專題06因數和倍數的認識

考點聚焦

重點速記

一、因數與倍數的意義。

1、在整數除法中，如果商是整數而沒有余數,我們就說被除數是除數和商的倍數，除數和商

是被除數的因數。

二、2,3，5的倍數的特征。

1、2的倍數的特征:個位上是0、2、4、6、8。

2、3的倍數的特征:各個數位上數字的和是3的倍數。

3、5的倍數的特征：個位上是0或5。

三、奇數和偶數。

1、在自然數中,是2的倍數的數叫做偶數,不是2的倍數的數叫做奇數。

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2、最小的奇數是1，最小的偶數是0,沒有最大的奇數和偶數。

四、質數、合數與分解質因數。

1、質數:一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數(素數)。

2、合數:一個數，如果除了1和它本身外還有其他的因數,這樣的數叫做合數。

3、質因數:每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式,這幾個質數都叫做這個合數的質因數。

4、分解質因數:把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。

5、互質數:只有公因數1的兩個數叫做互質數。

五、公因數和最大公因數、公倍數和最小公倍數。

1、公因數和最大公因數:幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數。其中最大的一個公因

數叫做這幾個數的最大公因數。

2、公倍數和最小公倍數:幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數。其中最小的一個公倍數

叫做這幾個數的最小公倍數。

真題專練

一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1．已知a是大于0的自然數，那么下面四個算式的結果一定是奇數的是()

A．a+1B．3aC．2a+1D．a2+1

2．（2分）（2023?金昌）下面各組兩個數的和一定是偶數的是（）

A．質數+合數B．奇數+偶數C．質數+質數D．奇數+奇數

3．一個真分數的分子與分母都是質數，分子與分母的和是奇數，這個分數的分子是（）

A．2B．3C．5D．7

4．（2分）（2023?宣城）如果A=2′2′3′5，B=2′3′3′5，那么A與B的最大公因數是()

A．6B．15C．30D．60

5．（2分）（2023?舞陽縣）小紅有30張郵票，小明的郵票是小紅的3倍，小張的郵票張數

是小紅的5倍。根據這些已知條件可知畫線段圖時需要把()作為一倍的量先畫。

A．小紅B．小明C．小張

6．將50名同學用1~50進行編號，王老師給所有編號是4的倍數的同學一支筆，朱老師給所

有編號是48的因數的同學一把尺子，那么既有筆又有尺的同學有()名。

A．5B．6C．7D．10

7．古希臘數學家認為：如果一個數恰好等于它的所有因數（本身除外）相加的和等于這個數

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就是“完全數”。例如：6有四個因數1、2、3、6，除本身6以外，還有1、2、3三個因數，

6=1+2+3，所以6就是“完全數”。下面數中是“完全數”的是()

A．16B．20C．28D．36

8．（2分）（2023?漳平市）如圖，下面說法錯誤的是()

A．24和30的最小公因數是2B．24和30公有的質因數是2和3

C．24和30的最大公因數是2′3=6D．24和30的最小公倍數是2′3′4′5=120

二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9．（2分）（2023?東山區(qū)）7□8□這個四數能同時被2、3、5整除，那么它的個位只能填，

