專題7-2線性規(guī)劃與不等式應(yīng)用

目錄

【題型一】畫(huà)圖求面積..................................................................2

【題型二】畫(huà)圖：含參..................................................................4

【題型三】線性：z=ax+by..............................................................................................................................6

【題型四】距離型......................................................................9

【題型五】斜率型......................................................................11

【題型六】不等式組含參型.............................................................15

【題型七】線性目標(biāo)含參...............................................................17

【題型八】最優(yōu)解無(wú)數(shù)個(gè)型.............................................................20

【題型九】含絕對(duì)值型.................................................................22

【題型十】均值型.....................................................................25

【題型十一】向量型...................................................................26

【題型十二】與函數(shù)結(jié)合型.............................................................29

【題型十三】與概率命題等結(jié)合綜合應(yīng)用.................................................32

【題型十四】雙最值求參型.............................................................33

真題再現(xiàn)..............................................................................35

模擬檢測(cè)..............................................................................42

綜述：

線性規(guī)劃在新課標(biāo)老高考中，最近幾年以容易題形式出現(xiàn)?？疾炀€性z=ax+by形式較多。屬于基礎(chǔ)題。所

以要把z=ax+by中a、b分別為正負(fù)的基礎(chǔ)形式練習(xí)好。

線性規(guī)劃綜合問(wèn)題中，幾種常見(jiàn)形式有：

①截距型：z=ax+by,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a?在，軸截距的問(wèn)題；

V=——X+—

bb

②斜率型：z=三，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為(元,y)與S，。)連線斜率的問(wèn)題；

③兩點(diǎn)間距離型：z=(x-a)2+(y-b)2,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為(x,y)與兩點(diǎn)間距離的平方的問(wèn)題；

④點(diǎn)到直線距離型：Z=IAx+珍+C],將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（x,y）到直線4+助+C=0的距離的4TF倍的問(wèn)

題.

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】畫(huà)圖求面積

【典例分析】

2x+y-2<0

（2022?浙江浙江?高三階段練習(xí)）若滿足約束條件1-y-GO，則點(diǎn)尸（九,2y）所在區(qū)域的面積S=（

y+l>0

33

A.—B.—C.1D.3

24

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)P（尤,2y）所在區(qū)域面積是點(diǎn)。（x,y）區(qū)域面積的2倍，求出點(diǎn)。伍y）區(qū)域的面積即可.

【詳解】易知點(diǎn)P（x,2y）所在區(qū)域面積是點(diǎn)。（％y）區(qū)域面積的2倍.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

畫(huà)圖時(shí)，要注意所求約束條件的點(diǎn)的坐標(biāo)形式。如（x,y）與（a+b,a-b）的轉(zhuǎn)化

【變式演練】

x—y+120

1.（2022?安徽?定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)高三階段練習(xí)）不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（）

23

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】畫(huà)出可行域,不等式組表示的區(qū)域?yàn)橹苯侨切蜛3C,求出面積即可.

【詳解】畫(huà)出可行域,如圖陰影部分為直角三角形ABC,

其中8C=AC=2,則面積為S=2x2+2=2故選：B

2.(2021?江西?蘆溪中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試(理))已知集合A=[(尤,y)|(y-x)(y-：)20：,

B={(x,y)|(x-l)2+(y-l)2wi},則A3所表示平面圖形的面積為()

人兀。兀C71f71八2兀

A.—B.一C.一或一D.—

24423

【答案】A

【分析】由集合A,3的元素滿足的條件，找出如圖所示的陰影部分，再利用圓和函數(shù)>=工的對(duì)稱

JQ

性即可求出面積.

22

【詳解】解：由5={(x,?)|(x-l)+(y-l)?l},可知集合5表示的圖形是以(U)為圓心，1為半徑的圓面.

y..x%x

由二)..得＜

(y-%)(yo,1,或＜1。

y…一%~

X

???集合彳P所表示的平面圖形如圖所示的陰影部分：

由于圓和函數(shù)y=:的對(duì)稱性可知：圓面的陰影部分的面積和剩下的部分面積相等，故與影=；萬(wàn).

故選：A.

[l<x+y<3

3.(2018?全國(guó)?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不等式組八表示圖形的面積等于

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】畫(huà)圖可行域，可得對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎叫?，利用交點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算得正方形的邊長(zhǎng)，由此計(jì)算得圖像

的面積.

