解答題045類概率與統(tǒng)計(jì)答題模板（分布列及期望方差、二項(xiàng)分布超幾何分布正態(tài)分布、條件概率全概率貝葉斯公式、獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸直線方程、概率與數(shù)列及導(dǎo)數(shù)雜糅）模板模板01離散型隨機(jī)變量的分布列及期望方差的答題模板模板02二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布的答題模板模板03條件概率、全概率與貝葉斯公式的答題模板模板04獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸直線方程的答題模板模板05概率與數(shù)列及導(dǎo)數(shù)雜糅的答題模板本節(jié)導(dǎo)航模板01離散型隨機(jī)變量的分布列及期望方差的答題模板離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征是新高考卷中的高頻考點(diǎn)，難度適中，常在解答題中出現(xiàn)，需要重點(diǎn)復(fù)習(xí)。1．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.2．離散型隨機(jī)變量均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.3．離散型隨機(jī)變量方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．1．（2021·全國·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.2．（2024·四川宜賓·一模）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得分，沒有命中得分；向乙靶射擊一次，命中的概率為，命中得分，沒有命中得分。假設(shè)該射手完成以上三次射擊，且每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求該選手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分的分布列及其數(shù)學(xué)期望.1．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發(fā)給朋友A，如果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友B，如果B猜中，A、B平分紅包里的金額；如果B未猜中，B將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C，如果C猜中，A、B和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)A、B、C猜中的概率分別為，，，且A、B、C是否猜中互不影響．(1)求A恰好獲得8元的概率；(2)設(shè)A獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）某中學(xué)為積極貫徹并落實(shí)教育部提出的“五育并舉”措施，在軍訓(xùn)期間成立了自動(dòng)步槍社團(tuán)來促進(jìn)同學(xué)們德智體美勞全面發(fā)展，在某次軍訓(xùn)課上該自動(dòng)步槍社團(tuán)的某同學(xué)進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知該同學(xué)每次射擊成功的概率均為.(1)求該同學(xué)進(jìn)行三次射擊恰好有兩次射擊成功的概率；(2)若該同學(xué)進(jìn)行三次射擊，第一次射擊成功得2分，第二次射擊成功得2分，第三次射擊成功得4分，記為三次射擊總得分，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.3．（2024·山東煙臺(tái)·三模）為提高學(xué)生對(duì)航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某學(xué)校組織學(xué)生參加航天科普知識(shí)挑戰(zhàn)賽，比賽共設(shè)置A，B，C三個(gè)問題，規(guī)則如下：①每位參加者計(jì)分器的初始分均為50分，答對(duì)問題A，B，C分別加10分，20分，30分，答錯(cuò)任一題減10分；②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于40分或答完三題時(shí)累計(jì)分?jǐn)?shù)不足80分，答題結(jié)束，挑戰(zhàn)失??；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于80分時(shí)，答題結(jié)束，挑戰(zhàn)成功；③每位參加者按問題A，B，C順序作答，直至挑戰(zhàn)結(jié)束.設(shè)甲同學(xué)能正確回答出問題A，B，C的概率分別為，，，且回答各題正確與否互不影響.(1)求甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率；(2)用X表示甲同學(xué)答題結(jié)束時(shí)答對(duì)問題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.模板02二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布的答題模板二項(xiàng)分布、超幾何分布以及正態(tài)分布是新高考卷中頻繁出現(xiàn)的考點(diǎn)，難度適中，通常在解答題中進(jìn)行考查，需要重點(diǎn)復(fù)習(xí)。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布定義在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率計(jì)算公式Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)超幾何分布列一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))正態(tài)分布正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974.1．