第8章圓（易錯(cuò)必刷40題13種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

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A圓的認(rèn)識A切線的判定

A垂徑定理A切線的判定與性質(zhì)

A圓周角定理A切線長定理

A圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)A三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

A點(diǎn)與圓的位置關(guān)系A(chǔ)正多邊形和圓

A三角形的外接圓與外心A扇形面積的計(jì)算

A切線的性質(zhì)

?題型通關(guān)專訓(xùn)?

一.圓的認(rèn)識（共1小題）

i.如圖，一個(gè)人握著板子的一端，另一端放在圓柱上，某人沿水平方向推動(dòng)板子帶動(dòng)圓柱向前滾動(dòng)，假設(shè)

滾動(dòng)時(shí)圓柱與地面無滑動(dòng)，板子與圓柱也沒有滑動(dòng).已知板子上的點(diǎn)B（直線與圓柱的橫截面的切點(diǎn)）

與手握板子處的點(diǎn)C間的距離BC的長為Lm,當(dāng)手握板子處的點(diǎn)C隨著圓柱的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)到板子與圓柱

橫截面的切點(diǎn)時(shí)，人前進(jìn)了2Lm.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：因?yàn)閳A向前滾動(dòng)的距離是Ln,所以人前進(jìn)了

二.垂徑定理（共4小題）

2.如圖，在半徑為5的。。中，AB,C。是互相垂直的兩條弦，垂足為尸，且A8=C￡）=8,則。尸的長為

(

A.3B.4C.372D.4、歷

【答案】C

【解答】解：作于ONLCD于N,連接。8,OD,

由垂徑定理、勾股定理得：OM=ON=452-42=3'

:弦AB、CD互相垂直，

：.ZDPB=90°,

于Af,ONLCD于N,

：.ZOMP=ZONP=90°

四邊形MONP是矩形，

'：OM=ON,

：.四邊形MONP是正方形，

：.OP=3近

3.如圖，A8是。。的直徑，弦COLA3,垂足為P.若C￡）=AP=8,則。。的直徑為（）

【答案】A

【解答】解：連接OC,

:CDLAB,CD=8,

.-.PC=AC￡)=AX8=4,

22

在RtAOCP中，設(shè)OC=x,貝!]OA=x,

；PC=4,OP^AP-OA=8-x,

.,.OC2=PC2+OP2,

即X2=42+（8-尤）2

解得x=5,

的直徑為10.

故選：A.

4.如圖，AB是的直徑，。。垂直于弦AC于點(diǎn)O,。。的延長線交。。于點(diǎn)E.若AC=4、,歷,DE=4,

則BC的長是()

【答案】C

【解答】解：是O。的直徑，

AZC=90°,

OD±AC,

.,.點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

是△ABC的中位線，

：.OD//BC,且。。=工8。，

2

設(shè)OZ)=x,貝UBC=2x,

VZ)E=4,

/.OE=4-x,

：.AB=2OE=S-2x,

在RtZXABC中，由勾股定理可得，AB2=AC2+BC2,

(8-2r)2=(4揚(yáng)2+⑵)2,

解得x=l.

..BC=2x=2.

故選：C.

5.在半徑為10cm圓中，兩條平行弦分別長為12cM,16czn,則這兩條平行弦之間的距離為（）

A.28cm或4cMiB.140n或2onC.13cm或4cmD.5c根或13cM

【答案】B

?

【解答】解：有兩種情況①如圖，當(dāng)和C。在。的兩旁時(shí)，

過。作MN_L45于交CO于N,連接08,0D,

9：AB//CD,

:?MNLCD,

由垂徑定理得：BM=-AB=8cm9DN=Ac/）=6cm,

22

?：OB=OD=10cm,

由勾股定理得：0加=JOB2_BM2=6CW,

同理0N=8cm,

:?MN=8cm+6cm=14cm,

A

②當(dāng)AB和CO在0的同旁時(shí)，MN=Scm-6cm=2cm,

故選：B.

三.圓周角定理（共5小題）

6.如圖，半圓0的直徑AB=7,兩弦AC、50相交于點(diǎn)區(qū)弦CD=1,且20=5,則。E等于（）

2

AOB

A.2V2B.4V2C.1D.A

32

【答案】A

【解答】解法一：

VZZ)=ZA,ZDCA=ZABD,

：.LAEBs/\DEC；

?EC_DE_CD=1.

