（MADEBY水水）

1-3

解：

運(yùn)動方程：y=/tan夕，其中6=K1。

將運(yùn)動方程對時間求導(dǎo)并將0=300代入得

.10Ik4lk

v=y=----——=------=---

cos*cos203

..2及2sin。86/父

a=y=-------------=---------

-COS36>9

1—6

證明：質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動，

所以質(zhì)點(diǎn)的加速度為：

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速度為由圖可知：

COSO='=M,所以：4二結(jié)

Vavv

代入上式可得6/=—

cp

證畢

1-7

1—10

解：設(shè)初始時，繩索AB的長度為L.時刻f時的長度

為S,則有關(guān)系式：

222

s=L-vot并且s-14-X

將上面兩式對時間求導(dǎo)得：

s=-v0，2ss=2xx

由此解得：￡二一出(a)

x

(a)式可寫成：xr=-v05.將該式對時間求導(dǎo)得:

2

XX+X=-5V0=說(b)

將(a)式代入(b)式可得：a=x==-^~(負(fù)號說明滑塊A的加速度向上)

取套筒A為研究對象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動微分方程有:

ma=F+FN+mg

將該式在尤)'軸上投影可得直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動微分方程:

nvc=mg-bcos?

my=-Fsin0+FN

其中：

cos0=/x,sin8=/

將其代入直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動微分方程可得:

F=，n(g+

1-11

解：設(shè)B點(diǎn)是繩子AB與圓盤的切點(diǎn)，由于繩子相對圓盤無滑動，所以以=oR，由于繩子

始終處于拉直狀態(tài)，因此繩子上A、B兩點(diǎn)的速度在A、B兩點(diǎn)連線上的投影相等，即：

以=V4COS6^

因?yàn)?/p>

X(b)

將上式代入(a)式得到A點(diǎn)速度的大小為:

y=(ORi'

(c)

由于辦二一￡,(C)式可寫成：-屹2-片=(限不將該式兩邊平方可得:

x2(x2-R2)=CD2R2X2

將上式兩邊對時間求導(dǎo)可得:

2xx(x2-R2)-2xx3=2(O2R2XX

將上式消去2比后，可求得：

..CO2R4X

X=彳~~

(22)2(d)

由上式可知滑塊A的加速度方向向左，其大小為%=

4(x2-/e2)2

取套筒A為研究對象，受力如圖所示，

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動微分方程有：

ma=F+FN+mg

將該式在x,)，軸上投影可得直角坐標(biāo)形式的

運(yùn)動微分方程：

mx=-Feos0

my二產(chǎn)sin夕+￡v—mg

其中:

sin6>=-,cos6>=^—蘇R'x

x=

22,y=o

X(X-R)

將其代入直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動微分方程可得

F_mco2RAx2ma)2R5x

FN=mg

~(x2-R2V(V-百

1—13

解：動點(diǎn)：套筒A：

動系：OC桿；

定系：機(jī)座；

運(yùn)動分析：

絕對運(yùn)動：直線運(yùn)動;

相對運(yùn)動：直線運(yùn)動;

牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動.

根據(jù)速度合成定理

L=匕+匕

有：匕cos°=匕，因?yàn)锳B桿平動，所以匕=y,

由此可得：…右匕，0C桿的角速度為。二言，所以初中

當(dāng)0=45°時，OC桿上C點(diǎn)速度的大小為:

1-15

解：動點(diǎn)：銷子M

動系1：圓樹

動系2：0A桿

定系：機(jī)座；

運(yùn)動分析：

絕對運(yùn)動：曲線運(yùn)動

>x

相對運(yùn)動：直線運(yùn)動

牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動

根據(jù)速度合成定理有

匕1=匕|+匕1,匕2=匕2+匕2

由于動點(diǎn)M的絕對速度與動系的選取無關(guān)，即叱2=%：,由上兩式可得:

(a)

將（a）式在向在x軸投影，可得:

-vclsin300=-vc2sin30°+匕2cos30"

由此解得:

Z?sin30°

v=tan30°(v-v)=OMtan30"(g-？)二(3-9)=-0,4m/s

r2e2eIcos230°

vc2=OMCO2—0.243

%=匕2=7V?2+V；2=()?529〃Z/S

1-17

解：動點(diǎn)：圓盤上的C點(diǎn)；

動系：0iA桿；

定系：機(jī)座；

運(yùn)動分析：絕對運(yùn)動：圓周運(yùn)動；

相對運(yùn)動：直線運(yùn)動（平行于OiA桿）;

牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動。

根據(jù)速度合成定理有

將(a)式在垂直于OiA桿的軸上投影以及在OC軸上投影得：

匕COS30°=vcos30°vsin30°=匕sin30°

a。e,ar

VcReon.