【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，

對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BC。，其中A(0,1),￡)(1,0),邊長(zhǎng)4。=應(yīng)，則正方形的面積S=0■義應(yīng)=2.

故選B.

【題型二】畫(huà)圖：含參

【典例分析】

x+y<4

(2022?河南?模擬預(yù)測(cè)(文))已知不等式組<依->>5,表示的平面區(qū)域不包含點(diǎn)(3,1)則實(shí)數(shù)。的取值范

x+ay>2

圍是()

A.B.(-oo,2]C.[2,+oo)D.(―1,+co)

【答案】B

【分析】由題意列不等式組，即可求解.

x+y<4

【詳解】因?yàn)椴坏仁浇My>5,表示的平面區(qū)域不包含點(diǎn)(3,1),

x+ay>2

所以紜-1W5或3+〃<2,解得：〃”故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

含參討論，注意參數(shù)所在位置，對(duì)不等式區(qū)域的影響。

一般情況下，不等式組中，參數(shù)在X系數(shù)位置，y系數(shù)位置，和常數(shù)系數(shù)位置，可以借助代特殊值法

來(lái)研究?？梢员苊夥爆嵉姆诸愑懻?。

【變式演練】

/、\x-ay>0

1.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)(文))已知尸依+3與函數(shù)/(x)=21nx+5相切，則不等式組1+(4+1),>0

確定的平面區(qū)域在f+y2=24內(nèi)的面積為()

A.12兀B.6兀C.3兀D.2兀

【答案】c

2

尸(%)=二=。

入0

【解析】設(shè)切點(diǎn)為（尤0,%）,可得/%=%+3解方程可得。=2,然后作出不等式組在V+y2=24內(nèi)

y0=2lnx0+5

的區(qū)域，再利用扇形的面積公式即可求解.

2

f'M=—=a

xo

【詳解】由丫=依+3與函數(shù)〃x）=21nx+5相切，設(shè)切點(diǎn)為（毛,%）,貝小%=axo+3，解得4=2,

%=2lnxQ+5

所以不等式組為匕[x—32y5>。0

則不等式組確定的平面區(qū)域在V+y2=24內(nèi)的面積為陰影部分,

所以陰影部分的面積為：S=（x￡xR2=！x￡x24=37r.故選：C

2424

x<0

2.（2019?浙江?高三專題練習(xí)）若關(guān)于工，》的不等式組卜+丁>0,表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形

kx-y+l>0

區(qū)域，則其表示的區(qū)域面積為（）

A.1或;B.5或9C.1或!D.:或!

424228

【答案】B

尤W0

【分析】由已知可知，若不等式組，x+yzo表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域，則％=?；蝮?1,

kx-y+\>Q

由此作出可行域，代入三角形面積公式得答案.

尤W0

【詳解】解：???不等式組，x+yNO表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域，

kx-y+l>0

x<0

由約束條件，尤+>2。作出平面區(qū)域如圖，

Ax-y+l>0

y

x少一1:0

當(dāng)A=1時(shí)，平面區(qū)域?yàn)橐越茿為直角的等腰直角三角形，面積為』'也乂也=!；

2224

當(dāng)人=0時(shí)，平面區(qū)域?yàn)橐越荁為直角的等腰直角三角形，面積為］xlxl=g.

22

故選B.

x>0

3.(2017.福建?閩侯縣第二中學(xué)高二期中(理))已知〃>0,不等式組<^<0表示的平面區(qū)域面積為2,

y>a(x-2)

則。的值為

A.-B.5C.1D.2

42

【答案】c

【詳解】分析：先作可行域，根據(jù)直角三角形面積求a的值.

x>0

詳解：作可行域，因?yàn)椴坏仁浇M，y4。表示的平面區(qū)域?yàn)橹苯侨切危詆x2x2a=2，a=l

y>6r(x-2)

選C.

【題型三】線性：z=ax+by

【典例分析】

2x+y-5>0

(2022.四川省成都市第八中學(xué)校高三階段練習(xí)(理))已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件丁-1(0,則

x+2y-7<0

z=-3%+y的最大值為（）.

