專題01線段中雙（多）中點(diǎn)模型

線段是初中幾何的入門知識(shí)，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問(wèn)題出發(fā)，先

由線段和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)來(lái)解決。但是，對(duì)于有公共部分的線段雙中點(diǎn)模型，可以寫

出的線段和差種類較多，這就增加了思考的難度。

目錄導(dǎo)航］

目錄

模型1.線段中的雙中點(diǎn)模型

模型解讀

線段雙中點(diǎn)模型：兩線段在同一直線上且有一個(gè)共同的端點(diǎn)，求這兩條線段的中點(diǎn)距離的模型我們稱之為

線段的雙中點(diǎn)模型。

模型證明

條件：點(diǎn)M、N分別為線段A3、的中點(diǎn)，結(jié)論：MN=-AC.

2

證明：①當(dāng)點(diǎn)5在線段AC上，如圖1,

AMBNC

圖1

N分別為A3、的中點(diǎn),

ABM=-AB;BN’BC；

22

?；MN=BM+BN,

②當(dāng)點(diǎn)B在線段AC的延長(zhǎng)線上，如圖2,

AMCNB

圖2

N分別為48、BC的中點(diǎn),

/.BM^-AB-,BN==BC;

22

,:MN=BM-BN,

1111

W=-AB--BC=-（AB-BC）=-AC

③當(dāng)點(diǎn)B在線段CA的延長(zhǎng)線上

BMAN

圖3

N分別為AB、8c的中點(diǎn),

11

；?BM=—AB;BN=—BC;

22

,:MN=BN-BM,

=一也乙回一網(wǎng).AC;

模型運(yùn)用

例1.已知點(diǎn)AB,C都在同一條直線上，AB=38C,D,E分別為AC,BC的中點(diǎn).若以=6,則AC的長(zhǎng)為.

【答案】8或16/16或8

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題主要考查與中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計(jì)算，分兩種情況：點(diǎn)C在點(diǎn)8的左邊時(shí)，點(diǎn)C在點(diǎn)B的右

邊時(shí)，再根據(jù)相應(yīng)線段的關(guān)系進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)8的左邊時(shí)，如圖所示.

IIIII

ADCEB

團(tuán)3E分別為AC,3C的中點(diǎn)，

^DC=AD=^AC,CE=BE=~BC,

^DE=DC+CE,DE=6,

0-AC+-BC=6,

22

0AC+BC=12,即AB=12.

團(tuán)AB=3BC,

團(tuán)5C=4,

^AC=AB-BC=8；

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊時(shí)，如圖所示.

IIIII

ADBEC

HD,E分別為AGBC的中點(diǎn)，

SDC=AD=-AC,CE=BE=-BC.

22

團(tuán)DE=DC—CE,DE=6,

^\-AC--BC=6,

22

^\AC-BC=12.

回AB=AC—BC,

國(guó)AB=12.

回AB=3BC,

0BC=4,

^AC=AB+BC=16.

綜上所述，AC的長(zhǎng)為8或16,

故答案為：8或16.

例2.如圖，一條線段A8:5C:CD=3:2:4,E,尸分別是線段A民8的中點(diǎn)，且￡F=22cm,則線段BC的

長(zhǎng)為.

I____________I________________I________________________I_______________________I_______________________I

AEBCFD

【答案】8的/8厘米

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差

【分析】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離，關(guān)鍵是根據(jù)線段關(guān)系設(shè)未知數(shù)求解.設(shè)AB=3k,BC=2k,CD=4k,

由點(diǎn)E,尸分別是AB,。的中點(diǎn)可得E3,CF的長(zhǎng)，已知EF=22cm,可列方程解得左的值，可得BC的

長(zhǎng).

【詳解】解：AS:3C:CD=3:2:4,n\^AB=3k,BC=2k,CD=4k,

「點(diǎn)E,歹分別是AB,CD的中點(diǎn)，

13”1

二.EB=-AB=—,CF=-CD=2k,

222

3“11”

EF=EB+BC+CF=——+2k+2k=—,

22

又?EF=22cm,

11”

.-.—=22,解得攵=4,

BC=Ik=2x4=8(cm),

即線段5C的長(zhǎng)為8cm.

故答案為：8cm.

例3.如下圖，C為線段AB上一點(diǎn)，M為AC的中點(diǎn)，N為5c的中點(diǎn)，其中AC=8,AC<BC.若D為BC

上一點(diǎn)，且滿足2cD=BN-4,試說(shuō)明：。是線段MN的中點(diǎn).

AMCDNB

IIII??