百位上最大能填．

10．（2分）（2023?平陰縣）哥德巴赫猜想被譽為“數學皇冠上的明珠”，猜想認為：任何

大于2的偶數都可以寫成兩個質數之和。比如：16=+。

11．（2分）（2023?諸暨市）一個數億位上的數是最小的質數，萬位上的數是最小的合數，

千位上的數既不是質數也不是合數，百位上的數與萬位上的數互質且和大于10，其余各位上

都是0，這個數是或。

12．（2分）（2024?兩江新區(qū)）在不超過101的自然數中，能被2或3整除的整數有

個。

13．（2分）（2023?萬州區(qū)）若a+1＝b（a、b為非0自然數），則a和b的最大公因數是；

若5a＝b（a、b為非0自然數），則a和b的最小公倍數是。

14．（2分）（2023?晉江市）從0、1、2、3這四張數字卡片中任選兩張，擺成不同的兩位

數。擺出的一個質數是，擺出的一個2、3、5的公倍數是。

15．（2分）（2023?惠州）兩個連續(xù)偶數的和是42，這兩個偶數分別是和，它們

的最大公因數是，最小公倍數是。

16．如果a?b=3(a、b均為非零自然數），則a和b的最大公因數是，a和b成比例。

三．判斷題（共4小題，滿分8分，每小題2分）

17．（2分）（2023?臨西縣）一個奇數與一個偶數的最大公因數一定是奇數．

18．（2分）（2023?曾都區(qū)）在1、2、3、4、5?中除了質數以外都是合數．．

19．（2分）（2023?巨野縣）兩個自然數(0除外）的積一定是這兩個數的公倍數。

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20．一個三位數，個位上的數字是0，并且是3的倍數，這個數一定是2、3、5的公倍數．．

四．應用題（共10小題，滿分60分，每小題6分）

21．“哥德巴赫猜想”被譽為“數學皇冠上的明珠”，內容是“任何大于2的偶數都可以表

示成兩個質數的和?！闭埬阍嚺e幾例證明這一猜想，并把例子寫在下面。

22．（6分）（2022?拱墅區(qū)）已知n是一個大于0的自然數，且12是n的倍數，18也是n的

倍數。n所表示的數有哪些？（要求：用合適的語言寫出自己的思考過程。)

23．母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？

24．（6分）（2019?溫州）4只同樣的瓶子內分別裝有一定數量的油。每瓶和其它各瓶分別

合稱一次，記錄千克數如下：8、9、10、11、12、13。已知4個空瓶的重量之和以及油的重

量之和均為質數，問最重的兩瓶內有多少千克油？

25．一個四位數的各位數字之和是3，并且是7的倍數，請求出這個四位數。

26．（6分）（2023?蘿北縣）李阿姨今天給月季和君子蘭同時澆了水，月季每4天澆一次水，

君子蘭每6天澆一次水．至少多少天后給這兩種花同時澆水？

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27．一個質數的6倍與另一個質數的6倍的和是180，這兩個質數分別是多少？

28．（6分）（2023?遷安市）小學階段我們學習了很多有關“數”的概念，請你選取幾個有

關聯的概念，舉例談談你的理解。

自然數分數整數小數質數偶數百分數

因數合數倍數正數奇數負數。

29．（6分）（2021?石家莊）菲菲家的電話號碼是ABCDEFGH，A是最小的質數，B是最小

的合數，C既不是質數也不是合數，D比最小的質數小2的數，E是10以內最大的合數，F

只有因數1和5，G是8的最大因數，H是6的最小倍數．

30．（6分）（2019?淮陰區(qū)）題目：請寫出36的所有因數。

通過自試自探后，老師展示了四個同學的作業(yè)材料，請你對四個同學的材料評價一下。

自試自探材料請你評價

①36的因數有：18、9、3、2、6、12、9、36

②36的因數有：1、2、3、4、6、9、12、18、36

③36的因數有：1、36、2、18、3、12、4、9、6

④36的因數有：36、2、4、6、1、9、12、3、2、18

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專題06因數和倍數的認識

參考答案

一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1．【分析】n是大于0的自然數，自然數的2倍一定是偶數，所有的偶數加上1后一定是奇

數，據此解答。

【解答】解：A.當a=1時，a+1=2，2是偶數，故不符合題意；

B.當a=2時，3a=6，6是偶數，故不符合題意；

C.2a+1一定是奇數，故符合題意；

D.當a=1時，a2+1=2，2是偶數，故不符合題意。故選：C。

【點評】此題考查用字母表示數，解決此題的關鍵是理解奇數和偶數的關系.

