第18章勾股定理義務(wù)教育滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)18.2勾股定理的逆定理思考1.據(jù)說，幾千年前的古埃及人就已經(jīng)知道，在一根繩子上連續(xù)打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后，用釘子將第1個(gè)與第13個(gè)結(jié)釘在一起，拉緊繩子，再在第4個(gè)和第8個(gè)結(jié)處各釘上一個(gè)釘子，如圖18－6.這樣圍成的三角形中，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角就是直角.2.用圓規(guī)、直尺作△ABC，使AB

＝5，AC

＝4，BC

＝3，如圖18－7，量一量∠C，

它是90°嗎?為什么用上面三條線段圍成的三角形，就一定是直角三角形呢?

勾股定理的逆定理?如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.例題例1根據(jù)下列三角形的三邊a，b，c的值，判斷△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪條邊所對(duì)的角是直角.(1)a

＝7，b

＝24，c

＝25；(2)a

＝7，b

＝8，c＝11.(1)a

＝7，b

＝24，c

＝25；∵最大邊是c＝25，c2

＝625，a2

＋b2

＝72

＋242

＝625.∴a2

＋b2

＝c2∴△ABC

是直角三角形，最大邊c

所對(duì)的角是直角.(2)a

＝7，b

＝8，c＝11.∵最大邊是c＝11，c2

＝121，a2

＋b2

＝72

＋82

＝113.∴a2

＋b2

≠c2∴△ABC

不是直角三角形.例2已知：在△ABC

中，三條邊長(zhǎng)分別為a

＝n2－1，b＝2n，c

＝n2＋1(n

＞1).求證：△ABC為直角三角形.證明∵a2

＋b2

＝(n2

－1)2

＋(2n)2

＝n4

－2n2

＋1＋4n2

＝n4＋2n2

＋1＝(n2

＋1)2

＝c2∴△ABC

為直角三角形.(股定理的逆定理)能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)度的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).練習(xí)1.判斷下列三邊組成的三角形是不是直角三角形：(1)a

＝2，b

＝3，c

＝4.()(2)a

＝9，b

＝7，c

＝12.()(3)a

＝25，

b

＝20，c

＝15.()???2.除3，4，5外，再寫出3組勾股數(shù).6，8，10；5，12，13；9，40，41.答案不唯一3.在△ABC中，三邊長(zhǎng)a，b，c

滿足(a＋c)(a－c)＝b2，

則△ABC是什么三角形?∵△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足：(a＋c)(a－c)＝b2，∴a2－c2＝b2.即a2

＝b2＋c2∴△ABC是直角三角形.4.給你一根帶有刻度的皮尺，你如何用它來判斷方桌面

的角是直角?用皮尺測(cè)量方桌面的兩鄰邊及對(duì)角線的長(zhǎng)，看是否符合勾股定理的逆定理。如滿足則桌面的角是直角，反之則不是。習(xí)題18.21.以三角形三邊為邊分別向形外作正方形，正方形的面積分別是25，15，40，判斷此三角形的形狀.設(shè)三角形的三邊分別是a，b，c，則a2＝25，b2＝15，c2＝40.∵25＋15＝40，∴a2＋b2＝c2.∴此三角形是直角三角形.2.已知：△ABC的三邊長(zhǎng)為a＝9cm，b＝40cm，c

＝41cm.求△ABC的面積.

3.已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B

＝90°，AB

＝3，BC

＝4、CD

＝12、AD

＝13.求四邊形ABCD

的面積.

4.已知：在△ABC中，AB

＝13cm，BC

＝10cm，BC邊

上的中線AD

＝12cm.求證AB

＝AC.

∴BD2

＋AD2

＝52

＋122

＝25＋144＝169＝132

＝AB2即BD2

＋AD2

＝AB2∴△ABD是直角三角形∴∠ADB

＝90°∴AD⊥BC∵BD

＝CD∴AD是線段BC的垂直平分線∴AB

＝

AC.

6.在△ABC中，AB

＝c，BC

＝a，AC

＝b，若a∶b∶c

＝9∶15∶12.試判斷△ABC

是不是直角三角形.∵

a∶b∶c

＝9∶15∶12，∴可以假設(shè)a

＝9k，b＝15k，c＝12k，∴a2＋c2＝(9k)2＋(12k)2

＝(15k)2

＝b2，∴△ABC是直角三角形.7.已知：AD為△ABC的高.

