2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（一）一、單選題（本大題共8小題）1．已知，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．22．是被長為1的正方體的底面上一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知向量，則向量在向量上的投影向量（

）A． B． C． D．4．在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．5．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為棱上的點，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（

）A． B． C． D．6．在四面體中，空間的一點滿足．若共面，則（

）A． B． C． D．7．已知向量，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．“長太息掩涕兮，哀民生之多艱”，端陽初夏，粽葉飄香，端午是一大中華傳統(tǒng)節(jié)日.小瑋同學(xué)在當(dāng)天包了一個具有藝術(shù)感的肉粽作紀(jì)念，將粽子整體視為一個三棱錐，肉餡可近似看作它的內(nèi)切球（與其四個面均相切的球，圖中作為球）.如圖：已知粽子三棱錐中，，、、分別為所在棱中點，、分別為所在棱靠近端的三等分點，小瑋同學(xué)切開后發(fā)現(xiàn)，沿平面或平面切開后，截面中均恰好看不見肉餡.則肉餡與整個粽子體積的比為（

）.

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點，F(xiàn)為的中點，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（

）A．B．向量與所成角的余弦值為C．平面AEF的一個法向量是D．點D到平面AEF的距離為10．在正三棱柱中，，點滿足，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，點在棱上B．當(dāng)時，點到平面的距離為定值C．當(dāng)時，點在以的中點為端點的線段上D．當(dāng)時，平面11．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則（

）A． B．直線與平面所成角的正弦值為C．點到直線的距離是 D．異面直線與所成角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．正三棱柱的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，是的中點．在直線上求一點，當(dāng)?shù)拈L為時，使．13．四棱錐中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，則與平面所成角的正弦值為.14．坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪那，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在長方體中，，點在棱上移動.

(1)當(dāng)點在棱的中點時，求平面與平面所成的夾角的余弦值；(2)當(dāng)為何值時，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.16．如圖所示，直三棱柱中，分別是的中點．

(1)求BN的長；(2)求的值．(3)求證：BN⊥平面．17．如圖，在四棱維中，平面平面，，，，，，．(1)求直線與平面所成角的正切值；(2)在上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．18．如圖1，在邊長為4的菱形中，，點M，N分別是邊，的中點，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．(1)在翻折過程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；(2)若平面平面，線段上是否存在一點Q，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．19．如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，平面，分別是線段和上的動點，且．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值；(3)若直線與線段交于M點，于點H，求線段長的最小值．

參考答案1．【答案】C【詳解】向量若，則，．故選：C．2．【答案】B【詳解】如圖，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，設(shè)，，，，，，，當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)或1，或1時，取得最大值0，所以的取值范圍是.故選：B.3．【答案】A【分析】根據(jù)，代入相關(guān)值可求解出結(jié)果.【詳解】因為向量，所以向量在向量上的投影向量，故選：A.4．【答案】D【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以點到平面的距離為，故選：D．5．【答案】D【詳解】由條件易知.故選：D6．【答案】D【詳解】在四面體中，不共面，而，則由，得，所以.故選：D7．【答案】C【詳解】因為，所以，當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：C.8．【答案】B【詳解】