"BF"AE"AB2'

設(shè)BE=2x,則DE=5-2x,EC=x,AE=2(5-2x)；

連接8C,則NACB=90°；

RtZXBCE中，BE=2x,EC=x,則BC=J^x；

在RtZXABC中，AC=AE+EC=W-3x,8C=?x；

由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2,

即：I2—(10-3尤)2+(V3x)2,

整理，得4/-20x+17=0,解得尤1=$+&,X2=5-衣;

22

由于故x=S-我；

32

則DE=5-2x=2近..

解法二：連接。￡),OC,AD,

"：OD=CD=OC

則NOOC=60°,ZDAC=30°

又A2=7,BD=5,

:.AD=2氓,

在RtZXADE中，ZDAC=30°,

所以O(shè)E=2A/5.

故選：A.

7.如圖，。。的半徑為1,AB是。。的一條弦，且/18=、巧，則弦AB所對圓周角的度數(shù)為()

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

【答案】D

【解答】解：如圖，連接OB,過。作的垂線；

在Rt/XOAC中，OA=\,AC=返；

2

/.ZA6?C=60°,ZAOB=120°；

.,.ZD=AZAOB=60°；

2

:四邊形AO8E是。。的內(nèi)接四邊形，

AZAEB=180°-ZD=120°；

因此弦AB所對的圓周角有兩個(gè)：60°或120°；

故選：D.

8.如圖，半圓的半徑0C=2,線段8C與CD是半圓的兩條弦，BC=CD,延長CO交直徑R4的延長線于

點(diǎn)E,若AE=2,則弦8。的長為

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，連接0￡),AD,

,:BC=DC,BO=DO,

：.ZBDC=ZDBC,ZBDO=ZDBO,

：.ZCDO=ZCBO,

又?；OC=OB=O。，

AZBCO=ZDCO,即OC平分NBC。，

又,：BC=DC,

：.BD±CO,

又是直徑，

：.AD±BD,

J.AD//CO,

又：AE=AO=2,

：.AD=^CO=l,

2

.?.□△ABO中，B￡?=7AB2-AD2=742-12^^-

故答案為：V15?

9.如圖，以42為直徑的O。經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C,AE,BE分別平分N8AC和NA8C,AE的延長線交。。

于點(diǎn)。，連接2D

(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)若AB=10,BE=2A/10>求8c的長.

【答案】(1)為等腰直角三角形.證明過程見解答部分;

(2)BC=S.

【解答】（1）解：△3OE為等腰直角三角形.

證明：TAE平分NA4C,3E平分NA3C,

JZBAE=ZCAD=/CBD,NABE=ZEBC.

VZBED=ZBAE+ZABE,/DBE=/DBC+/CBE,

：.ZBED=ZDBE.

：.BD=ED.

9：AB為直徑，

AZADB=90°,

???△BDE是等腰直角三角形.

另解：計(jì)算NA防=135。也可以得證.

(2)解：連接OC、CD、OD,0D交BC于點(diǎn)F.

ZDBC=ZCAD=ZBAD=/BCD.

:,BD=DC.

?：OB=OC.

：.0。垂直平分BC.

???是等腰直角三角形，BE=2K，

:.BD=2娓.

VAB=10,

：?0B=0D=5.

設(shè)0/=乙則。/=5-九

在RtABO尸和RtZXBO尸中，52-?=(275)2-(5-Z)2,

解得t=3,

：.BF=4.

：.BC=S.

另解：分別延長AC,8。相交于點(diǎn)G.則AWG為等腰三角形，先計(jì)算AG=10,BG=4娓,AD=4?,

再根據(jù)面積相等求得5c

10.已知：如圖，在半徑為2的半圓。中，半徑OA垂直于直徑BC,點(diǎn)E與點(diǎn)P分別在弦A3、AC上滑動(dòng)

并保持AE=CT,但點(diǎn)產(chǎn)不與A、C重合，點(diǎn)￡不與A、8重合.

(1)求四邊形AE。尸的面積.

(2)設(shè)AE=x,S^oEF=y,寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求尤的取值范圍.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)為半圓。的直徑，為半徑，且。4L2C,

：.ZB=ZOAF^45°,OA^OB,

又：AE=CRAB=AC,

：.BE=AF,

：./\BOE^/\AOF

S四邊形4E0F=Sz\A0B=工。8*OA=2.

