8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解平面的概念,掌握平面的畫法及表示方法.2.能用符號語言描述空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.3.理解三個(gè)基本事實(shí)及其推論,能利用三個(gè)基本事實(shí)及其推論解決相關(guān)問題.【素養(yǎng)達(dá)成】直觀想象直觀想象直觀想象、邏輯推理一、平面1.平面的概念幾何中所說的“平面”,是從生活中的課桌面、黑板面、平靜的水面等抽象出來的.平面是向四周無限延展的.2.平面的畫法(1)水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,如圖①.(2)如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住,為了增強(qiáng)它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫出來.如圖②.3.平面的表示如圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.二、點(diǎn)、直線與平面之間的關(guān)系及符號表示點(diǎn)P在直線l上P∈l點(diǎn)P在平面α外P?α點(diǎn)P在直線l外P?l直線l在平面α內(nèi)l?α點(diǎn)P在平面α內(nèi)P∈α直線l在平面α外l?α【版本交融】(人BP61嘗試與發(fā)現(xiàn))幾何體中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系,能否用數(shù)學(xué)符號來表示?提示:能.點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面用元素與集合的關(guān)系表示,直線與平面用集合間的關(guān)系表示.三、平面的基本事實(shí)及其推論1.基本事實(shí)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面A,B,C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A,B,C∈α基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l【版本交融】(蘇教P163)用兩個(gè)合頁和一把鎖就可以將一扇門固定,將一把直尺置于桌面上,通過是否漏光就能檢查桌面是否平整,為什么?提示:用兩個(gè)合頁和一把鎖就可以將一扇門固定是基于基本事實(shí)1;將一把直尺置于桌面上,通過是否漏光就能檢查桌面是否平整是基于基本事實(shí)2.【版本交融】(人BP93情境與問題)兩個(gè)平面相交時(shí),公共點(diǎn)具有什么特點(diǎn)?提示:公共點(diǎn)都在同一條直線上.2.推論推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面(圖①).推論2經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面(圖②).推論3經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面(圖③).教材深化1.對基本事實(shí)1中的“有且只有一個(gè)”的理解:“有”是說圖形存在,“只有一個(gè)”是說圖形唯一,“且”強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性兩個(gè)方面,因此“有且只有一個(gè)”,必須完整地使用,確定一個(gè)平面中的“確定”是“有且只有一個(gè)”的同義詞.2.三個(gè)基本事實(shí)的作用:基本事實(shí)1:確定平面;基本事實(shí)2:確定直線在平面內(nèi);基本事實(shí)3:確定點(diǎn)共線.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若A∈a,a?α,則A∈α.(√)(2)過三點(diǎn)A,B,C有且只有一個(gè)平面.(×)提示:過不在同一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.(3)一條直線與一個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面.(×)提示:當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)不能確定一個(gè)平面.(4)兩個(gè)不重合的平面可能存在有限個(gè)公共點(diǎn).(×)提示:要么沒有公共點(diǎn),要么有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).類型一平面及點(diǎn)、線、面關(guān)系的符號表示(直觀想象)【典例1】(1)下圖中的兩個(gè)相交平面,其中畫法正確的是__________.(填序號)

【解析】對于①,圖中沒有畫出平面α與平面β的交線,另外圖中的實(shí)、虛線也沒有按照畫法原則去畫,故①的畫法不正確.同理可知②③圖形的畫法不正確,④中圖形的畫法正確.答案:④(2)(教材P128T4改編)用符號表示下列語句,并畫出圖形:①平面α與β相交于直線l,直線a與α,β分別相交于點(diǎn)A,B;②點(diǎn)A,B在平面α內(nèi),直線a與平面α交于點(diǎn)C,點(diǎn)C不在直線AB上.【解析】①用符號表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如圖.②用符號表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C?AB,如圖.【總結(jié)升華】三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形中有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著先用文字語言表示,然后用符號語言表示.(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí),要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.【即學(xué)即練】(多選)下列選項(xiàng)中圖形的畫法正確的是()A.點(diǎn)A在平面α內(nèi)B.直線l在平面α內(nèi)C.直線l交平面α于點(diǎn)PD.三個(gè)平面兩兩相交【解析】選AC.線在面內(nèi),表示直線的線段必須畫在表示平面的平行四邊形內(nèi)部,故B錯誤;三個(gè)平面兩兩相交,有一條交線或者有三條交線,三條交線可能交于同一點(diǎn)也可能互相平行,D選項(xiàng)中沒有三條交線平行的情形,故D錯誤.易知AC正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】根據(jù)下列符號表示的語句,說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,并畫出相應(yīng)的圖形.①l?α,m∩α=A,A?l;②P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α.【解析】①直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線l上,如圖①.②直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q,如圖②.類型二點(diǎn)、線共面問題(直觀想象、邏輯推理)【典例2】(易錯·對對碰)用“共面”“不共面”或“不一定共面”填空:(1)兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線__________;

(2)兩兩相交且過同一點(diǎn)的三條直線__________.