2．【分析】因數只有1和本身兩個因數的數是質數，因數除了1和本身之外還有其他因數的

數是合數，能被2整除的數偶數，不能被2整除的數是奇數，據此舉例驗證各選項。

【解答】解：A．3是質數，4是合數，3+4＝7，7是奇數，判斷錯誤；

B．1是奇數，2是偶數，1+2＝3，3是奇數，判斷錯誤；

C．2和3都是質數，2+3＝5，5是奇數，判斷錯誤；

D．1和3是奇數，1+3＝4，4是偶數，判斷正確。故選：D。

【點評】2是唯一的偶質數，在驗證質數合數的加減法計算時，可以多關注數字2。

3．【分析】偶數：是2的倍數的數叫做偶數，又叫做雙數，如：2、4、6、8等，奇數：不

是2的倍數的數叫做奇數，又叫做單數，合數：指自然數中除了能被1和本身整除外，還能

被其他的數整除的數，“0”“1”既不是質數也不是合數，質數：一個數只有1和它本身兩

個因數，這個數叫作質數。

【解答】解：一個真分數的分子與分母都是質數，分子與分母的和是奇數，這個分數的分子

是2。故選：A。

【點評】本題考查的主要內容是質數、奇數的應用問題。

4．【分析】把它們公有的質因數連乘起來，所得的積就是它們的最大公因數。

【解答】解：因為A=2′2′3′5，B=2′3′3′5，所以A與B的最大公因數是2′3′5=30。

故選：C。

【點評】熟練掌握用分解質因數的方法求兩個數的最大公因數的方法是解題的關鍵。

5．【分析】根據題意可知，小紅的郵票張數′3=小明的郵票張數，小紅的郵票張數′5=小張

的郵票張數，所以畫圖時，用一條線段表示小紅的郵票張數，用這條線段的3倍表示小明的

郵票張數，用這條線段的5倍表示小張的郵票張數；據此解答。

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【解答】解：根據分析可知，畫線段圖時需要把小紅作為一倍的量先畫。故選：A。

【點評】本題考查了借助畫圖來解決問題，關鍵是找到表示一倍的量。

6．【分析】根據因數和倍數的意義，如果數a能被數b整除(b10)，a就叫做b的倍數，b就

叫做a的因數；列乘法算式找因數，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個數

的乘法算式，乘法算式中的兩個因數就是這個數的因數。據此找出48的因數，再找出48的

因數里面哪些是4的倍數。

【解答】解：48=1′48=2′24=3′16=4′12=6′8

48?4=12

24?4=6

16?4=4

4?4=1

12?4=3

8?4=2

既是48的因數，又是4的倍數有48、24、16、4、12、8，一共6個數。

既有筆又有尺的同學有6名。故選：B。

【點評】本題主要考查了因數、倍數的求法和應用，掌握相應的計算方法是解答本題的關鍵。

7．【分析】根據題意可知，把每個選項的因數都寫出來，再相加，看看是否符合“完全數”

的規(guī)律。

【解答】解：16的因數有：1；16；2；8；4。1+2+4+8=15，不是“完全數”。

20的因數有：1；20；2；10；4；5。1+2+4+5+10=22，不是“完全數”。

28的因數有：1；28；2；14；4；7。1+2+4+7+14=28，是“完全數”。

36的因數有：1；36；2；18；3；12；4；9；6。1+2+3+4+6+9+12+18=55，不是“完全

數”。

故選：C。

【點評】熟練掌握“完全數”的概念特征，是解決本題的關鍵。

8．【分析】根據短除法可知，短除符號左邊的質數表示這兩個數的公有的質因數，下面表示

獨有的質因數，把這兩個數的公有的質因數相乘的積就是它們的最大公因數，公有的質因數

與獨有質因數的乘積就是它們的最小公倍數。

【解答】解：A.24和30的最小公因數是1，原題說法錯誤；

B.24和30公有的質因數是2和3的說法正確；

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C.24和30的最大公因數是2′3=6的說法正確；

D.24和30的最小公倍數是2′3′4′5=120的說法正確。故選：A。

【點評】熟練掌握短除法各部分表示的數的意義是解題的關鍵。

二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9．【分析】首先根據是2、5的倍數的數的特征：是2的倍數的數的個位都是偶數，是5的

