熱點專題3-2切線問題綜合

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年甲卷第6題，5分

2024年新高考I卷第13題，5分(1)求在某處的切線

(2)設切點求過某點的切

2023年甲卷第8題，5分考察導數(shù)的幾何意義，切線的相

線以及公切線

關計算求值求參

2022年I卷第15題，5分(3)利用切線的條數(shù)求參

數(shù)范圍

2021年甲卷第13題，5分

2021年I卷第7題，5分

模塊一3熱點題型解讀(目錄)

【題型1】求在曲線上一點的切線

【題型2】求過某點的切線

【題型3】已知切線斜率求參數(shù)

【題型4】通過切線求曲線上的點到直線距離最小值

【題型5】奇偶函數(shù)的切線斜率問題

【題型6】切線斜率取值范圍問題

【題型7】公切線問題

【題型8】由切線條數(shù)求參數(shù)范圍

【題型9】兩條切線平行、垂直、重合問題

【題型10］與切線有關的參數(shù)范圍或最值問題

【題型11］牛頓迭代法

模塊二I核心題型?舉一反三

【題型1】求在曲線上一點的切線

基礎知識1

%=/(/)

函數(shù)》=/(%)在點A(x()，/(%))處的切線方程為y-/(x())=f\x0)(x-x0),抓住關鍵＜

4=/'(%)

1.（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文））曲線〃司=力+3》-1在（0,-1）處的切線與坐標軸圍成的面積

為（）

A.-B.正C.-D.衛(wèi)

6222

【答案】A

【解析】/"（%）=6x5+3,所以/'（0）=3,故切線方程為y=3（%-0）-1=3%-1,

1111

故切線的橫截距為一，縱截距為-1,故切線與坐標軸圍成的面積為一xlx—二—

2.（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理））設函數(shù)=龍,則曲線>=在（0#處的切線

與兩坐標軸圍成的三角形的面積為（）

112

A.-B.-QD.

63I3

【答案】A

(e*+2cosx)(l+x2)-(e"+2sinx^-2x

【解析】/'（%）

2

1+

(e°+2cos0)(1+0)-(e°+2sin0)x0

則（（。）=一=3,

（1+。『

即該切線方程為y—l=3x,即y=3x+1,

令x=0,則y=l,令y=。，貝=

故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積s=《xix-!=!

236

【鞏固練習1】已知曲線/（x）=xlnx在點處的切線為/,則/在V軸上的截距為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】由/'（x）=xlnx得/''（x）=lnx+l,所以直線/的斜率左=/''⑴=1,

又/（1）=0,所以直線/的方程為y=x-i,令x=o,得y=-l,即/在y軸上的截距為-1.

【鞏固練習2】（23-24高三?福建寧德?期末）已知函數(shù)〃x）在點x=-1處的切線方程為x+y-1=0,

則-（T）+/（T）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】由切線的幾何意義得r（-i）,將x=—1代入切線方程得了（—1）,從而得解.

【詳解】由切線方程*+y-l=。，得廣（T）=%=-1,

將"xn—l代入切線方程x+y-l=O,得y=2,所以/（—1）=2,

?r（-i）+/（-i）=-i+2=i.

【題型2】求過某點的切線

基礎知識

【方法技巧】

設切點為尸（毛，%）,則斜率上二/'（%）,過切點的切線方程為：y一%=

又因為切線方程過點,所以=/'（%）（。一%）然后解出/的值.

3.（2024.全國.模擬預測）過坐標原點作曲線〃x）=e"（x2-2x+2）的切線，則切線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】A

【分析】利用導數(shù)求出斜率，結合斜率公式列方程求出切點坐標即可得解.

【詳解】設切點為（天,叫片-2%+2））,

由〃尤）=e“（九2_2*+2）可得廣（力二熹》,

則過坐標原點的切線的斜率上="?！?2+2）=X；］。，

%

故片一片+2（飛—1）=0,即（%—+2）=。，

解得%=1,故過坐標原點的切線共有1條.