A.3B.0C.-5D.-7

【答案】B

【分析】先作出約束條件所表示的可行域，再結(jié)合圖像即可求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.

2x+y-5>0

【詳解】根據(jù)題意，作出，x-y-iw。所表示的可行域，如圖，其中A（2,l）,8（3,2）,C（l,3）,

x+2^-7<0

而z=-3x+y表示平行直線y=3x+z經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)過(guò)截距為z,

當(dāng)z=-3x+y經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（l,3）時(shí)，截距最大，即z取得最大值z(mì)=—3xl+3=O.

故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

形如2=6+勿，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為v=_?x+=在y軸截距的問(wèn)題。要注意斜率正負(fù)，截距與z的正反比

bb

例關(guān)系。

【變式演練】

x+y-2?0

1.（2021.陜西.安康市教學(xué)研究室高一期末）已知X,y滿足約束條件X-%。，貝!Jz=2x+y的最大值

X..0

為（）

A.0B.2C.3D.4

【答案】c

【4析】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解作答.

x+y-2<0

【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示（陰影部分）：

x>Q

平移直線2%+y=0,當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，直線在>軸上的截距最大,

即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取得最大值，聯(lián)立《+；_2=0,解得A?！梗?，

故目標(biāo)函數(shù)z=2尤+y的最大值為z=2xl+l=3.故選：C.

x+2y>\

2..已知變量x,y滿足約束條件,x-yW1,則z=x-3y的最小值為（）

y-l<0

A.2B.-4C.-3D.-2

【答案】B

1z1

【分析】先作出可行域，由Z=x-3y,得y=作出直線y=向上平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取

得最小值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)可求得結(jié)果.

x+2y>l

【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，

y—1<0

1T1

由2=無(wú)一3y,得y=作出直線y=向上平移過(guò)點(diǎn)A時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值,

\x=-l

，得，，即

由1I[y=l

所以z=x-3y的最小值為_(kāi)l_3xl=T,

x+y>2

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足，x-"2,則z=x-2y（）

0<y<3

A.最小值為-7,最大值為2B.最小值為-2,最大值為7

C.最小值為-7,無(wú)最大值D.最大值為2,無(wú)最小值

【答案】c

【分析】作出可行域，利用平移法即可求出目標(biāo)函數(shù)的最大最小值.

【詳解】作出可行域，如圖所示陰影部分:

z的取值越小，當(dāng)直線往上平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-1,3)時(shí)，z取最小值,

此時(shí)z1111n=-1-2X3=-7,當(dāng)直線往下平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)3(2,0)時(shí)，z=2,因?yàn)樵擖c(diǎn)取不到，所以z無(wú)法取到

最大值，即z=^-2y的最小值為一7,無(wú)最大值.

故選：C.

【題型四】距離型

【典例分析】

2x-y+2>0

(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))如果點(diǎn)在平面區(qū)域卜-2y+lW0上，則Y+丁+2》的最小值是()

x+y-2<0

49

A.-B.-C.1D.2

55

【答案】A

【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再根據(jù)V+y2+2y表示的幾何意義即可求得答案.

2x-y+2>0

【詳解】如圖，作出卜-2》+1工0表示的平面區(qū)域，圖中，ABC區(qū)域，

x+y-2<0

.0\x—2y+l=0

即Y+y2+2y表示的是p?y)和定點(diǎn)Q(0,_l)的距離的平方減去1,由圖可知，聯(lián)立)八，解得

[x+y—2=0

A(l,l),而B(niǎo)(T,0),則|30=至下=0,|40="^夢(mèng)=6，Q到直線AB的距離為4="=乎，

亭〈拒〈君，

2

故當(dāng)PQ垂直于AB時(shí)，\PQ\最小，則/+/+2丫的最小值為軍-l=g,故選：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

形如：z=(x-a)2+(y-b)2,可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a,、)與兩點(diǎn)間距離的平方的問(wèn)題。需要注意的

是,如果配方后有常數(shù)，則需要多走一步。如z=(xi)2+(y-b『+t=d2+t,d=J(x-a)，+(i)2。

距離型也可以轉(zhuǎn)化為“動(dòng)圓”型來(lái)解釋。

距離型還要注意，最值處是“到點(diǎn)的距離”，還是“到線的距離”