倍數的數個位不是0就是5，判斷出它的個位只能填0、5；然后根據是3的倍數的數各個位

上的數相加所得的和是3的倍數，判斷出百位上最大能填幾即可．

【解答】解：根據是2、5的倍數的數的特征，

可得它的個位只能填0；

因為7+8+0=15，15是3的倍數，

所以百位上最大能填9；故答案為：0、9．

【點評】此題主要考查了是2、3、5的倍數的數的特征．

10．【分析】根據質數的定義，除了1和本身外，沒有其它因數的數叫質數；

16以內的質數有：2、3、5、7、11、13，即可解答此題。

【解答】解：16=3+13=5+11

故答案為：3；13（答案不唯一）。

【點評】此題考查了質數的意義以及拓展應用，要熟練掌握。

11．【分析】最小的質數是2，億位上是2；最小的合數是4，萬位上是4；既不是質數也不

是合數的數是1，千位上是1；百位上的數與萬位上的數互質且和大于10，百位上是7或9，

其余數位是0，這個數是200041700或200041900。

【解答】解：一個數億位上的數是最小的質數，萬位上的數是最小的合數，千位上的數既不

是質數也不是合數，百位上的數與萬位上的數互質且和大于10，其余各位上都是0，這個數

是200041700或200041900。故答案為：200041700，200041900。

【點評】此題考查了合數與質數的初步認識，要求學生掌握。

12．【分析】首先分析題中能被2整除的整數有多少個，能被3整除的整數有多少個，再去

掉能被6整除的整數即可求解。

【解答】解：依題意可知：

1~101中能被2整除的有：101?2?50（個)

1~101中能被3整除的有：101?3?33（個)

1~101中能被6整除的有：101?6?16（個)

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0也能被2或3整除；

共有：50+33-16+1=68（個)

答：0~101中，能被2或3整除的整數有68個。故答案為：68。

【點評】本題考查了容斥原理與數的整除特性的理解和運用，關鍵是找到能被2、3、6整除

的整數有多少個。

13．【分析】由a+1＝b可知，a與b是相鄰的兩個自然數，相鄰的兩個自然數是互質數，互

質的兩個數的最大公因數是1；

由5a＝b可知，a與b是倍數關系的兩個自然數，倍數關系的兩個自然數的最大公因數是較

小的數，最小公倍數是較大的數。

【解答】解：若a+1＝b（a、b為非0自然數），則a和b的最大公因數是1；若5a＝b（a、

b為非0自然數），則a和b的最小公倍數是b。

故答案為：1；b。

【點評】本題考查的是求幾個數最大公因數或求幾個數的最小公倍數，關鍵是兩個數互質數

時，最大公因數是1，最小公倍數是它們的積；當兩個數是倍數關系時，最大公因數時較小

的數，最小公倍數是較大的數。

14．【分析】先列舉出能組成的兩位數，再根據質數和2、3、5的倍數特征解答即可。

【解答】解：用0，1，2，3，四張數字卡片任選兩張能擺出的數有10、20、30、12、13、

21、31、23、32共9個數。其中質數有13、23、31，共3個數。2、3、5的公倍數是30。

故答案為：13（答案不唯一）；30。

【點評】本題考查的是排列組合以及質數，2、3和5的倍數特征的應用。

15．【分析】因為相鄰的偶數相差2，已知兩個連續(xù)偶數的和是42，所以較小的偶數是

(42-2)?2=20，那么較大的另一個偶數是20+2=22，再根據求兩個數的最大公因數的方法，

最小公倍數的方法進行解答即可。

【解答】解：(42-2)?2

=40?2

=20

20+2=22

20=2′2′5

22=2′11

所以20和22的最大公因數是2，最小公倍數是2′2′5′11=220。

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答：這兩個偶數分別是20和22，它們的最大公因數是2，最小公倍數是220。

