2024-2025學年貴州省遵義市高二上學期入學考試數(shù)學檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．23．若，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．4．“幸福指數(shù)”是某人對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的自我評價指標，常用區(qū)間內的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高.現(xiàn)隨機抽取10位市民，他們的幸福感指數(shù)分別為5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，則下列說法錯誤的是（

）A．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7 B．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.5C．該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為7.5 D．該組數(shù)據(jù)的極差為55．已知一圓柱的底面半徑為2，體積為，若該圓柱的底面圓周都在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．6．已知空間中兩個不重合的平面和平面，直線平面，則“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．已知向量，滿足，，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，，，，且，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實數(shù)滿足，且，則下列說法正確的有（

）A．在上單調遞減B．的值域為C．的取值范圍是D．11．在正四棱臺中，，，點在四邊形內，且正四棱臺的各個頂點均在球的表面上，則（

）A．該正四棱臺的高為3 B．球的表面積為C．該正四棱臺體積為56 D．動點的軌跡長度是三、填空題（本大題共3小題）12．若，不等式恒成立，則的取值范圍為.13．已知為所在平面內一點，且，連接，點在線段上且.若，則.14．已知為所在平面內一點，且點滿足，，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，，其中，.(1)求，；(2)求與的夾角的余弦值.16．某學校為提高學生對《紅樓夢》的了解，舉辦了“我知紅樓”知識競賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績中隨機抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：40,50，50,60，…，90,100，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值.(2)求樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù).(3)已知樣本數(shù)據(jù)落在50,60的平均數(shù)是52，方差是6；落在60,70的平均數(shù)是64，方差是3.求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和總方差.17．如圖，已知四棱錐中，底面是正方形，為側棱的中點.(1)求證：∥平面；(2)已知為棱上的點，若∥平面，求證：是的中點.18．在中，內角所對的邊分別是，，.(1)求角；(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍；(3)如圖，為平面上一點，且四點共圓，，求四邊形的周長的最大值.19．已知函數(shù).(1)若為的一個內角，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，對于，總成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】D【分析】由對數(shù)函數(shù)求出定義域化簡集合B，再利用并集的意義求解即得.【詳解】依題意，，而，所以.故選：D2．【答案】B【分析】由通過復數(shù)運算求出，再根據(jù)共軛復數(shù)的定義求出，最后根據(jù)復數(shù)概念求出的虛部.【詳解】由，則，因此，所以的虛部為.故選：B.3．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質比較與0，1的大小，從而可比較出大小關系【詳解】，，所以故選：D4．【答案】B【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，百分位數(shù)，極差的求法進行求解即可.