【解析】(1)兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線共面,證明如下:已知:如圖所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求證:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).證明:證法一(納入法):因?yàn)閘1∩l2=A,所以l1和l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3=B,所以B∈l2.又l2?α,所以B∈α.同理可證C∈α.因?yàn)锽∈l3,C∈l3,所以l3?α.所以直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).證法二(重合法):因?yàn)閘1∩l2=A,所以l1,l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3=B,所以l2,l3確定一個(gè)平面β.因?yàn)锳∈l2,l2?α,所以A∈α.因?yàn)锳∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共線的三個(gè)點(diǎn)A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).所以平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).(2)兩兩相交且過同一點(diǎn)的三條直線不一定共面,有以下兩種情況:①這三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)相交,如圖.②這三條直線不共面,如圖.答案:(1)共面(2)不一定共面【總結(jié)升華】證明點(diǎn)、線共面的方法證明點(diǎn)、線共面的主要依據(jù)是基本事實(shí)1、基本事實(shí)2及其推論,常用的方法有:(1)納入法:先由部分直線確定一個(gè)平面,再證明其他直線也在這個(gè)平面內(nèi).(2)重合法:先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi),另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi),再證明兩個(gè)平面重合.【即學(xué)即練】(教材P132T6改編)如圖,已知:a?α,b?α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求證:PQ?α.【證明】因?yàn)镻Q∥a,所以PQ與a確定一個(gè)平面β.所以直線a?β,點(diǎn)P∈β.因?yàn)镻∈b,b?α,所以P∈α.又因?yàn)閍?α,所以α與β重合.所以PQ?α.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,已知直線a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:直線a,b,c和l共面.【證明】因?yàn)閍∥b,所以a,b確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.所以a,b,l都在平面α內(nèi),即b在a,l確定的平面內(nèi).同理可證c在a,l確定的平面內(nèi).因?yàn)檫^a與l只能確定一個(gè)平面,所以a,b,c,l共面于a,l確定的平面.類型三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題(邏輯推理)角度1點(diǎn)共線問題【典例3】如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,A1C∩平面ABC1D1=E.求證:B,E,D1三點(diǎn)共線.【證明】如圖,連接A1B,CD1,BD1,因?yàn)锳1C∩平面ABC1D1=E,所以E∈A1C,E∈平面ABC1D1.因?yàn)锳1C?平面A1BCD1,所以E∈平面A1BCD1.由于平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,根據(jù)基本事實(shí)3可知B,E,D1三點(diǎn)共線.【總結(jié)升華】點(diǎn)共線問題的關(guān)注點(diǎn)(1)主要依據(jù):基本事實(shí)3.(2)證明方法:①首先找出兩個(gè)平面,然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),根據(jù)基本事實(shí)3知這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上;②選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其他點(diǎn)也在這條直線上.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),且直線EH與直線FG交于點(diǎn)O.求證:B,D,O三點(diǎn)共線.【證明】因?yàn)镋∈AB,H∈AD,所以E∈平面ABD,H∈平面ABD.所以EH?平面ABD.因?yàn)镋H∩FG=O,所以O(shè)∈平面ABD.同理O∈平面BCD,即O∈(平面ABD∩平面BCD),所以O(shè)∈BD,即B,D,O三點(diǎn)共線.角度2線共點(diǎn)問題【典例4】如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,B1P=2PA1,C1Q=2QA1.求證:直線AA1,BP,CQ相交于一點(diǎn).【證明】如圖,連接PQ.由B1P=2PA1,C1Q=2QA1,得PQ∥B1C1,且PQ=13B1C1又BC∥B1C1,且BC=B1C1,所以PQ∥BC,且PQ=13BC所以四邊形BCQP為梯形,所以直線BP,CQ相交,設(shè)交點(diǎn)為R,則R∈BP,R∈CQ.又BP?平面AA1B1B,CQ?平面AA1C1C,所以R∈平面AA1B1B,且R∈平面AA1C1C,所以R在平面AA1B1B與平面AA1C1C的交線上,即R∈AA1,所以直線AA1,BP,CQ相交于一點(diǎn).【總結(jié)升華】證明三線共點(diǎn)的思路先證兩條直線交于一點(diǎn),再證明第三條直線經(jīng)過這一