試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2022年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題【含答案、解析】學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．2．若與互為相反數(shù)，與互為倒數(shù)，則的值為（）A．2 B． C．0 D．或23．若，則下列不等式中，成立的是（）A． B．C． D．4．如圖中幾何體的左視圖是（）A．A B．B C．C D．D5．如圖所示的電路圖中，隨機(jī)閉合開關(guān)、、中的兩個(gè)，能讓燈泡發(fā)光的概率是（

）A． B． C． D．6．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則（

）A． B． C． D．7．如圖，，是的弦，連接，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，若，，則（

）

A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，下列的點(diǎn)位于第二象限的是（）A． B． C． D．9．如圖，交于點(diǎn)O，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是、的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．10．“整體思想”在數(shù)學(xué)計(jì)算中有著很廣泛的應(yīng)用，用這一思想方法可求得函數(shù)的最大值是（

）A．6 B．5 C．4 D．311．如圖，矩形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．12．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，，交直線于，連接．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，下列結(jié)論：①；②長(zhǎng)度的最小值為2；③當(dāng)點(diǎn)在之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)和面積保持不變；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題13．分式有意義，的取值范圍是．14．化簡(jiǎn)的結(jié)果是．15．在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，八(2)班第1組(有8人)的平均分為84分，第2組(有7人)的平均分為85分，則這兩個(gè)組15人的平均分為分．16．李老師要做一個(gè)直角三角形教具，做好后量得三邊長(zhǎng)分別是和，則這個(gè)教具（填“合格”或“不合格”）．17．已知表示正數(shù)，表示負(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)．18．如圖，在等邊△ABC的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則EP+CP的最小值是．19．如圖，直線（是常數(shù)，）與雙曲線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，則面積最小值為．三、解答題20．為調(diào)查了解學(xué)校選報(bào)引體向上的初三男生的成績(jī)情況，工作人員隨機(jī)抽測(cè)了兩個(gè)分校區(qū)部分選報(bào)引體向上項(xiàng)目的初三男生的成績(jī)，并將測(cè)試得到的成績(jī)繪成了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．你根據(jù)圖中的信息，解答下列問(wèn)題：(1)計(jì)算扇形圖中的值，并補(bǔ)全條形圖；(2)分別寫出在這次抽測(cè)中，測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)為_____個(gè)，中位數(shù)為_____個(gè)；(3)若在體育中考中學(xué)校選報(bào)引體向上的男生共有800人，按照長(zhǎng)沙市體育中考標(biāo)準(zhǔn)，引體向上完成6個(gè)，該項(xiàng)即可得到14分，請(qǐng)你估計(jì)在學(xué)校選報(bào)引體向上的男生能獲得14分及以上的有多少人？21．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量一幢樓前的椰子樹的高度如圖，已知樓高44米樓底端B與椰樹底D的水平距離為20米當(dāng)無(wú)人機(jī)從地面F點(diǎn)，豎直起飛到正上方50米E點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得樓的頂端A和椰子樹的頂端C的俯角分別為和（點(diǎn)B，F(xiàn)，D三點(diǎn)在同一直線上）．(1)求樓底B到地面F點(diǎn)的距離；(2)求椰樹的高度（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，，，）22．某市全面實(shí)施居民“階梯水價(jià)”．當(dāng)累計(jì)水量超過(guò)年度階梯水量分檔基數(shù)臨界點(diǎn)后，即開始實(shí)施階梯價(jià)格計(jì)價(jià)，分檔水量和單價(jià)見(jiàn)下表：分檔戶年用水量（立方米）自來(lái)水單價(jià)（元/立方米）污水處理單價(jià)（元/立方米）第一階梯0~220（含220）2.251.8第二階梯220~300（含300）4第三階梯300以上6.99注：應(yīng)繳的水費(fèi)＝戶年用水量×（自來(lái)水單價(jià)＋污水處理單價(jià)）仔細(xì)閱讀上述材料，請(qǐng)解答下面的問(wèn)題：(1)如果小葉家全年用水量是220立方米，那么她家全年應(yīng)繳納水費(fèi)多少元？(2)居民應(yīng)繳納水費(fèi)y（元）關(guān)于戶年用水量x（立方米）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，求第二階梯（線段）的表達(dá)式；(3)如果小明家全年繳納的水費(fèi)共計(jì)1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？23．如圖①，②，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)，以點(diǎn)A為圓心，4為半徑的圓與x軸交于O，B兩點(diǎn)，OC為弦，∠AOC=60°，P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CP．(1)求∠OAC的度數(shù)；(2)如圖①，當(dāng)CP與⊙A相切時(shí)，求PO的長(zhǎng)；(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在直徑OB上時(shí)，CP的延長(zhǎng)線與⊙A相交于點(diǎn)Q，問(wèn)PO為何值時(shí)，△OCQ是等腰三角形？