【答案】說(shuō)明見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、兩點(diǎn)間的距離、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查線段的中點(diǎn)，線段的和差，由線段的中點(diǎn)定義及線段的和差得地=4+CD,再根據(jù)線段

中點(diǎn)的定義及2CD=8N-4表示出￡W=CD+4,即可說(shuō)明問(wèn)題.解題的關(guān)鍵是理解線段的中點(diǎn)定義：一條

線段的中點(diǎn)只有一個(gè)；某一點(diǎn)要成為一條線段的中點(diǎn)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：點(diǎn)必須在這條線段上；它把

這條線段分為相等的兩條線段.

【詳解】解：回M為AC的中點(diǎn)，AC=8,

HMC=-AC=-X8=4,

22

SMD=MC+CD=4+CD,

S2CD^BN-4,

SBN=2CD+4,

回N為BC的中點(diǎn),

?CN=NB=2CD+4,

國(guó)DN=CN—CD=2CD+4—CD=CD+4,

^MD=DN,

由題意及圖形知：點(diǎn)。在線段MN上，

即。是線段MN的中點(diǎn).

例4.如圖，A,B,C,。是直線/上的四個(gè)點(diǎn)，M,N分別是AB,C。的中點(diǎn).

MN

f1ftftI1J

ABCD

⑴如果MB=2cm,NC=1.8cm,BC=5cm,則AD的長(zhǎng)為cm；

（2）如果MN=10cm,BC=6cm,則AD的長(zhǎng)為cm；

（3）如果肱V=a,BC=b,求AD的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴12.6；

⑵14；

（3）2a-b,見(jiàn)解析.

【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】（1）根據(jù)線段的和，可得（M8+CN）的長(zhǎng)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得與MB的關(guān)系，CD與CN

的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；

（2）先根據(jù)線段的和與差，計(jì)算出3M+CN的長(zhǎng)，再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得48與MB的關(guān)系，CD與

CN的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；

（3）根據(jù)（2）的解題過(guò)程，即可解答；

此題主要考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的計(jì)算，理解線段中點(diǎn)的定義，熟練掌握線段的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：0MB=2cm,NC=1.8cm,

07WB+?/C=3.8（cm）,

,N分別是42,8的中點(diǎn)，

^AB=2BM,CD=2CN,

回AB+CD=2BM+2CN=2（+CN）=7.6（cm）,

0AD=AB+CD+BC=7.6+5=12.6（cm）,

故答案為：12.6：

（2）解：ElMN=10cm,BC=6cm,

0BM+C7V=ACV-BC=lO-6=4（cm）,

0M,N分別是48,CD的中點(diǎn)，

^AB^2BM,CD=2CN,

團(tuán)AB+CD=23"+2C7V=2（3"+CZV）=8（cm）,

0AD=AB+CD+BC=8+6=14（cm）,

故答案為：14；

（3）解：SMN=a,BC=b,

SBM+CN=a-b,

0M,N分別是48,8的中點(diǎn)，

^AB=2BM,CD=2CN,

團(tuán)AB+CD=2BM+2CN=2（BM+CN）,

團(tuán)AB+CD=2（a—,

0AD=AB+CD+BC,

SAD=2^a—b^+b=2a—2b+b—2a—b.

模型2.線段中的多中點(diǎn)模型

模型解讀

條件：如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MV=2a,第1次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)、

3?,第2次操作:分別取線段4%和AM的中點(diǎn)A/?,%；第3次操作:分別取線段AM?和AN?的中點(diǎn)AG，

N,；…連續(xù)這樣操作〃次，結(jié)論：MN=

AN3M3N2M2N\M[NM

模型證明

證明：?.?"]、V是AM和AN的中點(diǎn),

AM.=~AM,AN,=-AN,

22

/.MN=；AM.AN=；MN=a,

,:M?生是4必和AM的中點(diǎn)，

/.AM,=-AM.,AN,=-AN,,

22

M2N2=-^AMX——ANt=—MlNl=—?,

VM3,M是41%和4%的中點(diǎn)，

AM3=|AM2,AN3,

...發(fā)現(xiàn)規(guī)律：M“N”=(gj

M3N3=1A?2-^AN2=^M2N2=^a=^\-a,-a,

模型運(yùn)用

例1.如圖，圖中數(shù)軸的單位長(zhǎng)度為1.若原點(diǎn)。為48的四等分點(diǎn)，則C點(diǎn)代表的數(shù)為

ACB

▲...▲,..▲▲▲4A.

【答案】-3或-1或1

【知識(shí)點(diǎn)】線段〃等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)

【分析】根據(jù)線段的四等分點(diǎn)有3個(gè)，分三種情況并結(jié)合圖形即可得出答案.