2

(2);BC為半圓。的直徑，

：.ZBAC=90°,且A2=AC=2&,

Y=SAOEF=S四邊形AEOF-S/\AEF—21-AE'AF—T.--lx(2V2-X)

22

/.y=A%2-yf2x+2(0<%<2^2)-

2

四.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(共1小題)

11.如圖，四邊形A3CQ是OO的內(nèi)接四邊形，一前=俞，AC為直徑，DELBC,垂足為￡

(1)求證：CD平分NACE；

(2)若AC=9,CE=3,求CD的長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是。0內(nèi)接四邊形，

：.ZBAD^-ZBCD=1SO°,

VZBCZ)+Z￡>CE=180°,

：.ZDCE=ZBAD,

:俞=俞，

：.ZBAD=ZACD,

：.ZDCE=ZACD,

???CO平分NACE；

(2)解：:AC為直徑，

/.ZAZ)C=90°,

■:DE工BC,

：.ZDEC=90°,

：.ZDEC=ZADC,

*.?ZDCE=ZACD,

:.ADCEs^ACD,

?CE—CDpp3—CD

CDCACD9

:.CD=3M.

五.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(共4小題)

12.如圖，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2),點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，8c=1,點(diǎn)M為線段AC

的中點(diǎn)，連接OM,則的最大值為()

C.272+1D.2-.f2--

22

【答案】B

【解答】解:如圖,

?點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1,

在08上，且半徑為1,

0M是△AC。的中位線，

：.0M^l.CD,

2

當(dāng)0M最大時(shí)，即CD最大，而D,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在的延長線上時(shí)，最大,

'：OB=OD=2,ZBOD=90°,

:.BD=2小

:.CD=2近

OM——CD=^2」即0M的最大值為a+工；

2

故選：B.

13.如圖，48是半圓。的直徑，AB=5cm,AC=4cm.。是弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)8,不含端點(diǎn)C）,

連接AD過點(diǎn)C作CELA。于E,連接8E,在點(diǎn)。移動(dòng)的過程中，BE的取值范圍是（）

C.2WBE<3D.J13-9WBE<3

55

【答案】B

在以AC為直徑的0M的自上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N）,

...BE最短時(shí)，即為連接2M與OM的交點(diǎn)（圖中皮點(diǎn)），

,：AB是半圓0的直徑，

；.NACB=90°,

：.AB=5,AC=4,

:.BC=3,CM=2,

BM=22

則VCM+BC=V22+32="^13>

...BE長度的最小值BE'=BM-ME'=V13-2,

當(dāng)BE最長時(shí)，即E與C重合，

VBC=3,且點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合，

：.BE<3,

綜上，V13-2^BE<3,

故選：B.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)2的坐標(biāo)為（0,3）,OA的半徑為2,點(diǎn)C為

OA上一動(dòng)點(diǎn)，。為的中點(diǎn)，連接?！?gt;,則OD的最大值為3.5.

【答案】3.5.

【解答】解：：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,3）,

：.OA=4,08=3,

如圖1,作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)8,連接8C,

：.OB=OB'=3,

?.?。是BC的中點(diǎn),

.?.0。是△BHC的中位線，

：.OD=^B'C,

2

...當(dāng)B'C最大時(shí)，0。有最大值，

如圖2,當(dāng)8,C,A共線時(shí)，EC有最大值,

由勾股定理得：AB'=d32+42=5,

.,.B'C=B'A+AC=5+2=7,

此時(shí)OO有最大值是』8c=3.5,

15.如圖，等邊△ABC的邊長為4,。為BC邊上的中點(diǎn)，尸為直線BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足NE4D

ZPDC,則線段CP長的最小值為二

【答案】V7-V3.

【解答】解：???等邊的邊長為4,。為BC邊上的中點(diǎn),

；.NADP+NPDC=90°,

'：ZPAD=ZPDC,

：.ZR\D+ZADP=90°,

：.ZAPD^90°,

...點(diǎn)P在以A。為直徑的OO上，連接0C,當(dāng)0,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，PC的長最小,

在RtZXADC中，AC=4,CD=2,

_22=2百，

?.,。是A￡）的中點(diǎn)，

：.OD=\[3=OP,

由勾股定理得：℃=^0口2出口2=V（V3）2+22=*，

：.cp=41-43,

即線段CP長的最小值為救-Vs.

故答案為：VV-V3-

六.三角形的外接圓與外心（共3小題）

16.下列四個(gè)命題:

①等邊三角形是中心對稱圖形；

②在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等；

③三角形有且只有一個(gè)外接圓；

④垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧.