故答案為：20；22；2；220。

【點評】此題考查的目的是理解掌握偶數的排列規(guī)律，以及求兩個數的最大公因數、最小公

倍數的方法，結合題意分析解答即可。

16．【分析】兩個數為倍數關系，則最大公因數是較小的數；判斷兩個相關聯的量之間成什

么比例，就看這兩個量是對應的比值一定，還是對應的乘積一定，如果是比值一定，就成正

比例，如果是乘積一定，則成反比例。

【解答】解：因為a?b=3(a、b均為非零自然數），所以a和b的最大公因數是b；

a?b=3（一定），商一定，所以a和b成正比例關系。故答案為：b，正。

【點評】本題考查了求幾個數的最大公因數以及辨識成正比例的量的知識，掌握求兩個數最

大公因數的方法和判斷兩個相關聯的量之間成什么比例的方法是解題的關鍵。

三．判斷題（共4小題，滿分8分，每小題2分）

17．【分析】根據奇數與偶數的意義：自然數中，是2的倍數的數叫做偶數，不是2的倍數

的數叫做奇數；所以奇數的因數一定是奇數，由此即可判斷．

【解答】解：因為奇數的因數一定是奇數，

所以一個奇數與一個偶數的最大公因數也一定是奇數．故答案為：√．

【點評】此題考查的目的是使學生理解偶數與奇數的意義，掌握奇數和偶數的性質，根據其

性質進行分析解答．

18．【分析】在自然數中，除了1和它本身外沒有別的因數的數為質數，除了1和它本身外，

還有別的因數的數為合數．由此可知，最小的質數為2，最小的合數為4.1即不是質數也不是

合數．則在1、2、3、4、5?中除了質數以外都是合數的說法是錯誤的．

【解答】解：根據質數與合數定義可知，1即不是質數也不是合數．

所以在1、2、3、4、5?中除了質數以外都是合數的說法是錯誤的．故答案為：錯誤．

【點評】自然數中，除了1和0外的其它數中，不是質數就是合數．

19．【分析】如果a和b是兩個數不為0的自然數，a′b=c，則a和b都是c的因數，c即是a

的倍數，也是b的倍數，c是a和b公共的倍數，所以c是a和b這兩個數的公倍數。

【解答】解：兩個數（不為0的自然數）的積一定是這兩個數的公倍數。所以原題說法正確。

故答案為：?。

【點評】此題主要考查因數和倍數、公倍數的意義。

20．【分析】根據2、3、5的倍數特征可知：個位上是0的數能同時被是2和5倍數，此題

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這個數是3的倍數已知，據此分析解答．

【解答】解：個位上是0的數能同時被是2和5倍數，此題這個三位數是3的倍數已知，所

以一個三位數，個位上的數字是0，并且是3的倍數，這個數一定是2、3、5的公倍數的說

法是正確的；故答案為：正確．

【點評】本題主要考查2、3、5的倍數特征，注意個位上是0的數能同時被是2和5倍數．

四．應用題（共10小題，滿分60分，每小題6分）

21．【分析】根據題意“任何大于2的偶數都可以表示成兩個質數之和”，舉例子解答即可。

【解答】解：示例：12=5+7，12是大于2的偶數，5和7都是質數，符合“哥德巴赫猜

想”。

14=3+11，14是大于2的偶數，3和11都是質數，符合“哥德巴赫猜想”。（答案不唯一）

【點評】此題考查了質數的意義以及拓展應用，要熟練掌握。在自然數中，注意特殊的數2

既為偶數，同時也為質數。

22．【分析】12是n的倍數，18也是n的倍數，那么n就是12和18的公因數，分別求出12

和18的因數，其中相同的因數即可用n表示。

【解答】解：12的因數有：1、2、3、4、6、12；

18的因數有：1、2、3、6、9、18；

12和18的公因數有：1、2、3、6；

n所表示的數有：1、2、3、6。

【點評】此題考查因數與倍數之間的關系，熟練掌握公因數的求法是解題的關鍵。

23．【分析】因為母親和女兒的年齡差是不變的，先求出母親比女兒答了幾歲，再求出女兒

幾歲的時候母親的年齡是女兒的4倍。

【解答】解：37-7=30（歲)

女兒：30?(4-1)