【詳解】解：回圖中數(shù)軸的單位長(zhǎng)度為1,

0A5=8,

①如圖，當(dāng)點(diǎn)0靠近點(diǎn)A時(shí)，

團(tuán)原點(diǎn)。為的四等分點(diǎn)，

0AO=—AB=—x8=2,

44

團(tuán)C點(diǎn)代表的數(shù)為1；

ACB

0

②如圖，當(dāng)點(diǎn)。恰好是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，

團(tuán)原點(diǎn)。為的四等分點(diǎn)，

團(tuán)AO=-AB=—x8=4,

22

團(tuán)。點(diǎn)代表的數(shù)為-1;

ACB

③如圖，當(dāng)點(diǎn)。靠近點(diǎn)3時(shí),

回原點(diǎn)。為AB的四等分點(diǎn)，

0OB=-AB=-x8=2,

44

團(tuán)C點(diǎn)代表的數(shù)為-3；

4CR

O

綜上所述，C點(diǎn)代表的數(shù)為-3或-1或1,

故答案為：-3或-1或1.

【點(diǎn)睛】本題考查線段的四等分點(diǎn)，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，運(yùn)用了分類討論

的思想.解題的關(guān)鍵是掌握線段的四等分點(diǎn)的定義：把一條線段平均分成4份.

例2.如圖，完全重合的兩個(gè)等邊VABC、等邊,OEF的邊BC、E尸都在數(shù)軸上，點(diǎn)、B、C在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)

的數(shù)分別為3、9.若將VABC向左平移機(jī)個(gè)單位，DER向右平移加個(gè)單位.當(dāng)點(diǎn)E、C為線段班■的三

等分點(diǎn)時(shí)，則加的值為.

【知識(shí)點(diǎn)】利用平移的性質(zhì)求解、等邊三角形的性質(zhì)、線段”等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、幾何問(wèn)題（一元一次方程

的應(yīng)用）

【分析】根據(jù)題意可知3c=6,再根據(jù)分點(diǎn)E、C的位置不同，兩種情況來(lái)考慮，根據(jù)線段間的關(guān)系結(jié)合

3C=6即可得出關(guān)于機(jī)的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論.

【詳解】解：回點(diǎn)8、C在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為3、9,

0BC=6,即等邊三角形的邊長(zhǎng)為6,

EIVABC向左平移抑個(gè)單位，QEF向右平移加個(gè)單位，

團(tuán)點(diǎn)E、C是線段所的三等分點(diǎn)分兩種情況：

①點(diǎn)E在點(diǎn)C的左邊時(shí)，如圖所示，

團(tuán)E、C是線段B尸的三等分點(diǎn)，

團(tuán)BE=EC=CF,

團(tuán)BC=6,BE=2"i,

02m+2m=6,

3

解得：m=j；

②點(diǎn)E在點(diǎn)C的右邊時(shí)，如圖所示，

EIE、C是線段5F的三等分點(diǎn)，

團(tuán)BC=EC=EF=6,

團(tuán)BC=6,BE=2m,

S2m=6x2,

解得：m=6；

3

綜上可知：.當(dāng)點(diǎn)E、。為線段所的三等分點(diǎn)時(shí)，則相的值為萬(wàn)或6.

3

故答案為：|?或6.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三條邊都相等.也考查了平移的性質(zhì)、數(shù)軸上兩點(diǎn)之

間的距離、三等分點(diǎn)的意義和一元一次方程的應(yīng)用.運(yùn)用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.

例3.如圖，將線段延長(zhǎng)到點(diǎn)C,使=延長(zhǎng)3C到點(diǎn)。，使=延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E,使

44

DE=-CD.

4

?IIII

ABCDE

⑴若AB=64cm,求AE的長(zhǎng)；

⑵若AE=340cm,求A5的長(zhǎng).

【答案】（1）85cm

⑵256cm

【知識(shí)點(diǎn)】線段〃等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、幾何問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)

【分析】本題主要考出來(lái)線段的和差計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用：

(1)先求出3C=！A5=16cm,進(jìn)而求出。工3C=4cm,則。E=』CO=lcm,由此即可得到

444

AE=AB+BC+CD+DE=85cm；

(2)設(shè)AB=xcm,貝ljBC=」xcm,CD=—xcmDE=—xcm,根據(jù)題意，x+—x+—x+—x=340,

4166441664

解方程即可得到答案.

【詳解】(1)解：0BC=-AB,AB=64cm

4

團(tuán)BC=—AB=16cm,

4

團(tuán)CO」5C=4cm,

4

團(tuán)DE=—CD=1cm,

4

團(tuán)AE=43+BC+CD+DE=64+16+4+l=85(cm).

(2)解：設(shè)A5=xcm,則,CD=—BC=—xcm,DE=—CD=—xcm.

