常微分方程7.1常微分方程的基本概念常微分方程是指含有一元未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)微分方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)n稱為該微分例如,是二階常微分方程.n階常微分方程的一般形式為

的方程.的階,此時也稱該方程為n階常微分方程.使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.

即如果

則是方程

的解.解的圖形叫做微分方程的積分曲線.以后我們討論的微分方程都是可以把最高階導(dǎo)數(shù)解出來的,即例1

人口增長的微分方程模型

2004年初,世界人口總量約為64億.據(jù)說,到2020年世界總?cè)丝趯⑦_(dá)到79億.這個結(jié)果是怎么預(yù)測出來的?在數(shù)學(xué)上是這樣處理這個問題的:

是一個未知函數(shù),取值是整數(shù),當(dāng)有人出生用表示世界人口在2004年后時刻的總量(時間單位是年).或死亡時,的值是跳躍的.然而,相對于巨大的人口總量,這種跳躍幅度如此之小,以至于我們可以把看作一個可導(dǎo)函數(shù).其中時人口總量增加,時人口總量減少.假設(shè):在一個很小的時間段內(nèi),即，當(dāng)時，的變化率與人口總量y成比例,

人口總量容易驗證,滿足微分方程這個微分方程模型被稱作指數(shù)模型.自然界中的許多量的變化都與本身的大小成一定的比率,如細(xì)菌的繁殖、放射性物質(zhì)的質(zhì)量、按復(fù)利計算的投資收益等,這些問題都適合于指數(shù)模型.即是該微分方程的解,其中C為任意常數(shù).由條件

得

世界人口的歷史數(shù)據(jù)表明

即

解因例2

驗證是任意常

數(shù))是二階微分方程的解.故,

是原方程的解.如果微分方程的解中包含有獨立的任意常數(shù),且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于該微分方程的階數(shù),則稱這種解是微分方程的通解.解將例3

驗證是任意常數(shù))是微分方程的通解.代入方程,得恒等式

所以,

是原方程的解.又因中含有一個任意常數(shù),原方程是一階微分方程,因此是原方程的通解.注:微分方程的通解不一定能包含所有的解.許多情況下,我們關(guān)心微分方程滿足一定條件的解,例如,

是方程的解,但它并不在通解當(dāng)中.微分方程不含任意常數(shù)的解稱為方程的特解.例如,

都是方程的特解.這樣的條件稱為初始條件.

帶有初始條件的微分方程問題稱為初值問題或定解問題.例1的微分方程模型可以改寫為:

常微分方程分為線性微分方程和非線性微分方程.

在n階微分方程中形如

的微分方程稱為線性微分方程;為已知函數(shù),

其中其它的都是非線性微分方程.都是線性微分方程,都是非線性微分方程.例如,

而

例4試指出下列微分方程的階數(shù),并說明它們是線性的還是非線性的?

解(1),(4),(6)為一階微分方程;(2),(5)為二階微分方程;(3)為三階微分方程;其中(2),(3),(5),(6)是線性微分方程;(1),(4)是非線性微分方程.

練習(xí)：指出下列方程的階數(shù),并指出哪些方程是線性微分方程二階非線性三階線性二階線性一階非線性的微分方程,稱為可分離變量的微分方程.2.解法1.定義分離變量7.2.1可分離變量的微分方程7.2一階微分方程或可化為形如求得積分后,即得原微分方程的通解兩端積分注意:如果

則常函數(shù)也是方程的一個特解.

這種求解方法稱為分離變量法解分離變量得兩端積分得從而故原方程的通解為

是方程的一個解.

例1求微分方程的通解.例2求微分方程的通解.解分離變量兩端積分原方程的通解為整理得從而化簡得解先求其通解,分離變量,得兩端積分,得例3

求解定解問題:整理得原方程的通解為注意:是兩個特解.但是不滿足定解條件得于是所求定解問題的特解為的一階微分方程,稱為齊次方程.1.定義7.2.2齊次微分方程例如,方程可化成是齊次方程.可化為形如分離變量,得兩端積分2.解法作變量代換代入原方程,得求得積分后再將代入,即得原方程的通解.化為可分離變量的方程.得例4解方程解將方程改寫成令于是上述方程化為即分離變量,得積分得原方程的通解為