其中真命題的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解答】解：???等邊三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，

.?.①是假命題；

如圖，NC和NO都對弦AB,但NC和/。不相等，即②是假命題；

三角形有且只有一個(gè)外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即③是真命題;

垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對的兩條弧，即④是真命題.

故選：B.

17.在△ABC中，/是外心，且/B/C=130°,則/A的度數(shù)是（）

A.65°B.115C.65°或115°D.65°或130°

【答案】C

【解答】解：當(dāng)三角形的外心在三角形的內(nèi)部時(shí)，則/A=1/B/C=65°；

2

當(dāng)三角形的外心在三角形的外部時(shí)，則NA=180°-1ZBZC=115°.

2

故選：C.

18.如圖，在3義3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖

中的圓弧為格點(diǎn)△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長為1,圖中陰影部分的面積為（）

24224442

【答案】D

【解答】解：如圖：作48的垂直平分線A/N,作8C的垂直平分線PQ,設(shè)MN與相交于點(diǎn)。，連接

OA,OB,0C,則點(diǎn)。是△ABC外接圓的圓心，

由題意得：OA2=l2+22=5,

OC2=l2+22=5,

AC2=l2+32=10,

.,.OA2+OC2=AC2,

...△AOC是直角三角形，

/.ZAOC=90°,

'：AO=OC=4S，

圖中陰影部分的面積=扇形AOC的面積-△AOC的面積-△ABC的面積

2

=9QKX(V5)_XoA-OC-

36022

57I;

=.-AxJsxVs-AX2X1

422

42

_-5-兀-,7

42

故選：D.

七.切線的性質(zhì)（共5小題）

19.如圖,ZVIBC中,ZA=90°,AC=3,AB=4,半圓的圓心。在上，半圓與AS、AC分別相切于

點(diǎn)。、E,則半圓的半徑為（）

D.2V3

:,圓。切AC于E,圓。切AB于。,

：.ZOEA=ZODA=90°,

VZA=90°,

ZA=ZODA=ZOEA=90°,

"：OE=OD,

四邊形ADOE是正方形，

：.AD=AE=OD=OE,

設(shè)OE=AD=AE=OD=R,

VZA=90°,ZOEC=90°,

JOE//AB,

:?△CEOS^CAB,

同理△BDOsaBAC,

:.ACEOsAODB,

?OE=CE

"BDOD"

即工_=生叢

4-RR

解得：R=—,

7

故選：A.

20.如圖，P是拋物線y=--4x+3上的一點(diǎn)，以點(diǎn)尸為圓心、1個(gè)單位長度為半徑作。尸，當(dāng)。尸與直線y

=0相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+如，1）或（2-、歷1）或（2,-1）.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答］解：當(dāng)＞=1時(shí)，/-4x+3=l,

解得：尤=2土近，

：.P（2+V2.1）或（2-&,1）,

當(dāng)y=-1時(shí)，x2-4尤+3=-L

解得：X1=X2=2,

：.P（2,-1）,

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2+、歷，1）或（2-1）或（2,-1）.

21.已知一個(gè)三角形的周長和面積分別是84、210,一個(gè)單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無摩擦地滾動(dòng)一周

后回到原來的位置(如圖)，則這個(gè)三角形的內(nèi)部以及邊界沒有被單位圓滾過的部分的面積是

(結(jié)果保留準(zhǔn)確值).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖；

設(shè)△A8C的內(nèi)切圓半徑為R,△￡)￡產(chǎn)的內(nèi)切圓半徑為廣；

依題意有：AX84X/?=210,即R=5；

2

易知：△DEFs^ABC,且r：R=4：5,

CADEF=—CAABC=67.2；

5

易知：被圓滾過的三角形內(nèi)部的三角形也和△ABC相似；

且其內(nèi)切圓半徑為：R-2=3,即其面積=(■|■)2s△4BC=75.6；

由圖知：S四邊形AHOG=2SAAGD=AG?1=AG,同理S四邊形尸EQB=5。，S四邊形CN尸M=CM；

??S四邊形AHDG+S四邊形PEQB+S四邊形cNFM=AG+CAf+BQ=工(C/^ABC~CADEF)=8.4；

2

而S扇形。"G+S扇形尸EQ+S扇形廠MN=S單位圓=71，

工所求的面積=75.6+8.4-n=84-TC.