4.（2022年新高考全國I卷T15）曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程

為,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【分析】分x>0和x<0兩種情況，當尤>0時設切點為,求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切

線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出劣,即可求出切線方程，當尤<0時同

理可得；

【詳解】［方法一］:化為分段函數(shù)，分段求

分工>0和XV。兩種情況，當％>0時設切點為（/o，lnXo）,求出函數(shù)做導函數(shù)，即可求出切線的斜率，

從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出與,即可求出切線方程，當xvO時同理可得；

解：因為》二出同，

當x>0時y=lnx,設切點為（Xo，ln%o）,由V=g,所以，'1=殉=J,所以切線方程為

y-\nx0=-（x-x0）9

又切線過坐標原點，所以一In%=—（一九°）,解得/=e,所以切線方程為y-l=-（x-e）,即y=-x；

xoee

當％<0時y=ln（-x）,設切點為（冷山（一百））,由、'=一，所以所以切線方程為

）一缶（一玉）」（1一再），

%

又切線過坐標原點，所以一In（-%）二’（一玉），解得玉二—e,所以切線方程為y-l=」~（x+e）,即

X]-e

y=-x；故答案為：y=—x；y=-x

eee

[方法二]:根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結合

當x>0時y=ln*,設切點為（Minx。），由：/=’,所以,所以切線方程為

x玉）

j-lnx0=—（x-x0）,

又切線過坐標原點，所以Tn%=」（一兀0）,解得％=e,所以切線方程為y-l=-（x-e）,y=-x；

xoee

因為y=lnW是偶函數(shù)，圖象為：

【鞏固練習1】已知直線、="-2是曲線y=lnx的切線，則切點坐標為（）

A.B.（e,l）C.（J“D.（0,1）

【答案】A

【分析】設切點坐標為（f,lnr）,利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，對比系數(shù)即可求出切點坐標.

【詳解】設切點坐標為因為（lnx）'=L,所以在點（/,In。處切線的斜率為！，

xt

所以曲線y=lnx在點?』型）處的切線方程為j-lnf=-（x-Z）,

[1

1-=e1

即y-ln/=-x-l,所以*,解得/二一，

'-2=lnz-le

所以切點為

【鞏固練習2](2024?山西呂梁?二模)若曲線〃x)=lnx在點〃億,幾)處的切線過原點0(0,0),則

=?

【答案】e

【分析】求導，根據(jù)點斜式求解直線方程，即可代入0(0,0)求解.

【詳解】因為/(x)=lnx,所以/'(X)=L

所以〃力在點兀)處的切線方程為y-lnx=—(x-x).

0xo0

又切線過原點0(0,0),則-1叫=-1,所以Xo=e.

【鞏固練習3】(2019?江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y=hu上，且該曲線在點A處

的切線經(jīng)過點(-e,-l)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標是—.

【答案】(e,1).

【分析】設出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.

【詳解】設點4(5,%),則為=lnx。.又y'=1，

,1

當了=%時，y=—，

玉)

1/、

點A在曲線y=lnx上的切線為,一%二—(x-x)

%0

,x、

即yTn/=-----1,

不

代入點(一3-1),得一ITn/=1,

即

考查函數(shù)"(x)=xlnx,當xe(O,l)時，”(x)<0,當xe(l,+oo)時，//(%)>0,

且H'(x)=ln尤+1,當x>l時，”'(x)>0,H(x)單調遞增，

注意到//(e)=e,故尤(jin%=e存在唯一的實數(shù)根/=e,此時%=1,

故點A的坐標為A(e,l).

【鞏固練習4】(23-24高三?廣東?期中)過點尸(1,1)作曲線y=F的兩條切線(，[設(，％的夾角為0,

貝Ijtan6=()

57911

A.-B.—C.—D.—

13131313

【答案】C

【分析】求出兩條切線的斜率，由兩直線的夾角公式求得夾角的正切值.