則有解原方程可化為是齊次方程.代入原方程得兩端積分,得例5

求微分方程的通解.得原方程的通解為即將代入,準(zhǔn)齊次方程的一般形式為其中均為常數(shù).對這類方程進行適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q可化為齊次方程.例6解方程解解方程組得令代入原方程,得再令分離變量可得解得則原方程化為整理并做任意常數(shù)的代換再將替換代回,可得其中為任意常數(shù).得原方程的通解為稱為一階線性非齊次微分方程.稱為一階線性齊次微分方程.7.2.3一階線性微分方程1.定義未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程通常稱方程(7-4)是方程(7-3)所對應(yīng)的齊次方程．

齊次方程的通解為(1)先解線性齊次方程使用分離變量法2.解法積分,得(2)再解線性非齊次方程設(shè)非齊次方程通解形式為

把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的待定函數(shù)方法,稱為常數(shù)變易法.積分得一階線性非齊次微分方程的通解為對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程的特解或一階線性非齊次微分方程的通解是由萊布尼茨在1673年給出的解此方程為一階線性方程(1)先求對應(yīng)的齊次方程變形方程為

積分,得對應(yīng)的齊次方程通解為例7求微分方程

的通解.設(shè)原非齊次方程通解為代入原方程,得積分,得故,原方程通解為解原方程可化為設(shè)原方程通解為即例8求微分方程的通解.的微分方程,稱為伯努利方程.*7.2.4伯努利方程1.定義形如方程的兩邊除

得則代入原方程整理得即得伯努利方程的通解.它是一階線性方程,求出其通解,再將代入,2.解法通過變量代換化為線性微分方程.解此方程是伯努利方程,其中

原方程化為其通解為故,原方程的通解為例9求微分方程的通解.注意：能用初等積分的方法求解的微分方程只有很小的一部分.7.3.1型的微分方程特點:左端是未知函數(shù)

y的n階導(dǎo)數(shù),且不含未知函數(shù)

y

及其兩邊積分……連續(xù)積分n次,得到含有n個任意常數(shù)的通解.右端是自變量x的一個已知函數(shù),各階導(dǎo)數(shù).再積分7.3可降階的高階微分方程解例1

求微分方程的通解.原方程通解為特點:

方程中不顯含未知函數(shù)

y.解法:7.3.2型的微分方程

設(shè)代入原方程,化為一階微分方程即再積分一次,得原方程通解若求得其解為解例2

求方程的通解.這是以

p為未知函數(shù)的一階線性微分方程即代入原方程,得再次積分,得為原方程通解令求出通解后,再積分k次,即可求得原方程的通解.方程就可化為階方程推廣:例3

解方程

解令則方程變?yōu)橛煞蛛x變量法解得于是得原方程的通解再積分4次是可分離變量方程解法:分離變量,得7.3.3型的微分方程

特點:

方程中不顯含自變量x

.設(shè)代入原方程,化為一階微分方程若求得其解為所以,原方程的通解為即解代入原方程得

原方程通解為設(shè)例4

求方程的通解.即例5設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),并且滿足:求

解已知方程可化為

方程兩邊對x求導(dǎo)數(shù),有再求導(dǎo),有注意到:代入原方程得

于是原方程的求解問題就轉(zhuǎn)化為求解初值問題：設(shè)所以滿足原積分方程的解為

積分,得于是則稱這n個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān);線性無關(guān).個函數(shù),如果存在n個不全為零的常數(shù)

使得

否則,稱為7.4高階線性微分方程7.4.1函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)

n階微分方程的通解中含有n個獨立的任意常數(shù),設(shè)是定義在區(qū)間I上的n常數(shù)的獨立性可以歸結(jié)為函數(shù)的線性相關(guān)性的討論.例1證明函數(shù)在證上線性相關(guān).由三角函數(shù)恒等式有線性相關(guān).例2證明函數(shù)在令x=0,得k1=0.證假設(shè)

線性無關(guān).故,在線性無關(guān).等式兩端對x

求導(dǎo),再令x=0,得k2=0.依次類推,可得

例3設(shè)可微，令x=0,得k1=0.證設(shè)

且故

線性無關(guān).等式兩端對x

求導(dǎo),再令x=0,得k2=0.即證明：線性無關(guān).存在不全為零的常數(shù)k1

和k2,使得特別地,只考慮k1≠0的情況即y1(x)可以由y2(x)線性表示.進而

數(shù)中至少有一個函數(shù)可以用其它的函數(shù)線性表示.對于線性相關(guān)的兩個函數(shù)與n個函數(shù)線性相關(guān)是說:這組此時只用一個任意常數(shù)C3,以及C3

y2(x)就可以表示和的任意線性組合C1y1(x)+C2

y2(x).說明C1和C2不是獨立的任意常數(shù).n階非齊次線性微分方程的一般形式為7.4.2線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

稱為(7-7)所對應(yīng)的n階齊次線性微分方程.其中為已知的連續(xù)函數(shù),且不恒為零.