【詳解】首先對10位市民的幸福感指數(shù)按從小到大的順序進行排序：4，5，5，6，7，7，8，8，9，9，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第五個和第六個數(shù)據(jù)的平均值7，因此A說法正確；該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此B說法不正確；又，因此該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為，因此C說法正確；又該組數(shù)據(jù)最大為9，最小為4，因此極差為，因此D說法正確；故選：B.5．【答案】B【分析】先計算出圓柱的半徑，再由勾股定理求出球的半徑，最后計算球的表面積即可；【詳解】設圓柱的高為，底面半徑為，由題意可得，因為該圓柱的底面圓周都在球的表面上，設球的半徑為，則，即，所以球的表面積為，故選：B.6．【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結合面面平行的判定判斷即可.【詳解】當平面和平面相交時，平面內的直線平行于平面和平面的交線，滿足，即不能推出，反之，若，直線平面，則，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C7．【答案】C【分析】由條件，根據(jù)向量的模的性質和數(shù)量積的運算律求，再求，結合投影向量定義可得結論.【詳解】因為，所以，所以又，，所以，所以，所以在上的投影向量為.故選：C.8．【答案】D【分析】由已知，可得，設，則函數(shù)在上單調遞減，則不等式即，則，又函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，則得到不等式的解集.【詳解】由題意，，，則，由，得，即，因為，，得，即，設，則函數(shù)在上單調遞減，又，則，則不等式，即，則，所以，又函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，所以當時，，又，所以不等式的解集為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：由，可構造函數(shù)，可得在上單調遞減，可利用單調性解出不等式.9．【答案】CD【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三相等”，逐一驗證可得選項.【詳解】對于A：當時，，故A錯誤；對于B：令，則，，當且僅當時取等號，故B錯誤；對于C：，當且僅當時取等號，故C正確；對于D：由題意得，故，當且僅當時取等號，故D正確.故選：CD.10．【答案】BCD【分析】作出函數(shù)的圖象，即可判斷出選項AB，根據(jù)函數(shù)與方程的思想可知，函數(shù)與函數(shù)圖像有三個交點，得出之間的關系即可判斷選項CD從而得出結果.【詳解】作出的圖象如下：對于選項A，由圖象可知在和上分別單調遞減，但在其并集上不具有單調性，故A說法錯誤；對于選項B，根據(jù)圖像即可得函數(shù)的值域是，故選項B正確；對于選項D，令，即與函數(shù)圖像有三個交點，由圖可知，故，選項D正確；對于選項C，由，且，可得，則；令，解得，令，解得；由圖象可得，，所以，故的取值范圍是，選項C正確.故選：BCD11．【答案】BCD【分析】對于A，取正方形的中心，正方形的中心，連接，，，過點作于點，則為正四棱臺的高，根據(jù)已知條件計算判斷，對于B，外接球球心在直線上，連接，，利用勾股定理列方程求出外接球半徑，從而可求出球的表面積，對于C，利用棱臺的體積公式計算判斷，對于D，求出，可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，從而可求出動點的軌跡長度.【詳解】對于A，取正方形的中心，正方形的中心，連接，，，則平面，過點作于點，則平面，，，∵，，∴，，故，，∴，∵，由勾股定理得，故A錯誤；對于B，正四棱臺外接球球心在直線上，連接，，則，如圖所示.設，則，由勾股定理得，∴，解得，則，故表面積，故B正確；對于C，正四棱臺的體積，故C正確；對于D，如圖所示，，勾股定理得故點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，且剛好與邊、相切，故軌跡長度為，故D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：此題考查棱臺的有關計算，考查棱臺的外接球問題，解題的關鍵是根據(jù)題意找出外接球的球心，從而可求出外接球的半徑，考查空間想象能力和計算能力，屬于較難題.12．【答案】【分析】分離參數(shù)得，令，求出函數(shù)在上的最大值即可求解.【詳解】，不等式恒成立，則，即，恒成立，令，由圖知在上單調遞減，在上單調遞增，又，故，則.故答案為：.

