溫州市2025屆高三學(xué)業(yè)水平評(píng)估數(shù)學(xué)試題

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(—1,1),則母=

A.—1+2B.—1—iC.iD.l+i

2.已知空間向量五=(1,0,0)石=(0,1,0),則下列向量可以與五,3構(gòu)成空間向量的一組基底

的是

A.c=(0,0,0)B.c=(0,0,1)C,c=(1,1,0)D.c=(1,2,0)

3.圓心為且與拋物線才=4力的準(zhǔn)線相切的圓的方程是

A.(力+1)2+(g+=4B.(6+1)2+(g+=3

C.(力一1y+日—通)2=4D.(力-1)2+3—")2=3

4.已知4名學(xué)生的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)分別為98,110,館,120,且上四分位數(shù)為H8,則m=

A.115B.116C.117D.118

5.已知數(shù)列｛%｝滿足的=—《,」——L=2,則數(shù)列｛%｝中的最小項(xiàng)為

◎^n+lOn

A..012B.CZ>3C.tZ>4D.O>5

6.在△48。中，角ABC所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知$111>1=春,_8=24,6=8,則。=

O

A.4B.5C.羋D.筌

/OO

7.如圖所示，“田”字型方格是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成為其中的4個(gè)格點(diǎn),

在9個(gè)格點(diǎn)中依次取不同的兩點(diǎn)PQ,則概率等于］的事件是

A.PQ-AB=8B.<FQ,AB>=45°

C.PQ-GD=0D.在|弱|=出條件下，的〃臣5

8.已知函數(shù)/(工)=log(a+1)x-logax與gQ)=(a+1尸+

Q*(Q>0且QWI)在(0,+co)上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍

是

A.仙—]C.D.[^1,+8

。，1

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分.

9.已知實(shí)數(shù)a,b滿足a>I">0,則

22

A.Q>bB.a>—6C.a>bD.—

ab

10.將下列平面四邊形AB。。中的△ABD沿對(duì)角線BD翻折成△ABD,使二面角A-BD

-。為直二面角，其中四面體ABCD的外接球的半徑等于2的是

CD

11.給定nCN+,若集合PU{1,2,3,-??,n),且存在a,b,c,deP,滿足a<b&c<d,b—a=

d—c,則稱P為“廣義等差集合”.記P的元素個(gè)數(shù)為|P|,則

A.{1,2,3}是“廣義等差集合”

B.{134,6}是“廣義等差集合”

C.若P不是“廣義等差集合"，當(dāng)九=8時(shí)，的最大值為4

D.若P不是“廣義等差集合"，若\P\的最大值為4,則"可以是13

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

626

12.已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式：(1—2a;)=a0++a2xH----Fa6/,則&3=

13.若角a的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)f后經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(-3,4)，則sin(a-舟=______

o\O/

14.已知P為橢圓5+方=/(a>b>0)上一點(diǎn)，鳥(niǎo),鳥(niǎo)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，直線PK

交U軸于點(diǎn)Q,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|QE|=\PF2\=QP|,則橢圓的離心率等于

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)已知函數(shù)/(二)=—ar+21na:在土=1處的切線垂直于,軸.

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

(2)求函數(shù)的極小值.

16.(15分)為了研究某市高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高的關(guān)聯(lián)性,抽取了200名高三年級(jí)的學(xué)

生,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，整理得到如下列聯(lián)表，并畫(huà)出身高的頻率分布直方圖：

頻率閾距

身高0(X50

性別合計(jì)U.網(wǎng)

低于170cm不低于170cm

0.032

女m200.030

男n0.015

500.008

0.005

合計(jì)

2000150155160165170175180185身胤單曲?)

⑴根據(jù)身高的頻率分布直方圖，求列聯(lián)表中神，口的值；

(2)依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高是否低于

170cm有關(guān)聯(lián)？

(3)用樣本頻率估計(jì)總體的概率，在全市不低于170cm的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，其中不低于

175cm的人數(shù)記為X,求X的期望.

n(ad—be)2

附：r9=---------------------------------------

八(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=a0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

17.(15分)如圖，已知四棱錐P-ABCD中，頂點(diǎn)P在底面ABCD上的射影"落在線段

上(不含端點(diǎn))，底面ABCD為直角梯形，ADIIBC,

AB±AD,

AB=2,BC=2AD=2V2.

⑴求證：BD_L平面PA。；

(2)若二面角A—BC—P的大小為a,直線PC與平面

ABGD所成的角為從

第17題圖

⑴求分的值；

iidblip

(w)當(dāng)Q=60°時(shí)，求P4的最小值.