【詳解】兩條切線L的傾斜角分別為4,02,

根據(jù)題意，y=3f,

若點尸是切點時，切線斜率為勺=3,

若點。（七,%）是切點（點尸,Q不重合），則y'=3片，

尸_11

由3%；=—~,解得％=—（尤o=1舍去）,

%-12

所以直線尸Q斜率為左2=3x［—=：,

3.3

tanO-tan09

貝i]tan6=「an(4-g)|=x2____4

1+tanOtan03

x2l+3x-13

4

【題型3】已知切線斜率求參數(shù)

基礎知識

已知切線或切點求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程：①切點處

的導數(shù)是切線的斜率；②切點在曲線上；③切點在切線上.

5.（2024.湖北武漢.模擬預測）已知曲線〃尤）=lnx+,在點處的切線的傾斜角為與，則。的

值為.

【答案】73+1

JT

［分析］對原函數(shù)進行求導,X=1代入得出切線斜率.曲線〃尤）在X=1處的切線傾斜角為1可得出斜

率.構造關于。的方程，解方程即可.

丫212比

【詳解】曲線〃x）=lnx+上的導數(shù)/'（%）=；+亍，

曲線/（X）在％=1處的切線的傾斜角為y,

2L0

/r（l）=l+—=V3,.*.—=V3-1,/.^=73+1

6.（2024?貴州六盤水?三模）已知曲線y=f—311K的一條切線方程為y=f+帆，則實數(shù)加二（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

3

【分析】根據(jù)切線的斜率的幾何意義可知y1=題=2%—=-i9求出切點，代入切線即可求出用.

【詳解】設切點為（%,%）

因為切線丁=一%+加，

3

所以飛=2%----=-1,

%

3

解得%=1,%=-5（舍去）

代入曲線y二/一31nx得％=1,

所以切點為（1,1）

代入切線方程可得1=-1+根，解得切=2.

7.（2024.全國.高考真題）若曲線y=e*+x在點（0,1）處的切線也是曲線y=m（x+l）+。的切線，則

a_.

【答案】In2

【分析】先求出曲線y=e”+x在（0,1）的切線方程，再設曲線y=ln（%+l）+a的切點為

（x0,ln（x0+l）+6z）,求出利用公切線斜率相等求出與,表示出切線方程，結合兩切線方程相同

即可求解.

【詳解】由y=e"+元得y'=e*+i,yix=0=e°+1=2,

故曲線y=e"+x在（0,1）處的切線方程為y=2x+i；

由y=ln（x+l）+a得y=」一，

x+1

設切線與曲線y=ln（x+l）+a相切的切點為（Xo/n（xo+l）+a）,

由兩曲線有公切線得V,=」彳=2,解得毛二一工，則切點為（一+,

%o+l2122）

切線方程為y=2卜+J+4+ln；=2x+l+q—ln2,

根據(jù)兩切線重合，所以a-In2=0,解得a=In2.

【鞏固練習1】（23-24高三?山西晉城?期末）過原點。作曲線/（%）=砂-?的切線，其斜率為2,則

實數(shù)〃二（）

A.eB.2C.e+2D.e—2

【答案】D

【分析】設出切點，求導，得切點處的切線方程，即可代入原點（0,0）求解.

【詳解】設切點（毛,%）,則/'（x）=e"—Q,

故切點處的切線方程為y=（e與一a）（x—%o）+e與一穌，故e小一a=2,

將（0,0）代入得0=—2x0+e*-町），故0=-2/+〃+2-du。，解得a=—2或%=1,

若a=—2,則。知+2=2,此時無解，故a=—2不符合題意，

若與=1,則e-a=2,故1=9一2,此時滿足題意

【鞏固練習2】（2024?四川?模擬預測）已知加>0,">0,直線y='x+/w+l與曲線y=llU-"+3相

e

切，則加+〃=.