如圖所示，取中點為，，為方便計算，不妨設(shè)，由，可知，又、分別為所在棱靠近端的三等分點，則，且，、，，平面，即平面，又平面，則平面平面，設(shè)肉餡球半徑為，，由于、、分別為所在棱中點，且沿平面切開后，截面中均恰好看不見肉餡，則到的距離，，，又，解得：，故，又，解得，，所以：，解得，，由以上計算可知：為正三棱錐，故，所以比值為.故選：B.9．【答案】BCD【分析】A選項，利用空間向量表示出，進(jìn)而求出；B選項，利用空間向量夾角公式求解；C選項，利用數(shù)量積為0進(jìn)行證明線線垂直，進(jìn)而得到答案；D選項，利用點到直線的空間向量公式進(jìn)行求解.【詳解】對于A，正方體中，，，，所以，故A錯誤；對于B，，，，故B正確；對于C，設(shè)，則，，而，所以平面的一個法向量是，故C正確；對于D，，則點D到平面AEF的距離為，故D正確．故選：BCD10．【答案】BCD【詳解】對于A，當(dāng)時，，又，所以即，又，所以三點共線，故點在上，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，又，所以即，又，所以三點共線，故點在棱上，由三棱柱性質(zhì)可得平面，所以點到平面的距離為定值，故B正確；對于C，當(dāng)時，取的中點的中點，所以且，，即，所以即，又，所以三點共線，故在線段上，故C正確；對于D，當(dāng)時，點為的中點，連接，由題為正三角形，所以，又由正三棱柱性質(zhì)可知，因為，平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以，又，所以，所以，所以，設(shè)與相交于點O，則，即，又，平面，所以平面，因為平面，所以，由正方形性質(zhì)可知，又，平面，所以平面，故D正確.故選：BCD.11．【答案】BC【詳解】A選項，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，A錯誤；B選項，平面的法向量為，，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，B正確；C選項，，點到直線的距離為，C正確；D選項，，設(shè)異面直線與所成角大小為，則，D錯誤.故選：BC12．【答案】/【詳解】取的中點為，連接，由正三棱柱性質(zhì)可得，因此以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：易知，設(shè)的長為，且，可得；易知若,則,解得，所以當(dāng)?shù)拈L為時，使.故答案為：13．【答案】【詳解】因為底面，底面是正方形，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，則重心，因而，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令則，則，故答案為：.14．【答案】117m【詳解】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，，由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以．因為平面，平面，所以，因為，，平面，，所以平面，因為平面，所以，同理，，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因為，所有棱長之和為．故答案為：117m15．【答案】(1)(2)當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值最小，最小值為【分析】（1）以為坐標(biāo)原點，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量法可求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）設(shè)，可求得平面的一個法向量，直線的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

當(dāng)點在棱的中點時，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成的夾角的余弦值為；（2）設(shè)，則，則，

設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，令，則，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.16．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）如圖，建立以點O為坐標(biāo)原點，CA、CB、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系．