（2024·陜西商洛·一模）甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽、雙方約定采用五局三勝制（有一方先勝三局即贏得比賽，比賽結(jié)束），根據(jù)雙方以往的比賽情況可知每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是．假設(shè)每局比賽結(jié)果互不影響．(1)求比賽進(jìn)行四局且甲獲勝的概率：(2)比賽結(jié)束時(shí)、甲、乙共進(jìn)行了局比賽，求的分布列和期望．（2024·全國·三模）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則：每一局比賽中，勝者得1分，負(fù)者得0分，且比賽中沒有平局.根據(jù)以往戰(zhàn)績，每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果互不影響.(1)經(jīng)過3局比賽，記甲的得分為X，求X的分布列和期望；(2)若比賽采取3局制，試計(jì)算3局比賽后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率.2．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）體育老師想了解高三（1）班男學(xué)生100米達(dá)標(biāo)情況，首次隨機(jī)抽查了12名男學(xué)生，結(jié)果有8名學(xué)生達(dá)標(biāo)，4名學(xué)生沒有達(dá)標(biāo)．(1)現(xiàn)從這12名男學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，用X表示抽取的3名學(xué)生中沒有達(dá)標(biāo)的人數(shù)，求X的分布列和期望；(2)為了提高達(dá)標(biāo)率，老師經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練，第二次測試達(dá)標(biāo)率增加了，現(xiàn)從該班男學(xué)生中任意抽取2人，求至多兩次測試后，這兩人全部達(dá)標(biāo)的概率．（2024·廣東茂名·一模）近幾年，隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革孕育興起，新能源汽車產(chǎn)業(yè)進(jìn)入了加速發(fā)展的階段，我國的新能源汽車產(chǎn)業(yè)，經(jīng)過多年的持續(xù)努力，技術(shù)水平顯著提升、產(chǎn)業(yè)體系日趨完善、企業(yè)競爭力大幅增強(qiáng)，呈現(xiàn)市場規(guī)模、發(fā)展質(zhì)量“雙提升”的良好局面.某汽車廠為把好質(zhì)量關(guān)，對(duì)送來的某個(gè)汽車零部件進(jìn)行檢測.(1)若每個(gè)汽車零部件的合格率為0.9，從中任取3個(gè)零部件進(jìn)行檢測，求至少有1個(gè)零部件是合格的概率；(2)若該批零部件共有20個(gè)，其中有4個(gè)零部件不合格，現(xiàn)從中任取2個(gè)零部件，求不合格零部件的產(chǎn)品數(shù)的分布列及其期望值.3．（2024·河南·模擬預(yù)測）某大型公司進(jìn)行了新員工的招聘，共有10000人參與.招聘規(guī)則為：前兩關(guān)中的每一關(guān)最多可參與兩次測試，只要有一次通過，就自動(dòng)進(jìn)入下一關(guān)的測試，否則過關(guān)失敗.若連續(xù)通過三關(guān)且第三關(guān)一次性通過，則成功競聘，已知各關(guān)通過與否相互獨(dú)立.(1)若小李在第一關(guān)?第二關(guān)及第三關(guān)通過測試的概率分別為，求小李成功競聘的概率；(2)統(tǒng)計(jì)得10000名競聘者的得分，試估計(jì)得分在442分以上的競聘者有多少人.（四舍五人取整）附：若隨機(jī)變量，則（2024·湖南常德·一模）某市共有教師1000名，為了解老師們的寒假研修學(xué)習(xí)情況，評(píng)選研修先進(jìn)個(gè)人，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10名教師利用“學(xué)習(xí)APP”學(xué)習(xí)的時(shí)長數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.學(xué)習(xí)時(shí)長不低于80小時(shí)的教師評(píng)為“研修先進(jìn)個(gè)人”.(1)現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取3名教師的學(xué)習(xí)時(shí)長，求這3名教師中恰有1名教師是研修先進(jìn)個(gè)人的概率.(2)若該市所有教師的學(xué)習(xí)時(shí)長近似地服從正態(tài)分布，其中，為抽取的10名教師學(xué)習(xí)時(shí)長的樣本平均數(shù)，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①試估計(jì)學(xué)習(xí)時(shí)長不低于50小時(shí)的教師的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若從該市隨機(jī)抽取的n名教師中恰有ξ名教師的學(xué)習(xí)時(shí)長在內(nèi)，則當(dāng)?shù)木挡恍∮?2時(shí)，n的最小值為多少？附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.1．（2024·甘肅白銀·一模）某導(dǎo)彈試驗(yàn)基地對(duì)新研制的兩種導(dǎo)彈進(jìn)行試驗(yàn)，導(dǎo)彈每次擊中空中目標(biāo)?地面目標(biāo)的概率分別為，導(dǎo)彈每次擊中空中目標(biāo)?地面目標(biāo)的概率分別為.(1)若一枚導(dǎo)彈擊中一個(gè)空中目標(biāo)，且一枚導(dǎo)彈擊中一個(gè)地面目標(biāo)的概率為，一枚導(dǎo)彈擊中一個(gè)地面目標(biāo)，且一枚導(dǎo)彈擊中一個(gè)空中目標(biāo)的概率為，比較的大??；(2)現(xiàn)有兩枚A導(dǎo)彈，一枚導(dǎo)彈，用來射擊兩個(gè)空中目標(biāo)，一個(gè)地面目標(biāo)（每枚導(dǎo)彈各射擊一個(gè)目標(biāo)），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)射擊方案，使得擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)的期望最大，并求此時(shí)擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)的分布列和期望.2．