=

vc=v.d=R(ova=vr=Rcv

根據(jù)加速度合成定理有

“a=。：+。：+《（

將（b）式在垂直于OA桿的軸上投影得

-4sin30°=a'cos30°+a''sin30°-ac

其中：4=R"）2,a：=2R就,ac=2〃%匕

由上式解得：*=及=包02

2R12

1-19

解.：由于ABM彎桿平移，所以有

vA=vM,aA=。酎

?。簞狱c(diǎn)：滑塊M；

動系：OC搖桿；

定系：機(jī)座；

運(yùn)動分析：

絕對運(yùn)動：圓周運(yùn)動；

相對運(yùn)動：直線運(yùn)動；

牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動,

根據(jù)速度合成定理

可求得：

vM=v4=va=V2vc=y[2bco=2V2m/s

喙=2724j2

rad/s

OiA1.53

根據(jù)加速度合成定理

a：+C=<+<+ar+ac

將上式沿°。方向投影可得:

a\cos450-a[sin45°=-a\+a.

UavV(

22

由于4：=。：/="m/s?,a\=ab=InVs?ac-=8nVs,根據(jù)上式可得:

3

a[=—+7A/2=15.23m/s2%="=10.16rad/s2

3，/

1-20

解：取小環(huán)M為動點(diǎn)，0AB桿為動系

運(yùn)動分析

O

絕對運(yùn)動：直線運(yùn)動；

相對運(yùn)動：直線運(yùn)動；

牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動。

由運(yùn)動分析可知點(diǎn)的絕對速度、相對速度和牽連速度的方向如圖所示,

其中:

rC

匕=OMco--°n=2rco

ecos60°

根據(jù)速度合成定埋:

匕=%+匕

可以得到：

V.,=tan缸=2ra)tan600=2gra)，vr=-r-=

&crcos60°

加速度如圖所示，其中:

r(D2

&=OMco1=2rco~

cos60"O

co

2

ac=26yvr=8rco

根據(jù)加速度合成定理:

%=%+6+ac

將上式在x'軸上投影，可得：2cos。=一4COS6+QC?由此求得：氏=14廠口?

**cva

1-21

解：求汽車B相對汽車A的速度是指以汽車A為參考系觀察汽車B的速度。

?。簞狱c(diǎn)：汽車B；

動系：汽車A（Oxy）；

定系：路面。

運(yùn)動分析

絕對運(yùn)動：圓周運(yùn)動；

相對運(yùn)動：圓周運(yùn)動：

牽連運(yùn)動：定軸轉(zhuǎn)動（汽車A繞O做定軸轉(zhuǎn)動）

求相對速度，根據(jù)速度合成定理

Va=Vc4-Vr

將上式沿絕對速度方向投影可得；

%=一匕+4

因此VI=VV,+V,<,1

其中：L=也，匕=叫,0=?，

KA

由此可得：匕二生+也=^QiWs

R,9

求相對加速度，由于相對運(yùn)動為圓周運(yùn)動,

相對速度的大小為常值，因此有：

%=《==1.78m/s~

1-23質(zhì)量為〃?銷釘M由水平槽帶動,使其在半徑為/?的固定圓槽內(nèi)運(yùn)動。設(shè)水平槽以勻速

u向上運(yùn)動，不計摩擦.求圖示瞬時,圓槽作用在銷釘M上的約束力。

解：銷釘M上作用有水平槽的約束力b和圓槽的約束力尸。（如圖所示）。由于銷釘M的運(yùn)

動是給定的，所以先求銷釘?shù)募铀俣?，在利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程求約束力。取銷釘為動點(diǎn)，

水平槽為動系。由運(yùn)動分析可知銷釘?shù)乃俣葓D如圖所示.

