第2課時(shí)用加減消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組教學(xué)目標(biāo)課題第2課時(shí)用加減消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組授課人素養(yǎng)目標(biāo)會(huì)用加減消元法求稍復(fù)雜的二元一次方程組的解，進(jìn)一步體會(huì)“消元”思想.2.能運(yùn)用合適的方法解二元一次方程組，體驗(yàn)先觀察，再選擇合適的方法是做數(shù)學(xué)題的重要技巧.教學(xué)重點(diǎn)用加減消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組．教學(xué)難點(diǎn)方程組中未知數(shù)的系數(shù)既不相等，也不互為相反數(shù)時(shí)，如何運(yùn)用等式的性質(zhì)對方程進(jìn)行適當(dāng)變形，從而實(shí)現(xiàn)加減消元的靈活運(yùn)用.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：懸疑設(shè)置，新課導(dǎo)入【設(shè)計(jì)意圖】引出稍復(fù)雜的二元一次方程組的形式，為新課中學(xué)習(xí)用加減法求解進(jìn)行鋪墊.【問題引入】(1)觀察方程：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋6y＝0，,2x－6y＝9；))②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝7，,3x－4y＝－11；))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋7y＝10，,4x－5y＝6.))①②和③有什么不同？①②的兩個(gè)方程中都有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，③的兩個(gè)方程中未知數(shù)的系數(shù)不具備這種特征．(2)如何用加減法解方程組①②？試著做一做．解方程組①，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－\f(1,2).))解方程組②，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))像③這樣的方程組也可以用加減法求解嗎？這就是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．【教學(xué)建議】與學(xué)習(xí)用代入法求解稍復(fù)雜的二元一次方程組時(shí)類似，以設(shè)問的方法導(dǎo)入新課，教師提問，學(xué)生代表進(jìn)行回答，重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特征．活動(dòng)二：交流合作，探究新知【設(shè)計(jì)意圖】通過例題逐步設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生利用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組．探究點(diǎn)1用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組例1(教材P96例6)用加減法解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(3x－2y＝4，,①,7x＋4y＝18.,②)))問題1觀察方程組兩個(gè)方程中未知數(shù)的系數(shù)，這個(gè)方程組能否直接加減消元？這兩個(gè)方程中沒有同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，直接加減這兩個(gè)方程不能消元．問題2怎樣對方程①②變形，才能使得這兩個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，從而用加減法求解呢？觀察這兩個(gè)方程中未知數(shù)y的系數(shù)之間的關(guān)系，將①×2可以使兩個(gè)方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)．問題3根據(jù)你在問題2中的結(jié)論，寫出解答過程．解：①×2，得6x－4y＝8.③(1)變形②＋③，得13x＝26，(2)加減x＝2.(3)求解把x＝2代入①，得3×2－2y＝4，y＝1.(4)回代所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝1.))(5)寫解問題4如果用加減法消去x，應(yīng)該怎樣解？解得的結(jié)果一樣嗎？與消去y相比，哪個(gè)計(jì)算更簡便？如果用加減法消去x，需要對兩個(gè)方程都進(jìn)行變形，使兩個(gè)方程中x的系數(shù)相等，可以①×7，②×3.解：①×7，得21x－14y＝28.③②×3，得21x＋12y＝54.④(1)變形④－③，得26y＝26，(2)加減y＝1.(3)求解把y＝1代入①，得3x－2×1＝4，x＝2.(4)回代所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝1.))(5)寫解解得的結(jié)果一樣．用加減法消去y比用加減法消去x計(jì)算更簡便.歸納總結(jié)：解方程組時(shí)，先消去哪個(gè)未知數(shù)都可以，結(jié)果是確定的，不會(huì)因?yàn)橄认ツ膫€(gè)未知數(shù)而產(chǎn)生變化．一般地，先消去哪個(gè)未知數(shù)簡便就先消去哪個(gè).【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P98練習(xí)第1題.【教學(xué)建議】這部分采用上節(jié)課的教學(xué)模式，將例題分解成多個(gè)小問，學(xué)生分組討論，合作完成解答，感悟探究過程中所蘊(yùn)含的化歸思想，教師適時(shí)予以提示或指導(dǎo)，要使學(xué)生理解加減消元的本質(zhì)是利用等式的性質(zhì)，將未知數(shù)的系數(shù)化為相等或互為相反數(shù)，從而將方程組演變?yōu)樯瞎?jié)課所學(xué)的形式．通過整個(gè)探究過程，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：消去哪個(gè)未知數(shù)，就找尋兩個(gè)方程中該未知數(shù)系數(shù)的最小公倍數(shù)．