2/

18.(17分)已知雙曲線。:號(hào)—去=l(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)/(2,2)，其漸近線的方程為y=

ab

±2x.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)2("=2,3,…)：過(guò)右支上點(diǎn)2T作斜率為1的直線與。的

左支交于點(diǎn)Qn-l,過(guò)Qn-l再作斜率為—1的直線與。的右支交于點(diǎn)2(彩,%).

(1)求雙曲線。的方程；

⑵用吃,外表示點(diǎn)Qn―1的坐標(biāo)；

⑶求證:數(shù)列｛2xn-%｝是等比數(shù)列.

19.(17分)已知函數(shù)/(工)=sin%+cos，(nC乂).

⑴當(dāng)九=4時(shí)，判斷了(,)的奇偶性；

(2)當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，方程/(乃=靛有解，求功的最小值；

⑶若存在n，使得關(guān)于x的不等式/⑺+a(sin/+cos/)—以>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

溫州市2025屆高三學(xué)業(yè)水平評(píng)估數(shù)學(xué)解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,1),則捻=

A.—1+iB.-1—iC.iD.l+i

【答案】c

由題易知：z=-l+i,則含==i-

故選擇：C

2.已知空間向量3=(1,0,0)]=(0,1,0),則下列向量可以與4石構(gòu)成空間向量的一組基底的是

A.c=(0,0,0)B.c=(0,0,1)C.c=(1,1,0)D.c=(1,2,0)

【答案】B

由基底的定義易知B選項(xiàng)正確.

故選擇：B

3.圓心為(1,8)且與拋物線y2=4比的準(zhǔn)線相切的圓的方程是

22

A.(x+I)2+(y+V3)=4B.(x+I)2+(y+V3)=3

C.(x-l)2+(y-V3)=4D.(x-I)2+(y-V3)=3

【答案】C

拋物線的準(zhǔn)線方程是X=-1,則滿足題意的圓的方程為(x-I)2+(y-V3)=4.

故選擇：C

4.已知4名學(xué)生的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)分別為98,110,叫120,且上四分位數(shù)為118,則6=

A.115B.116C.117D.118

【答案】B

4x75%=3是整數(shù)，所以若圖=118,得m=116.

故選擇：B

11

--

5.已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足％=—52,則數(shù)列｛冊(cè)｝中的最小項(xiàng)為

an

A.B.CI3C.Q4D.

【答案】B

由題意得=-1，。3=-1，所以Vn24,與＞0.

故選擇：B

6.在△4BC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,仇c,已知sinA==24,b=8,則。=

A.-B.5C.—D.—

233

【答案】B

B=2A,貝儲(chǔ)是銳角，則cos力='所以。=霽=%=2=5.

5smbsm2i42cosA

故選擇：B

7.如圖所示，“田”字型方格是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成，

A,B,C,。為其中的4個(gè)格點(diǎn)，在9個(gè)格點(diǎn)中依次取不同的兩點(diǎn)尸,Q,

則概率等于;的事件是

4

A.PQ-AB=8

B.<PQ,AB>=45°

C.PQ-CD=0

D.在|同|=而條件下，PQ//CD

【答案】BD

向量是矢量，有方向有長(zhǎng)度，故有用=72種取法.

A項(xiàng)：PQ-AB=8,\AB\=2V2,故|而|=2魚(yú)且與荏同向，所以P

只能在4Q只能在B一種，所以P=J;

B項(xiàng)：〈而，而〉=45。,而可為圖中：

AF,AC,FC,DG,DI,G/,EH,EB,HB,AD,AE,DE,FH,GH,~CI,CB,TB

18種，所以P=,=%

C項(xiàng)：PQ-CD=0,即而與麗垂直，而可為：AH,HA,FB,BFm,所以P=*=j

7218

D項(xiàng)：在|而|=逐條件下，即所可為

麗，而，麗，而，麗，麗,彳瓦茲，而，灰，萬(wàn),71,厲，司，麗，礪共］6種,

與麗平行有而，瓦，國(guó)而四種，所以P=2="

164

故選擇：BD

zx

8.已知函數(shù)/'(%)=log(a+i)x-log。％與g(x)=(a+l)+a(a>0且a*1)在(0,+8)上都是增

函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(。,另B.用,1)C.(1,*D.等…)

【答案】B

InxIn%In(a)—ln(a+1)

/(x)=logx-logx=^)-——=In%

(a+1)QIiTIInaIna-ln(a+1)

Ina—ln(a+1)pna<0

Ina-ln(a+1)>=(ln(a+1)>0°'

F/a+l\x

g(%)=(a+l)x+ctx,g(%)=(a+l)xln(a+1)+ax\na=ax(-------jln(a+1)+Ina,

只需ln(a+1)4-Ina=ln(a2+a)>0,則小+a—l>0=>aG1).