（2024·上海長寧·二模）盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的6個(gè)紅球和3個(gè)白球；(1)從盒子中隨機(jī)抽取出1個(gè)球，觀察其顏色后放回，并同時(shí)放入與其顏色相同的球3個(gè)，然后再從盒子隨機(jī)取出1個(gè)球，求第二次取出的球是紅球的概率；(2)從盒子中不放回地依次隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為，求的分布、期望與方差；3．（2024·海南·模擬預(yù)測）某大型公司進(jìn)行了新員工的招聘，共有來自全國各地的10000人參加應(yīng)聘.招聘分為初試與復(fù)試.初試為筆試，已知應(yīng)聘者的初試成績.復(fù)試為闖關(guān)制：共有三關(guān)，前兩關(guān)中的每一關(guān)最多可闖兩次，只要有一次通過，就進(jìn)入下一關(guān)，否則闖關(guān)失??；第三關(guān)必須一次性通過，否則闖關(guān)失敗.若初試通過后，復(fù)試三關(guān)也都通過，則應(yīng)聘成功.(1)估計(jì)10000名應(yīng)聘者中初試成績位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；(2)若小王已通過初試，在復(fù)試時(shí)每次通過第一關(guān)、第二關(guān)及第三關(guān)的概率分別為，且每次闖關(guān)是否通過不受前面闖關(guān)情況的影響，求小王應(yīng)聘成功的概率.附：若隨機(jī)變量，則.模板03條件概率、全概率與貝葉斯公式的答題模板在概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)中，條件概率是一個(gè)極其重要的概念，它衍生出了兩個(gè)極為關(guān)鍵的公式——全概率公式和貝葉斯公式，三類公式并稱為概率“三劍客”，是高考的重要考點(diǎn)，需強(qiáng)化練習(xí)條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當(dāng)P(B)>0時(shí)，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當(dāng)P(A)>0時(shí)，A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計(jì)算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對(duì)任意的事件有1．（2022·全國·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）中華茶文化源遠(yuǎn)流長，博大精深，不但包含豐富的物質(zhì)文化，還包含深厚的精神文化.其中綠茶在制茶過程中，在采摘后還需要經(jīng)過殺青、揉捻、干燥這三道工序.現(xiàn)在某綠茶廠將采摘后的茶葉進(jìn)行加工，其中殺青、揉捻、干燥這三道工序合格的概率分別為，每道工序的加工都相互獨(dú)立，且茶葉加工中三道工序至少有一道工序合格的概率為.三道工序加工都合格的綠茶為特級(jí)綠茶，恰有兩道工序加工合格的綠茶為一級(jí)綠茶，恰有一道工序加工合格的綠茶為二級(jí)綠茶，其余的為不合格綠茶.(1)在綠茶的三道工序中恰有兩道工序加工合格的前提下，求殺青加工合格的概率;(2)每盒綠茶（凈重）原材料及制作成本為30元，其中特級(jí)綠茶、一級(jí)綠茶、二級(jí)綠茶的出廠價(jià)分別為90元，60元，40元，而不合格綠茶則不進(jìn)入市場.記經(jīng)過三道工序制成的一盒綠茶的利潤為元，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.2．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)某電子元件制造廠有甲、乙、丙、丁4條生產(chǎn)線，現(xiàn)有40個(gè)該廠生產(chǎn)的電子元件，其中由甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)的電子元件分別為5個(gè)、10個(gè)、10個(gè)、15個(gè)，且甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)該電子元件的次品率依次為．(1)若將這40個(gè)電子元件按生產(chǎn)線生產(chǎn)的分成4箱，現(xiàn)從中任取1箱，再從中任取1個(gè)電子元件，求取到的電子元件是次品的概率．(2)若將這40個(gè)電子元件裝入同一個(gè)箱子中，再從這40個(gè)電子元件中任取1個(gè)電子元件，取到的電子元件是次品，求該電子元件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率．3．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任選一個(gè)箱子，再從中隨機(jī)摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大.（2024·安徽·模擬預(yù)測）現(xiàn)需要抽取甲?乙兩個(gè)箱子的商品，檢驗(yàn)其是否合格.其中甲箱中有9個(gè)正品和1個(gè)次品；乙箱中有8個(gè)正品和2個(gè)次品.從這兩個(gè)箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，再從該箱中等可能抽出一個(gè)商品，稱為首次檢驗(yàn).將首次檢驗(yàn)的商品放回原來的箱子，再進(jìn)行二次檢驗(yàn)，若兩次檢驗(yàn)都為正品，則通過檢驗(yàn).首次檢驗(yàn)選到甲箱或乙箱的概率均為.(1)求首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的概率；(2)在首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗(yàn)選到的箱子為甲箱的概率；(3)將首次檢驗(yàn)抽出的合格產(chǎn)品放回原來的箱子，繼續(xù)進(jìn)行二次檢驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案：方案一，從首次檢驗(yàn)選到的箱子中抽??