【答案】2

【解析】設切點坐標為(/。,%),對函數(shù)y=hu-〃+3求導得y二工,

X

711

則切線斜率％二—=一，得%=e,

/e

所以為=In6—〃+3=4—〃，且為=--e+m+l=2+m,

e

則4—zz=2+/n,即根+〃=2.

【鞏固練習3](23-24高三.安徽合肥.期末)若函數(shù)/(力=工與g(x)=ei-b在兀=1處有相同的

切線，貝1)。+/?=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

eA-aII

【分析】對〃x),g(x)求導，根據(jù)題意得到《“一，再解方程組即可得到答案.

e-b=0

【詳解】因為〃x)=處，g(x)=e~a-b,則/(耳=匕學，g'(x)=e",

X%

可得/(1)=0,g(l)=e'—氏/⑴=1,g")=e'

因為/(元)，g(x)在尤=1處有相同的切線，即切點為(1,0),切線斜率左=1,

e1-fl=1(a=l

所以＜,解得所以a+/?=2.

e?-b=0[b=l

【鞏固練習4](2024?河北滄州?模擬預測)已知直線/：＞=丘是曲線〃耳=b和g(尤)=lnx+a的公

切線，則實數(shù)a=.

【答案】3

【分析】先設在y=/(x)上的切點，然后求出切點和切線，然后再設在y=g(x)上的切點，即可求

出a的值.

【詳解】設直線/與曲線y=/(x)相切于點(%,%),

由尸(x)=e㈤，得左=r(x0)=e",因為/與曲線〃力=*|相切，

所以1%"1+：°'消去為，得e'°+X=e而M,解得％=1.

設/與曲線y=g(龍)相切于點(芯,兀)，由g'(x)=L得％=e2=,，即e2%=l,

Xx\

因為(3,兀)是/與曲線g(尤)=lnx+a的公共點，

(2

y.=ex,1

所以＜消去力,得e%9i=ln玉+〃，即l=ln=+Q,解得々=3.

%=1nxi+〃，e

【題型4】通過切線求曲線上的點到直線距離最小值

基礎知識

利用導數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結合的思想方法解決，常用方法平移切線法.

8.（23-24高三?安徽?階段練習）已知尸是函數(shù)/（同ne,+x2圖象上的任意一點，則點尸到直線

無一?—9=。的距離的最/J、值是（）

A.3亞B.5C.6D.5夜

【答案】D

【分析】結合導數(shù)的幾何意義轉化為點到直線距離求解即可.

【詳解】設直線/與直線x-y-9=。平行，且與函數(shù)/（幼=/+/的圖象相切,

設切點為Q（r,e'+產），因為（（x）=e'+2尤是單調遞增函數(shù)，

直線不一》-9=。的斜率為1,所以/"（r）=e'+2/=l,解得r=o,

即切點為0（0』），

所以點尸到直線x—y—9=0的距離的最小值是點Q到直線%-丁一9=0的距離，

即為J—1=50.

J2

9.（23-24高三?廣東惠州?階段練習）已知點P在函數(shù)/（x）=e2，+x+9的圖象上，則尸到直線

/:3x-y-10=0的距離的最小值為.

【答案】2而

【分析】求導，設尸的坐標，根據(jù)平行關系得到切線斜率，進而得到P（O,IO）,利用點到直線距離公

式求出答案.

【詳解】由/（x）=e2，+x+9,可得尸（x）=2e2*+l,

又點尸在曲線y=/（x）上，設？（叼幾），

則過點尸和/：3%-y-10=。平行的切線的斜率為3,

令廣（X。）=2e2^+1=3,X。=0,則〃o）=10,

P（o,io），點P（0,10）與直線I的最小距離為d=

【鞏固練習1】（23-24高三?河南南陽?階段練習）點尸是曲線/（x）=?上一個動點，則點P到直線

x-y+2=0的距離的最小值是（）

A.迪B.1C.迪D.3

8444

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分析可知（D=1,則點尸到直線x-y+2=o的距離的最小值即為點。到直

線x-y+2=0的距離，運算求解即可.