性質(zhì)2如果y1(x)、y2(x)是方程(7-8)的解,則y1(x)+y2(x)也是方程性質(zhì)1如果y(x)是方程(7-8)的解,則Cy(x)也是方程(7-8)的解,線性微分方程的基本性質(zhì)性質(zhì)3如果y1(x),y2(x)是方程(7-7)的解,則y1(x)-y2(x)也是方程(7-8)的解。其中C

為任意常數(shù).(7-8)的解.稱為(7-9)所對應(yīng)的二階齊次線性微分方程.特別地,二階非齊次線性微分方程記為其中不恒為零.

方程定理7.1設(shè)函數(shù)是二階非齊次線性微分方程(7-9)的一個特解,函數(shù)是方程對應(yīng)的二階齊次線性方程(7-10)的兩個線性無關(guān)的特解,則

是方程(7-10)的通解,其中是任意常數(shù).

是方程(7-9)的通解,其中是任意常數(shù).

證(1)先證明C1y1+C2y2

是方程(7-10)的解.因為y1

和y2

是方程(7-10)的解,所以代入方程(7-10),有則是(7-10)的解.由有又因線性無關(guān),所以是獨立的任意常數(shù).

故是方程(7-10)的通解.是方程(7-8)的通解,一般地,如果是n階非齊次線性微分方程(7-7)函數(shù)是其對應(yīng)的齊次線

是方程(7-7)的通解,其中是任意常數(shù).

的一個特解,

性方程(7-8)的n個線性無關(guān)的特解,

則

定理7.2(疊加原理)

的解,和

則是方程的解.定理7.3設(shè)

是非齊次線性微分方程的解,其中都是實函數(shù).

和

的解.

其中p,q為常數(shù).7.5.1二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為

依照線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論:

7.5常系數(shù)齊次線性微分方程

只要求出方程(7-11)的兩個線性無關(guān)的特解,就可以得到方程(7-11)的通解,也是全部解.

特解是故有為敘述方便,我們稱

為方程(7-11)的特征多項式,

代入方程,得的特征方程,稱為方程(7-11)稱的根為方程(7-11)特征根.因因此,的解等價于:

r是特征方程的根.因為一階常系數(shù)齊次線性微分方程

的一個可得兩個線性無關(guān)的特解故齊次方程的通解為情形1:特征方程有兩個不相等的實根根據(jù)特征根的三種不同的情形分別討論如下:

可得一特解故齊次方程的通解為設(shè)另一特解為于是情形2:特征方程有兩個相等的實根故齊次方程的通解為利用歐拉(Euler)公式得兩個線性無關(guān)的特解及齊次方程解的疊加原理,得實函數(shù)解情形3:特征方程有一對共軛復(fù)根特征方程常系數(shù)齊次線性方程通解的表達(dá)式特征根的情況實根復(fù)根實根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法,稱為特征方程法.綜上所述,求解的一般步驟:寫出特征方程求出特征根根據(jù)不同情況得到相應(yīng)的通解解特征方程為特征根為例1求方程的通解.故所求通解為解第一步先求通解特征根為原方程通解為例2求方程滿足初始條件的特解.由于線性微分方程的通解就是其全部解,求線性微分方程滿足某個初始條件的特解可以分為兩步:求方程的通解代入初始條件確定通解中的任意常數(shù)特征方程為由得故所求特解為第二步確定常數(shù)C1,C2解特征方程為特征根為故所求通解為例3求方程的通解.特征方程為7.5.2n階常系數(shù)齊次線性方程n階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為特征根的情況

通解中的對應(yīng)項

其中

為常數(shù).特征根為故,所求通解為解特征方程為例4求方程的通解.特征根為所求微分方程為解由題設(shè)知,

特征方程為例5已知一個常系數(shù)線性微分方程的通解為其中為任意常數(shù),求這個微分方程.即都是微分方程的特解.易驗證,線性無關(guān).二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為7.6常系數(shù)非齊次線性微分方程

7.6.1二階常系數(shù)非齊次線性微分方程其中

p,q為常數(shù),不恒為0是方程的非齊次項.1.非齊次項為多項式這類二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