；方案二，從另外一個(gè)箱子中抽取.比較兩個(gè)方案，哪個(gè)方案檢驗(yàn)通過的概率大.1．（2024·山東·一模）某商場在開業(yè)當(dāng)天進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，規(guī)定該商場購物金額前200名的顧客，均可獲得3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次中獎(jiǎng)的概率為，每次中獎(jiǎng)與否相互不影響，中獎(jiǎng)1次可獲得50元獎(jiǎng)金，中獎(jiǎng)2次可獲得100元獎(jiǎng)金，中獎(jiǎng)3次可獲得200元獎(jiǎng)金．(1)求顧客甲獲得了100元獎(jiǎng)金的條件下，甲第一次抽獎(jiǎng)就中獎(jiǎng)的概率；(2)若該商場開業(yè)促銷活動(dòng)的經(jīng)費(fèi)為1.5萬元，則該活動(dòng)是否會(huì)超過預(yù)算？請(qǐng)說明理由．2．（2024·黑龍江大慶·一模）2024年7月12日，國家疾控局會(huì)同教育部?國家衛(wèi)生健康委和體育總局制定并發(fā)布了《中小學(xué)生超重肥胖公共衛(wèi)生綜合防控技術(shù)導(dǎo)則》，其中一級(jí)預(yù)防干預(yù)技術(shù)的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖飲料，足量飲水”，某中學(xué)準(zhǔn)備發(fā)布健康飲食的倡議，提前收集了學(xué)生的體重和飲食習(xí)慣等信息，其中學(xué)生飲用含糖飲料的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：學(xué)校有的學(xué)生每天飲用含糖飲料不低于500毫升，這些學(xué)生的肥胖率為；而每天飲用含糖飲料低于500毫升的學(xué)生的肥胖率為.(1)若從該中學(xué)的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，求該生肥胖的概率；(2)現(xiàn)從該中學(xué)的學(xué)生中任意抽取三名學(xué)生，記表示這三名學(xué)生中肥胖的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.3．（2024·湖南·二模）現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)某種相同的產(chǎn)品進(jìn)入市場，已知甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率分別為，，，現(xiàn)有某質(zhì)檢部門，對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，首先從三個(gè)工廠中等可能地隨機(jī)選擇一個(gè)工廠，然后從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品抽取一件進(jìn)行檢測.(1)若該質(zhì)檢部門的一次抽檢中，測得的結(jié)果是該件產(chǎn)品為優(yōu)秀等級(jí)，求該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率；(2)因?yàn)槿齻€(gè)工廠的規(guī)模大小不同，假設(shè)三個(gè)工廠進(jìn)入市場的產(chǎn)品的比例為2∶1∶1，若該質(zhì)檢部門從已經(jīng)進(jìn)入市場的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，求能達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的產(chǎn)品的件數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.模板04獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸直線方程的答題模板獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸直線方程本身知識(shí)點(diǎn)較為簡單，但通常結(jié)合統(tǒng)計(jì)與概率的其他知識(shí)點(diǎn)聯(lián)合考查，需重點(diǎn)強(qiáng)化練習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)解題方法：（1）依題意完成列聯(lián)表；（2）用公式求解；（3）對(duì)比觀測值即可得到所求結(jié)論的可能性獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算公式：線性回歸分析解題方法：（1）計(jì)算的值；（2）計(jì)算回歸系數(shù)；（3）寫出回歸直線方程.線性回歸直線方程為：，，其中為樣本中心，回歸直線必過該點(diǎn)（4）線性相關(guān)系數(shù)（衡量兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱），正相關(guān)；，負(fù)相關(guān)1．（2024·全國·高考真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，設(shè)為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（2023·全國·高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.6352．（2022·全國·高考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．（2024·山東淄博·二模）汽車尾氣排放超標(biāo)是導(dǎo)致全球變暖、海平面上升的重要因素．我國近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展．某汽車制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：年份t20152016201720182019年份代碼x（x＝t﹣2014）12345銷量y（萬輛）1012172026(1)計(jì)算銷量y關(guān)于年份代碼x的線性相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否可以認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（若|r|≥0.75，則認(rèn)為有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系）．