【詳解】因為/1）=?的定義域為[0,+8）,且廣（工）=!，

令/''（X）==1,解得X」，

2\x4

則m，可得點

（11、-1-J-+2r-

且點到直線'一'+2=°的距離/427V2,

所以點尸到直線x-y+2=0的距離的最小值是述.

8

【鞏固練習2】（23-24高三?河北石家莊?階段練習）曲線y=In（3x-2）上的點到直線3x-y+7=O的

最短距離是（）

A.45B.710C.375D.1

【答案】B

【分析】令/'（x）=3求得X=l,由導數(shù)的幾何意義知y=in（3x-2）在點（1,0）的切線斜率為3,然后

利用點到線距離公式求出最小距離.

【詳解】直線3x-y+7=。的斜率為3,

所以令/（X）=3得，X=l,

JX-Z

將％=1代入y=ln（3x—2）可得y=O,則y=ln（3x-2）在點（1,0）的切線斜率為3,

所以切點（1,0）到直線3x-y+7=。的距離為：d—『+（二;喘=胸

【鞏固練習3]（23-24高三.河南?階段練習）最優(yōu)化原理是要求在目前存在的多種可能的方案中，選

出最合理的，達到事先規(guī)定的最優(yōu)目標的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實際生活中的

最優(yōu)化問題，我們常常需要在數(shù)學模型中求最大值或者最小值.下面是一個有關曲線與直線上點的距

離的最值問題，請你利用所學知識來解答:若點尸是曲線y=31nx-5f上任意一點，則尸到直線

4x-2y+5=0的距離的最小值為.

【答案】^5

17

【分析】將函數(shù)y二31n元-'元求導，然后令導數(shù)為0,即可求得點尸的坐標，再由點到直線的距離

公式代入計算，即可得到結果.

13

【詳解】對函數(shù)y=31nx——12,元〉（）求導可得y二一一元，

2x

其中直線缶-2y+5=0的斜率為2,

3

則令---1=2,即Y+2x—3=0,解得％=1或x=—3（舍）,

X

當x=i時，y=—g,

則曲線上一點P[1,-g]到直線4x-2y+5=。的距離最小，

4xl-2x|-1|+5

由點到直線的距離公式可得最小值為I2）_r-

【鞏固練習4】（2024?山西朔州?模擬預測）已知A,8分別為曲線y=2e'+x和直線y=3x-3上的點，

則的最小值為.

【答案】巫/!如

22

【分析】利用數(shù)形結合思想可知切點到直線的距離是最小值，從而利用導數(shù)來求出切點，再用點到

直線的距離公式求出最小值即可.

【詳解】

由題意的最小值為曲線上點A到直線y=3%-3距離的最小值，

而點A就是曲線與直線y=3x+帆相切的切點，因為曲線上其它點到直線丁=3%-3的距離都大于

向I,

對y=2e"+x求導有y'=2e'+l,由用=3可得x=0,即A（0,2）,

故1陰.二1=巫

的+（-1）2

【題型5】奇偶函數(shù)的切線斜率問題

基礎知識

奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù).

10.已知/(%)為奇函數(shù)，且當XV。時，/(x)=p，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則曲線/(%)在

點處的切線方程為.

【答案】2ex-y-e=0

【解析】由題設，當x>0時，=—=故x>0時，f(x)=xel,

所以/⑺=(x+l)e'J'(l)=2e,而〃l)=e,

故切線方程為j-e=2e(x-l),即2ex-y-e=0.

故答案為：2e%-y-e=0

11.(2024?福建福州?模擬預測)已知函數(shù)〃x)是偶函數(shù)，當x>0時，/(x)=V+2x,則曲線y=/(x)

在x=-1處的切線方程為()

A.y=—5x—2B.y=-5x-8C.y=5x+2D.y=5x+8

【答案】A

【分析】利用偶函數(shù)的性質求出當尤<0時函數(shù)的解析式，然后求導，利用導數(shù)的幾何意義進行

求解即可.