44416464

根據(jù)題意，+—x+—x+—x=340,

41664

解得尤=256.

回AB的長(zhǎng)為256cm.

例4.小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：

如圖1,點(diǎn)C在線段上，M,N分別是AC,2C的中點(diǎn).若A5=6,AC=2,求MN的長(zhǎng).

111II

AMCNB

圖1

iiiii

AMCNB

圖2

⑴根據(jù)題意，小明求得MN=.

⑵小明在求解(1)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)"N的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開(kāi)始

深入探究.

設(shè)=C是線段A3上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)，小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答.

①如圖1,M,N分別是AC,BC的中點(diǎn)，則肱V=.

②如圖2,M,N分別是AC,BC的三等分點(diǎn)，即AM=；AC,BN=；BC,求"N的長(zhǎng).

③若N分別是AC,8C的〃(“22)等分點(diǎn)，即AM=』AC,BN=-BC,則肱V=.

nn

【答案】⑴3

⑵①卜；②'fa；?——a

23n

【知識(shí)點(diǎn)】線段之間的數(shù)量關(guān)系、線段〃等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差

【分析】(1)由AB=6,AC=2,nBC=AB-AC=4,根據(jù)Af,N分別是AC,BC的中點(diǎn)，即得CM=

-AC=1,CN=-BC=2,故MN=CM+CN=3；

22

(2)①由M,N分別是AC,BC的中點(diǎn)，知AC,CN^-BC,即得放V=1AC+工BC=1力B,

22222

故ACV=-a；

2

ii22222

②由=—AC,3N=—3C,知CM=—AC,CN=-8C,即得MV=CM+CN=-AC+—BC=-2B,

3333333

2

故肱V=-a；

3

x-x11n—1R—1H—1ri—1

③由/VW=—AC,BN=—BC,知CM=——AC,CN=——BC,即得A￡V=CM+GV=——AC+——

nnnnnn

BC=—AB,故MN="a.

nn

【詳解】(1)解：AB=6,AC=2,

:.BC^AB-AC^4,

M,N分別是AC,BC的中點(diǎn)，

..CM」AC=1,CN=LBC=2,

22

:.MN=CM+CN=3；

故答案為：3；

(2)解：①M(fèi),N分別是AC,BC的中點(diǎn),

AC,CN、BC,

22

.,.MN=—AC+—BC=—AB,

222

AB=a,

二.MN=-a；

2

故答案為：—a；

②AM=^AC,BN=；BC,

22

:,CM=-AC,CN=-BC,

33

222

:.MN=CM+CN=—AC+—BC=—AB,

333

,AB=a,

2

.'.MN=—a；

3

③AM^~AC,BN、BC,

nn

n—1n—\

:.CM=——AC,CN=——BC,

nn

n—1n—1n—1

:.MN=CM+CN=——AC+——BC=——AB,

nnn

,AB=a,

n—1

MN=-----a9

n

故答案為：—~-a.

n

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算.

習(xí)題練模型

一、單選題

1.如圖，C是線段48上一點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，N是3C的中點(diǎn)，若AM=1,BC=4,則MN的長(zhǎng)度為（）

AM-CNB

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了線段的和差，有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算；

由線段中點(diǎn)的定義得MC=AM=1，NC=2,由線段的和差得MN=MC+NC,即可求解.

【詳解】解：M是AC的中點(diǎn)，N是3C的中點(diǎn)，

:.MC=AM=1,CN=-BC=2,

2

:.MN=MC+CN=\+2=3,

故選：A.

2.如圖，點(diǎn)A、B、。在同一直線上，H為AC的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法:

?MN=HC,?MN=^（AC+HB）,③MH=g（AH-HB）,@HN=g（HC+HB）

其中正確的有（）

〔A11Al

AMHRNC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，線段和差，由H為AC的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，

則A〃=CH=；AC,AM=BM=；AB,BN=CN：BC,然后結(jié)合圖形，進(jìn)行計(jì)算，即可判斷，掌握線段

L乙乙

中點(diǎn)的概念和性質(zhì)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

【詳解】回京為AC的中點(diǎn)，M為4B的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，

^AH=CH=-AC,AM=BM=-AB,BN=CN=-BC,

222

回初V=MB+8N=；（A8+BC）=；AC,

@MN=HC,①正確，②錯(cuò)誤；

-HB）=；（AB-BH-BH）=MB-HB=MH,③正確；

；（HC+HB）=；（BC+HB+HB）=BN+HB=HN,④正確，

綜上可知：①③④正確，共3個(gè)，

故選：C.

