AGAE

在△ADG和ADE中，GADDAE∴ADGADE∴ED=GD

ADAD

∵GBD90∴BD2BG2DG2即BD2EC2DE2

（3）如圖③，把△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到△AFB，

∴VAECVAFB∴AF=AE，ABFACB，EC=BF，EAF120

∵CAB120，AB=AC∴ABCACBABF30∴FBD60

∵EAF120，EAD60∴DAEDAF60，且AF=AE，AD=AD∴△ADE△ADF∴DF=DE

∵以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形

∴以BD、DF、BF為邊的三角形是直角三角形∴VBDF是直角三角形

若BDF90，且FBD60∴BF=2BD=EC，DF3BDDE

∵BCBDDEECBD2BD3BD33BD33∴BD1

∴DE3∴BEBDDE13

若BFD90，且FBD60∴BD=2BF=2EC，DF3BFDE

∵BCBDDEEC2BFBF3BF33BF33

∴BF1∴BD=2，DE3∴BE23

【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾

股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．

例5．（2024·江西·九年級(jí)期中）（1）【特例探究】如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，ABCADC90，

BAD100，EAF50，猜想并寫出線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；

（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形ABCD中，ABAD，ABCADC180，BAD2EAF．請(qǐng)寫

出線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在海上軍事演習(xí)時(shí)，艦艇在指揮中心（O處）北偏東20°的A處．艦艇乙在指揮

中心南偏西50°的B處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正西方向以80海

里/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時(shí)的速度前進(jìn)，半小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、

乙兩艦艇分別到達(dá)C，D處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為75°．請(qǐng)直接寫出此時(shí)兩艦艇之間的

距離．

【答案】（1）EF=BE+DF，理由見解析；（2）EF=BE+DF，理由見解析；（3）85海里

【分析】（1）延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可證得ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠

DAG，再由BAD100，EAF50，可證得AEF≌△AG△F，從而得到EF=FG，即可求解；（2）延長(zhǎng)

CD至點(diǎn)H，使DH=BE，連接AH，可證得ABE≌△△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由

BAD2EAF，可證得AEF≌△AHF，△從而得到EF=FH，即可求解；（3）連接CD，延長(zhǎng)AC、BD

交于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得∠△AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【遷移推廣】得：

CD=AC+BD，即可求解．

【詳解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下：如圖，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，

∵ABCADC90，∴∠ADG=∠ABC=90°，

∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵BAD100，EAF50，∴∠BAE+∠DAF=50°，∴∠FAG=∠EAF=50°，

∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∵FG=DG+DF，∴EF=DG+DF=BE+DF；

（2）EF=BE+DF，理由如下：如圖，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)H，使DH=BE，連接AH，

∵ABCADC180，∠ADC+∠ADH=180°，∴∠ADH=∠ABC，

∵AB=AD，∴△ABE≌△ADH，∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，

∵BAD2EAF∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∴∠EAF=∠HAF，

∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF=FH，∵FH=DH+DF，∴EF=DH+DF=BE+DF；

（3）如圖，連接CD，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)M，

根據(jù)題意得：∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB，

∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，

∵OA=OB，∴由（2）【遷移推廣】得：CD=AC+BD，

∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．即此時(shí)兩艦艇之間的距離85海里．

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、等腰直角三角形

的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形，解答時(shí)，注意

類比思想的應(yīng)用．

例6．（2022·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，ABAD，BD180，點(diǎn)E，

F分別在BC，CD上，若BAD2EAF，則EFBEDF．

【解決問(wèn)題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD．已知CDCB100m，

D60，ABC120，BCD150，道路AD，AB上分別有景點(diǎn)M，N，且DM100m，

BN5031m，若在M，N之間修一條直路，則路線MN的長(zhǎng)比路線MAN的長(zhǎng)少

_________m（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：31.7）．

【答案】370

【分析】延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)E，根據(jù)已知條件求得E90,進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求