22.已知點(diǎn)M(2.0),的半徑為1,0A切于點(diǎn)A,點(diǎn)尸為OM上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸的坐標(biāo)為(1,

0),(3,0)(2，1)時(shí)，△尸。4是等腰三角形.

2-2一

y,

【答案】(1,0),(3,0),(3,1).

22

【解答】解：如圖，當(dāng)P的坐標(biāo)為(1,0),(3,0),(3,近)時(shí)，/\尸。4是等腰三角形.

理由如下:

22

,:M(2.0),OM的半徑為1,

：.OM=2,AM=PM^\,

；.OP=1,

切OM于點(diǎn)A,

ZMAO=90°,

；.NAOM=30°,

：.ZAMO=6Q°,

：.PA=AM=PM=1,

；.OP=B4=1,

：.P(1,0)；

當(dāng)OA=OP'時(shí)，連接AP'交x軸于點(diǎn)”，

切OM于點(diǎn)A,

：.OP,切OM于點(diǎn)P',

：.ZP'OM=ZAOM=30°,

：.ZAOP'=60°,

：.^AOP'是等邊三角形，

AP，

-=OA=1/QH2_AM2=^22_12=V3,

:.OH=^-OA=3,p'H=^AP'=^LL,

2222

：.P'（反，1_）；

22

'：MA=MP",ZAMO=60°,

：.ZMAP"=/AfP"A=30°,

ZAOP"=AMP"A=30°,

：.OA=OP",

：.P"（3,0）.

綜上所述：當(dāng)P的坐標(biāo)為（1,0）,（3,0）,（3,返）時(shí)，△尸。4是等腰三角形.

22

故答案為：（1,0）,（3,0）,（3,1）.

22

23.ZkABC內(nèi)接于。0,N8AC的平分線交0。于。，交BC于E（BE>EC）,過點(diǎn)。作。。的切線。R

交的延長線于足

（1）求證：DF//BC；

（2）連接OR若tan/BAC=2A歷，BD=473>DF=S,求。尸的長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：連接。

；。尸是。。的切線，

J.ODLDF,

平分N3AC,

：.ZBAD=ZCAD,

?*-BD=CD）

：.ODLBC,

：.DF//BC-,

(2)解：連接。2,

BD=CD-

：.ZBOD^ZBAC,

由（1）知OD±BC,

：.tanZBOD=^-,

ON

?.?tan/BAC=2五,

.??典=旭

ONv

設(shè)ON=尤，BN=2近x,

由勾股定理得：OB=3x,

：?OD=3x,

:.DN=3x-x=2x,

RtZ\B￡W中，BN^Dl^-^BD2,

(2V2X)2+(2X)2=(4V3)21

x=2或-2(舍)，

：.OB=OD=3x=6,

Rt△。尸。中，由勾股定理得：。尸=而三^^=在屋記=10.

八.切線的判定(共2小題)

24.如圖，半圓。的直徑。E=12%在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,BC=12cm.半圓O

以2c?i/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)圓心。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2時(shí)停止，點(diǎn)入E始終在直線BC上.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為t(s),運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，半圓。在△ABC的左側(cè)，OC=8cm.當(dāng)/=1s,45,7s時(shí),Rt^ABC的一邊

所在直線與半圓。所在的圓相切.

【解答】解：①當(dāng)圓心。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)￡與點(diǎn)C重合是時(shí),

'：AC±OE,0C=0E=6cm,

此時(shí)AC與半圓。所在的圓相切，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)了2cm,

所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f=2+2=l(s)；

②當(dāng)圓心。運(yùn)動(dòng)到AC右側(cè)與AC相切時(shí)，

此時(shí)0C=6c〃3點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的距離為8+6=14(cm),

所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r=14+2=7(s)；

③如圖1,過C點(diǎn)作交AB于F點(diǎn)；

VZABC=30°,BC=12cm,

.".F0=6cm；

當(dāng)半圓。與△ABC的邊AB相切時(shí)，

,/圓心0到AB的距離等于6cm,

且圓心。又在直線BC上，

與C重合，

即當(dāng)。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，半圓0與AABC的邊A8相切;

此時(shí)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)了8cm,所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f=8+2=4(s),

當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)的右側(cè)，且0B=12c加時(shí)，

如圖2,過點(diǎn)。作0。，直線垂足為Q.

在RtZXQOB中，ZOBQ=30°，則0Q=6c〃?，

即與半圓。所在的圓相切.