3.如圖，有公共端點(diǎn)P的兩條線段MP,NP組成一條折線尸-N,若該折線/-尸-N上一點(diǎn)。把這

條折線分成相等的兩部分,我們把這個(gè)點(diǎn)。叫做這條折線的"折中點(diǎn)"，已知點(diǎn)O是折線A-c-3的"折中點(diǎn)”,

點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，CD=3,CE=5,則線段2C的長(zhǎng)為（）

C.4或8D4或16

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了新定義，線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，線段的和差；①當(dāng)。在線段AC上時(shí)，由線段的和差

得DE=CE-CD,AD^AE+DE,由新定義得3C+CD=AD,即可求解；②當(dāng)。在線段2C上時(shí)，同理

可求；理解新定義，能熟練用線段和差表示所求線段是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①當(dāng)。在線段AC上時(shí)，如圖，

1?點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn),

A

..AE=CE=5,

:.DE=CE-CD

=5-3

=2,

.,.AD=AE+DE

=5+2

=7,

點(diǎn)D是折線A—C—6的〃折中點(diǎn)〃,

:.BC+CD=AD,

BC+3=7,

:.BC=4；

②當(dāng)O在線段BC上時(shí)，如圖,

JD

B

,,點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn),

Az

AC=2C石=10,

..AC+CD

=10+3

=13,

；點(diǎn)。是折線A—C-3的"折中點(diǎn)”，

:.BD=13,

:.BC=CD+BD,

=3+13

=16；

二線段BC的長(zhǎng)為4或16；

故選：D.

4.若線段A4=2,在線段A4的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)使&是AA的中點(diǎn)；在線段AA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)

4,使人是444的中點(diǎn)；在線段的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)A，使4是AA的中點(diǎn)；…這樣操作下去，則線段

^024^025的長(zhǎng)度為（）

A.22021B.22022C.22023D.22024

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，找出題目中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，找出題目

中的規(guī)律求出44=2"、因此44。25=22必，進(jìn)而中點(diǎn)的定義即可解答.

【詳解】解：回44=2,4是44的中點(diǎn)，

0A[4=2A]Aj=4=2°.

0A4=22>A3是AA4的中點(diǎn)，

13AAt=244=8=23.

0A4=23,A4是AA的中點(diǎn),

團(tuán)AA=2AA4=16=24,

團(tuán)A4=2〃T,

0A^O25=22024.

04(124是A4025的中點(diǎn),

回40244025=?A4025=g*2^=22°23.

故選：c.

二、填空題

5.如圖，若CB=4cm,DB=7cm,C,。兩點(diǎn)在線段AB上，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)為cm.

IllI

ADCB

【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計(jì)算，先求出CD的長(zhǎng)，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出AC

的長(zhǎng)，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系求出A8的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：0CB=4cm,DB-7cm,

團(tuán)CD=DB—CB=3cm,

團(tuán)點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

0AC=2CD=6cm,

團(tuán)AB=AC+BC=10cm,

故答案為：10.

6.如圖，B、在線段AC上，BD=；AB=：CD,線段AB、CD的中點(diǎn)￡、尸之間距離是10cm,則48=

cm.

■iiiii

AEDBFC

【答案】12

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段之間的數(shù)量關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離

【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離和中點(diǎn)的定義，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想.先設(shè)8D=xcm,

由題意得AB=3xcm,CD=4xcm,AC=6xcm,再根據(jù)中點(diǎn)的定義，用含x的式子表示出AE和CT,再根

據(jù)石尸=AC—AE—CF=2.5x,且E、尸之間距離是10cm,所以2.5x=10,解方程求得x的值，即可求A5,

CD的長(zhǎng).

【詳解】解：設(shè)5D=xcm,則AB=3xcm,CD=4xcm,AC=6xcm,

??點(diǎn)七、點(diǎn)尸分別為AB、CD的中點(diǎn)，「.AE=』A5=1.5xcm,CF=-CD=2xcm,

22

:.EF=AC-AE-CF=2.5xcm,

EF=10cm,

團(tuán)2.5x=10,

角軍得：X=4,

團(tuán)AB=12cm.

故答案為：12.

7.線段AB=1,。是A3的中點(diǎn)，。2是G3的中點(diǎn)，。3是的中點(diǎn)，O’是。3^的中點(diǎn)：依此類推……，線

段AC2024的長(zhǎng)為.

