隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望教案?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)理解隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的概念，掌握離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，并能熟練運(yùn)用公式計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。了解連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，知道其與離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望在概念本質(zhì)上的一致性。掌握數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)簡化數(shù)學(xué)期望的計(jì)算。2.過程與方法目標(biāo)通過實(shí)際問題的引入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)期望概念的過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。在探究離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式的過程中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想方法，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。通過數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的推導(dǎo)與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和綜合運(yùn)用知識的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過對隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望概念的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)在刻畫隨機(jī)現(xiàn)象中的重要作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的概念及計(jì)算公式。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及其應(yīng)用。2.教學(xué)難點(diǎn)對離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望概念的理解，如何引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平。數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的證明及靈活運(yùn)用，尤其是在復(fù)雜問題情境下如何準(zhǔn)確選擇合適的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

三、教學(xué)方法1.講授法：系統(tǒng)地講解隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的概念、公式和性質(zhì)，使學(xué)生對所學(xué)知識有一個(gè)清晰的框架和基本的認(rèn)識。2.案例教學(xué)法：通過實(shí)際生活中的案例引入課題，讓學(xué)生在具體問題情境中感受數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。3.討論法：在講解數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)時(shí)，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，引導(dǎo)學(xué)生自主探究性質(zhì)的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和合作交流能力。4.練習(xí)法：安排適量的課堂練習(xí)和課后作業(yè)，讓學(xué)生通過練習(xí)鞏固所學(xué)知識，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的概念和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力。

四、教學(xué)過程

（一）課程導(dǎo)入（5分鐘）通過多媒體展示以下兩個(gè)實(shí)際問題：1.某商場要將單價(jià)分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，如何對混合糖果定價(jià)才合理？2.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：|X|4|5|6|7|8|9|10|||||||||||P|0.02|0.04|0.06|0.09|0.28|0.29|0.22|

問該射手"射擊一次所得環(huán)數(shù)的平均值"是多少？

引導(dǎo)學(xué)生思考：在這些實(shí)際問題中，如何衡量一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的平均水平？從而引出本節(jié)課的主題隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

（二）知識講解（25分鐘）1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望結(jié)合上述問題2，詳細(xì)講解離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的概念：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：|X|\(x_1\)|\(x_2\)|...|\(x_n\)|...|||||||||P|\(p_1\)|\(p_2\)|...|\(p_n\)|...|

則稱\(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n+\cdots\)為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)期望\(E(X)\)反映了離散型隨機(jī)變量X取值的平均水平。它是一個(gè)加權(quán)平均數(shù)，其中\(zhòng)(p_i\)是\(x_i\)取值的概率，起著權(quán)重的作用。結(jié)合問題2，讓學(xué)生計(jì)算射手射擊一次所得環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望：\(E(X)=4\times0.02+5\times0.04+6\times0.06+7\times0.09+8\times0.28+9\times0.29+10\times0.22\)\(=0.08+0.2+0.36+0.63+2.24+2.61+2.2\)\(=8.32\)

并解釋這個(gè)結(jié)果表示射手多次射擊時(shí)，平均每次射擊所得的環(huán)數(shù)大約是8.32環(huán)。

2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望簡單介紹連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為\(f(x)\)，若積分\(\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)絕對收斂，則稱\(E(X)=\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。強(qiáng)調(diào)連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望與離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望在概念本質(zhì)上是一致的，都是反映隨機(jī)變量取值的平均水平，只是計(jì)算方式不同。離散型通過求和，連續(xù)型通過積分。