由此可求出：匕。再根據(jù)加速度合成定理有：%=4+%

cos。cos。

由于絕對運(yùn)動是圓周運(yùn)動,牽連運(yùn)動是勻速直線平移，所以，=0,并且上式可寫成:

4+。：=凡

因?yàn)?二=:，所以根據(jù)上式可求出：a；=a：tan0=±2g

rrcos2Brcos30

根據(jù)矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程有：

機(jī)（。：+《'）=尸+五0+mg

將該式分別在水平軸上投影：〃?（〃：sin0+a：cos。）=Focos。

〃八，2

由此求出：Fo=\

°rcos49

1-24圖示所示吊車下掛一重物M,繩索長為/,初始時吊車與重物靜止。若吊車從靜止以均

加速度。沿水平滑道平移。試求重物M相對吊車的速度與擺角0的關(guān)系式。

微分方程有

max=F+mg+Fc

將上式在切向量方向投影有

=mlO=-mgsin。+入cos0

rjnuLKddddd。zidd=U［、［L3-1*仁5

因?yàn)镕=nia=ma、6=—=------=0—,所以上式可與成

drdadrd”

.d&

m/O-=-mgsin8+nuicosO

整理上式可得

10(\0=-gsinOdO+ocosOd。

將上式積分:

—02=gcosO+asinO+c

其中。為積分常數(shù)（由初始條件確定），因?yàn)橄鄬λ俣蓉?川，上式可寫成

方=gcosO+osinO+c

初始時夕=0,系統(tǒng)靜止，va=vc=0,根據(jù)速度合成定理可知匕=0,由此確定。=一且。

重物相對速度與擺角的關(guān)系式為：

u；=24g（cos。一l）+asin0

1-26水平板以勻角速度“繞鉛垂軸。轉(zhuǎn)動，小球”可在板內(nèi)一光滑槽中運(yùn)動（如圖7-8）,

初始時小球相對靜止且到轉(zhuǎn)軸0的距離為R（）,求小球到轉(zhuǎn)軸的距離為R>R”時的相對速

解：取小球?yàn)閯狱c(diǎn)，板為動系，小球在水平面的受力如圖所示（鉛垂方向的力未畫出）。根

據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動微分方程有：

"7卬=工尸+乙+及

td匕

將上式在匕上投影有ma；=m-L=F.cosg

d/

因?yàn)轶?〃求。2,叫_=即_變，CK=ycos。，所以上式可寫成

drdRdrdr

mvrcos9^-=mRa)~cosO

rdR

整理該式可得：v=R2

rdRCt)

將該式積分有：-v^=-co~R2+c

2r2

初始時R=%,匕=0,由此確定積分常數(shù)c=-g步幻，因此得到相對速度為

匕二帥二用

1-27重為P的小環(huán)M套在彎成町，=C*形狀的金屬絲上,該金屬絲繞鉛垂軸工以勻角速度。

轉(zhuǎn)動，如圖所示。試求小環(huán)M的相對平衡位置以及金屬絲作用在小環(huán)上的約束力。

解：取小環(huán)為動點(diǎn)，金屬絲為動系，根據(jù)題意，相對平衡位置為例=(),因?yàn)榻饘俳z為曲

線，所以匕=(),因此在本題中相對平衡位置就是相對靜止位置。小環(huán)受力如圖所示。其中

尸,乙，尸分別為約束力、牽連慣性力和小環(huán)的重力。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對?運(yùn)動微分方程有：

“+工+〃=0

P

其中：死=土)，。2,將上式分別在兒),軸上投影有

g

P-Fsin/9=0

E-Fcos6=0

(a)

以為ian￡二—包，)，=三，苴=一二，因此

drxdrx~

八

tan。=rc

x

(b)

由(a)式可得

tan。=——

(c)

將乙=￡

2和式（b）代入式（C）,并利用冷，二C2,可得:

g

C①3Cg

x=，y=

g>

再由方程中的第一式可得

尸=￡

2-1解.：當(dāng)摩擦系數(shù)/足夠大時，平臺AB

相對地面無滑動，此時摩擦力廠《風(fēng)