【設(shè)計(jì)意圖】通過運(yùn)用加減法解決實(shí)際問題，強(qiáng)化解方程組的技巧和應(yīng)用意識(shí).探究點(diǎn)2加減法解二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用例2(教材P97例7)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？意思是：假設(shè)5頭牛、2只羊，共值金10兩；2頭牛、5只羊，共值金8兩．那么每頭牛、每只羊分別值金多少兩？你能解答這個(gè)問題嗎？問題1寫出題中所包含的相等關(guān)系．相等關(guān)系1：5頭牛的價(jià)格＋2只羊的價(jià)格＝10兩金；相等關(guān)系2：2頭牛的價(jià)格＋5只羊的價(jià)格＝8兩金．問題2設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，請用含x，y的式子表示你在問題1中得到的相等關(guān)系．5x＋2y＝10，2x＋5y＝8.問題3請根據(jù)你在問題2中的設(shè)元，及本節(jié)課學(xué)過的用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組，完成本題的解答．解：根據(jù)問題2中的設(shè)元，列得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝10，①,2x＋5y＝8.②))①×2，得10x＋4y＝20.③②×5，得10x＋25y＝40.④④－③，得21y＝20，y＝eq\f(20,21).把y＝eq\f(20,21)代入①，得x＝eq\f(34,21).所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(34,21)，,y＝\f(20,21).))答：每頭牛和每只羊分別值金eq\f(34,21)兩和eq\f(20,21)兩．【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P98練習(xí)第2題．【教學(xué)建議】教師引導(dǎo)學(xué)生分析題中的兩個(gè)相等關(guān)系，從而列出方程組，并獨(dú)立完成解答過程．注意提醒學(xué)生，在用加減消元法解方程組時(shí)，通常要先將得到的二元一次方程組整理成eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝m，,cx＋dy＝n))的形式，再求解．在關(guān)于例題的教學(xué)中，也可讓學(xué)生上臺(tái)板演，自己嘗試用加減法消去y，并計(jì)算出結(jié)果，看是否一致．活動(dòng)三：交流新知，靈活運(yùn)用【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化學(xué)生對二元一次方程組解法的認(rèn)識(shí)，能夠選擇合適的方法解方程組.(教材P98思考)(1)怎樣解下面的方程組？問題1觀察上面的兩個(gè)方程組，你分別選擇用什么方法求解？為什么？方程組Ⅰ中方程①中y的系數(shù)是1，選擇用代入法；方程組Ⅱ中y的系數(shù)互為相反數(shù)，選擇用加減法．問題2方程組Ⅰ能直接用加減法求解嗎？若不能，要如何變形才能使用加減法？不能．如果要消去x，可以②×5－①×2；如果要消去y，可以①×3－②×5.問題3求出方程組的解．解：(Ⅰ)由①，得y＝1.5－2x.③把③代入②，得0.8x＋0.6(1.5－2x)＝1.3，－0.4x＝0.4，x＝－1.把x＝－1代入③，得y＝3.5.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，y＝3.5.))(Ⅱ)①＋②，得4x＝8，x＝2.把x＝2代入①，得2＋2y＝3，y＝0.5.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝0.5.))(2)選擇你認(rèn)為簡便的方法解習(xí)題10.1的第4題(“雞兔同籠”問題)．解：設(shè)籠中有雞x只，兔子y只．根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝35，2x＋4y＝94.))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①②))①×2，得2x＋2y＝70.③②－③，得2y＝24，y＝12.把y＝12代入①，得x＋12＝35，x＝23.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝23，y＝12.))答：籠中有雞23只，兔子12只．【對應(yīng)訓(xùn)練】1．用合適的方法解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝2，6x－3y＝5；))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①②))(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－5y＝－21，4x＋3y＝23.))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①②))解：(1)由①，得y＝3x－2.③把③代入②，得6x－3(3x－2)＝5，x＝eq\f(1,3).把x＝eq\f(1,3)代入③，得y＝－1.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，y＝－1.))(2)①×2，得4x－10y＝－42.③②－③，得13y＝65，y＝5.把y＝5代入②，得4x＋15＝23，x＝2.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝5.))2．某商場第一次用10000元購進(jìn)甲、乙兩種商品共180件，其中甲種商品每件進(jìn)價(jià)60元，乙種商品每件進(jìn)價(jià)50元．該商場購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？解：設(shè)該商場購進(jìn)甲種商品x件，乙種商品y件．根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝180，60x＋50y＝10000.))解這個(gè)方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100，y＝80.))