其中

是m次多項式.因多項式的導(dǎo)數(shù)仍是多項式,我們猜測這類方程

的特解也是多項式.例1求下列方程的一個特解:解(1)做兩次積分取積分常數(shù)為零,得特解為設(shè)代入方程整理得

比較系數(shù)得即

比較方程兩邊次數(shù),

應(yīng)為2次多項式.則積分并取積分常數(shù)為零,得特解設(shè),則代入方程得

整理得

比較系數(shù)得解得

特解為

應(yīng)為2次多項式.總結(jié)上例的特解形式,我們得出:方程的特解形式為

其中為m次待定多項式,更一般地,我們有下面的結(jié)論:方程的特解形式為其中為m次待定多項式,導(dǎo)數(shù)的最低階數(shù).

k是方程中出現(xiàn)的y的導(dǎo)數(shù)的最低階數(shù).k是方程中出現(xiàn)的y的為此只需要做變量代換

其中z是未知函數(shù).

2.非齊次項為多項式與指數(shù)函數(shù)的乘積這類二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為其中是x的m次多項式,

是常數(shù).注意到只要能消去指數(shù)ex即可歸結(jié)為上一種情形.解令代入方程,整理得設(shè)則比較系數(shù),得例2求方程的一個特解.

則解得原方程的一個特解為解特征方程為則例3求方程的通解.

特征根為對應(yīng)的齊次方程通解令則代入方程,整理得設(shè)該方程特解為解得原方程的一個特解為原方程通解為解令例4(二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式)

其中p,q,是常數(shù),是x的m次多項式.則代入方程,整理得消去得到注意到方程的特征多項式為

上式可簡記為

方程(7-13)即為非齊次項是多項式的類型

因此,方程的特解形如其中為m次待定多項式,k是方程(7-13)中出現(xiàn)的z的導(dǎo)數(shù)的最低階數(shù),

即解(一)求對應(yīng)齊次微分方程通解特征方程為特征根為對應(yīng)的齊次方程通解例5求方程的通解,并求滿足條件的特解.

(二)求非齊次微分方程通解特征多項式為

令原方程通解為因此,原方程的一個特解為得特解則原方程化為

其中即有解得所以,原方程滿足初始條件的特解為(三)確定非齊次微分方程滿足初始條件的特解求導(dǎo)得令則或3.非齊次項為多項式、指數(shù)函數(shù)與正弦或余弦函數(shù)的乘積基本形式為

其中是x的m次實系數(shù)多項式,

p,q,是實常數(shù).的解.的特解求法與前面的討論完全相同,和由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論

的解實部和虛部分別是方程方程只不過加入了復(fù)數(shù)的運算,其求導(dǎo)法則與實數(shù)相同.解特征多項式為

對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根先解方程則方程化為

例6求方程的通解.令令其中解出一個特解即方程的一個特解為原方程通解為取其虛部,得原方程的一個特解

解令

則方程化為

例7

求方程的一個特解.令特征多項式為

先解方程其中即設(shè)特解

則方程的一個特解為比較系數(shù)得

其實部即為原方程的一個特解.

令和方程

是m次實系數(shù)待定多項式.由方程的特解形式可推出:

的特解都具有如下形式:

其中故可設(shè)特解為

例8求方程的特解.解特征多項式為

則

代入原方程得于是原方程的特解為解得解由通解式可知特征方程的根為故特征方程為即因此,所求微分方程為例1求以為通解的微分方程.高階常微分方程習(xí)題課例2已知線性微分方程的三個特解,求此微分方程及該微分方程的通解.是某二階常系數(shù)非齊次解因是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個特解,故所求二階微分方程的兩個特征根為所求二階微分方程為該微分方程的通解為將代入得設(shè)所求二階微分方程為

例3設(shè)連續(xù),且滿足求

解原式可化為上式兩邊求導(dǎo),得上式兩邊再求導(dǎo),得是二階常系數(shù)非齊次方程.且微分方程

(1)的特征根為故方程

(1)所對應(yīng)的齊次方程的通解為

所以設(shè)微分方程

(1)的一個特解為代入方程

(1),得

所以又得

于是因此方程

(1)的通解為再將代入,解(1)求對應(yīng)齊次方程的通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例4設(shè)函數(shù)(2)求非齊次方程的特解設(shè)特解為代入,得解得(3)求原方程的特解即所以,原方程通解為且設(shè)由題意,得即所函數(shù)y的解析表達(dá)式為解得例5已知是微分方程的一個特解,

求該方程的通解.因代入原微分方程,得

解設(shè)是原微分方程的另一特解,

而是微分方程的一個解,

所以

又

因此

于是