若是，求出y關(guān)于x的線性回歸方程：若不是，說明理由；(2)為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)又隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100位購車車主的購車情況，假設(shè)一位車主只購一輛車．男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有40名，購置新能源汽車的有30名：女性車主中有一半購置新能源汽車．將頻率視為概率，已知一位車主購得新能源汽車，請(qǐng)問這位車主是女性的概率．附：若為樣本點(diǎn)，相關(guān)系數(shù)公式：r；為回歸方程，則，．1．（2022·全國·高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知某學(xué)校為提高學(xué)生課外鍛煉的積極性，開展了豐富的課外活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)開展的課外活動(dòng)的滿意程度，該校隨機(jī)抽取了350人進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：性別課外活動(dòng)合計(jì)滿意不滿意男150100250女5050100合計(jì)200150350(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)課外活動(dòng)的滿意情況與性別因素有關(guān)聯(lián)？(2)從這350名樣本學(xué)生中任選1名學(xué)生，設(shè)事件A＝“選到的學(xué)生是男生”，事件B＝“選到的學(xué)生對(duì)課外活動(dòng)滿意”，比較和的大小，并解釋其意義，附：0.10.050.012.7063.8416.6353．（2024·青海西寧·一模）某廠近幾年陸續(xù)購買了幾臺(tái)型機(jī)床，該型機(jī)床已投入生產(chǎn)的時(shí)間（單位：年）與當(dāng)年所需要支出的維修費(fèi)用（單位：萬元）有如下統(tǒng)計(jì)資料：234562.23.85.56.57.0已知，，，，(1)計(jì)算與的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.001），并判斷該型機(jī)床的使用年限與所支出的維修費(fèi)用的相關(guān)性強(qiáng)弱（若，則認(rèn)為與相關(guān)性很強(qiáng)，否則不強(qiáng)）.(2)該廠購入一臺(tái)新的型機(jī)床，工人們分別使用這臺(tái)機(jī)床（記為）和一臺(tái)已經(jīng)使用多年的型機(jī)床（記為）各制造50個(gè)零件，統(tǒng)計(jì)得出的數(shù)據(jù)如下表：機(jī)床零件合計(jì)合格不合格440合計(jì)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“零件合格情況是否與機(jī)床的使用情況有關(guān)”.附參考公式及數(shù)據(jù)，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828模板05概率與數(shù)列及導(dǎo)數(shù)雜糅的答題模板概率與數(shù)列及導(dǎo)數(shù)的綜合是新高考卷的新命題內(nèi)容，難度中等偏難，常在大題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).用數(shù)列和導(dǎo)數(shù)的分塊知識(shí)來證明數(shù)列、求和及證明單調(diào)性、求最值即可1．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．1．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）某學(xué)校有、兩個(gè)餐廳，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在第一天就餐時(shí)會(huì)隨機(jī)地選擇一個(gè)餐廳用餐．此后，如果某同學(xué)某天去餐廳，那么該同學(xué)下一天還去餐廳的概率為；如果某同學(xué)某天去餐廳，那么該同學(xué)下一天去餐廳的概率為．(1)記甲、乙、丙3位同學(xué)中第2天選擇餐廳的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望；(2)甲同學(xué)第幾天去餐廳就餐的可能性最大？并說明理由．2．（2024·四川·模擬預(yù)測）在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，并將這100人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過3000元）：消費(fèi)金額（單位：百元）頻數(shù)2035251055(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額Z（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)x（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值，）.現(xiàn)從該市任取20名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額恰在390元至2370元之間的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)A市某大學(xué)后勤部為鼓勵(lì)大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價(jià)值100元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎(jiǎng)”的活動(dòng).規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、第60格共61個(gè)方格棋子開始在第0格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動(dòng)一格（從k到），若挪出反面，則將棋子向前移動(dòng)兩格（從k到）.