IIIII

ACiC2C3B

【答案】1-

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、求兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)字類規(guī)律探究，能根據(jù)求出的結(jié)果得出

規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

先分別求出GB、C°B、C'B的值，根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)榫€段AB=1,。是AB的中點(diǎn)，

所以QB=gAB=gxl=g；

因?yàn)镚是CjB的中點(diǎn)，

所以GB=#B=；xg=!；

因?yàn)镃3是CzB的中點(diǎn)，

所以68=38=*;參

…9

所以GO243=￡^，

所以472024=.一。20243=1-，

故答案為：

8.如圖，有公共端點(diǎn)P的兩條線段PM,PN組成一條折線”一尸―N.若該折線上一點(diǎn)。把這條折線分成

相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)。叫作這條折線的"折中點(diǎn)”.已知點(diǎn)。是折線A-C-3的"折中點(diǎn)"，點(diǎn)E為

線段AC的中點(diǎn)，8=4,CE=6,則線段3C的長(zhǎng)是.

PQN

【答案】20或4

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查與線段的中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，分點(diǎn)。在線段上，點(diǎn)。在線段AC上，兩種情況進(jìn)行討論

求解即可.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)Z）在線段上時(shí)，如圖：

AK

由題意，得：AC=2CE=12,AC+CD=8D,

回比＞=12+4=16,

0BC=CD+SD=2O；

當(dāng)點(diǎn)。在線段AC上時(shí)，如圖：

則AC=2CE=12,AD=8C+8,

EIAD=AC—CD=8,

0BC+CE>=8,

!3BC=8-4=4;

故答案為：20或4.

三、解答題

9.如圖，已知點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，AC=12,CB=gAC,點(diǎn)。、E分別為線段AC、的中點(diǎn)，

IIIII

ADECB

⑴求線段AE的長(zhǎng)；

⑵求線段OE的長(zhǎng).

【答案】⑴AE=8；

(2)DE=2.

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離.

(1)先根據(jù)題意得出2C及A8的長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)的定義得出線段AE的長(zhǎng)；

(2)根據(jù)中點(diǎn)的定義得出線段AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：0AC=12,CB=|AC,

133c=4,

回AB=AC+CB=16,

EIE為AB的中點(diǎn)，

0AE=-AB=8；

2

(2)解：回。為AC的中點(diǎn)，

0AD=-AC=6,

2

'3\DE=AE-AD=2.

10.如圖，點(diǎn)C是線段A3的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段2C的中點(diǎn)，線段80=6.

AECDB

⑴求線段AB的長(zhǎng)；

(2)如果點(diǎn)E在線段AC上，且AC=3EC,求線段ED的長(zhǎng).

【答案】⑴AB=24

⑵￡。=10

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段w等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，線段”等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于利用數(shù)形結(jié)合的思想

解決問(wèn)題.

(1)根據(jù)線段中點(diǎn)的特點(diǎn)得到對(duì)應(yīng)線段之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解，即可解題；

(2)根據(jù)AC=3EC得到EC的長(zhǎng)，再根據(jù)￡E>=EC+CD求解，即可解題.

【詳解】(1)解：點(diǎn)。是線段8C的中點(diǎn)，線段8。=6,

:.BC=2BD=12,

點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，

:.AB=2BC=24；

(2)解：由(1)得AC=8C=12,CD=BD=6,

AC=3EC,

:.EC=4,

:.ED=EC+CD=10.

11.如圖，A,B,C,。是直線/上的四個(gè)點(diǎn)，M,N分別是AS,C。的中點(diǎn).

I__________I_____I_____I______________I11______

AMBCND

(1)如果MB=2cm,NC=1.8cm,BC=5cm,則A。的長(zhǎng)為cm；

(2)如果肱V=10cm,BC=6cm,則AD的長(zhǎng)為cm.

(3汝口果肱V=a,BC=b,求AD的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴12.6；

⑵14；

(3)2a-b,見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】此題主要考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的計(jì)算，理解線段中點(diǎn)的定義，熟練掌握線段的計(jì)算是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)線段的和，可得(MB+CV)的長(zhǎng)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得A3與MB的關(guān)系，CD與CN的關(guān)

系，根據(jù)線段的和，可得答案；

(2)先根據(jù)線段的和與差，計(jì)算出3M+CN的長(zhǎng)，再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得A3與MB的關(guān)系，CD與

CN的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；

(3)根據(jù)(2)的解題過(guò)程，即可解答；

【詳解】(1)解：0MB=2cm,A?C=1.8cm,

SMB+NC=3.8（cm）,

團(tuán)M,N分別是AB,CD的中點(diǎn)，

^AB=1BM,CD=2CN,

BAB+CD^2BM+2CN=2（RW+CN）=7.6（cm）,

國(guó)4。=AB+CD+3C=7.6+5=12.6（cm）,

故答案為：12.6；

（2）解：0MN=10cm,BC=6cm,

0BAf+OV=MV-BC=lO-6=4（cm）,

團(tuán)M,N分別是AB,CD的中點(diǎn)，

SAB^2BM,CD=2CN,

0AB+CD=2BAf+2OV=2（BAf+C7V）=8（cm）,

0AD=AB+CD+BC=8+6=14（cm）,

故答案為：14；

（3）解：回MN-a,BC=b,

SBM+CN=a-b,

0M,N分別是48,CD的中點(diǎn)，

^AB=2BM,CD=2CN,

@AB+CD=2BM+2CN=2（BM+CN）,

S\AB+CD=2（a-b）,

^\AD=AB+CD+BC,

SiAD-2^a-b^+b=2a-2b+b-2a-b.