此時(shí)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)了32cm.

所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：r=32+2=16s,

綜上可知當(dāng)t的值為1s或4s或7秒或16s時(shí)，

天△ABC的一邊所在直線與半圓。所在的圓相切.

因?yàn)閳A心0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，

所以此種情況不符合題意舍去，

故答案為：Is,4s,Is.

圖1

25.已知，如圖，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,0）,OA交x軸于點(diǎn)8和C,交y軸于點(diǎn)。（0,4）,過點(diǎn)。的直線與

x軸交于點(diǎn)P,且tan/AP￡）=」.

2

（1）求證：PD是OA的切線；

（2）判斷在直線尸。上是否存在點(diǎn)使得SAMOD=2S^AOD?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

【解答】(1)證明：(2,0)D(0,4),

：.AO=2,00=4,

...在RtZkA。。中，tan/A￡?O=_2A_=2=_l,

0D42

".'tanZAPD=A,

2

ZADO=ZAPD,

VZAOD^90°,

ZADO+ZDAO=90°,

/.ZDAO+ZAPD=90°,

AZPDA=180°-90°=90°,

：.AD.LPD,

「A。是OA的半徑，

???P。是0A的切線.

(2)解：在△AD。中，OA=2,OD=4,由勾股定理得：AD=2灰,

在RtAPDA中，tan/APO=3^=>l,

PD2

即PD=4爬,

由勾股定理得：AP=d(4粕)。(2叱)2=1。，

'：OA=2,

：.OP=S,

即P(-8,0),

'：D(0,4),

設(shè)直線的解析式是：y=kx+4,

把P的坐標(biāo)代入得：0=-8女+4,

解得：k=l,

2

直線PD的解析式是y=lx+4,

2

假如存在M點(diǎn)，使得S^MOD=2SMOD,

設(shè)M的坐標(biāo)是(無，1+4),

2

如圖：

當(dāng)M在y軸的左邊時(shí)，過M■作MN_L。。于N,

**SAMOD=2SAAOD,

.\AX4X(-x)=2XJLX2X4,

22

解得：x=-4,

y=A%+4=2,

2

即此時(shí)M坐標(biāo)是（-4,2）,

當(dāng)M點(diǎn)在y軸的右邊時(shí)，同法可求M的橫坐標(biāo)是4,代入y=L+4得y=6,

2

此時(shí)A/的坐標(biāo)是（4,6）,

即在直線PQ上存在點(diǎn)使得SMI8=2&AOQ,點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-4,2）或（4,6）.

26.如圖，在△A3C中，AB=AC,以A3為直徑作圓0,分別交BC于點(diǎn)。，交C4的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)

。作于點(diǎn)H,連接。石交線段。4于點(diǎn)尸.

（1）求證：QH是圓。的切線；

（2）若四=旦，求證：A為EH的中點(diǎn).

EF2

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】證明：（1）連接。￡>,如圖1,

"：OB=OD,

...△0Q8是等腰三角形，

N0BD=/0DB①,

在△ABC中，'：AB=AC,

：.ZABC^ZACB?,

由①②得：Z0DB=Z0BD=ZACB,

J.OD//AC,

'JDHLAC,

：.DH±OD,

.?.D”是圓。的切線；

(2)如圖1,在O。中，\'ZE^ZB,

...由(1)可知：NE=NB=NC,

：.Z\EDC是等腰三角形，

???—FD_—39

EF2

,JAE//OD,

：./\AEF^/\ODF,

???FD_0D_3,

EFAE2

設(shè)0￡)=3x,AE=2x,

9

：AO=BOfOD//AC,

:?BD=CD,

：.AC=2OD=6x,

/.EC=AE+AC=2x+6x=8x,

?:ED=DC,DH上EC,

；.EH=CH=4x,

；?AH=EH-AE=4x-2x=2x,

：.AE=AH,

???A是EH的中點(diǎn)；

(3)如圖1,設(shè)。。的半徑為r,即0D=08=r,

?：EF=EA,

：.ZEFA=ZEAF,

9：OD//EC,

：.ZFOD=ZEAF9

則/FOD=ZEAF=ZEFA=ZOFD,

：.DF=OD=r,

：.DE=DF+EF=r+\,

：.BD=CD=DE=r+\,

在O。中，,/NBDE=ZEAB,

：.NBFD=NEFA=NEAB=ZBDE,

：.BF=BD,△BDF是等腰三角形，

：.BF=BD=r+l,

：.AF=AB-BF=20B-BF=2r-(1+r)=r-1,

"：ZBFD^ZEFA,NB=NE,

:.△BFDsXEFA,

?EF_BF

"FA

??1?=-r-+--1,

r-lr

解得：rl=W5_,吆=上返(舍)，

22

綜上所述，。。的半徑為止區(qū).