依題意得，∴；（2）依題意得，，∴，，，，，所以；（3）證明：，．∴，，，∴，，∴，，即，又平面，平面，，∴BN⊥平面．17．【答案】(1)(2)存在點，使得平面，.【詳解】（1）取的中點為，連接，因為，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以，，，所以，，所以，所以以為坐標(biāo)原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，P0,0,1，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為m=x,y,z則，，令則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，，所以，所以，所以直線與平面所成角的正切值.（2）在上存在點，使得，所以，所以，所以，所以，因為平面，所以，即，解得，所以存在點，使得平面，此時.18．【答案】(1)總有平面平面，證明詳見解析(2)存在，是的靠近的三等分點，理由見解析.【詳解】（1）折疊前，因為四邊形是菱形，所以，由于分別是邊，的中點，所以，所以，折疊過程中，平面，所以平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）存在，理由如下：當(dāng)平面平面時，由于平面平面，平面，，所以平面，由于平面，所以，由此以為空間坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，依題意可知，，設(shè)，則，平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)平面與平面所成角為，由于平面與平面所成角的余弦值為，所以，解得,所以當(dāng)是的靠近的三等分點時，平面與平面所成角的余弦值為.19．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）由于四邊形是菱形，且，取中點，則，又平面，可以A為中心建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，由，可知，易知是平面的一個法向量，顯然，且平面，即平面；（2）由上可知，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，設(shè)直線與平面所成角為，則，易知時，，即此時取得最大值；（3）設(shè)，由于共線，不妨設(shè)，易知，則有，所以，則，即記，則，易知恒成立，所以，即單調(diào)遞減，所以.2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（二）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上正確書寫班級、姓名、試室號、座位號、學(xué)校準(zhǔn)考證號.用2B鉛筆將學(xué)校準(zhǔn)考證號填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.第I卷（選擇題）一、單選題：本小題共8題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線經(jīng)過，兩點，直線的傾斜角為，那么與A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩點求出直線的斜率，根據(jù)傾斜角求出直線的斜率；可知斜率乘積為，從而得到垂直關(guān)系.直線經(jīng)過，兩點直線的斜率：直線的傾斜角為直線的斜率：本題正確選項：【點睛】本題考查直線位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是利用兩點連線斜率公式和傾斜角求出兩條直線的斜率，根據(jù)斜率關(guān)系求得位置關(guān)系.2.若向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運算求夾角、模長、數(shù)量積判斷A、B、D；根據(jù)共線定理判斷向量是否平行判斷C.由，B錯誤；由，所以，D正確．由，A錯誤，如果則存在實數(shù)使，顯然不成立，C錯誤.故選：D3.已知直線：與：之間的距離為，則（）A.13 B.13或?7 C.7 D.7或【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用平行線間距離公式計算即可.因為，則，得或?7.故選：B.4.已知直線過點，其方向向量是，則點到直線的距離是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間法求點到直線的距離即可得解.依題意，知直線的方向向量，，則，，，所以點到直線的距離為.故選：B.5.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M，N分別是的中點，是的中點，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，利用空間向量運算即可求得正確答案.連接，因為是的中點，所以，因為底面為直角三角形的直棱柱，所以四邊形為長方形，又因M，N分別是的中點，所以，則，又因，所以可得，解得，所以.故選：A.6.如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分別是BB1和B1C1的中點，則直線AM與CN所成角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用異面直線的定義找到兩條異面直線所成的角，用余弦定理即可求解.作的中點，連接，作的中點，連接、,即為異面直線AM與CN所成的角，由已知條件得，則,,由余弦定理得,△中，有余弦定理可知,即,解得，故選：D.7.過點有一條直線，它夾在兩條直線與之間的線段恰被點平分，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，利用中點公式得，根據(jù)在設(shè)直線夾在直線之間的線段是，（在上，在上），設(shè)Ax1,y1所以，于是，由于在上，在上，所以，解得，即的坐標(biāo)是，而，則，由點斜式得，即.所以直線的方程是：.故選：D.8.如圖，已知正四面體，點，，，，，分別是所在棱中點，點滿足且，記，則當(dāng)，且時，數(shù)量積的不同取值的個數(shù)是（）A.3 B.5 C.9 D.21【答案】B【解析】【分析】由條件可知點在平面上，并且由幾何意義可知平面，利用數(shù)量積的幾何意義求的不同取值的個數(shù).