取整體為研究對象，受力如圖，

系統(tǒng)的動量：p=匕

x

將其在軸上投影可得：p、=m2vr=m2bt

根據(jù)動量定理有：

等=i=F?fFN=f(g+Mg

即：當(dāng)摩擦系數(shù)/2—竺它一時，平臺AB的加速度為零。

51+m2）g

當(dāng)摩擦系數(shù)/<—竺叁一時，平臺AB將向左滑動，此時系統(tǒng)的動量為:

（見+〃?2）g

p=m2（v+vr）+/??!v

將上式在x軸投影有：

px=m2（-v+匕）+（-v）=rn2bt-（，々+m2）v

根據(jù)動量定理有：

〃一（"4+/〃>）u=F=fFN=/（"a+"與）8

at

由此解得平臺的加速度為：a=-^---兔（方向向左）

㈣+m2

2-2取彈簧未變形時滑塊A的位置為x坐標(biāo)原點(diǎn)，取整體為研究對象，受力如圖所示、其中

尸為作用在滑塊A上的彈簧拉力。系統(tǒng)的動量為：

P=H1V+"2嚴(yán)|=mV+(V+vr)

將上式在X軸投影:

PI=nix+〃7](A4-1(0COS(P)

根據(jù)動量定理有:

=(m+W1)x-sin(p=-F=-kx

系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為:

（m+加1）x+kx=mJCD2sin69/

2-4取提起部分為研究對象，受力如圖（a）所示，提起部分的質(zhì)量為m="以，提起部分

的速度為羽，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動可知質(zhì)點(diǎn)并入的相對速度為匕，方向向下，大小為口（如圖

a所示）。

(b)

根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程有:

dv

in一=尸⑺+噂+匕等=/（/）+3仆”

dr

將上式在y軸上投影有：

dv2

m一=^(0-(pvt)g-vrpv=F(t)-p{vgt+v)

dr

由于蟲=（）,所以由上式可求得：F（t）=p（vgt+v2）o

d/

再取地面上的部分為研究對象，由于地面上的物體沒有運(yùn)動，并起與提起部分沒有相互

作用力，囚此地面的支撐力就是未提起部分自身的重力，即：《.=（/-”）■

2-5將船視為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，取其為研究對象，

受力如圖。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程有：

dv「「dm

=尸+mg+尸川+5方

船的質(zhì)量為：〃?=/〃（）—qf,水的阻力為尸=—yv

將其代入上式可得:

/、dv_,、

將上式在X軸投影:(m-qt)--=-fv-9(一匕)。應(yīng)用分離變量法可求得

0df

M①匕-/v)=—ln(%)-qt)+c

q

由初始條件確定積分常數(shù)：c=ln（q￡,）-/ln〃2o,并代入上式可得:

q

i_嚴(yán)一母

/團(tuán)0

2-8圖a所示水平方板可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，板對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，，質(zhì)量為小的質(zhì)點(diǎn)沿

半徑為R的圓周運(yùn)動，其相對方

板的速度大小為〃（常量）。圓盤中心到轉(zhuǎn)軸的距離為屋質(zhì)點(diǎn)在方板上的位置由e確定。

初始時，（p=0,方板的定速度為零，求方板的角速度與。角的關(guān)系。

z

解：取方板和質(zhì)點(diǎn)為研究對象，作用在研究對象上的外力對轉(zhuǎn)軸Z的力矩為零，因此系統(tǒng)對

Z軸的動量矩守恒。下面分別計

算方板和質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的動最矩。

設(shè)方板對轉(zhuǎn)軸的動量矩為。，其角速度為“，于是有

L]=Jco

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M對轉(zhuǎn)軸的動量矩為4，取方板為動系，質(zhì)點(diǎn)M為動點(diǎn)，其牽連速度和相對速度分

別為匕，匕。相對速度沿相對軌跡

的切線方向，牽連速度垂直于0.M連線。質(zhì)點(diǎn)M相對慣性參考系的絕對速度匕=匕+匕。

它對轉(zhuǎn)軸的動量矩為

L,=&（叫）=心式〃叫）+&（〃評r）

其中:

22

L2(mvc)=mr(o=〃z[(/+Reos。)？+(Rsin^>)]ty

L2(mvt)=m(l+Reos°)匕cos夕+〃加sin)夕匕

系統(tǒng)對z軸的動量矩為Lv=A,+L2o初始時，①=(),夕=0,匕=〃，此時系統(tǒng)對z軸的動

量矩為

〃?(/+R)u

當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動到圖8-12位置時，系統(tǒng)對z軸的動最矩為

L4=Jco+m[(l+Rcos(p)2+(Hsin+〃?(/+/?cos^>)wcos^?+mRsin2(pti

=[J+(I2+R?+2lRcos(p)m]a)+(/cos.+R)mu

由于系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒。所以有4，=Lo,因此可得：

m\l+R)u=[J+(Z2+R?+2/RCOS°)〃Z]G+(/cos0+R)mu

由上式可計算出方板的角速度為

〃“(1一cos。)”

(0=---------、--;------

J+m(l~+R-+2/Rcose)

2-11取鏈條和圓盤為研究對象，受力如圖(鏈條重力未畫)，設(shè)圓盤的角速度為o，則

系統(tǒng)對O軸的動量矩為：

Lo=JOco+p((2〃+nryr~co

根據(jù)動量矩定理有：

F°x

率"=[Jo+pl(2a+*/]cb

at

=Pi(a+x)gr-乃(Q—

整理上式可得：

"+q(2〃+M/]后=q(2x)gr

由運(yùn)動學(xué)關(guān)系可知：w=文，因此有：切=美。上式可表示成：

Uo+Pi(2。+/rr)r2]x=2p,gr2x

令下二-----支匚——上述微分方程可表示成：工一九2工=0,該方程的通解為：

Jo+夕/(2。+用】廠

x=c.e；J+

根據(jù)初始條件：，=0,工=%,比=0可以確定積分常數(shù)。=。2=包，于是方程的解為:

x=王仲力

系統(tǒng)的動量在x軸上的投影為：

P、=corsinOprd0=2spi廣=2p,rx

Jot

系統(tǒng)的動量在y軸上的投影為：

py=pt(a-x)cor-pt(a+x)cor=-2ptxcor=2ptxx

根據(jù)動量定理：

Px=%

Py=.廣_―/?Q+")g

由上式解得：

FOx=2p,rxQ42ch力

F”=P+pi(2a+7rr)g—2自分工；函(2為)

2-14取整體為研究龍象，系統(tǒng)的動能為:

r=?^4^cvc

其中：v4,vc分別是AB桿的速度和楔塊C的速度。

若乙是AB桿上的A點(diǎn)相對楔塊C的速度，則根據(jù)

復(fù)合運(yùn)動速度合成定理可知：

匕.=vAcot0

因此系統(tǒng)的動能可表示為:

22

T=-+—mccot仇］=—(m-mccot0)v\

系統(tǒng)在運(yùn)動過程中，AB桿的重力作功。根據(jù)動能定理的微分形式有:

dT=6W,

系統(tǒng)的動力學(xué)方程可表示成:

22

d+mccot8)d=(m+mccot0)vA6vA=mgvAdt

由上式解得:

嘰____m_g__

2。

山tn+mccot0ac=aAcot

2-17質(zhì)量為〃%的均質(zhì)物塊上有一半徑為R的半圓槽，放在光滑的水平面上如圖A所示。

質(zhì)量為根（相°=3，〃）光滑小球可在槽內(nèi)運(yùn)動，初始時，系統(tǒng)靜止，小球在A處。求小球運(yùn)

動到B處砂=30°時相對物塊的速度、物塊的速度、槽對小球的約束力和地面對物塊的約束

力。

圖A

解：取小球和物塊為研究對象，受力如圖B所示，由于作用在系統(tǒng)上的主動力均為有勢力，

水平方向無外力，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，水平動量守恒。設(shè)小球?yàn)閯狱c(diǎn)，物塊為動系，設(shè)

小球相對物塊的速度為匕，物塊的速度為上，則系統(tǒng)的動能為

T=|砥+1|，叫M+J利（匕一匕Sin0）2+（匕cos0）2]