2

E

圖1

27.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以斜邊AB上的中線為直徑作OO,與8C交于點(diǎn)與A8

的另一個(gè)交點(diǎn)為E，過M作MVLAB,垂足為N.

(1)求證：MN是。。的切線；

(2)若。。的直徑為5,sinB=&,求即的長.

5

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：連接0M,如圖1,

OC^OM,

；.NOCM=NOMC,

在RtAABC中，CD是斜邊AB上的中線,

:.CD=1AB=BD,

2

：.ZDCB=ZDBC,

：.ZOMC=ZDBC,

J.OM//BD,

'：MN±BD,

：.OM±MN,

過O,

MN是。。的切線;

(2)解：連接。M,CE,圖2

「CD是。。的直徑，

；.NCED=90°,ZDMC=90°,

即DM±BC,CELAB,

由(1)知：BD=CD=5,

為BC的中點(diǎn)，

VsinB=—,

5

???cosBD_—4i

5

在中，BM=BD-cosB=4,

：.BC=2BM=8,

在RtACEB中，BE^BC'cosB^^.,

5

：.ED=BE-BD=31-5=1.

55

28.如圖，已知。。是△ABC的外接圓，且ABuBCuC。，AB//CD,連接BD

(1)求證：8。是OO的切線；

(2)若AB=10,cos/84c=3,求8。的長及。。的半徑.

5

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】（1）證明：如圖1,作直徑8E,交。。于E,連接EC、OC,

則NBCE=90°,

：.ZOCE+ZOCB^90°,

'：AB//CD,AB=CD,

四邊形ABDC是平行四邊形，

"：OE=OC,

：.ZE=ZOCE,

,:BC=CD,

：.ZCBD=ZD,

'：ZA=ZE,

：.ZCBD=ZD=ZA=ZOCE,

"：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

：.ZOBC+ZCBD^9Q°,

即NEBD=90°,

?'.BO是。。的切線；

(2)如圖2,VCOSZBAC=COSZE=^-=A

EB5

設(shè)EC=3x,EB=5x,則BC=4x,

?；A2=BC=10=4尤，

x=—,

2

'.EB=5x=^~,

2

/.QO的半徑為絲，

4

過C作CGJ_B。于G,

VBC=C￡>=10,

：.BG=DG,

為△CGO中，COSZD=COSZBAC=^-=A,

CD5

???D-G~3>

105

：.DG=6f

：.BD=12.

圖1

29.如圖，AABC內(nèi)接于OO,AC是。。的直徑，過OA上的點(diǎn)P作尸OLAC,交CB的延長線于點(diǎn)。，交

于點(diǎn)E,點(diǎn)F為。E的中點(diǎn)，連接

(1)求證：8/與。。相切；

(2)若AP=OP,COSA=A,AP=4,求3尸的長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：連接OB,

：AC是O。的直徑，

AZABC=90°,

：.ZAB￡>=180°-ZABC=90°,

,點(diǎn)/為DE的中點(diǎn)，

:.BF=EF=LDE,

2

:"FEB=/FBE,

ZAEP=AFEB,

：.ZFBE=ZAEP,

'：PD±AC,

：.ZEPA=90°,

/.ZA+ZAEP=90°,

.OA=OB,

ZA=ZOBA,

：.ZOBA+ZFBE=90°,

：.ZOBF=90°,

：OB是。。的半徑，

.??8/與。。相切；

(2)解：在RtZ\AE尸中，COSA=A,AP=4,

5

：.AE=..^=^~=5,

cosAA

5

'PE=VAE2-AP2=V52-42=3'

,：AP=OP=4,

：.OA=OC=2AP=S,

：.PC=OP+OC=12,

VZA+ZAEP=90°,ZA+ZC=90°,

???ZAEP=ZC,

VZAPE=ZDPC=90°,

J△APEsdDPC,

A-P—PE,

D4PPC

-

—31

DP12

，￡>P=16,

：.DE=DP-PE=16-3=13,

.,.BF=AZ)￡=11,

22

.,.BP的長為旦.