【詳解】當龍>0時，/(%)=/+2了，函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，

當x<0時，_x>0,/(x)=/(-x)=-%3-2x,

當x<0時，/'(x)=_3x?—2,

.-./,(-1)=-3-2=-5,即曲線y=/(x)在x=—l處切線的斜率為-5.

而〃-1)=3,所以曲線y=/(x)在1=一1處的切線方程為：y一3=-5(%+1).

所求即為y=-5x—2.

12.(2024.湖北?一模)已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像在點(1J⑴)處的切線方程為*-2y+l=0,

記〃x)的導函數(shù)為數(shù)(x),則八-1)=()

A.--B.-C.一2D.2

22

【答案】A

【分析】先推導出偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)條件得到r(i),再利用奇函數(shù)的的性質求r(-i).

【詳解】因為〃龍)為偶函數(shù)，所以y(x)=/(—x),兩邊求導，可得［〃力］=［〃_司］=

八元)=n/(x)=-f\-x).

又在(I"⑴)處的切線方程為：x-2y+l=0,

所以r(i)=；.

所以/'(-l)=一/'(1)=_；.

【鞏固練習1】已知/(x)是奇函數(shù)，當x<0時，/(%)=—,則函數(shù)的圖象在x=l處的切線

■X十乙

方程為()

A.2x—y+l=OB.x-2y-i-l=0

C,2x—y—l=OD.x+2y—l=0

【答案】c

【分析】

先求出當x>0時的解析式，然后利用導數(shù)求出x=l處的切線斜率，以及切點坐標，從而求出切線方

程.

【詳解】當x>0時，-x<0,：.f[-x)=———,/(X)是奇函數(shù),

—X+2

(尤-2)-x2

()一一(()

:.-f(x)=———,/X=X>0),/'X=-—2)2=(1-2廣

-x+2x—Z

k=f'(])=2,一一匚=1,切點為(1,1),一切線方程為y—l=2(x—1).

1—2

二切線方程為2x—y—1=0.

【鞏固練習2】(23-24高三?河南洛陽?期末)已知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，其圖象在點(“,g(“))處的切線

方程為2x-y+l=0,記g(尤)的導函數(shù)為g'(x),則g'(-a)=()

11

A.2B.-2C.-D.——

22

【答案】A

【分析】由奇函數(shù)的導數(shù)為偶函數(shù)可知g'(x)為偶函數(shù)，結合導數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】因為g(x)在點3g(。))處的切線方程為2x=y+l=。，.?.gM)=2.

又g(x)=-g(-x)兩邊求導得:g'(x)=g'(-x),即g'(x)為偶函數(shù),

，g'(-a)=g'(a)=2

【鞏固練習3】(2024?山東濟寧?三模)已知函數(shù)/(X)為偶函數(shù),當x<0時，/(x)=ln(-x)+x2,則

曲線、=/(%)在點(1/(D)處的切線方程是()

A.3x—y—2=0B.3%+y—2=0C.3x+y+2=0D.3x—y+2=0

【答案】A

【分析】利用偶函數(shù)的性質求出x>0的解析式，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程.

【詳解】函數(shù)/'CO為偶函數(shù)，當x<0時，/(%)=ln(-%)+x2,

則當x>0時，/(x)=/(-%)=Inx+f,求導得/'(x)=」+2x,則廣(D=3,而“1)=1,

X

所以曲線y=/(x)在點(1"(D)處的切線方程是、-1=3(%-1),即3%-、-2=0.

【鞏固練習4】(2024?海南?？?二模)已知函數(shù)的定義域為R,/(x+1)是偶函數(shù)，當時，

f(x)=ln(l-2x),則曲線y=〃x)在點(2,〃2))處的切線斜率為()

22

A.—B.—C.2D.—2

55

【答案】C

3

【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性求出了>]時的/(X)解析式，利用導數(shù)的幾何意義求解.