故選擇：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9.已知實(shí)數(shù)見(jiàn)b滿足a>\b\>0,則

A.a>bB.a>—bC.a2>b2D.->-

ab

【答案】ABC

a>\b\>b,則a>瓦a>-b,故A、B正確；|a|>|b|,則/>按，故C正確；

D項(xiàng)：舉反例，取a=2,b=l,則工故D錯(cuò)誤.

故選擇：ABC

10.將下列平面四邊形4BCD中的△4BD沿對(duì)角線BD翻折成△dBD,使二面角4'-BD-C為直

二面角，其中四面體/BCD的外接球的半徑等于2的是

【答案】ACD

A項(xiàng)：如圖，F(xiàn)=(3-R)2+(b)=R2_6R+12,得R=2,故A正確;

B項(xiàng)：底面半徑丁=#^=2,而R>丁，故B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)：BO中點(diǎn)即球心，R=~BD=2,故C正確；

D項(xiàng)：4。中點(diǎn)即球心半徑r=2,故D正確.

故選擇：ACD

11.給定九6N+,若集合PG{1,2,3,…，九},且存在a,b,c,dGP,滿足a<b<c<d,b—a=d—c,

則稱P為“廣義等差集合”.記P的元素個(gè)數(shù)為|P|,則

A.{1,2,3}是“廣義等差集合”

B.{1,3,4,6}是“廣義等差集合”

C.若P不是“廣義等差集合"，當(dāng)n=8時(shí)，|P|的最大值為4

D.若P不是“廣義等差集合"，若|P|的最大值為4,則n可以是13

【答案】ABC

選項(xiàng)A：a=l,b=c=2,d=3,故A正確；

選項(xiàng)B：a=l,b=3,c=4,d=6=>b—a=d—c=2,故B正確；

選項(xiàng)C：當(dāng)|P|=4時(shí)，取。={1,2,4,8},當(dāng)|P|。5時(shí),={?!，a2,a3,a4,a5},由題意可知，

0.2-,已3—a2,CI4一。3,—兩兩不同?則已5—的=(tZj-a。+(<14-的)+(。3—已2)+

(a2—cii)21+2+3+4=10,矛盾，故C正確；

選項(xiàng)D：當(dāng)n=13時(shí)，取2={1,2,4,8,13},與|P|max=4矛盾！故D錯(cuò)誤.

故選擇：ABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式：(1—2光)6=a°+%%++…+。6抬6,則.

【答案】-160

33333

a3x=Cl■(-2x)-I=20?(-8x)=-160x,所以CI3=-160.

故答案為：-160

13.若角Q的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)g后經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(—3,4),則sin(a—§=.

【答案】|

sin(a—?jiǎng)?sin(a+]一小=-cos(a+其中cos(a+§=-1,所以sin(a—§=|.

故答案為：|

22

14.已知P為橢圓a+>=I(a>b>0)上一點(diǎn)，%,尸2分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，直線P外交y

軸于點(diǎn)Q,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若IQ%]=|P七|=|。尸|,則橢圓的離心率等于.

【答案】噂

PF1+PF2—3m+2m—2a,所以m=|a,所以PH2=4^2—*2="層一12,

P在橢圓上，所以抬+丁匚=1,解得：e=片.

a"5

1

9m2+4m2-4c21V10

另解：cos""=%；---------=-e=—

2-3m-2m45

故答案為：

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)已知函數(shù)f(%)=一Q%+21nx在％=1處的切線垂直于y軸.

(1)求實(shí)數(shù)。的值;

(2)求函數(shù)f(%)的極小值.

解：(1)/(%)=1%2—ax+21nx,求導(dǎo)得/'(%)=%—a+：,

x=1處切線斜率k=f(1)=1—a+2=3—a,由題意知k=0,則3—Q=0,得a=3.

2

(2)/(%)=|x—3%+21nx(x>0)/(%)=%—3+1=久-

當(dāng)0<%<1或%>2時(shí)，/(%)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)1<》V2時(shí)，/(%)<0,/(工)單調(diào)遞減，

因此f(x)極小值為/(2)=-4+21n2.

16.(15分)為了研究某市高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高的關(guān)聯(lián)性，抽取了200名高三年級(jí)的學(xué)

生，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，整理得到如下列聯(lián)表，并畫(huà)出身高的頻率分布直方圖：

身高

性別合計(jì)

低于170st不低于170c/w

女m20

男50n

合計(jì)200

(1)根據(jù)身高的頻率分布直方圖，求列聯(lián)表中租，九的值;

(2)依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高是否低于

170cm有關(guān)聯(lián)?

(3)用樣本頻率估計(jì)總體的概率，在全市不低于170cm的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，其中不低于

175cm的人數(shù)記為X,求X的期望.