【變式演練】

x<2

1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件<yTW0,則z=爐+丁的最小值為()

x+2y-2>0

A.氈B.-C.旦D.-

5555

【答案】B

【分析】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，由z=x2+V的幾何意義，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的最小即可.

x<2

【詳解】作出不等式組7-140所表示的區(qū)域如下圖：則Z=/+y2的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)

x+2y-2>0

的距離的平方，

由圖象知，。點(diǎn)到直線無(wú)+2y-2=0的距離最小，由點(diǎn)到直線距離公式，可得d2;正,所以

712+225

/q

的最小值

為()

A.1B.立C.叵D.也

23

【答案】B

【分析】畫(huà)出可行域，而z=J(x-iy+y2的幾何意義表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)”(1,0)的距離,觀察圖可知z

的最小值即為點(diǎn)M到直線尤-，=0的距離，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可

【詳解】可行域如圖

z=7(%-1)2+/的幾何意義表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)^(1,0)的距離，

所以由圖可知z的最小值即為點(diǎn)M到直線無(wú)7=。的距離=

A/22

故選：B.

2y—x—2<0

3.(2022?云南師大附中高三階段練習(xí)(理))設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件<4x+3y-12W0,則目標(biāo)函數(shù)

x+2y+2>0

Z=(x-4y+(y一2)2的最小值為()

A.40B.2C.4D.6

［答案］c

【彳析】畫(huà)出可行域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的距離的平方即可

【詳解】約束條件所滿足的區(qū)域如圖所示

目標(biāo)函數(shù)2=(*-4)2+()；_2)2的幾何意義是點(diǎn)(4,2)到區(qū)域內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的距離的平方

由圖知此最小值為以點(diǎn)(4,2)為圓心，與直線4x+3y-12=。相切的圓的半徑的平方

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求得圓心到直線的距離為r=^=|4^4+^3-12|=)

故最小值為4

故選：C.

【題型五】斜率型

【典例分析】

x+y<4

（2022?甘肅.瓜州一中高三期中（文））已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸（S"）在不等式組卜-yNO表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊

y>0

界上運(yùn)動(dòng)，則Z=〃一73的最小值（）

m-5

A.4B.-C.-D.3

33

【答案】B

〃一3

【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,明確z=24表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.

m-j

【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,如圖陰影部分：

由圖可知當(dāng)連線經(jīng)過(guò)區(qū)域內(nèi)的A點(diǎn)時(shí)，斜率最小，即z=—九一3取到最小值；

m-5

（x+y=43-21n-31

解可得A（2,2）,此時(shí)％，即z==的最小值為：，故選：B

[x-y=O5-23m-53

【提分秘籍】

基本規(guī)律

_y-b

形如z-二，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（用力與（”力）連線斜率的問(wèn)題。要注意以下幾點(diǎn)

bb

1.如果分子分母x,y有系數(shù)，提出來(lái)再用斜率型。如2=生心=2—上=2k。k=—二

x—ax—ax—a

2.注意斜率的范圍，與傾斜角的關(guān)系。簡(jiǎn)單稱之為“直線旋轉(zhuǎn)”時(shí)斜率的范圍。

【變式演練】

x+l>0

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x,y滿足的約束條件x+y+120,貝的取值范圍是（）

x-y-2<0

A.[-3,1）B.（-oo,-3]J（l,+co）

C.[-3,3]D.（一8,-3].[3,—）

【答案】B

【分析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解作答.

x+l>0

13

【詳解】作出約束條件x+y+120表示的可行域，如圖中陰影區(qū)域，其中點(diǎn)A（T0）,B（w，-R,

x—y—2W0一一

Z=2+3

?》表示可行域內(nèi)的點(diǎn)a，）與定點(diǎn)尸（°，-3）確定直線/

的斜率左,

過(guò)點(diǎn)尸的直線平行于直線尤->-2=0,其斜率為-1,過(guò)點(diǎn)P的直線由經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-l,0）,其斜率為-3,

直線/從直線/。（不含直線繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線4的位置，直線4均符合條件，貝IUW-3或%>1,

所以z=5的取值范圍是（口，-引1（1,+8）.故選：B

x

x-y+120

2=工的取值范圍為（）

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)無(wú)，y滿足尤+y-120,則目標(biāo)函數(shù)

3x-y-3<0

A.(-oo,-1][3,+00)B.(―oo,—3]o[1,+oo)

C.[-1,3]D.[-3,1]

【答案】B

【分析】作出可行域，將z=34化簡(jiǎn)為z=—r-看作點(diǎn)

34與可行域內(nèi)點(diǎn)（羽內(nèi)連線的斜率，求解

2

斜率的范圍.