12.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A、B表示的有理數(shù)分別為一10、5,點(diǎn)尸是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、3重合）,

點(diǎn)M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是線段靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

AR

―木0-1~5r

AB

~HO0~1~5*

備用圖

（1）若點(diǎn)尸表示的有理數(shù)是0,那么MV的長(zhǎng)為；若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是1,那么肱V的長(zhǎng)為.

（2）點(diǎn)尸在射線48上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、B重合）的過(guò)程中，的長(zhǎng)是否發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)求出

的長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）10,10；（2）的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生改變，且MN=10.

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、整式的加減運(yùn)算、線段〃等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】（1）由點(diǎn)P表示的有理數(shù)為0可得出AP、8P的長(zhǎng)度，根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可得出MP、NP的長(zhǎng)

度，再由即可求出的長(zhǎng)度；當(dāng)點(diǎn)尸表示的有理數(shù)為1時(shí)，利用同樣的方法求解即可；

（2）設(shè)點(diǎn)尸表示的有理數(shù)是。（。＞-10且85）,分-10＜。＜5及。＞5兩種情況考慮，由點(diǎn)尸表示的有

理數(shù)可得出AP、8P的長(zhǎng)度（用含字母。的代數(shù)式表示），根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可得出MP、NP的長(zhǎng)度（用

含字母。的代數(shù)式表示），再由MN=MP+NP（或MN=MP-NP）,即可求出MN的長(zhǎng)，進(jìn)而可作出判斷.

【詳解】解：（1）若點(diǎn)尸表示的有理數(shù)是0,則AP=10,BP=5.

回河是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段8P靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

220210

SMP=—AP=——，NP=—BP=——，

3333

2010

0MN=MP+NP=——+—=10；

33

若點(diǎn)尸表示的有理數(shù)是1,則AP=11,BP=4.

回河是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段8P靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，

22228

回MP=—AP=——，NP=-BP=-,

3333

228

出MN=MP+NP=—+-=10.

33

故答案為：10,10；

（2）的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生改變，理由如下：

設(shè)點(diǎn)尸表示的有理數(shù)是a（〃＞-10且〃工5）.

當(dāng)-10＜〃＜5時(shí)，如圖1,AP=q+10,BP=5-a.

團(tuán)M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

2222

團(tuán)MP=§AP=H（4+10）,NP=—BP=—（5-a）f

22

^1MN=MP+NP=-（6z+10）+y（5-a）=10；

A■iMipaN1B

-105

圖I

當(dāng)〃>5時(shí)（如圖2）,AP=a+10fBP=a-5.

是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

2222

[WP=yAP=y（41+10）,NP=-BP=-（a-5）,

22

回MN=MP-NP=-（（2+10）--（a-5）=10.

綜上所述：點(diǎn)尸在射線AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A,B重合）的過(guò)程中，的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化，且為定值10.

AMBNP

」上Ail,

?10圖25

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離、線段三等分點(diǎn)的概念和整式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)三

等分點(diǎn)的定義表示出MP、NP的長(zhǎng)度；（2）分-10<a<5及。>5兩種情況求出MP、NP的長(zhǎng)度（用含字

母。的代數(shù)式表示）.

13.點(diǎn)C在線段48上，BC=2AC.

（1）如圖1,P,。兩點(diǎn)同時(shí)從C,8出發(fā)，分別以lcm/s,2cm/s的速度沿直線A8向左運(yùn)動(dòng)；

III]I

APCQB

圖1

_____???______

ACB

圖2

AP

①在P還未到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，7石的值為」

MN

②當(dāng)。在P右側(cè)時(shí)（點(diǎn)。與C不重合），取尸。中點(diǎn)C0的中點(diǎn)是N,求的值；

（2）若。是直線A8上一點(diǎn)，且-2。=:。.則當(dāng)?shù)闹禐橐?

2AB

?1?_______

ACB

備用圖

Ap1144父父

【答案】（1）①而=5；②7；（2）汗或1或77或可

【知識(shí)點(diǎn)】線段”等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段之間的數(shù)量關(guān)系、與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【分析】（1）由線段的和差關(guān)系，以及。2=2PC,BC=2AC,即可求解；

（2）設(shè)AC=x,貝|BC=2x,0X8=3無(wú)，。點(diǎn)分四種位置進(jìn)行討論，①當(dāng)。在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，②當(dāng)。在AC之

間時(shí)，③當(dāng)￡）在BC之間時(shí)，④當(dāng)。在3的右側(cè)時(shí)求解即可.