重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第59格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功”，并贈(zèng)送500元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第60格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎(jiǎng)勵(lì)，活動(dòng)結(jié)束.①設(shè)棋子移到第n格的概率為，求證：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.2．（2021·全國·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．1．（2024·廣東汕頭·三模）假設(shè)甲同學(xué)每次投籃命中的概率均為.(1)若甲同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率.(2)甲同學(xué)現(xiàn)有4次投籃機(jī)會(huì)，若連續(xù)投中2次，即停止投籃，否則投籃4次，求投籃次數(shù)的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.(3)提高投籃命中率，甲學(xué)決定參加投籃訓(xùn)練，訓(xùn)練計(jì)劃如下：先投個(gè)球，若這個(gè)球都投進(jìn)，則訓(xùn)練結(jié)束，否則額外再投個(gè).試問為何值時(shí)，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大？2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：(1)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差s近似值為10，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，記質(zhì)量差服從正態(tài)分布，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．(2)假如企業(yè)包裝時(shí)要求把2件優(yōu)等品和n（，且）件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同則該箱產(chǎn)品記為A，否則該箱產(chǎn)品記為B．①試用含n的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率p；②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為，求當(dāng)n為何值時(shí)，取得最大值．1．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）某記憶力測試軟件的規(guī)則如下：在標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)位置上分別放置四張相似的圖片，觀看15秒，收起圖片并打亂，1分鐘后，測試者根據(jù)記憶還原四張卡片的位置，把四張卡片分別放到四個(gè)位置上之后完成一次測試，四張卡片中與原來位置相同1張加2分，不同1張則扣1分．(1)規(guī)定：連續(xù)三次測試全部得8分為優(yōu)秀，三次測試恰有兩次得8分為良好，若某測試者在每次測試得8分的概率均為（），求他連續(xù)三次測試結(jié)果為良好的概率的最大值；(2)假設(shè)某測試者把四張卡片隨機(jī)地放入四個(gè)位置上，他測試1次的得分為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．2．（2024·河北·三模）現(xiàn)隨機(jī)對(duì)件產(chǎn)品進(jìn)行逐個(gè)檢測，每件產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立，且每件產(chǎn)品不合格的概率均為．(1)當(dāng)時(shí)，記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格的概率為，求的最大值點(diǎn)；(2)若這件產(chǎn)品中恰好有件不合格，以（1）中確定的作為的值，則當(dāng)時(shí)，若以使得最大的值作為的估計(jì)值，求的估計(jì)值．3．（2024·廣西南寧·二模）2023年10月7日，杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)女子排球中國隊(duì)以3：0戰(zhàn)勝日本隊(duì)奪得冠軍，這也是中國女排第9個(gè)亞運(yùn)冠軍，她們用汗水詮釋了幾代女排人不屈不撓、不斷拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，組建了一支女子排球隊(duì)，其中主攻手2人，副攻手2人，接應(yīng)手1人，二傳手1人，自由人1人．現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人參與傳球訓(xùn)練(1)求抽到甲參與傳球訓(xùn)練的概率；(2)記主攻手和自由人被抽到的總?cè)藬?shù)為，求的分布列及期望；(3)若恰好抽到甲，乙，丙3人參與傳球訓(xùn)練，先從甲開始，甲傳給乙、丙的概率均為，當(dāng)乙接到球時(shí)，乙傳給甲、丙的概率分別為，當(dāng)丙接到球時(shí)，丙傳給甲、乙的概率分別為，假設(shè)球一直沒有掉地上，求經(jīng)過n次傳球后甲接到球的概率．1．（2024·陜西西安·二模）近年來我國新能源汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，新能源汽車不僅對(duì)環(huán)境保護(hù)具有重大的意義，而且還能夠減少對(duì)不可再生資源的開發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向．