乙乙L乙

設(shè)0=0為勢能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢能為

V=-mgRsin”

根據(jù)機(jī)械能守恒定理和初始條件有T+V=0,即

3o1

（匕。）

-vrsin9），+cos2]=mgRsincp

（1）

系統(tǒng)水平方向的動量為:

px=匕+根（匕一匕sin⑼

（2）

根據(jù)系統(tǒng)水平動量守恒和初始條件由（2）式有

3nivc+rn（vc一匕sin。）=0

由此求出匕匕sin。，將這個結(jié)果代入上面的機(jī)械能守恒式（1）中，且°=30°最后求

得:

下面求作用在小球上的約束力和地面對物塊的約束力。分別以小球和物塊為研究對象，受力

如圖C,D所示。設(shè)小球的相對物塊的加速度為明,物塊的加速度為4,對于小球有動力學(xué)

方程

mad=+〃：'+〃：)=尸+mg

(a)

對于物塊，由于它是平移，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動動力學(xué)方程有

〃%4二尸+叫)g+FN

(b)

將方程(a)在小球相對運(yùn)動軌跡的法線方向投影，可得

團(tuán)(a；-accos。)=F-mgsin(p

2

其中相對加速度為已知量，a'；=^-o將方程(b)在水平方向和鉛垂方向投影，可得

rR

%Me=FCGS(p

0=FN一%)g-尸sine

令9=30°,聯(lián)立求解三個投影方程可求出

47恁萬%

&二3'八75〃火'FN=3.6267,股

2-18取小球?yàn)檠芯繉ο?，兩個小球?qū)ΨQ下滑，

設(shè)圓環(huán)的半徑為R。每個小球應(yīng)用動能定理有：

^m(RO)2=m^R(\-cos^)(a)

裕

將上式對時間/求導(dǎo)并簡化可得:

。二&sin。(b)〃％g

R

每個小球的加速度為Fn

a=*+C；

=(R0CQS9-RO1sin9)i+(一sin0-R鏟cos。)j

取圓環(huán)與兩個小球?yàn)檠芯繉ο?，?yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理

將上式在y軸上投影可得：

xO-2m(R@sin6+R02cos8)=FN-2tng一〃？()g

將(a),(b)兩式代入上式化簡后得

2

FN=〃i()g+2mg(3cos0-1cos0)

Fv=0時對應(yīng)的0值就是圓環(huán)跳起的臨界值，此時上式可表示成

3cos22cos。+色~=0

2m

上述方程的解為：cos8=(g±/J1—答)

圓環(huán)脫離地面時的。值為a=arcco[+gjl一磬

也是方程的解，但是時圓環(huán)己脫離地面，因此

0=6,不是圓環(huán)脫離地面時的值。

2-19取圓柱、細(xì)管和小球?yàn)檠芯繉ο?。作用于系統(tǒng)上的外力或平行于鉛垂軸或其作用線

通過鉛垂軸。根據(jù)受力分析可知：系統(tǒng)對鉛垂軸的動量矩守恒。設(shè)小球相對?圓柱的速度為上，

牽連速度為上，由系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒，有：

2

L.=-m{)rco-nwcr+mvTcos6^r=0

其中：vc=r(o＞則上式可表示成：

2

(/w0+m)ra)=mvycos6^r

,..〃八，rcos'LIVCOS^

由此解得：a)=—-----=LT-----

("%+ni\rr

其中：〃二———，tan6>=—

“°+m2m

根據(jù)動能定理積分式,有:心-十二2昨2

22

7]=0,=—mora)+—ZW；-2=mgnh

其中：[=(匕一匕cos。)？+(匕sin。)？，將其代入動能定理的積分式，可得:

2222

mnra)+irS^rco-vrcos^)+(vrsin0)]=2mghn

…『弋入上式，可求得:■后騙

則：昨竺也2ghn

r1-//cos20

22

由=(vc-v,cos<9)+(v,sin<9)