2_n(ad—bc')2

附:X(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(z2>K)=a0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：(1)由圖，低于170cm的學(xué)生有200x5x(0.005+0.015+0.030+0.060)=)10名,

則不低于170cm的學(xué)生有90名，從而租=110-50=60,n=90—20=70.

2_200(60x70-20x50)2

(2)X-80x110x120x90x21.5>3.841,

所以可以認(rèn)為高三學(xué)生的性別與身高是否低于170cm有關(guān)聯(lián).

(3)X可取0,1,2,抽中不低于175cm的概率P=荒=3，

16

但。"(擾)￥—福?評(píng)唱飛)。81,

匚匚、(

所以iiE!-?(zX\7)'\=0\x—25+?"lx—40+?c2x—16=-8.

'/8181819

17.(15分)如圖，已知四棱錐P-ABCD中，頂點(diǎn)P在底面4BCD

上的射影H落在線段4c上(不含端點(diǎn))，底面4BCD為直角梯

形，AD//BC,AB1AD,AB=2,BC=2AD=2亞

(1)求證：平面PAC；

(2)若二面角4-BC-P的大小為a,直線PC與平面4BCD所

成的角為從

(i)求毀的值；

tan/?

(ii)當(dāng)a=60。時(shí)，求PA的最小值.

解：(1)由題PH1平面u平面力BCD,所以PH1BD,

因?yàn)榈酌?BCD為直角梯形，所以BD=>JAD2+AB2=46,AC=7AB2+8。=2V3,

將4c沿4。平移，力與D重合，貝IJBC'=2魚(yú)+魚(yú)=3魚(yú),8。'2=+8。2=18,所以4clBD.

又因?yàn)?c1BD,PH1BD,AC,PHu平面ZM&ZCClPH=H,所以BD1平面PAC.

(2)(i)由題tan0=2過(guò)H作BC垂線，垂足為E,連接PE,

HL

所以tana=—,從而=—=——--=V3.

HEta叩HEsin4cB

(ii)以/為原點(diǎn)，以極力D為“軸，以過(guò)4點(diǎn)且垂直于平面/BCD的直線為z軸建系,

貝必(0,0,0),8(2,0,0),。(2,2魚(yú),0),D(0,V2,0),設(shè)P(a,V2a,b)fH(a,V2a,0),

從而加=(a-2,y[2a,b),BC=(0,2魚(yú),0),p

設(shè)平面PBC法向量為元=(x,y,z),

則[.前=0=｛(a-2)x+V2ay+bz=0\\

令x=-b,則元=(一瓦0,a—2),二

而平面4BCD法向量為記=(0,0,1),《

所以cosa=器^=7號(hào)=1,即4(a-2)2=按+(a—2)2=按=3(a-2)2,

|n||m|V^2+(?-2)22

又有|P川=Va2+2a2+b2,代入上式得，\PA\=J3a2+3(a-2)2=V6Va2-2a+2>V6,

所以R4的最小值為巡.

18.(17分)已知雙曲線一，=l(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)Pi(2,2),其漸近線的方程為y=±2x.按

照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)P"O=2,3,…)：過(guò)右支上點(diǎn)Pn_i作斜率為1的直線與C的左支交于點(diǎn)

Q"_l，過(guò)再作斜率為-1的直線與C的右支交于點(diǎn)「九(/，%)?

(1)求雙曲線C的方程；

(2)用%九,為表示點(diǎn)Q九_(tái)i的坐標(biāo)；

(3)求證：數(shù)列｛2/—是等比數(shù)列.

解：⑴由匕一子一，解得6=3所以雙曲線c的方程為《蕓=1.

17一記一11/=12312

(2)過(guò)Pn(xn,yn)斜率是-1的直線方程是x+y=xn+yn,

22

聯(lián)立其與雙曲線方程，有：3x+2(x?+yn)x-(xn+yn)-12=0.

由韋達(dá)定理，其兩根是稅,修，則和,無(wú)n=f'z-2x,?-y“z_i2=r“2-2》;廠4如2,

85

52--

33即點(diǎn)Q九_(tái)i的坐標(biāo)為(一"九一|yA%+?yj.

所以％Q=--xn--yn,yqnn

(3)設(shè)/_i=和+t,yn-i=y(2+力，則

2222

4%n-i-yn-1=4(XQ+t)-(yQ+t)=4.+8txQ+4t一另一2tyQ-t

2

=12+8txQ—2tyQ+3t=12,

解得：t=-+，Q，所以

525/52\2/85\4120

y+

=-3^+3^=-3(-3J3G%+3M=yxn+-y.

858/52、5/85\8041

yx=-/Q