專題44二次函數(shù)中的特殊四邊形問題

【題型演練】

一、解答題

1.(2022?海南省直轄縣級單位?統(tǒng)考二模)如圖，拋物線y=Y+bx+c經(jīng)過8(3,0)、C(0,-3)

兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為。.

(1)求該拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)E為該拋物線上一動點(diǎn)(與點(diǎn)8、C不重合)，

①當(dāng)點(diǎn)E在直線的下方運(yùn)動時，求△CBE的面積的最大值；

②在①的條件下，點(diǎn)〃是拋物線的對稱軸上的動點(diǎn)，在該拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以C、

E、P、M為頂點(diǎn)的四角形為平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

7

2.(2022?陜西西安??？寄M預(yù)測)如圖，拋物線y=-N+w+c的對稱軸為直線x=1,

其圖象與直線y=gx+2交于C,。兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上

一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為xo,當(dāng)xo為何值時，以O(shè),C,P,尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

請說明理由.

3.(2022?廣東佛山?西南中學(xué)?？既?如圖，拋物線y=^+6x+c與x軸交于A,5(-1,0)

2

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c,直線AC的解析式為y=§x-2.

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知上為正數(shù)，當(dāng)0<x41+左時，》的最大值和最小值分別為機(jī)，"，且=求左

的值；

(3)點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，在拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)。，使得以點(diǎn)A,C,P,Q為頂

點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.(2022?山東聊城?校聯(lián)考一模)如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線>=辦2+弧+石與x軸交

于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)。，且O8=3OA=6OC.

(1)求拋物線的解析式及直線BC的表達(dá)式；

(2)在線段上找一點(diǎn)E(不與2、C重合)，使+的值最小，并求出這個最小值;

(3)連接AC,是否在拋物線上存在點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作于點(diǎn)E,使以點(diǎn)A、C、尸、E為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

5.(2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考一模)如圖，拋物線尸-f+6x-5與無軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)8,與

y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過3、C兩點(diǎn)的直線為y=x-5,

（2）點(diǎn)P從A出發(fā)，在線段A2上以每秒1個單位的速度向B運(yùn)動，同時點(diǎn)E從B出發(fā)，在

線段8c上以每秒2個單位的速度向C運(yùn)動.當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)

動.設(shè)運(yùn)動時間為/秒，求t為何值時，APBE的面積最大，并求出最大值.

（3）過點(diǎn)4作4/，8（7于點(diǎn)過拋物線上一動點(diǎn)N（不與點(diǎn)8、C重合）作直線AM的平行

線交直線2C于點(diǎn)。.若點(diǎn)A、M、N、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo).

6.（2022?山西呂梁?統(tǒng)考三模）綜合與探究

2?

如圖，拋物線、=一§尤?+gx+4與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)M是y軸右側(cè)

（1）請直接寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)及直線BC的解析式；

⑵當(dāng)DE=OE時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶試探究在點(diǎn)M運(yùn)動的過程中，是否存在以點(diǎn)A,C,E,M,為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形？若存在，直接寫出"的坐標(biāo)，若不存在說明理由.

7.（2022?山東濟(jì)寧??？级＃┮阎獟佄锞€y=-!/+法+。與直線AC交于A、C兩點(diǎn)，如

4

果點(diǎn)A（-2,0）,C（4,3）.

(1)求拋物線和直線AC的解析式.

(2)長度為正的線段DE在線段AC上移動，點(diǎn)G與點(diǎn)/在上述拋物線上，且線段DG與政

始終平行于，軸.連接尸G,求四邊形。EFG的面積的最大值，并求出對應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)，判

斷此時四邊形。瓦G的形狀.

8.(2022?福建福州?福建省福州屏東中學(xué)校考三模)如圖，拋物線丁=依2_4依+2(。＜0)與了

軸交于點(diǎn)A,對稱軸交x軸于點(diǎn)8,點(diǎn)尸是拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，F(xiàn)。，45交,

軸于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)D,EF_Lx軸于點(diǎn)E,點(diǎn)〃是拋物線的頂點(diǎn)，已知在點(diǎn)尸的運(yùn)動過

程中，F(xiàn)D的最大值是4近.

⑴求點(diǎn)8的坐標(biāo)與。的值；

(2)當(dāng)點(diǎn)。恰好是的中點(diǎn)時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)連結(jié)作點(diǎn)E關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)尸落在線段4W上時，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為

.(直接寫出答案)

9.(2022?山西?山西實(shí)驗中學(xué)?？寄M預(yù)測)綜合與探究：

已知：二次函數(shù)y="2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為。(-1,4),與x軸交于B,A兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C(0,3),如圖：

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)E,使得“慮的周長最小，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使得以48、N、尸為頂點(diǎn)的

四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

10.(2022?甘肅平?jīng)??？级?如圖，拋物線＞=-/+次+。交，軸于點(diǎn)4(0,2),交x軸于

點(diǎn)仇4,0)、C兩點(diǎn)，點(diǎn)O為線段OB上的一個動點(diǎn)(不與0、3重合)，過點(diǎn)。作DMLx軸，

交于點(diǎn)"，交拋物線于點(diǎn)N.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接AN和3N,當(dāng)AABN的面積最大時，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)及AABN的最大面積；