2

可求得：va=vr[l-//(2-//)cos例2

2-20取鏈條為研究對象，設(shè)鏈條單位長度的質(zhì)量為0

應(yīng)用動量矩定理，鏈條對O軸的動量矩為：

Lo=pnr'0

外力對0軸的矩為：

Mo=pO^r+Jpgrcosgs

,嚴(yán)-6

=pOgr-+p^rcos(prd(p

J()

=p9gr~+pgr2sin。

LO=M0

pTurO=pBgr1+pgr2sin0

因?yàn)椋憾瓑舳巳ニ陨鲜娇杀硎境?

jrrG二/+gsin?

vdv.八

萬一；7=飲+gsin8

rd。

mdu=吆(6+sin<9)d8

積分上式可得：笈;d=喈(3。2-cos6)+c

由初始條件確定積分常數(shù)c=gr，最后得：u=[g“2-2cose+02)//r]2

3-3取套筒B為動點(diǎn)，0A桿為動系

根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動速度合成定理

"匕+匕

可得：vacos30°=vc=col?

2A/3

/=也。=I=—

研究AD桿，應(yīng)用速度投影定理有:

vA=VDCOS30°,%=半①I

再取套筒D為動點(diǎn)，BC桿為動系，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動速度合成定理

=VBC+力

將上式在X軸上投影有：+V,=f+嘖=

3

3-4AB構(gòu)件（灰色物體）作平面運(yùn)動，已知A點(diǎn)的速度

vA=5O]A=450cm/s

AB的速度瞬心位于C,應(yīng)用速度瞬心法有:

69.K=上位=-rad/s

八8AC2

也=*BC,

設(shè)OB桿的角速度為①，則有

co==-rad/s

OB4

設(shè)P點(diǎn)是AB構(gòu)件上與齒輪I的接觸點(diǎn),

該點(diǎn)的速度：

齒輪I的角速度為：co,=—=6rad/s

4

3-6AB桿作平面運(yùn)動，取A為基點(diǎn)

根據(jù)基點(diǎn)法公式有：

%二"+0八

將上式在AB連線上投影，可得

%=。，①O、B=0

因此，

VA1

69==一(0

ABAB4(0}

因?yàn)锽點(diǎn)作圓周運(yùn)動，此時速度為零,

因此只有切向加速度(方向如圖)。

根據(jù)加速度基點(diǎn)法公式

將上式在AB連線.上投影，可得

-aBcos60°=aA+a^A，aB=-2.5就r

%=皿=-立戊（瞬時針）

mO.B20

3-7齒輪n作平面運(yùn)動，取A為基點(diǎn)有

aR~aA+aBA~aBA

+aBA+aBA

將上式在X投影有:

-acos/3=q-嗎i

由此求得:

acos/3

口〃=

27；

再將基點(diǎn)法公式在y軸上投影有：

osin尸=〃短=a〃24,

由此求得

asinB

a〃=——

24

再研究齒輪n上的圓心，取A為基點(diǎn)

ao+a。1=0八+OQ八+aoA

2z

將上式在y軸上投影有

,.tzsinB

a

o.---a。、A=r2ali=2

由此解得：

_必_asin/?

%。，=.+G=2Qi+&)

再將基點(diǎn)法公式在x軸上投影有：一%=1一°黑

由此解得：

nacQsp-a,

%二一一,

又因?yàn)槲?4+々)嗎出

由此可得：

accs/3-a

+}

%。2=2&+G)

3-9卷筒作平面運(yùn)動，C為速度瞬心，其上D點(diǎn)的速度為P,卷筒的角速度為:

vv

co=-----=--------

DCR-r

角加速度為：

V

a=(o=-------=--------

R-rR-r

卷簡O點(diǎn)的速度為：

%=加=百

O點(diǎn)作直線運(yùn)動，其加速度為:

研究卷筒，取O為基點(diǎn)，求B點(diǎn)的加速度。

aB=°。+aBO+。BO

將其分別在x,y軸上投影

aHx=aO+aBOaBy=-^O

、2j4/(HT)2+J

f)