得EC,EB，AE,AD，從而求得ANAM的長(zhǎng)，根據(jù)材料可得MNDMBN，即可求解．

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)E，連接CM,CN，

D60，ABC120，BCD150，A30，E90，

DCDM100DCM是等邊三角形，DCM60,BCM90,

在RtBCE中，BC100，ECB180BCD30，

1

EBBC50，EC3EB503，DEDCEC100503，

2

Rt△ADE中，AD2DE2001003，AE3DE1003150，

AMADDM20010031001001003，

ANABBNAEEBBN1003150505031503150，

AMAN10010035031502501503，Rt△CMB中，BMBC2CM21002

ENEBBN505031503ECECN是等腰直角三角形

1

NCMBCMNCBBCMNCEBCE75DCB

2

由閱讀材料可得MNDMBN10050315031，

路線MN的長(zhǎng)比路線MAN的長(zhǎng)少250150350312001003370m．答案：370．

【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解題意是解題的關(guān)鍵．

模型2.半角模型（相似模型）

半角模型特征：①共端點(diǎn)的等線段；②共頂點(diǎn)的倍半角；

半角模型輔助線的作法：由旋轉(zhuǎn)（或翻折）構(gòu)造兩對(duì)全等，從而將邊轉(zhuǎn)化，找到邊與邊的關(guān)系（將分散的

條件集中，隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)）。

常見的考法包括：90°與45°（正方形、直角三角形）；120°與60°（等邊三角形）等。

1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）

條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°

結(jié)論：如圖1，MDA∽△MAN∽△ABN；

△

圖1圖2

證明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，

∵∠AMD=∠NMA，∴MDA∽△MAN，同理：MAN∽△ABN，∴MDA∽△MAN∽△ABN；

結(jié)論：如圖2，BME∽△△AMN∽△DFN.△△

證明：∵ABCD△是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，

∵∠DNF=∠ANM，∴AMN∽△DFN，同理：BME∽△AMN，∴BME∽△AMN∽△DFN；

AFAEAC

結(jié)論：如圖3，連接AC△，則AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且△2；

AMANAB

△△

圖3圖4

AC

證明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，2，∴∠BAM+∠MAC=45°，

AB

AFAC

∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴AMB∽△AFC，∴2。

AMAB

AEACAFAEAC△

同理：AND∽△AEC，2；即2。

ANABAMANAB

△AFAEEF

結(jié)論：如圖4，AMN∽△AFE且2．

AMANMN

△

證明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=

∠AMN；

AFAEACAFAEEF

又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由圖3證明知：2，∴2。

AMANABAMANMN

2）半角模型（含120-60°半角模型）

圖5

條件：如圖5，已知∠BAC＝120°，ADEDAE60；

ADCEAC2

結(jié)論：①ABD∽CAE∽CBA；②；③ADAEBDCE（DEBDCE）。

BDAEAB

△△△

證明：∵ADEDAE60，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，

ADBDADAC

∵∠ABD=∠CBA，∴ABD∽CBA；∴，即：，

ACABBDAB

△△

CEAECEACADCEAC

同理：CAE∽CBA，∴，即：，即：ABD∽CAE∽CBA；，

ACABAEABBDAEAB

△△△△△

∴ADAEBDCE，∵AD=AE=DE，∴DE2BDCE

例1．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，

AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF，有以下結(jié)論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角

BE2

形；③當(dāng)AE=AF時(shí)，22；④BE+DF=EF；⑤若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，則CECB．

EC3

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【分析】①如圖，證明AMN∽△BME和AMB∽△NME，

②利用相似三角形的性質(zhì)△可得∠NAE=∠AE△N=45°，則AEN是等腰直角三角形可作判斷；

③先證明CE=CF，假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)CE=x，則△BE=1-x，表示AC的長(zhǎng)為AO+OC可作判斷；

④如圖3，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABH，證明AEF≌△AEH（SAS），則

EF=EH=BE+B△H=BE+DF，可作判斷；⑤如圖4中△，設(shè)正方形的△邊長(zhǎng)為2a，則DF=CF=a，AF=5a，想辦法

求出BE，EC即可判斷．

【詳解】如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．

∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME，

AMMNAMBM

∴，∴，∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，故①正確，

BMENMNEN

∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，故②正確，

ABAD

在ABE和ADF中，∵ABEADF90，∴RtABE≌RtADF(HL)，∴BE=DF．

AEAF

△△△△

∵BC=CD，∴CE=CF，假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)CE=x，則BE=1﹣x，如圖2，連接AC，交EF于H，

∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分線，∴AC⊥EF，OE=OF，

12

RtCEF中，OCEFx，在EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE．

22

△△

∵AE=AE，∴RtABE≌RtAOE(HL)，∴AO=AB=1，∴AC2AO+OC，

△△

2BE1222

∴1x2，∴x=22，∴，故③不正確，

2EC222

③如圖3，∴將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABH，則AF=AH，∠DAF=∠BAH．

∵∠EAF=45°=∠△DAF+∠BAE=∠HAE．∵∠ABE=△∠ABH=90°，∴H、B、E三點(diǎn)共線，

AEAE

在AEF和AEH中，F(xiàn)AEHAE，∴AEF≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正確，

AFAH

△△△

如圖4中，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則DF=CF=a，AF5a，

FNDF1225210

∵DF∥AB，∴，∴AN=NEAFa，∴AE2ANa，

ANAB2333

210242

∴BEAE2AB2(a)2(2a)2a，∴ECaBC，故⑤正確．故選：C．

3333

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形

的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添

加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考?jí)狠S題．

例2．（23-24九年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，如

圖1所示，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BACAED90，ABAE22．若將ABC

固定不動(dòng)，把VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0a90），此時(shí)線段AD，射線AE分別與射線BC交于點(diǎn)M，

N．

(1)當(dāng)VADE旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，①求證：△ABN∽△MAN；

②在圖2中除△ABN∽△MAN外還有哪些相似三角形，直接寫出；③如圖2，若BM1，求BN的長(zhǎng)；

(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若BMd，請(qǐng)直接寫出CN的長(zhǎng)_________（用含d的式子表示）．