=30?3

=10（歲)

10-7=3（年)

答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。

【點評】本題是將差倍問題與年齡問題相結合，與一般的差倍問題類似，先求出差是多少，

再根據公式：小數=1倍數=差?倍數的差，求出一份量，再計算多份量。

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24．【分析】由于每只瓶都稱了三次，因此記錄數之和是4瓶油（連瓶）重量之和的3倍，

即4瓶油（加瓶）共重(8+9+10+11+12+13)?3=21（千克），而油重之和及瓶重之和均為質

數，所以它們必為一奇一偶，而質數中是偶數的質數只有2，當油重之和為19千克，瓶重之

11

和為2千克，每只瓶重2?4=（千克），最重的兩瓶內的油為13-′2=12（千克）；當油

22

19197

重之和為2千克，瓶重之和為19千克，每只瓶重千克，最重的兩瓶內的油為13-′2=

442

（千克），這與油重之和為2千克矛盾，不符合題意。

【解答】解：每個瓶稱三次，故四個瓶子總重量為(8+9+10+11+12+13)?3=21（千克），21

是奇數，故空瓶重量之和與油重量之和必為一奇一偶。

而質數中是偶數的質數只有2，分兩種情況求解：

1

（1）當空瓶重量和為2，油重量和為19；每個空瓶2?4=（千克），故最重兩瓶（即重13

2

1

的兩瓶）有13-′2=12（千克）；

2

19

（2）油重之和為2千克，瓶重之和為19千克，每只瓶重19?4=千克，最重的兩瓶內的油

4

197

為13-′2=（千克），這與油重之和為2千克矛盾，不符合題意。

42

答：最重的兩瓶內有12千克油。

【點評】本題主要考查了有關偶數、質數以及奇數的知識，解題的關鍵是求出4瓶油（加瓶）

的質量。

25．【分析】四位數的各位數字之和是3，那么有3種情況①千位上的數字是3，其它位上的

數字都是0；②有兩位上的數字是1或2，其它位上是0；③千位上是1，百位、十位、個位

這三位上有1位是0，其它兩位上的數字是都是1；分別找出這些數，然后再找出7的倍數即

可。

【解答】解：①千位上的數字是3，其它位上的數字都是0，這個數是3000，3000不是7的

倍數。

②有兩位上的數字是1或2，其它位上是0，有以下數字：1002，1020，1200，2001，2010，

2100；這些數字中只有2100是7的倍數，符合條件。

③千位上是1，百位、十位、個位這三位上有1位是0，其它兩位上的數字是都是1；有以下

數字：

1011，1101，1110；這些數都不是7的倍數。

符合條件的數只有2100。答：這個四位數是2100。

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【點評】解決本題關鍵是根據各個位上的數字和是3，找出可能的數字組合，得出四位數，

再根據是7的倍數這一條件取數即可。

26．【分析】求至少多少天后給這兩種花同時澆水，根據題意“月季每4天澆一次水，君子

蘭每6天澆一次水”可得：即求4和6的最小公倍數，根據求兩個數的最小公倍數的方法：

即這兩個數的公有質因數與獨有質因數的連乘積；進行解答即可．

【解答】解：4=2′2，6=2′3，

所以4和6的最小公倍數是2′2′3=12；

答：至少12天后給這兩種花同時澆水．

【點評】此題主要考查求兩個數的最小公倍數的方法：兩個數的公有質因數與每個數獨有質

因數的連乘積是最小公倍數；數字大的可以用短除法解答．

27．【分析】一個質數的6倍與另一個質數的6倍的和是180，那么這兩個質數的和就是

(180?6)，再根據質數的定義解答即可。

【解答】解：180?6=30

30=7+23

30=11+19

30=13+17

答：這兩個質數分別是7和23或11和19或13和17。

【點評】解答本題的關鍵是掌握質數的定義。

28．【分析】自然數：用以計量事物的件數或表示事物個數的數；整數：包括正整數、0、負

整數，其中正整數和0是自然數；小數：由整數部分、小數點和小數部分組成的數；合