【詳解】作出約束條件的可行域，如圖陰影部分所示,

1

y+-

2

2=答1

x—

其中A(l,0),3(0,l),C(2,3),2表示定點(diǎn)

114

“M4

M

與可行域內(nèi)點(diǎn)連線的斜率，因?yàn)?2

所以Z的取值范圍是(一8,一］3?？?，+8).故選：B

3x+y-3>0

2x+3y-9<0,貝壯=正匕*片2)的

3.(2021.貴州?貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)(理))己知實(shí)數(shù)x,y滿足

x-2y-l<0無(wú)—2

取值范圍是()

A.(^?,0]u(1,3]B.[0,1)|i(l,3]

C.[3,+co)D.[0,1)U[3,-KO)

【答案】C

析】畫(huà)出可行域，根據(jù)斜率型表達(dá)式的取值范圍的求法求得正確答案.

【詳解】^+y-i^-2+y+i3*

z===1+2±l

x-2x-2x-2

表示(x,y)與(2,-1)連線的斜率加1

畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知ze(-oo,l+凝C]U[1+%AC，+Q0).

k=]

Ac-^-^-=^kBC=^^-=-l,所以ze(F,0]33，y)?

J—zz—1

故選：c

【題型六】不等式組含參型

【典例分析】

2x-y>Q

（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)x,y滿足<y>x,且z=3x+y的最大值為8,則實(shí)數(shù)機(jī)的

y<-x+2m

值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

-2無(wú)-”0

【分析】畫(huà)出不等式組，y>x表示的可行域，利用線性規(guī)劃去求實(shí)數(shù)根的值即可.

y<-x+2m

2m4m

表示的可行域如圖所示，。（0,。），B

33

當(dāng)直線y=-3x+z向上平移時(shí)，依次經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,B,A.

故經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z有最大值4機(jī)，由4m=8,得m=2.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

不等式組含參，是“旋轉(zhuǎn)型”還是“平移型”，與參數(shù)位置有關(guān)。要隨時(shí)根據(jù)參數(shù)范圍確定不等式所

對(duì)應(yīng)的范圍區(qū)域。

【變式演練】

x>\

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)（x,y）是不等式組x+y<4表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且目

ax+by+c>0

標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7,最小值為1,則竺竺的值為（）

a

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】C

【分析】作出可行域，把目標(biāo)函數(shù)z=2x+y化為直線y=-2尤+z,利用幾何法判斷出經(jīng)過(guò)8時(shí)，z最小;

經(jīng)過(guò)C時(shí)，z最大.建立方程組，求出小從c的關(guān)系，代入即可求解.

【詳解】把不等式組表示的平面區(qū)域畫(huà)出來(lái).

X=1

（x=l（x=l[ax+by+c-Q<a+

聯(lián)立方程組，求出三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)：由L+y=4解得：[y=3,所以“（1,3）；由[x=l解得」'。

4b+c

x=-----

b-a

a+cx[ax+by+c^Q_4a+c4&+c4a+c.

8（1,；-）Ir-4-A;-4/-T~C（-------，------）

所以b油[X+N-4解得：Ia-b,所以b-aa-b；

把目標(biāo)函數(shù)z=2x+y化為直線y=-2x+z,平移直線，經(jīng)過(guò)8時(shí)，縱截距最小，z最小；經(jīng)過(guò)C時(shí)，縱截

距最大，z最大.

2-￡±￡=1

b[〃+c=Z?Q+Z?+C竺=-2.故選：C

所以

2（4/?+c）+4〃+c_7b=-aan-----a-----

b-aa-b

x-y-3<0,

2.（2021?河南開(kāi)封?高三階段練習(xí)（文））曲線>=2大上存在點(diǎn)（%,y）滿足約束條件<x+y-320,則機(jī)的最小

y<m,

值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】作出可行域和函數(shù)y=2’的圖象，進(jìn)而通過(guò)數(shù)形結(jié)合求得答案.