24．在中，，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接．(1)如圖1，，，點(diǎn)在射線上，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，，于點(diǎn)，，猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)是上一點(diǎn)且滿足，連接，直接寫出當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)到的距離．25．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求b的值；(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點(diǎn)，，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L(zhǎng)，L與y軸交于點(diǎn)N．設(shè)L的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，的長(zhǎng)為d．①求d關(guān)于n的函數(shù)解析式；②L與x軸圍成的區(qū)域記為U，U與內(nèi)部重合的區(qū)域（不含邊界）記為W．當(dāng)d隨n的增大而增大，且W內(nèi)恰好有兩個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出n的取值范圍．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《初中數(shù)學(xué)中考試題》參考答案題號(hào)12345678910答案AACDCBCABB題號(hào)1112答案DB1．A【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，二次根式的乘除混合運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)；根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)，二次根式的乘除，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方運(yùn)算法則逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：、，故本選項(xiàng)符合題意；、，故本選項(xiàng)不符合題意；、，故本選項(xiàng)不符合題意；、，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．2．A【分析】本題主要考查了相反數(shù)的應(yīng)用，倒數(shù)，代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，牢記相反數(shù)和倒數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于可得，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的乘積是可得，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：與互為相反數(shù)，，與互為倒數(shù)，，，故選：．3．C【分析】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可，注意有時(shí)可以舉特殊反例證明錯(cuò)誤．【詳解】解：A中、利用不等式性質(zhì)兩邊同加（或減）一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變，得，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B中、例如當(dāng)，時(shí)，，但，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C中、利用不等式性質(zhì)兩邊同乘（或除）一個(gè)非的負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，得，故選項(xiàng)正確，符合題意；D中、利用不等式性質(zhì)兩邊同加（或減）一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變，得，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．4．D【詳解】解：左視圖是一個(gè)矩形，中間有條看不到的線，用虛線表示，故D正確．故選D．點(diǎn)睛：本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從左邊看，得到的圖形是左視圖，注意中間看不到的線用虛線表示．5．C【分析】畫樹狀圖展示所以6種等可能的結(jié)果，再找出能讓燈泡L2發(fā)光的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖為：共有6種等可能的結(jié)果，其中能讓燈泡L2發(fā)光的結(jié)果數(shù)為2，所以能讓燈泡L2發(fā)光的概率==．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過(guò)列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．6．B【詳解】解：連接，把代入得，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，在正方形中，，且與互相垂直平分，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將代入得，，解得，故選：B．7．C【分析】連接，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系可得，根據(jù)圓周角定理可得，即可求得．【詳解】如圖

由題可知，為直徑，故∵∴∵，所以故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，圓周角定理等，解題的關(guān)鍵是要掌握在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．8．A【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得答案，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．【詳解】解：A．點(diǎn)在第二象限，故本選項(xiàng)符合題意；B．點(diǎn)在第三象限，故本選項(xiàng)不符合題意；C．點(diǎn)在第四象限，故本選項(xiàng)不符合題意；D．點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．9．B【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．證明，利用“相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比”即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是、的中點(diǎn)，∴，故選：B．