條件“且”，說明點在平面上，而說明為平面的中心，此時平面，由向量數(shù)量積的幾何意義，在的投影有5種情況：0、、，∴數(shù)量積的不同取值的個數(shù)是5，故選：B．【點睛】本題考查空間向量共面定理的應(yīng)用，數(shù)量積的幾何意義，重點考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題型.二、多選題：本小題共3題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間位置關(guān)系的向量證明逐項計算判斷即得.直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，當(dāng)時，則有，因此，即，A正確，C錯誤；當(dāng)時，則有，因此，則，B錯誤，D正確.故選：AD10.下列說法中，正確的有（）A.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是B.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線關(guān)于軸對稱.C.在平面直角坐標(biāo)系中，直線上的動點到坐標(biāo)原點距離的最小值為D.將正方形沿對角線BD折成直二面角，則AB與平面所成角為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間點關(guān)于面的對稱判斷A，根據(jù)平面直線關(guān)于軸對稱判斷B，根據(jù)點到直線距離判斷C，由線面角的定義判斷D.點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是，故A正確；對直線，用換可得，即兩直線關(guān)于軸對稱，故B錯誤；由原點到直線的距離可得，即直線上的動點到坐標(biāo)原點距離的最小值為，故C正確；不妨設(shè)正方形邊長為2，則對角線為，設(shè)中點為，則，由正方形性質(zhì)知，又平面平面,平面，且為交線，所以平面，所以即為AB與平面BCD所成角，由知，故D錯誤.故選：AC11.已知正方體的邊長為2，為的中點，為側(cè)面的動點，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.平面C.D.以為球心，為半徑的球被正方體表面所截的總弧長為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系并利用空間向量求得，可知A錯誤；由線面平行的判定定理可證明B正確；利用線面垂直性質(zhì)定理可求得C正確；易知以為球心，為半徑的球被正方體表面所截的為四段圓弧，即可得D正確.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，對于A，則，，，，，所以，，，由平面，可得，即，化簡可得，所以動點在直線上，，，，所以與不垂直，A選項錯誤；對于B，易知，平面，平面，所以平面，B選項正確；對于C，顯然平面，且平面內(nèi)，所以，C正確；對于D，球心是面和面的公共棱中點，在這兩平面上截球面所得弧半徑均為、圓心角均為，總弧長為；在面和上截球面得弧的半徑均為1，截面小圓圓心分別為、，圓心角均為，總弧長為，這四段弧長之和為，D選項正確；故選：BCD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線經(jīng)過點，且與直線平行，則______.【答案】1【解析】【分析】利用兩直線平行的充要條件結(jié)合點在線上計算即可.由題意知：，所以.故答案為：1.13.已知平面的法向量為，點在平面內(nèi)，若點到平面的距離為2，則______.【答案】或【解析】【分析】先計算，再代點到直線的距離公式即可求解由題意，所以，即，解得或．故答案為：或14.在平面直角坐標(biāo)平面xOy中，圓心在原點，半徑為的圓可以用表示.已知兩定點與位于動直線（其中a，b不同時為0）的同側(cè)，設(shè)集合點與點到直線的距離之差等于，記，，則由T中的所有點所組成的圖形的面積是______.【答案】【解析】【分析】作出圖形，過，分別作的垂線，垂足分別為，由條件確定集合，再確定的軌跡，最后求出面積即可；如圖，過，分別作的垂線，垂足分別為，由題意可知，，又，所以，，所以集合表示的軌跡為與平行，且分別為直線及其向上的部分，以及直線及其向下的部分，對應(yīng)的軌跡為以原點為圓心，半徑為的圓及其內(nèi)部，由于，，，因此直線與圓相切，所以對應(yīng)軌跡恰好為圓及其內(nèi)部，所以面積為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、推理過程和演算步驟.15.已知點，求：（1）邊上的中線所在直線的方程；（2）邊上的高所在的直線的方程；（3）三角形的面積.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求得中點，結(jié)合求得邊上的中線所在直線的方程.（2）求得直線的斜率，由點斜式求得邊上的高所在的直線的方程.（3）求得到直線的距離，結(jié)合的長度求得三角形的面積.【小問1詳解】的中點為，即，由于，所以邊上的中線所在直線的方程為.【小問2詳解】，所以邊上的高的斜率為，所以邊上的高所在直線方程為.【小問3詳解】直線的方程為，到的距離為，，所以.16.已知空間三點、、.（1）若向量與平行，且，求的坐標(biāo)；（2）求以、為鄰邊的平行四邊形的面積．【答案】（1）或.（2）.【解析】【分析】（1）由已知可設(shè)，其中，利用向量的模長公式求出的值，即可求出向量的坐標(biāo)；（2）利用空間向量的數(shù)量積公式求出的值，然后利用三角形的面積公式求得以、為鄰邊的平行四邊形的面積【小問1詳解】由已知可得，因為向量與平行，設(shè)，其中，則，解得.所以，或.【小問2詳解】由題可得：，，所以，因為，所以，則，所以，以、為鄰邊的平行四邊形的面積為.17.如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體中，M，N分別在棱上，且，且.（1）求證：共面；（2）當(dāng)為何值時，.【答案】（1）證明見解析（2）當(dāng)時，【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算的幾何表示可得，進(jìn)而即得；（2）設(shè)，然后利用表示出，再利用向量的數(shù)量積為0可得答案.【小問1詳解】在平行六面體中，連接，如圖，因為，所以，，所以，即且，所以四邊形為平行四邊形，即共面；【小問2詳解】當(dāng)時，，理由如下，設(shè)，且與、與、與的夾角均為，因為底面為菱形，所以，，,若，則，即，所以，即，又，所以，