13．【答案】/0.5【分析】根據(jù)平面向量的線性運算可得.【詳解】如圖，由題意可知，由可得，又，所以，故，又，故，，，故答案為：14．【答案】【分析】應用向量的數(shù)量積的定義計算即可求出夾角.【詳解】因為，所以,所以，所以,所以所以,所以.故答案為：.15．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求出，向量坐標的加法運算求出再求模長即可；（2）求出、的坐標，再由向量夾角的坐標運算可得答案.【詳解】（1），，；因為，所以；（2）由（1），，因為，所以，所以所以與的夾角的余弦值為.16．【答案】(1)(2)分(3)，【分析】（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1列式即可求解；（2）由頻率分布直方圖求第百分位數(shù)的計算公式即可求解；（3）利用分層抽樣的平均數(shù)和方差的計算公式即可求解.【詳解】（1）由，解得；（2）因為，，所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)在內，可得，所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)為分；（3）樣本數(shù)據(jù)落在50,60的個數(shù)為，落在60,70的個數(shù)為，，總方差.17．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）設，再證明∥，結合線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)題意可證平面∥平面，結合面面平行的性質定理分析證明.【詳解】（1）設，連接，因為是平行四邊形，可知為的中點，又因為為側棱的中點，則∥，且平面，平面，故∥平面.（2）由（1）可知：∥，且平面，平面，所以∥平面，又因為∥平面，且，平面，所以平面∥平面，且平面平面，平面平面，可得∥，又因為為BD的中點，所以為的中點.18．【答案】(1)；(2)面積的取值范圍為；(3)四邊形的周長的最大值為.【分析】（1）由條件，結合，利用兩角和正弦公式化簡可得；（2）由條件結合正弦定理可得，，利用三角形面積公式表示面積并化簡可得，結合正切函數(shù)性質及范圍可求結論；（3）由條件利用余弦定理解三角形可求，結合平面幾何知識求，再利用余弦定理結合基本不等式求的最大值，由此可得結論.【詳解】（1）因為，，所以，所以，所以，所以，又，，所以，所以，又B∈0,π故.（2）由正弦定理可得，又，，所以，，所以的面積，所以，因為為銳角三角形，所以，，又，所以，所以，故，所以，所以面積的取值范圍為.（3）因為，，故，又，由余弦定理可得，所以，即，因為四點共圓，，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立，所以當時，四邊形的周長取最大值，最大值為.19．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡可得，可得其單調性，求得，進而可求實數(shù)的取值范圍；（2）由題意可求得，當時，，當時，，根據(jù)題意有，據(jù)此計算可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），當在上單調遞增，因為為的一個內角，所以，所以，，即，因為恒成立，所以，所以實數(shù)的取值范圍為；（2）因為，又在上單調遞增，所以，即，所以，，且，所以，當時，，當時，，若，對于，總成立，則，①當時，可得，所以，所以，解得，②當時，可得，所以，所以，解得，綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.2024-2025學年貴州省遵義市高二上學期入學考試數(shù)學檢測試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．設集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．3．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．4．設a，b是實數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，繪出的某一結果出現(xiàn)的頻率折線圖，則符合這一結果的試驗可能是（