【詳解】因為/(X+1)是偶函數(shù)，所以函數(shù)“X)的圖象關于X=1對稱，則/'(2-x)于'(尤)，

,31

當x>一時L，2—x<一,

22

.\/(2-x)=ln[l-2(2-x)]=ln(2x-3),

2

.-./(%)=ln(2x-3),則/(x)=^--,

2x-3

.-.f'(2)=2,即曲線y=/(x)在點(2J(2))處切線的斜率為2.

【鞏固練習5](23-24高三.廣東深圳?期中)已知函數(shù)〃x)=e'ln尤與偶函數(shù)g(x)在交點處

的切線相同，則函數(shù)g(x)在x=-1處的切線方程為()

A.ex—y+e=OB.ex+y—e=0

C.ex-y-e=0D.ex+y+e=O

【答案】D

【分析】求得尸(x)=e1nx+：,得到/'⑴=6且/(1)=0,根據(jù)題意，得到/(x)與g(x)相切于(1,0),

且g")=r(l)=e,再由g(x)為偶函數(shù),求得g(-l)=0,且g'(—l)=—e,進而求得切線方程.

【詳解】由函數(shù)〃x)=exinx,可得尸(x)=e1nx+《，所以尸6=e且/⑴=0,

因為函數(shù)“X)與偶函數(shù)g(x)在交點(Lg(l))處的切線相同，

所以函數(shù)/(x)與g(x)相切于(1,0),且g")=/")=e,

又因為g(x)為偶函數(shù)，所以g(-l)=g⑴=。，且=-g[l)=-e,

所以函數(shù)g(x)在x=-l處的切線方程為y-0=-eO+l),即ex+y+e=O.

【題型6】切線斜率取值范圍問題

基礎知識

利用導數(shù)的幾何意義，求出導函數(shù)的值域，從而求出切線斜率的取值范圍問題.

一般地，直線的斜率與傾斜角的關系是：直線都有傾斜角，但不一定都有斜率

2

13.點P在曲線y=x3-x+g上移動，設點P處切線的傾斜角為a,則角a的范圍是（）

A.[0,^]B.0當C.嚴㈤D.[0,*嚴㈤

224424

【答案】D

2,

【解析】由y=/（%）=V一元+],則/⑴=3/—12—1,則tana2-1,

又ae[0㈤，所以.三[0弓）0嚀㈤

14.（2021?河南洛陽?二模）已知點p在曲線尸％3r上移動，設點尸處切線的傾斜角為a,則角a

的取值范圍是.

【答案】0號口子臼

【分析】求出導函數(shù)的值域后可得切線的斜率的范圍，根據(jù)斜率與傾斜角的關系可求a的取值范圍.

【詳解】*.*j=X3-%,yf=3x2-1>-1,/.tana>—1,0<a</r,

???過P點的切線的傾斜角的取值范圍是?！?7'"），

故答案為：?？煽趡T,7r},

【鞏固練習1】過函數(shù)/（x）=；e2'-x圖像上一個動點作函數(shù)的切線，則切線傾斜角范圍為（）

【答案】B

【解析】由題意，函數(shù)〃x）=；e2'-x,可得r（x）=e2'—l,

因為e”>0,所以即切線的斜率左>-1,

設切線的傾斜角為。，則tang>—l

JI37r

又因為所以<一或一<0<7i,

24

即切線的傾斜角的范圍為o,|j[

【鞏固練習2】（22-23高三?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習）點尸在曲線、=無3一心無+工上移動，設點尸處切

34

線的傾斜角為a,則角a的范圍是（）

【分析】求導，求出導函數(shù)的值域,再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得解.

［詳解］y=3x2-^-e))

D,所以點P處切線的斜率的取值范圍為-,十°0,即

>L>

tanas----,+oo,又二￡［0,兀)，所以角a的范圍是0,—.