答：該商場購進(jìn)甲種商品100件，乙種商品80件．【教學(xué)建議】學(xué)生獨(dú)立思考作答，教師統(tǒng)一答案．加減法和代入法都是通過消元解方程組，對一個(gè)方程組用哪種方法解都可以，但是不同的解法在難度上會(huì)有差異，應(yīng)根據(jù)方程組的具體情況，選擇適合它的解法．當(dāng)方程組中任意一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值不是1，且相同未知數(shù)的系數(shù)不成整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，一般經(jīng)過變形，利用加減法會(huì)使過程更簡便．活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子(或“隨堂作業(yè)”冊子)相應(yīng)課時(shí)【隨堂訓(xùn)練】．【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1．你能用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組嗎？你能用加減法解決與二元一次方程組有關(guān)的實(shí)際問題嗎？2．對于一個(gè)二元一次方程組，你能選擇最適合它的解法嗎？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1．教材P99習(xí)題10.2第3(3)(4)，6，7，10，12題．2．《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)第2課時(shí)用加減消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組1．用加減法解同一未知數(shù)的系數(shù)都不相等或都不互為相反數(shù)的二元一次方程組．2．一般步驟：(1)變形；(2)加減；(3)求解；(4)回代；(5)寫解．3．加減法解二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用．4．選擇合適的方法解二元一次方程組．教學(xué)反思本節(jié)課是上節(jié)課的擴(kuò)充和延續(xù)，通過類比用加減法解簡單的二元一次方程組來解決稍復(fù)雜的二元一次方程組問題．課堂中采用引導(dǎo)式的教學(xué)方法，通過具體實(shí)例讓學(xué)生主動(dòng)思考、嘗試，從而更深刻地領(lǐng)悟加減法，進(jìn)一步體會(huì)消元思想在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用．在本節(jié)課最后，要對代入法和加減法解二元一次方程組進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生在練習(xí)中學(xué)會(huì)利用合適的方法解決問題.解題大招一用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組(1)當(dāng)二元一次方程組中有系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系的相同未知數(shù)時(shí)，可適當(dāng)變形后消去這個(gè)未知數(shù)．這種情況一般只需對其中一個(gè)二元一次方程的系數(shù)乘相應(yīng)倍數(shù)即可，不需要對兩個(gè)二元一次方程都進(jìn)行變形．例1解方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝12，①8x－3y＝2.②))解：①×4，得8x＋20y＝48.③③－②，得23y＝46，y＝2.把y＝2代入①，得x＝1.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，y＝2.))(2)當(dāng)二元一次方程組中沒有系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系的相同未知數(shù)時(shí)，觀察同一未知數(shù)系數(shù)的絕對值，看哪一組的最小公倍數(shù)更?。热缦旅孢@個(gè)例題，未知數(shù)x的系數(shù)的絕對值為2，3，其最小公倍數(shù)是6，而y的系數(shù)的絕對值為2，5，其最小公倍數(shù)是10，所以選擇x作為“消元”目標(biāo)更簡便些．例2解方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(3x－2y＝5，,①2x＋5y＝16.,②)))解：①×2，得6x－4y＝10.③②×3，得6x＋15y＝48.④④－③，得19y＝38，y＝2.

把y＝2代入①，得3x－4＝5，x＝3.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，y＝2.))(3)對于未知數(shù)系數(shù)“互換”的情形，可直接采用兩方程相加減來簡化系數(shù)．例3解方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(23x＋37y＝97，,①37x＋23y＝83.,②)))解：①＋②，得60x＋60y＝180.即60(x＋y)＝180，x＋y＝3.③②－①，得14x－14y＝－14，即14(x－y)＝－14，x－y＝－1.④③＋④，得2x＝2，x＝1.把x＝1代入③，得1＋y＝3，y＝2.所以這個(gè)方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，y＝2.))解題大招二二元一次方程組的同解問題若兩個(gè)含有字母系數(shù)的方程組同解，則可以將不含所求字母的兩個(gè)方程聯(lián)立，組成新的方程組，求出新方程組的解，再將解代入另外兩個(gè)含有字母系數(shù)的方程組成的方程組中，求出字母的值．例4已知關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝5，4ax＋5by＋22＝0))與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－by＝8，x＋3y＝－5))的解相同，求a，b的值．解：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝5，x＋3y＝－5，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co