）A．拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上B．擲一個正方體的骰子，出現(xiàn)3點朝上C．從一個裝有2個紅球1個黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D．一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃6．已知一個圓錐的高為6，底面半徑為8，現(xiàn)在用一個過兩條母線的平面去截圓錐，得到一個三角形，則這個三角形面積的最大值為（

）A．100 B．50 C．48 D．247．設集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點P(a，b)，記“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件(2≤n≤5，n∈N)，若事件的概率最大，則n的所有可能值為（

）A．3 B．4 C．2和5 D．3和48．如圖，在中，，，是邊的中點，過點作于點，延長交于點，則（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，給出的下列四個選項中，正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減函數(shù)C．函數(shù)的圖象關于點對稱D．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向下平移1個單位得到10．甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則（

）A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的平均數(shù)等于乙的成績的平均數(shù)C．甲的成績的第80百分位數(shù)等于乙的成績的第80百分位數(shù)D．甲的成績的極差等于乙的成績的極差11．如圖，已知棱長為2的正方體中，點在線段上運動，現(xiàn)給出下列結論，則正確的選項為（

）

A．直線與直線所成角的大小不變B．平面平面C．點到平面的距離為定值D．存在一點，使得直線與平面所成角為三、填空題（本大題共3小題）12．已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，方差為32，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，則得到的新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是和．13．若z為復數(shù)，且，則的最小值是．14．印章是我國傳統(tǒng)文化之一，根據(jù)遺物和歷史記載，至少在春秋戰(zhàn)國時期就已出現(xiàn)，其形狀多為長方體?圓柱體等，陜西歷史博物館收藏的“獨孤信多面體煤精組印”是一枚形狀奇特的印章（如圖1），該形狀稱為“半正多面體”（由兩種或兩種以上的正多邊形所圍成的多面體），每個正方形面上均刻有不同的印章（圖中為多面體的面上的部分印章）.圖2是一個由18個正方形和8個正三角形圍成的“半正多面體”（其各頂點均在一個正方體的面上），若該多面體的棱長均為1，且各個頂點均在同一球面上，則該球的表面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．本學期初，某校對全校高二學生進行數(shù)學測試，并從中隨機抽取了100名學生的成績，被抽取的成績全部介于40分到100分之間（滿分100分），將統(tǒng)計結果按照如下方式分成六組：第一組，第二組，…，第六組，畫出頻率分布直方圖如圖所示.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求該樣本的中位數(shù)；(3)為進一步了解學生的學習情況，從分數(shù)位于的學生中，按照第二組，第三組，第四組分層抽樣6人，再從6人中任取2人，求此2人分數(shù)不在同一組內的概率.16．已知四棱錐，，，平面，，，直線與平面所成角的大小為，是線段的中點.(1)若，求證：平面.(2)求點到平面的距離．17．請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.①；②；③，在中，內角，，的對邊分別是，，，若.(1)求角；(2)若，求周長的取值范圍.18．為了增添學習生活的樂趣，甲、乙兩人決定進行一場投籃比賽，每次投1個球．先由其中一人投籃，若投籃不中，則換另一人投籃；若投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，當且僅當出現(xiàn)某人連續(xù)兩次投籃命中的情況，則比賽結束，且此人獲勝．經過抽簽決定，甲先開始投籃．已知甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且兩人每次投籃的結果均互不干擾．(1)求甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時，乙獲勝的概率；(2)求比賽結束時，甲恰好投了2次籃的概率．19．克羅狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四邊形(所有內角都小于180°的四邊形)中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號．已知圓O是凸四邊形ABCD的外接圓，其中．(1)若圓O的半徑為r，且，(ⅰ)求的大??；(ⅱ)求的取值范圍(用r表示)．(2)若，求線段BD長度的最大值．

參考答案1．【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.【詳解】因為，，所以.故選B.2．【答案】A【分析】根據(jù)自變量范圍代入相應解析式計算可得.【詳解】因為，所以.故選A.3．【答案】C【分析】利用向量垂直的坐標表示可得答案.【詳解】已知向量，，若，則，解得.故選C.4．【答案】D【分析】利用充分性和必要性知識解決即可．【詳解】若，則不能判斷正負，則推不出.若，即，即也推不出．故“”是“”的既不充分也不必要條件．故選D.5．【答案】C【分析】依次計算4個選項的概率即可判斷.【詳解】對于A：硬幣正面朝上的概率為，故A錯誤；對于B：3點朝上的概率為，故B錯誤；對于C：取到的是黑球的概率為，故C正確；對于D：花色是紅桃的概率為，故D錯誤.故選C.6．【答案】B【分析】首先求出母線長，即可求出，由二倍角公式求出，過圓錐的兩條母線，作一個截面，求出截面面積的最大值.【詳解】如圖，在圓錐中，，，所以圓錐的母線，則在軸截面中，，，所以，所以，所以，設，則，所以的面積，所以當時，截面面積有最大值，最大值為.故選B.7．【答案】D【詳解】點P的所有可能值為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．當n＝2時，P點可能是(1,1)；當n＝3時，P點可能是(1,2)，(2,1)；當n＝4時，P點可能是(1,3)，(2,2)；當n＝5時，P點可能是(2,3)．即事件的概率最大.故選D.8．【答案】C【分析】設，依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，從而得到.【詳解】方法一：設，∵，∴，又是邊的中點，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，且，∴，，，代入得，解得，∴，∴.方法二：∵，，∴為等腰直角三角形，又∵為中線，∴，∴.∵，∴，∴，即，∴.過點作交于點，∴，∵，設，則，∴，解得，∴.