884d4d8

【答案】(1)①見詳解；②△ABN∽△ACM，△ABC∽△EAD；③；(2)或．

34d4d

【分析】（1）①本題考查三角形相似的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角

形相似證明；②本題考查三角形相似的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰直角三角形的性

質(zhì)得到ABCACBDDAE45，可證明△ABF∽△ADE；③本題考查三角形相似的判定，旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出BC，證明△ABN∽△MCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即

可；（2）本題考查三角形相似的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，分點(diǎn)N在線段BC上、點(diǎn)N在線

段BC的延長(zhǎng)線上兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．

【詳解】（1）①證明：∵ABNMAN45,ANBMNA,VABN∽VMAN;

②ABN∽MCA，△ABC∽△EAD，∵△ABN∽△MAN，∴AMCANB，

∵ABC、EAD都是等腰直角三角形，∴BACAED90，ABCACBEADEDA45，

∴ABN∽MCA，△ABC∽△EAD；

③在Rt△ABC中，BAC90，ABAC22，則BCAB2AC24，CMBCBM3，

QAMCBBAM45BAM，BANMANBAM45BAM，AMCBAN，

BNABBN228

BC，VABN∽VMCA，，即，解得：BN；

ACCM2233

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)N在線段BC上時(shí)，

BNABBN228

由②可知：△ABN∽△MCA，，即，解得：BN，

ACCM224d4d

884d

CNBCBN4；

4d4d

84d8

如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，CNBNBC4，

4d4d

84d4d8

綜上所述：CN的長(zhǎng)為或．

4d4d

【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，掌握

相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

例3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖，等腰Rt△ABC中，ABAC，BAC90，D、E在線段BC上，

且∠DAE45，BC12，BD3，求DE的長(zhǎng)．

（2）如圖，在ABC中，ABAC，如果BAC120，D在直線BC上，E在BD上，D在E的右側(cè)，

DAE60，若BC12，CD2，求DE的長(zhǎng)．（3）如圖，在ABC中，若BAC2，D、E是線段BC

上的兩點(diǎn)，∠EAD，若ACkAB，ADkAE，探究BE與CD的數(shù)量關(guān)系．

1438

【答案】（1）DE5；（2）DE或；（3）CDkBE

35

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CFBC，且使得CFBD，連接AF，EF，證明△ACF≌△ABD，得到AFAD，

3=4，證明AEF≌AED，得到DEEF，設(shè)DEEFx，則CE9x，在RtEFC中，根據(jù)勾股

定理求解即可；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，作ABFC，BFCD2，連接EF，作

FGBC交BC于點(diǎn)G，②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，作ABF150，BFCD2，連接EF，作FGBC

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理求解即可；（3）作DANBAC2，

BNAB1

且令A(yù)DkAN，連接BN，NE，證明BAN∽CAD，得到CABN，，推出kBNCD，

CDACk

證明NAE∽EAD，得到AENADE，證明BNBE，即可求解．

【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CFBC，且使得CFBD，連接AF，EF，

ABAC，BAC90，1B45，CFBC，245B，

CFBD

在△ACF和△ABD中，2B，ACF≌ABDSAS，

ACAB

AFAD，3=4，F(xiàn)ADBAC90，645，F(xiàn)AE645，

AFAD

在△AEF和△AED中，F(xiàn)AE6，AEF≌AEDSAS，DEEF，

AEAE

設(shè)DEEFx，則CEBCBDDE123x9x，

2

在RtEFC中，CF2CE2EF2，329xx2，解得：x5，DE5；

（2）①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，作ABFC，BFCD2，連接EF，作FGBC交BC于點(diǎn)G，

ABAC，BAC120，1C302，

BFCD

在△ABF和ACD中，2C，ABF≌ACDSAS，

ABAC

AFAD，3=4，F(xiàn)ADBAC120，660，F(xiàn)AE660，

AFAD

在△AEF和△AED中，F(xiàn)AE6，AEF≌AEDSAS，EFED，

AEAE

設(shè)EFEDx，則BEBCCDED122x10x，

1230，F(xiàn)BG60，BFG30，

1

BGBF1，F(xiàn)GBF2BG222123，

2

EGBEBG10x19x，

221414

在RtEFG中，F(xiàn)G2GE2EF2，即39xx2，解得：x，DE；

33

②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，作ABF150，BFCD2，連接EF，作FGBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

ABAC，BAC120，1330，2150ABF，F(xiàn)BE120，

BFCD

在△ABF和ACD中，2ABF，ABF≌ACDSAS，

ABAC

45，AFAD，F(xiàn)ADBAC120，DAE60，660DAE，

AFAD

在△AEF和△AED中，DAE6，AEF≌AEDSAS，EFED，

AEAE

設(shè)EFEDx，則BEBCCDED122x14x，

1

FBE120，F(xiàn)BG60，BFG30，BGBF1，F(xiàn)GBF2BG222123，

2