同理，取0為基點(diǎn)，求C點(diǎn)的加速度。

ac=ao+aco+%

將其分別在x,y軸上投影

aCx=aO~aCO=。aCy~aCO

Rv2

(R-r)2

3-10圖示瞬時，AB桿瞬時平移，因此有：

vB=vA=(oOA=2nYs

AB桿的角速度：(°AH=0

圓盤作平面運(yùn)動，速度瞬心在P點(diǎn)，圓盤的

的角速度為：

co=—=4m/s

Br

圓盤上C點(diǎn)的速度為："c=①BPC=2姮m/s

AB桿上的A、B兩點(diǎn)均作圓周運(yùn)動，取A為基點(diǎn)

根據(jù)基點(diǎn)法公式有

aH~aR+°8=aA+aRA

將上式在X軸上投影可得：一。;二°

因此：

2

a==—=8nVs2

Br

由于任意瞬時，圓盤的角速度均為：

一

將其對時間求導(dǎo)有：

d=%=盆

rr,

由于"\二°,所以圓盤的角加速度=而8=°。

圓盤作平面運(yùn)動，取B為基點(diǎn)，根據(jù)基點(diǎn)法公式有:

aa+aa+a

C=BCli+%=BCB

2+3%尸=2

ac=yj(a^)8V2m/s

3-13滑塊C的速度及其加速度就是DC桿的速度

和加速度。AB桿作平面運(yùn)動，其速度瞬心為P,

AB桿的角速度為：

①AD=券=lrad/s

桿上C點(diǎn)的速度為：%="ABPC=02Ws

取AB桿為動系，套筒C為動點(diǎn)，

根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動速度合成定理有：

匕=叱+匕

其中：%=%?,根據(jù)幾何關(guān)系可求得:

=直向s

%=匕

15

AB桿作平面運(yùn)動，其A點(diǎn)加速度為零,

B點(diǎn)加速度鉛垂，由加速度基點(diǎn)法公式可知

aa+aa

ti=AHA+4陽=HA+4用

由該式可求得

a

BA=0.8n7s2

sin30°

由于A點(diǎn)的加速度為零，AB桿上各點(diǎn)加速度的分布如同定軸轉(zhuǎn)動的加速度分布，AB桿中

其中：OK表示科氏加速度；牽連加速度就是AB桿上C點(diǎn)的加速度，而：=04nVs2

aacos30°=acos30°+a

將上述公式在垂直于AB肝的軸上投影有:c

科氏加速度=2@八8匕，由上式可求得：

2.，

a.=—m/s

at3

3-14：取圓盤中心01為動點(diǎn)，半圓盤為動系，動點(diǎn)的絕對運(yùn)動為直線運(yùn)動；相對運(yùn)動為圓

周運(yùn)動；牽連運(yùn)動為直線平移。

由速度合成定理有：

=匕+匕

速度圖如圖A所示。由于動系平移，所以匕=〃，

根據(jù)速度合成定理可求出:

^55555555^555555555^555555555555^

O

圖A

由于圓盤01在半圓盤上純滾動，圓盤Oi相對半圓盤的角速度為:

由于半圓盤是平移，所以圓盤的角速度就是其相對半圓盤的角速度。

再研究圓盤，取01為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有:

力=9+”

以,=一以@sin300=一wsin300=-u

),

vBv=氣+口Mcos30=2病

%=J臉+嗑=VT3M團(tuán)B

為求B點(diǎn)的加速度，先求01點(diǎn)的加速度和圓盤的角加速度。取圓盤中心01為動點(diǎn)，半圓盤

為動系，根據(jù)加速度合成定理有

其加速度圖如圖C所示，a

R+rr

圖C

將公式（a）在X和N軸上投影可得:

x:()=〃：sin。一〃：cos。

y:-a.,=-a'cos。-a；sin。

J41II

由此求出：a；=包U,4=a0=即圓盤的角加速度為：a=Q=^-

r1rrr~

下面求圓盤上B點(diǎn)的加速度。取圓盤為研究對象，a為基點(diǎn)，應(yīng)用基點(diǎn)法公式有:

將(b)式分別在軸上投影：

=_/cos300+*O1sin30"

aB、=-%-。版sin30°-嘖cos30°

其中：

A/

由此可得：a8—

r

3-15（b）取BC桿為動系（瞬時平移），

套筒A為動點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動）。

根據(jù)速度合成定理有：

/=%+匕

由上