⑶在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A,M,N,尸為頂點(diǎn)，以AM為邊的四邊形是菱形？

若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

11.(2022.重慶大渡口?重慶市第三十七中學(xué)校校考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物

線y=*+fov+c與直線交于A,8兩點(diǎn)，其中40,1),3(4,-1).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸，Q為直線A2下方拋物線上任意兩點(diǎn)，且滿足點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為

m+1,過點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別作y軸的平行線交直線AB于C點(diǎn)和。點(diǎn)，連接尸。，求四邊形PQDC

面積的最大值；

(3)在(2)的條件下，將拋物線y=V+fov+c沿射線45平移26個單位，得到新的拋物線

%,點(diǎn)E為點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)歹為M的對稱軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)G為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)B,E,F,G構(gòu)成以所為邊的菱形時，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo).

12.(2022?山東日照.?？级?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=；V+6x+c經(jīng)過點(diǎn)

A(-4,0),點(diǎn)/為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上,直線AB與拋物線在第一象限交于點(diǎn)C(2,6),

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接OC,若過點(diǎn)。的直線交線段AC于點(diǎn)P,將三角形AOC的面積分成1:2的兩部分,

請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若。是直線AC上方拋物線上一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)4c重合)，當(dāng)△Q4C的面積等于AAOC

的面積時，求出。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)在拋物線的對稱軸上有一動點(diǎn)”，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使以點(diǎn)A、H、C、N為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

4

13.(2022?重慶璧山?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ox2+§x+c與

(2)如圖1,連接AC,點(diǎn)。為線段AC下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。作小〃》軸交線段AC

于E點(diǎn)，連接E。，記△ADC的面積為百，△AEO的面積為S?,求工-S2的最大值及此時

點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）如圖2,在（2）問的條件下，將拋物線沿射線CB方向平移遞個單位長度得到新拋物

2

線，動點(diǎn)M在原拋物線的對稱軸上，點(diǎn)N為新拋物線上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A、。、

M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并把求其中一個點(diǎn)N的坐標(biāo)的過程寫

出來.

14.（2022.遼寧鞍山?統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線y=曰；^+云+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為點(diǎn)2的坐標(biāo)（3,0）,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸

的對稱點(diǎn)，連接CD過點(diǎn)。作DHLx軸于點(diǎn)X,過點(diǎn)A作AELAC交。X的延長線于點(diǎn)

E.

備用圖

（1）求拋物線的解析式；

（2）在線段AE上找一點(diǎn)在線段。E上找一點(diǎn)N,求ACMN的周長最小值；

⑶在（2）間的條件下，將得到的ACMN沿射線AE平移得到ACMN"記在平移過程中，

在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)。，使。、C'、M'、N'為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，

直接寫出ACMV平移的距離；若不存在，說明理由.

15.（2022?重慶?統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=or2-x+c（a￥0）與x軸交于A、

8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.其中點(diǎn)A（-2百，0）,點(diǎn)C（0,-4舊）,

連接AC、BC.

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,在直線BC的下方拋物線上有一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)H,求PH-包

4

的最大值以及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將拋物線y沿射線CA方向平移3岳個單位長度后得到新拋物線》,點(diǎn)、E在新拋物線山

上，點(diǎn)廠是原拋物線對稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)夙C、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直

接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并寫出求解其中一個尸點(diǎn)的過程.

16.(2022?重慶?西南大學(xué)附中?？既?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=辦2+法-2

與無軸交于A-1,0),B兩點(diǎn)，其對稱軸x=l與x軸交于點(diǎn)D

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2汝口圖1,點(diǎn)P為第四象限內(nèi)的拋物線上一動點(diǎn)，連接P8,PC,CD,求四邊形尸8OC面

積的最大值和此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將該拋物線向左平移3個單位長度得到拋物線V，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸

相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F為拋物線V對稱軸上的一點(diǎn)，M是原拋物線上的動點(diǎn)，直接寫出所有使得

以點(diǎn)A,E,F,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把求其中一個點(diǎn)M的坐

標(biāo)的過程寫出來.

17.(2022?內(nèi)蒙古包頭?包頭市第二十九中學(xué)?？既?如圖，把兩個全等的MAA08和MA

COD分別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊。2,。。在無軸上，已知點(diǎn)4(2,4),拋物線

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;

(2)點(diǎn)G為OC上方的拋物線上一動點(diǎn)，求點(diǎn)G到直線OC的最大距離和此時點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P為線段OC上一個動點(diǎn)(不與O,C重合)，過點(diǎn)尸作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)

是否存在點(diǎn)P,使線段AM與相等？若存在，求出此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

18.(2022.遼寧鞍山?模擬預(yù)測)如圖1,平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線

y=ax2+bx+c+(a<0)與x軸分則點(diǎn)A和點(diǎn)3(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,對稱軸為直線x=-l,

且。4=OC,P為拋物線上一動點(diǎn).

(1)直接寫出拋物線的解析式；

⑵如圖2,連接AC,當(dāng)點(diǎn)尸在直線AC上方時，求四邊形鞏8C面積的最大值，并求出此

時P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)設(shè)M為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)P,M運(yùn)動時，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N