求證：AB2

－

AC2

＝BD2

－CD2.如圖，∵AD為△ABC的高，∴∠ADB

＝∠ADC

＝90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得AB2

＝AD2

＋

BD2，AC2

＝

AD2＋CD2∴AB2

－

AC2

＝(AD2

＋

BD2)－(AD2＋CD2)

＝

BD2－CD2即AB2－AC2

＝BD2－CD2.閱讀與思考兩點(diǎn)之間的距離公式如果數(shù)軸上的點(diǎn)A1，A2

分別表示實(shí)數(shù)x1，x2，兩點(diǎn)A1，A2間的距離記作|A1A2|，那么|A1A2|＝|x2－x1

|.對(duì)于平面上的兩點(diǎn)A1，A2

間的距離是否有類似的結(jié)論呢?運(yùn)用勾股定理，就可以推出平面上兩點(diǎn)之間的距離公式.問題1如圖18－8，平面上兩點(diǎn)A(3，0)，B(0，4)，如何計(jì)算A，B兩點(diǎn)之間的距離|

AB|?問題2如圖18－9，平面上兩點(diǎn)A(1，2)，B(5，5)，如何計(jì)算這兩點(diǎn)之間的距離|

AB|?

問題3一般地，設(shè)平面上任意兩點(diǎn)A(x1，y1)和B(x2，y2)，如圖18－10.

如何計(jì)算A，B兩點(diǎn)之間的距離|

AB|?對(duì)于問題3，作AA′⊥x軸，BB′⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)A′，B′；作AA′′⊥y軸，垂足為A′′；B′A′A′′作BC⊥AA′，垂足為點(diǎn)C，且延長(zhǎng)BC與y軸交于點(diǎn)B，則四邊形BB′A′C，ACB′′A′′是長(zhǎng)方形.B′A′A′′B′′C∵|CA|＝______＝______，|CB|＝______＝______，∴|AB|2＝|CB|2＋|CA|2＝__________________.

這就是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式.思考求下列兩點(diǎn)之間的距離：(1)A(－1，2)，B(－5，－6)；(2)A(1，－5)，B(7，3).數(shù)學(xué)史話2002年，世界數(shù)學(xué)家大會(huì)(ICM－2002)在北京召開，大會(huì)的會(huì)徽如圖18－11.這個(gè)會(huì)徽是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理所作的“弦圖”為原型設(shè)計(jì)的.據(jù)《周醉算經(jīng)》記載，西周初期周公與大夫商高討論勾股測(cè)量的對(duì)話中，商高答周公問時(shí)提到“勾廣三，股修四，徑隅五”，這是勾股定理的特例.同書稍后，另一處敘述周公后人榮方與陳子關(guān)于如何測(cè)太陽高度的對(duì)話中，則表述了勾股定理的一般形式：“······以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日.”1955年希臘發(fā)行了一張郵票(圖18－12)，郵票上印有關(guān)于勾股定理證明的圖案，用來紀(jì)念古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在文化上的貢獻(xiàn).相傳，畢氏在發(fā)現(xiàn)這一定理時(shí)，曾宰牛百頭，廣設(shè)盛筵，以示慶賀.據(jù)文獻(xiàn)記載，在巴比倫、埃及和印度這些文明古國(guó)，也很早都知道應(yīng)用這個(gè)定理了.對(duì)勾股定理的研究,遍及世界許多地方、各種文化背景及各個(gè)歷史時(shí)期.這個(gè)定理的證法之多,在幾何學(xué)中也是罕見的.歐幾里得在他的《原本》中提供了一種最早的書面證法，其證法如下：如圖18－13，在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，

AC＝b.以△ABC的三邊為邊分別向形外作正方形ABDE，BCFG，ACHK，再作CL⊥ED，垂足為點(diǎn)L，且交AB

于點(diǎn)N，連接KB，CE.

又∵

△ABK≌△AEC，(SAS)∴S長(zhǎng)方形AELN＝

b2.同理：S長(zhǎng)方形BDLE＝

a2.a2＋b2＝S長(zhǎng)方形BDLE＋S長(zhǎng)方形AELN＝S長(zhǎng)方形ABDE＝c2.公元3世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在注《周鄙算經(jīng)》中就給出了它的一個(gè)簡(jiǎn)明證法.他把“弦圖”(圖18－14)中的三角形涂上朱色，它的面積叫做“朱實(shí)”.四個(gè)這樣的三角形圍成一個(gè)正方形中間留出一個(gè)小正方形空格，涂上黃色，其面積叫做“中黃實(shí)”或叫做“差實(shí)