【詳解】如圖所示，當(dāng)>=2,過(guò)點(diǎn)。時(shí)，機(jī)有最小值.

聯(lián)立>=2'nx+2-3=o,設(shè)〃x）=x+2,—3,易知函數(shù)在R上是增函數(shù)（增+增），且/⑴=0,

[x+y-3=0

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,2）,所以機(jī)的最小值為2.

故選：B.

x>2

3.（2021?河南省杞縣高中高二階段練習(xí)（理））已知實(shí)數(shù)x,y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)z=3x+y

-2x+y+c>0

的最小值為5,則。的值為（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】A

【分析】由約束條件畫(huà)出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)最小值的幾何意義確定其在取最小值時(shí)所過(guò)的點(diǎn)，進(jìn)而求

參數(shù)c的值.

【詳解】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示.

作直線/：y=-3x,平移/可知：當(dāng)x=2,y=4-c時(shí)，z取得最小值,

?*-zmin=3X2+4-C=10-C=5,所以c=5,

故選：A

【題型七】線性目標(biāo)含參

【典例分析】

尤+yNO

(2022.安徽?壽縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)(理))若動(dòng)直線辦->+。=0與區(qū)域有交點(diǎn)，貝匹的最

尤一140

大值為()

A.-1B.-2C.1D.2

［答案］C

【3?析】先求出動(dòng)直線過(guò)的定點(diǎn)，再畫(huà)出可行域，旋轉(zhuǎn)直線即可求出。的最大值.

將動(dòng)直線ax-y+a=0化為。(x+l)-y=0,易知?jiǎng)又本€過(guò)定點(diǎn)(-1,0),又。表示動(dòng)直線在y軸上的截距,

如圖所示，當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)時(shí)，此時(shí)。最大，有。-2+。=0,解得。=1,故”的最大值為1.

故選：C.

【變式演練】

1.(2022?浙江省義烏中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知X，，滿足不等式組一，4°,若依+y中有最大值，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是()

A.—l<a<lB.Q<a<lC.a<-\D.a>\

【答案】A

【5析】根據(jù)題意，作出可行域，然后利用線性規(guī)劃進(jìn)行數(shù)形結(jié)合求解

【詳解】c■等價(jià)于，則可行域如圖所示，令依+y=t,y=-ax+t,

［y<2［y<2

當(dāng)-IWaWl時(shí)，y=-辦+/過(guò)(-3,2)或(1,2)點(diǎn)時(shí)，t能夠取得到最大值，而。在［-1』之外時(shí)，t無(wú)最大值，

故選：A

y

2.

x-2y<2,

（2021?河南洛陽(yáng)?高二階段練習(xí)（文））設(shè)x,y滿足約束條件，2尤-y22,,若z=x-q取得最大值的最優(yōu)

x+j<4,

解不唯一，則a的值為（）

A.-1B.-1或2C.2D.-工或1

2

【答案】B

【分析】先畫(huà)出可行區(qū)域，再根據(jù)z=x-做取得最大值的最優(yōu)解不唯一即可求解.

17

【詳解】作出不等式組所表示的可行域，如圖所示，由2=工-沖，得y=一三.

aa

1z

由圖可知，當(dāng)。<。時(shí)，直線>=—X與直線無(wú)+y=4重合，此時(shí)a=—l；

aa

]z

當(dāng)〃>0時(shí)，直線y=—x——與直線1—2丁=2重合，止匕時(shí)〃=2.故選：B.

aa

x>l

3.（2022?浙江?高三開(kāi)學(xué)考試）若實(shí)數(shù)％,V滿足約束條件<x+yW2,若2%+yW機(jī)恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的

x-2y<4

取值范圍為（）

141411

A.m>一B.m<—C.m>—D.m<—

3322

【答案】A

【分析】作出滿足約束條件的可行域，由2x+y<機(jī)恒成立轉(zhuǎn)化為m>（2x+y）1mx,結(jié)合可行域求出2x+y的

最大值可得答案.

X>1

【詳解】作出滿足約束條件x+y<2的可行域如圖所示:

Jx+y=2

平移直線2%+k°到點(diǎn)A時(shí)，2%+,有最大值，止匕時(shí)由2y=4得

8

x=—

3

=_2/8_2^