（三）性質(zhì)講解與證明（20分鐘）1.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)C是常數(shù)，則\(E(C)=C\)。性質(zhì)2：設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則\(E(CX)=CE(X)\)。性質(zhì)3：設(shè)X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)。性質(zhì)4：設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則\(E(XY)=E(X)E(Y)\)。2.性質(zhì)證明性質(zhì)1證明：因?yàn)槌?shù)C可以看作是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為\(P(X=C)=1\)，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義，\(E(C)=C\times1=C\)。性質(zhì)2證明：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots\)，則\(E(CX)=\sum_{i=1}^{\infty}Cx_ip_i=C\sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i=CE(X)\)。對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，設(shè)其概率密度函數(shù)為\(f(x)\)，則\(E(CX)=\int_{\infty}^{+\infty}Cxf(x)dx=C\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx=CE(X)\)。性質(zhì)3證明：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots\)，離散型隨機(jī)變量Y的分布列為\(P(Y=y_j)=q_j\)，\(j=1,2,\cdots\)。則\(E(X+Y)=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}(x_i+y_j)p_{ij}\)，由于\(p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)\)，所以\(E(X+Y)=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}x_ip_{ij}+\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}y_jp_{ij}=E(X)+E(Y)\)。對于連續(xù)型隨機(jī)變量X和Y，設(shè)其聯(lián)合概率密度函數(shù)為\(f(x,y)\)，則\(E(X+Y)=\int_{\infty}^{+\infty}\int_{\infty}^{+\infty}(x+y)f(x,y)dxdy=\int_{\infty}^{+\infty}\int_{\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{\infty}^{+\infty}\int_{\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=E(X)+E(Y)\)。性質(zhì)4證明：設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，X的分布列為\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots\)，Y的分布列為\(P(Y=y_j)=q_j\)，\(j=1,2,\cdots\)。則\(E(XY)=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}x_iy_jp_{ij}\)，因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，所以\(p_{ij}=p_ip_j\)，則\(E(XY)=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}x_iy_jp_ip_j=\left(\sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i\right)\left(\sum_{j=1}^{\infty}y_jq_j\right)=E(X)E(Y)\)。對于連續(xù)型隨機(jī)變量X和Y，設(shè)其聯(lián)合概率密度函數(shù)為\(f(x,y)\)，由于X和Y相互獨(dú)立，\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)，則\(E(XY)=\int_{\infty}^{+\infty}\int_{\infty}^{+\infty}xyf(x,y)dxdy=\int_{\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx\int_{\infty}^{+\infty}yf_Y(y)dy=E(X)E(Y)\)。

（四）例題講解（15分鐘）1.例1：已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為|X|1|0|1|2||||||||P|0.1|0.2|0.3|0.4|

求\(E(X)\)。解：根據(jù)離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，可得\(E(X)=(1)\times0.1+0\times0.2+1\times0.3+2\times0.4\)\(=0.1+0+0.3+0.8\)\(=1\)

2.例2：設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為\(n\)，\(p\)的二項(xiàng)分布，即\(X\simB(n,p)\)，求\(E(X)\)。解：因?yàn)閈(X\simB(n,p)\)，其分布列為\(P(X=k)=C_n^kp^k(1p)^{nk}\)，\(k=0,1,\cdots,n\)。則\(E(X)=\sum_{k=0}^{n}kC_n^kp^k(1p)^{nk}\)由二項(xiàng)式定理可得：\(E(X)=\sum_{k=1}^{n}k\frac{n!}{k!(nk)!}p^k(1p)^{nk}\)\(=np\sum_{k=1}^{n}\frac{(n1)!}{(k1)!(nk)!}p^{k1}(1p)^{nk}\)令\(m=k1\)，則\(E(X)=np\sum_{m=0}^{n1}\frac{(n1)!}{m!(n1m)!}p^{m}(1p)^{n1m}\)\(=np(p+(1p))^{n1}=np\)

3.例3：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，求\(E(X)\)。解：根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，可得\(E(X)=\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx\)\(=2\int_{0}^{1}x^2dx\)\(=2\times\frac{1}{3}x^3\big|_0^1=\frac{2}{3}\)

4.例4：已知隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，求\(E(2X3Y+5)\)。解：根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得\(E(2X3Y+5)=E(2X)E(3Y)+E(5)\)由\(E(CX)=CE(X)\)，\(E(C)=C\)，可得\(E(2X)E(3Y)+E(5)=2E(X)3E(Y)+5\)將\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)代入上式，得\(2\times23\times3+5\)\(=49+5\)\(=0\)

（五）課堂練習(xí)（10分鐘）1.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為|X|1|2|3|||||||P|0.2|0.3|0.5|

求\(E(X)\)。2.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，即\(X\simP(\lambda)\)，求\(E(X)\)。3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}3x^2,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，求\(E(X)\)。4.已知隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且\(E(X)=4\)，\(E(Y)=1\)，求\(E(3X+2Y1)\)。

請四位同學(xué)到黑板上進(jìn)行解答，其他同學(xué)在練習(xí)本上完成，教師巡視并及時(shí)給予指導(dǎo)，最后進(jìn)行點(diǎn)評講解，鞏固所學(xué)知識。

（六）課堂小結(jié)（5分鐘）1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的概念、計(jì)算公式，連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，以及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)。2.強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)期望是刻畫隨機(jī)變量取值平均水平的重要數(shù)字特征，它在實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用。3.總結(jié)在計(jì)算數(shù)學(xué)期望時(shí)需要注意的問題，如正確確定隨機(jī)變量的分布列，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)簡化計(jì)算等。

（七）布置作業(yè)（5分鐘）1.書面作業(yè)：教材課后習(xí)題第[X]頁第[X]、[X]、[X]題。2.拓展作業(yè)：收集生活中一個(gè)與隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望有關(guān)的實(shí)際案例，并進(jìn)行分析解答。

五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對隨機(jī)