.3)

【題型7】公切線問題

基礎知識

公切線問題應根據(jù)兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上，羅列出有

關切點橫坐標的方程組，通過解方程組進行求解.

公切線問題主要有以下3類題型

(1)求2個函數(shù)的公切線

解題方法：設2個切點坐標，利用切線斜率相同得到3個相等的式子，聯(lián)立求解

(2)2個函數(shù)存在公切線，求參數(shù)范圍

解題方法：設2個切點坐標，列出斜率方程，再轉化為方程有解問題

(3)已知兩個函數(shù)之間公切線條數(shù)，求參數(shù)范圍

解題方法：設2個切點坐標，列出斜率方程，再轉化為方程解的個數(shù)問題

15.(浙江紹興二模T15)與曲線y=e”和)=都相切的直線方程為___________

4

【答案】y=x+l

【詳解】設直線與曲線y=屋相切于點(不巧，

因為y'二e",所以該直線的方程為y-e國二二(%一%),即y=eX1x+eX|(1-xJ,

設直線與曲線y=---相切于點X,----

4124J

Y丫2

因為y=-］，所以該直線的方程為y+5=-^-(x-x2)>即y=_：|_x+寧，

eX1=-三

2

所以、2,解得石=0,工2二一2,所以該直線的方程為y=x+l

e』(—J若'

16.(2024.廣東茂名.一模)曲線?與曲線》=爐+2?有公切線，則實數(shù)。的取值范圍是()

1

A.1-00,一5B.--,+ooJC.D.一,+8

2

【答案】B

【分析】分別求出兩曲線的切線方程，再構造函數(shù)/(x)=e，j—2x,利用導數(shù)求得單調性和最值,

即可求得〃的取值范圍.

【詳解】兩個函數(shù)求導分別為y=Ly=21+2〃，

x

設y=hiY,y=x1+2ax圖象上的切點分別為(不』叫)，(0后+2j

%

則過這兩點處的切線方程分別為y=l+1叫T,y=(2x2+2a)x-xlf

x\

則工=2%+2”，1叫-1=_尤；，所以24=小7-29，

x\

設/(x)=e4_2x,1(力=2卜產7_1),/")=0,

令g(x)=/'(x)=2(xe*7-1),所以g，(x)=2(2%2+l)e'2-1>0,

所以g(x)在R上單調遞增，且了”)=0,

則在(―,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

所以2aN/(l)=-l,a>-1.

17.(2024?福建泉州?模擬預測)若曲線y=x2與y=*?H0)恰有兩條公切線，則/的取值范圍為()

A../JB.C.(-8,0)D|/,+<?JD.(-oo,0)u|—I

【答案】A

【分析】設曲線y=fe*切點為加,re"),y=公的切點為,求出切線方程，根據(jù)有兩條公

切線轉化為方程具有兩個解，構造函數(shù)利用導數(shù)求解取值范圍，判斷選項.

【詳解】設曲線y=fe*切點為"(加Je"),y=d的切點為，

則曲線y=fe”在點M("/e'")處的切線方程為y-tem=tem,即y=tem(x-/7i)+tem,

同理，y=f在點處的切線方程為y=2nx-n2,

根據(jù)y=渣與y=/有兩條公切線,

tem—In(te"'?4m—4

則，，所以沿"一根沿"=—-,化簡可得『=------具有兩個交點,

=-〃212Je'"

A.P/J—4Ay—4

轉化為?=---有兩個解，構造函數(shù)/(x)=--—則尸(x)=》,

當x<2,f'(x)>0,單調遞增；當x>2,f'(x)<0,單調遞減,

故/(%)在％=2時有極大值即為最大值，故/(2)=/，

當元f—00時，當元—+00時，0,

故。的取值范圍為

【鞏固練習1X23-24高三.江西吉安?期末)函數(shù)/a)=