二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習題課一、微分中值定理及其應(yīng)用機動目錄上頁下頁返回結(jié)束中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第三章第1頁

拉格朗日中值定理

一、微分中值定理及其應(yīng)用1.微分中值定理及其相互關(guān)系

羅爾定理

柯西中值定理

泰勒中值定理

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁洛必達法則羅爾定理拉格朗日中值定理慣用泰勒公式柯西中值定理泰勒中值定理單調(diào)性,極值與最值凹凸性,拐點,函數(shù)圖形描繪，曲率，求根方法.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、主要內(nèi)容第3頁2.微分中值定理主要應(yīng)用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)性態(tài)(2)證實恒等式或不等式(3)證實相關(guān)中值問題結(jié)論機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁3.相關(guān)中值問題解題方法利用逆向思維,設(shè)輔助函數(shù).普通解題方法:證實含一個中值等式或根存在,(2)若結(jié)論中包括到含中值兩個不一樣函數(shù),(3)若結(jié)論中含兩個或兩個以上中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理.必須屢次應(yīng)用中值定理.(4)若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù),多考慮用泰勒公式,(5)若結(jié)論為不等式,要注意適當放大或縮小技巧.有時也可考慮對導(dǎo)數(shù)用中值定理.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁例1.

設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且證實在內(nèi)有界.證:取點再取異于點對為端點區(qū)間上用拉氏中值定理,得(定數(shù))可見對任意即得所證.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁例2.

設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且證實最少存在一點使上連續(xù),在證:問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理條件,故至使即有少存在一點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁例3.且試證存在證:欲證因f(x)在[a,b]上滿足拉氏中值定理條件,故有將①代入②,化簡得故有①②即要證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁例4.

設(shè)實數(shù)滿足下述等式證實方程在(0,1)內(nèi)最少有一個實根.證:令則可設(shè)且由羅爾定理知存在一點使即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁例5.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且分析:所給條件可寫為(03考研)試證必存在想到找一點c,使證:因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,故由介值定理,最少存在一點由羅爾定理知,必存在第10頁例6.

設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證實證:由泰勒公式得兩式相減得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.研究函數(shù)性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點,漸近線,曲率2.處理最值問題目標函數(shù)建立與簡化最值判別問題3.其它應(yīng)用:求不定式極限;幾何應(yīng)用;相關(guān)改變率;證實不等式;研究方程實根等.4.補充定理(見下頁)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁設(shè)函數(shù)在上含有n階導(dǎo)數(shù),且則當時證:令則利用在處n－1階泰勒公式得所以時定理.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例7.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所表示,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點為

;極大值點為

.提醒:正負作f(x)示意圖.單調(diào)增區(qū)間為

;第14頁

.在區(qū)間

上是凸弧;拐點為提醒:正負作f(x)示意圖.形在區(qū)間

上是凹弧;則函數(shù)f(x)圖(2)

設(shè)函數(shù)圖形如圖所表示,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁例8.

證實在上單調(diào)增加.證:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故當x>0時,從而在上單調(diào)增.得第16頁例9.

設(shè)在上可導(dǎo),且證實f(x)至多只有一個零點.

證:設(shè)則故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有一個零點.又因所以也至多只有一個零點.思索:若題中改為其它不變時,怎樣設(shè)輔助函數(shù)?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁例10.

求數(shù)列最大項.證:設(shè)用對數(shù)求導(dǎo)法得令得因為在只有唯一極大點所以在處也取最大值.又因中最大項.極大值機動目錄上頁下頁返回結(jié)束列表判別:第18頁例11.證實證:設(shè),則故時,單調(diào)增加,從而即思索:

證實時,怎樣設(shè)輔助函數(shù)更加好?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束提醒:第19頁例12.設(shè)且在上存在,且單調(diào)遞減,證實對一切有證:設(shè)則所以當令得即所證不等式成立.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁例13.

證:只要證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用一階泰勒公式,得故原不等式成立.第21頁例14.證實當x>0時,證:令則法1由在處二階泰勒公式,得故所證不等式成立.與1之間)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁法2列表判別:即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁法3利用極值第二判別法.故也是最小值,