2

30.如圖，以AABC的邊A8為直徑作OO,與8C交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是弧8。的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)

F,ZACB=2ZBAE.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)若sinB=2,BD—5,求8尸的長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：連接AD

是弧8。的中點(diǎn)，

???BE=DE-

NBAD=2/BAE.

NACB=2/BAE,

：.ZACB=ZBAD,

為。。直徑，

AZADB=90°,

：.ZDAC+ZACB=90°.

：.ZBAC=ZDAC+ZBAD=9Q°.

；.AC是O。的切線；

(2)解：過點(diǎn)尸作FGJ_AB于點(diǎn)G.

VZBAE=ZDAE,/4。8=90°,

:.GF=DF,

在Rt/VBGF中，ZBGF=90°,sin8=C5l=2,

BF3

即5-BF=2

BF3

圖2

31.如圖，AB是。。的直徑，C、。是。。上兩點(diǎn)，且。為弧8C中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線。EL4c交AC的

延長線于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F,連接AD.

(1)求證：OE是O。的切線；

(2)若NZMB=30°,。。的半徑為2,求陰影部分的面積;

(3)若sin/E4F=邑，DF=4,求AE的長.

5

【答案】(1)證明過程解解答；

(2)陰影部分的面積為2百-2TT；

3

(3)AE的長為2生

5

【解答】(1)證明：連接OO,

9：DELAC,

：.ZE=90°,

ID為弧BC中點(diǎn),

?,?而=而，

：.ZCAD=ZBADf

U：OA=OD,

：.ZBAD=ZADOf

：.ZCAD=ZADO,

：.AC//ODf

：.ZE=ZODF=90°,

TO。是。。的半徑，

???OE是。。的切線；

(2)VZDAB=30°,

AZDOF=2ZDAB=6Q°,

在Rt2\0Z)尸中，￡)0=2,

：.DF=ODnm60°=2心

陰影部分的面積=2\0。/的面積-扇形BOD的面積

=10D-DF-^X^

2360

=JLX2X2?-2n

23

=2Vs-—TC,

3

???陰影部分的面積為2我-2TT；

3

(3)-JAC//OD,

ZEAF=ZDOF,

：.sinZEAF=sinZDOF=A,

5

在RtzXO。/中，sinZ￡>0F=^l=A,

OF5

二。尸=5,

???OD=VOF2-DF2=7B2-42=3，

???04=00=3,

???AF=OAWF=3+5=8,

?:NF=NF,

：.△AEFsdODF,

AEAF

ODOF

A3E

-8,

5

本

24

5

：.AE的長為

5

十.切線長定理（共1小題）

32.如圖，四邊形ABC。是。。的外切四邊形，且4B=10,C￡>=12,則四邊形的周長為44

【解答】解：???四邊形ABC。是。。的外切四邊形，

AD+BC=AB+CD=22,

四邊形ABCD的周長=AD+BC+A2+C￡）=44,

故答案為：44.

H^一.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）

33.在銳角三角形ABC中，BC=5,sinA=l,

5

（1）如圖1,求三角形ABC外接圓的直徑；

（2）如圖2,點(diǎn)/為三角形A8C的內(nèi)心，BA=BC,求A/的長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)解：作。8垂直于8C,連OC,

VZDBC=90°,

：.DC為直徑.

VZA=ZD,BC=5,sinA=A,

5

sin￡)=^-=A,

CD5

：.CD=2L,

4

答：三角形ABC外接圓的直徑是至.

4

(2)解：連接/C、BI,且延長8/交AC于R過點(diǎn)/作/GL8C于點(diǎn)G,過/作ZELA2于E,

'：AB=BC=5,/為△ABC內(nèi)心，

：.BF±AC,AF=CF,

：sinA=&=更，

5AB

：.BF=4,

在RtZXABF中，由勾股定理得：AF=3,

"：BA=BC,/是內(nèi)心，

即3歹是NABC的角平分線，

：.AC=2AF=6,

是AABC內(nèi)心，IEYAB,IFLAC,IGA.BC,

：.IE=IF=IG,

設(shè)IE=IF=IG=R,

「△AB/、△AC/、△BC/的面積之和等于△ABC的面積,

，JiABXR+工8CXR+JiACXR=JiACX3尸,

2222

即5XR+5XR+6XR=6X4,

在中，AP=3,IF=員,由勾股定理得:A/=3通.

22

答：4/的長是3泥.

2

十二.正多邊形和