“保護(hù)環(huán)境，人人有責(zé)”，在政府和有關(guān)企業(yè)的努力下，某地區(qū)近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：年份x20192020202120222023新能源汽車購買數(shù)量y（萬輛）0.400.701.101.501.80(1)計(jì)算與的相關(guān)系數(shù)（保留三位小數(shù)）；(2)求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)2025年新能源汽車購買數(shù)量．參考公式，，．參考數(shù)值：，．2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在某地區(qū)進(jìn)行高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)求的值，估計(jì)該地區(qū)高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)為進(jìn)一步了解這名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行訪談，記在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望；(3)以頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用“”表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的概率，當(dāng)最大時(shí)，求的值.3．（2024·廣東佛山·一模）某機(jī)構(gòu)為了解市民對(duì)交通的滿意度，隨機(jī)抽取了100位市民進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：回答“滿意”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的一半，在回答“滿意”的人中，“上班族”的人數(shù)是“非上班族”人數(shù)的；在回答“不滿意”的人中，“非上班族”占．(1)請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析能否認(rèn)為市民對(duì)于交通的滿意度與是否上班存在關(guān)聯(lián)？滿意不滿意合計(jì)上班族非上班族合計(jì)(2)該機(jī)構(gòu)欲再從全市隨機(jī)選取市民，進(jìn)一步征求改善交通現(xiàn)狀的建議．規(guī)定：抽樣的次數(shù)不超過6次，若隨機(jī)抽取的市民屬于不滿意群體，則抽樣結(jié)束；若隨機(jī)抽取的市民屬于滿意群體，則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達(dá)到6次時(shí)，抽樣結(jié)束．以調(diào)查數(shù)據(jù)中的滿意度估計(jì)全市市民的滿意度，求抽樣次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中．4．（2024·安徽安慶·二模）樹人高中擬組織學(xué)生到某航天基地開展天宮模擬飛行器體驗(yàn)活動(dòng)，該項(xiàng)活動(dòng)對(duì)學(xué)生身體體能指標(biāo)和航天知識(shí)素養(yǎng)有明確要求．學(xué)校所有3000名學(xué)生參加了遴選活動(dòng)，遴選活動(dòng)分以下兩個(gè)環(huán)節(jié)，當(dāng)兩個(gè)環(huán)節(jié)均測試合格可以參加體驗(yàn)活動(dòng)．第一環(huán)節(jié)：對(duì)學(xué)生身體體能指標(biāo)進(jìn)行測試，當(dāng)測試值時(shí)體能指標(biāo)合格；第二環(huán)節(jié)：對(duì)身體體能指標(biāo)符合要求的學(xué)生進(jìn)行航天知識(shí)素養(yǎng)測試，測試方案為對(duì)A，B兩類試題依次作答，均測試合格才能符合遴選要求．每類試題均在題庫中隨機(jī)產(chǎn)生，有兩次測試機(jī)會(huì)，在任一類試題測試中，若第一次測試合格，不再進(jìn)行第二次測試．若第一次測試不合格，則進(jìn)行第二次測試，若第二次測試合格，則該類試題測試合格，若第二次測試不合格，則該類試題測試不合格，測試結(jié)束．經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，該校學(xué)生身體體能指標(biāo)服從正態(tài)分布．參考數(shù)值：，，．(1)請(qǐng)估計(jì)樹人高中遴選學(xué)生符合身體體能指標(biāo)的人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）；(2)學(xué)生小華通過身體體能指標(biāo)遴選，進(jìn)入航天知識(shí)素養(yǎng)測試，作答A類試題，每次測試合格的概率為，作答B(yǎng)類試題，每次測試合格的概率為，且每次測試相互獨(dú)立．①在解答A類試題第一次測試合格的條件下，求測試共進(jìn)行3次的概率．②若解答A、B兩類試題測試合格的類數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．X012P5．（2024·四川德陽·一模）甲袋裝有一個(gè)黑球和一個(gè)白球，乙袋也裝有一個(gè)黑球和一個(gè)白球，四個(gè)球除顏色外，其他均相同．現(xiàn)從甲乙兩袋中各自任取一個(gè)球，且交換放入另一袋中，重復(fù)進(jìn)行n次這樣的操作后，記甲袋中的白球數(shù)為，甲袋中恰有一個(gè)白球的概率為(1)求；(2)求的解析式；(3)求．6．（2024·安徽·一模）高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題每小題滿分6分，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有2個(gè)或者3個(gè)選項(xiàng)是正確的.若正確選項(xiàng)有2個(gè)，則選對(duì)其中1個(gè)得3分；若正確選項(xiàng)有3個(gè)，則選對(duì)其中1個(gè)得2分，選對(duì)其中2個(gè)得4分，答案中有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為，有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為.在一次模擬考試中：(1)小明可以確認(rèn)一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3，求p；(2)小明可以確認(rèn)另一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè).共選2個(gè)；③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2個(gè)，共選3個(gè).若，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）在一場羽毛球比賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”：首先，四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對(duì)陣，每組的勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”.接著，“勝區(qū)”中兩人對(duì)陣，勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”；“敗區(qū)”中兩人對(duì)陣，敗者直接淘汰出局獲第四名.然后，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對(duì)陣，勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”，敗者獲第三名.最后，“決賽區(qū)”的兩人進(jìn)行冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名.已知甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，且不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)若，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對(duì)陣乙，丙對(duì)陣?。虎偾蠹撰@得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2)除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對(duì)陣，每組的勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”，敗者淘汰；最后，“決賽區(qū)”的兩人進(jìn)行冠軍決賽，勝者獲得冠軍.

已知甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，則哪種賽制對(duì)甲奪冠有利？請(qǐng)說明理由.2340.160.5520.2888．（2024·全國·模擬預(yù)測）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國體育代表團(tuán)獲得40金27銀24銅．某校為讓學(xué)生了解更多有關(guān)奧運(yùn)會(huì)的知識(shí)，舉行了答題闖關(guān)活動(dòng)，第一關(guān)有10道題，且每一題都要作答，每道題答對(duì)得5分，否則得0分；第二關(guān)有道題，依次作答，每答對(duì)一題繼續(xù)答下一題，一旦答錯(cuò)或題目答完則結(jié)束答題，每道題答對(duì)得10分，否則得0分．小軍第一關(guān)每題答對(duì)的概率均為，第二關(guān)每題答對(duì)的概率均為，設(shè)小軍第一關(guān)答題的總得分為，第二關(guān)答題的總得分為．(1)求的數(shù)學(xué)期望；(2)求的數(shù)學(xué)期望；(3)若小軍第二關(guān)的總得分的數(shù)學(xué)期望高于第一關(guān)的總得分的數(shù)學(xué)期望，求的最小值．（，）9．（2024·廣東佛山·三模）隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學(xué)9天6天12天3天張老師6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．10．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）2024年7月26日至8月11日將在法國巴黎舉行夏季奧運(yùn)會(huì).為了普及奧運(yùn)知識(shí)，M大學(xué)舉辦了一次奧運(yùn)知識(shí)競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對(duì)則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對(duì)其中4道題，記小王在初賽中答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率；(2)大學(xué)為鼓勵(lì)大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績，對(duì)進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì).獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：已進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎(jiǎng)3次，中獎(jiǎng)1次獎(jiǎng)勵(lì)120元，中獎(jiǎng)2次獎(jiǎng)勵(lì)180元，中獎(jiǎng)3次獎(jiǎng)勵(lì)360元，若3次均未中獎(jiǎng)，則只獎(jiǎng)勵(lì)60元.假定每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率均為，且每次是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.（i）記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎(jiǎng)1次的概率為，求的極大值；（ii）大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎(jiǎng)金的期望值不小于1120元，試求此時(shí)的取值范圍.11．（2024·福建·模擬預(yù)測）為慶祝祖國周年華誕，某商場決定在國慶期間舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)．盒中裝有個(gè)除顏色外均相同的小球，其中個(gè)是紅