【詳解】解：（1）@AP=AC-PC,CQ=CB-QB,

5\BC-2AC,P、。速度分別為lc?i/s、2cm/s,

SQB=2PC,

^CQ=2AC-2PC=2AP,

?-A-P-—1

"CQ2

②設(shè)運(yùn)動(dòng)，秒

PC=tcm,BQ=Item

分兩種情況

A。在C右側(cè)，

M,N分別是P。，CQ的中點(diǎn)

：.MQ=^PQ,NQ=；CQ,

:.MN=MQ-NQ=；PQ-；CQ=；(PQ-CQ)=；PCJ

t

AMN_2_1

QB~2t~4

5:。在C左側(cè),

M,N分別是尸。，C。的中點(diǎn)

.■.MQ=^PQ,NQ=^CQ,

:.MD=MQ+NQ=^PQ+^CQ=^(PQ+CQ)=^PC=^

t

...MN_2_1

~QB~2t~4

(2)0BC=2AC.

設(shè)AOx,則

[?L4B=3x,

①當(dāng)。在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，

IAD-BD|=BD-AD=AB=gCD,

回C￡)=6x,

BD8x8

團(tuán)=—=—；

AB3x3

②當(dāng)。在AC之間時(shí)，

\AD-BD\=BD-AD^CD,

S2x+CD-x+CD=^CD,

3

x^—CD（不成立），

2

③當(dāng)。在BC之間時(shí)，

|AD-BD\=AD-BD=|CD,

[Ex+CZ）-2x+CZ）=萬(wàn)CD,

CD=—x,

3

4

_3X_4；

AB-3x一9

|AD-BD|=BD-AD=；CD,

B2x-CD-x-CD=^CD,

：.CD=-x

5

8

?處=天；

"AB3x

④當(dāng)。在2的右側(cè)時(shí)，

\AD-BD\=BD-AD=^CD,

^Q.x-CD-x-CD=~^CD,

CD=6xf

BD4x4

團(tuán)---————.

AB3x3

綜上所述，的值為，或,或[或2

AB93153

【點(diǎn)睛】題考查線段的和差問(wèn)題，距離與絕對(duì)值的關(guān)系，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.畫好線段圖，分類討論是解決本題的

關(guān)鍵.

14.如圖1,數(shù)軸上48兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是-1和3,將這兩點(diǎn)在數(shù)軸上以相同的速度同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，若

A,3分別到達(dá)N兩點(diǎn)（我們用A8表示以點(diǎn)A、點(diǎn)5為端點(diǎn)的線段的長(zhǎng)，MN、表示的含義以此

類推），且滿足=（左為正整數(shù)），我們稱A5兩點(diǎn)完成了一次〃準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)〃.如圖2若它們按照原來(lái)

的速度和方向繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，分別到達(dá)知2，生兩點(diǎn)，且滿足加=血2愀（左為正整數(shù)）我們稱AB兩點(diǎn)完成

了二次"準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)

,、，LG，T，箕.，二.十:%，3

-S-4-3-2-I0|2345-$-4-3-2-101234567

ffll圖2

⑴若A,B兩點(diǎn)完成了一次"準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)

①當(dāng)左=2時(shí)，M,N兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為一、_；

②當(dāng)上為任意正整數(shù)時(shí)，求M,N兩點(diǎn)表示的數(shù)；

(2)如圖2所示，若A,8兩點(diǎn)完成了兩次"準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)"，并分別到達(dá)知2，生兩點(diǎn)，若左不變，求A1?,N2

兩點(diǎn)所表示的數(shù)(用含左的式子表示)；

(3)若A,8兩點(diǎn)完成了〃次"準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)"，并分別到達(dá)”兩點(diǎn)，當(dāng)左=2時(shí)是否存在點(diǎn)用“，使其表示的

數(shù)為65?如果存在，求完成的次數(shù)"和此時(shí)點(diǎn)M所表示的數(shù)；如果不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴①5,-3；②M點(diǎn)為2k+l,N點(diǎn)為"2k

(2)必為。-2的,%為(1+2左2)

(3)存在，w為5,2為-63

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、數(shù)字類規(guī)律探索、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】(1)①由題意可得AM=BN,從而得到AN=&W,再由MN=2AB,可得

MN=2x4=8,NA=BM=2,即可求解；②根據(jù)肱V=fc4B,可得MN=4k,NA=BM=k-1,即可.

(2)由(