10．B【分析】設(shè)，代入，化為頂點(diǎn)式根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作答即可．【詳解】設(shè)，則，∵，∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸是直線．當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)無(wú)解．∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值5，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及“整體思想”的應(yīng)用，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化．11．D【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出，再根據(jù)矩形對(duì)角線互相平分且相等可得到，然后判斷出是等邊三角形，可得，最后利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：，，四邊形是矩形，，是等邊三角形，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)判斷出是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．12．B【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的性質(zhì)等知識(shí)，連接運(yùn)用證明即可判斷①；設(shè)，則，由勾股定理得，當(dāng)時(shí)，有最小值為，可判斷②；證明，得，因此，由得，所以，是等腰直角三角形，點(diǎn)E變化時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)會(huì)發(fā)生變化，故可判斷③；由知，在中，，可得，可判斷④．【詳解】解：①連接，如圖，∵是等腰直角三角形，，D為的中點(diǎn)，∴∴∵∴∵∴∴又∴又∴，∴，故①正確；②設(shè)，則，在中，，∴，∵∴當(dāng)時(shí)，有最小值為，故②錯(cuò)誤；③∵∴又∴,∴，∴，∵，∴，∴∵點(diǎn)E變化時(shí)，也會(huì)發(fā)生變化，∴四邊形的周長(zhǎng)會(huì)發(fā)生變化，故③錯(cuò)誤；④∵，∴在中，，∴，故④正確，∴正確的結(jié)論有2個(gè)，故選：B13．【分析】根據(jù)分式有意義的條件，使分式分母不等于0，列出不等式，解不等式即可得出答案.【詳解】解：∵分式有意義，∴，解得：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義的條件，即：分母不等于0，如果式子中含有多個(gè)分母，那么這幾個(gè)分母都不能為0.14．【分析】本題考查了分式的加減，原式變形后，利用同分母分式的減法法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式，故答案為：x．15．【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】.故答案為.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式，希望同學(xué)們要牢記公式，并能夠靈活運(yùn)用.數(shù)據(jù)x1、x2、……、xn的加權(quán)平均數(shù)：（其中w1、w2、……、wn分別為x1、x2、……、xn的權(quán)數(shù)）.16．合格【解析】略17．【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，整式的加減，根據(jù)a為正數(shù)、b為負(fù)數(shù)可得出，，進(jìn)而可化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再進(jìn)行整式的加減運(yùn)算即可．【詳解】解：∵a為正數(shù)、b為負(fù)數(shù)∴，，∴故答案為：．18．【分析】方法一：過(guò)點(diǎn)E作FE∥BC交AB于F，交AD于O，先證明△FAO≌△EAO得到OF=OE，AF=AE，即可證明△AFE是等邊三角形，再由E為AC的中點(diǎn)，可得，從而得到F為AB的中點(diǎn)，然后證明△PFO≌△PEO（SAS），PE=PF，推出當(dāng)C、F、P三點(diǎn)共線時(shí)，PE+CP=PF+CP有最小值CF，由此利用勾股定理求解即可．方法二：連接BE，BP，根據(jù)△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，得出AD⊥BC，∠FAO=∠EAO，∠BAC=60°，根據(jù)點(diǎn)P是△ABC的中線AD上，可得BP=PC，根據(jù)兩點(diǎn)間距離可得PC+PE=PB+PE≥BE，當(dāng)點(diǎn)P在BE上時(shí)，PC+PE最小=BE，根據(jù)勾股定理在Rt△ABE中，=，即可．【詳解】解：方法一：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作FE∥BC交AB于F，交AD于O，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∠FAO=∠EAO，∠BAC=60°∴∠AOE=∠AOF=90°，又∵AO=AO，∴△FAO≌△EAO（ASA）∴OF=OE，AF=AE，∴△AFE是等邊三角形，∵E為AC的中點(diǎn)，∴，∴F為AB的中點(diǎn)，∵OP=OP，∴△PFO≌△PEO（SAS），∴PE=PF，∴PE+CP=PF+CP，∴當(dāng)C、F、P三點(diǎn)共線時(shí)，PE+CP=PF+CP有最小值CF，∴，故答案為：．方法二：解：連接BE，BP∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∠FAO=∠EAO，∠BAC=60°，∵點(diǎn)P是△ABC的中線AD上，∴BP=PC，∴PC+PE=PB+PE≥BE，當(dāng)點(diǎn)P在BE上時(shí)，PC+PE最小=BE，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，∴BE⊥AC，，在Rt△ABE中，=，∴PC+PE最小=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，兩點(diǎn)之間距離，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定條件．19．【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，把分別代入、，求得，得到，利用三角形面積公式列式得到二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解，利用函數(shù)的解析式表示出線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線與雙曲線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，故答案為：．