故選C.9．【答案】ABD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質可判斷ABC的真假；根據(jù)函數(shù)的圖象變換可判斷D的真假.【詳解】對于A：由，可得函數(shù)的最小正周期是，故A正確；對于B：由（）得（）.令，得，所以函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減函數(shù)，故B正確；對于C：因為，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故C錯誤；對于D：將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象，再向下平移1個單位，得的圖象，即為函數(shù)的圖象，故D正確.故選ABD.10．【答案】BCD【分析】利用條形圖，根據(jù)平均數(shù)、百分位數(shù)、極差的概念可得答案.【詳解】由圖可得，,,故A錯誤，B正確；甲的成績的第80百分位數(shù)，乙的成績的第80百分位數(shù)，所以二者相等，故C正確；甲的成績的極差為4，乙的成績的極差也為4，故D正確．故選BCD.11．【答案】ABC【分析】求得直線與直線所成角判斷A；利用面面垂直判定定理判斷B；求得到平面的距離判斷C；求得直線與平面所成角的范圍判斷D.【詳解】連接，則在正方體中，，平面，可得平面,又平面，則，則直線與直線所成角的大小不變，故A正確；連接，在正方體中，易得平面.又平面，則平面平面，故B正確；由平面，平面，可得平面，則點到平面的距離相等，設該距離為d，由，可得，解得，則點到平面的距離為定值，故C正確；在正方體中，直線與平面所成角為，在中，，，則，由為銳角，，則.故不存在一點，使得直線與平面所成角為，故D錯誤.

故選ABC.12．【答案】【分析】由平均數(shù)和方差的定義及性質即可求解.【詳解】由題意，樣本數(shù)據(jù)的平均值，方差，因為新數(shù)據(jù)中，所以新數(shù)據(jù)的平均值，方差.13．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到復數(shù)到的距離與到的距離相等，即復數(shù)在虛軸上.再設出，計算的最小值即可.【詳解】因為復數(shù)滿足，所以在復平面內，復數(shù)到的距離與到的距離相等.即復數(shù)在虛軸上，設，.，所以的最小值為.14．【答案】【分析】根據(jù)幾何體的結構特征確定其外接球球心位置，根據(jù)已知求球體半徑，進而求球體表面積.【詳解】由對稱性知：該多面體的各頂點在棱長為的正方體的表面上，如圖，設其外接球的球心為，正方形的中心為，則點到平面的距離，又，所以該多面體外接球的半徑，故該球的表面積為.15．【答案】(1)(2)75(3)【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為1列方程即可求解；（2）結合頻率分布直方圖和中位數(shù)的定義即可求解；（3）通過列舉法和對立事件即可求得概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，解得；（2）設中位數(shù)為該樣本的中位數(shù)為，所以，解得；（3）由分層抽樣知，第二組中抽1人，記作，第三組中抽2人，記作，第四組中抽3人，記作，這6人中抽取2人有，，，，，，，，，，，，，，，共個樣本點；2人來自同一組的有，，，共4個樣本點，所以2人來自不同組的概率.16．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）先證明為平行四邊形，然后結合線面平行判定定理可證；（2）記上靠近點的三等分點，利用等體積可得.【詳解】（1）連接，因為，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為平面，，所以平面，所以在平面內的射影為，所以與的夾角為，記上靠近點的三等分點為，連接，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又平面，平面，平面，所以，因為，，所以，所以，，所以，所以，所以，因為平面，平面，所以平面平面，又為的中點，，所以，因為平面平面，平面，所以平面，易知為的中點，所以，又平面，平面，所以平面，所以點和點到平面的距離相等，記為，由得,即，解得.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）分別選擇①，②，③，利用正弦定理和余弦定理邊角互化，借助于三角形內角和與誘導公式化簡，最后通過觀察三角函數(shù)圖象即可求出角；（2）利用正弦定理化邊為角表示，把三角形的周長整理成關于內角的正弦型函數(shù)，結合正弦函數(shù)的性質即可求得三角形周長的范圍.【詳解】（1）選擇①，，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因為，所以；選擇②，，因為，所以，整理得，因為，，所以，因為，所以；選擇③，由可得，，由正弦定理得，因為,，所以，因為，所以