20．(1)，補(bǔ)圖見(jiàn)解析(2)5；5(3)估計(jì)在學(xué)校選報(bào)引體向上的男生能獲得14分及以上的有360人【分析】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖，求眾數(shù)，中位數(shù)，利用部分的比例求總體中的數(shù)量，（1）用1減去其他測(cè)試成績(jī)的百分比得到6個(gè)的百分比，求出a的值；利用3個(gè)的數(shù)量及百分比求出總?cè)藬?shù)，得到6個(gè)的人數(shù)，即可補(bǔ)圖；（2）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)確定即可；（3）利用總?cè)藬?shù)800乘以6個(gè)和7個(gè)的百分比的和即可【詳解】（1）解：，調(diào)查總?cè)藬?shù)為，6個(gè)的人數(shù)為，補(bǔ)圖如下：（2）測(cè)試成績(jī)中，成績(jī)?yōu)?個(gè)的最多，為60人，故眾數(shù)為5，第100和101個(gè)數(shù)據(jù)為5個(gè)，5個(gè)，故中位數(shù)是，故答案為：5,5；（3），∴估計(jì)在學(xué)校選報(bào)引體向上的男生能獲得14分及以上的有360人21．(1)(2)椰樹的高度為【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于G，則四邊形是矩形，可得，進(jìn)而求出，再即可得到答案；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于H，則四邊形是矩形，可得，再得到，則，即椰樹的高度為．【詳解】（1）解；如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于G，則四邊形是矩形，∴，∴，由題意得，，在中，；（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于H，則四邊形是矩形，∴，由題意得，，在中，，∴，∴椰樹的高度為．22．(1)她家全年應(yīng)繳納水費(fèi)891元(2)(3)他家全年用水量是270立方米【分析】（1）根據(jù)題意列出算式計(jì)算即可；（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（3）根據(jù)繳納的水費(fèi)1181元得出用水量在第二階梯范圍內(nèi)，然后將代入（2）中求出的函數(shù)解析式進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：（元），答：她家全年應(yīng)繳納水費(fèi)891元．（2）解：設(shè)線段的表達(dá)式為，把，代入得：，解得：，∴線段的表達(dá)式為．（3）解：∵，∴小明家全年用水量處于第二階梯，把代入得：，解得：，答：他家全年用水量是270立方米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合．23．（1）60°．（2）4.（3）2或2+2．【分析】（1）OA=AC首先三角形OAC是個(gè)等腰三角形，因?yàn)椤螦OC=60°，三角形AOC是個(gè)等邊三角形，因此∠OAC=60°；（2）如果PC與圓A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度數(shù)，有A點(diǎn)的坐標(biāo)也就有了AC的長(zhǎng)，可根據(jù)余弦函數(shù)求出PA的長(zhǎng)，然后由PO=PA-OA得出OP的值．（3）本題分兩種情況：①以O(shè)為頂點(diǎn)，OC，OQ為腰．那么可過(guò)C作x軸的垂線，交圓于Q，此時(shí)三角形OCQ就是此類情況所說(shuō)的等腰三角形；那么此時(shí)PO可在直角三角形OCP中，根據(jù)∠COA的度數(shù)，和OC即半徑的長(zhǎng)求出PO．②以Q為頂點(diǎn)，QC，QD為腰，那么可做OC的垂直平分線交圓于Q，則這條線必過(guò)圓心，如果設(shè)垂直平分線交OC于D的話，可在直角三角形AOE中根據(jù)∠QAE的度數(shù)和半徑的長(zhǎng)求出Q的坐標(biāo)；然后用待定系數(shù)法求出CQ所在直線的解析式，得出這條直線與x軸的交點(diǎn)，也就求出了PO的值．【詳解】解：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠OAC=60°．（2）∵CP與⊙A相切，∴∠ACP=90°，∴∠APC=90°-∠OAC=30°；又∵A（4，0），∴AC=AO=4，∴PA=2AC=8，∴PO=PA-OA=8-4=4．（3）①過(guò)點(diǎn)C作CP1⊥OB，垂足為P1，延長(zhǎng)CP1交⊙A于Q1；∵OA是半徑，∴弧OC=弧OQ1，∴OC=OQ1，∴△OCQ1是等腰三角形；又∵△AOC是等邊三角形，∴P1O=OA=2；②過(guò)A作AD⊥OC，垂足為D，延長(zhǎng)DA交⊙A于Q2，CQ2與x軸交于P2；∵A是圓心，∴DQ2是OC的垂直平分線，∴CQ2=OQ2，∴△OCQ2是等腰三角形；過(guò)點(diǎn)Q2作Q2E⊥x軸于E，在Rt△AQ2E中，∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°，∴Q2E=AQ2=2，AE=2，∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)（4+2，-2）；在Rt△COP1中，∵P1O=2，∠AOC=60°，∴CP1＝2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)（2，2）；設(shè)直線CQ2的關(guān)系式為y=kx+b，則，解得，∴y=-x+2+2；當(dāng)y=0時(shí)，x=2+2，∴P2O=2+2，綜上PO的長(zhǎng)為2或．24．(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由題意易得，，由特殊三角函數(shù)值求出，進(jìn)而得出的長(zhǎng)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）由平行線的性質(zhì)結(jié)合題意求出，進(jìn)而得出，作于，則，證明，得出，證明，得出，即可得證；（3）由題意易得、是等邊三角形，則點(diǎn)在的外接圓上，作的外接，鏈接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則垂直平分，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接，，證明，得出，連接、，在上截取，作，交于點(diǎn)，則，求出，得出，推出點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，推出，由相似三角形的性質(zhì)得出，解直角三角形得出，再由勾股定理得出，進(jìn)而得出，代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴；（2）解：，證明如下：∵，，，∴，同理可得：，∵，∴，，∴