第19頁（共19頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）高一同步經(jīng)典題精練之復(fù)數(shù)的三角表示一．選擇題（共5小題）1．（2024?惠來縣校級模擬）歐拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．若復(fù)數(shù)z滿足z?eiπ3=2，則|zA．[1，9] B．[1，3] C．[1，5] D．[3，5]2．（2024?茂名模擬）已知z1=cosπ3+isinπ3A．0 B．i C．﹣i D．33．（2024秋?湖北月考）若z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i是虛數(shù)單位），則|z﹣1﹣4i|的最大值是（）A．-17 B．17 C．17-1 4．（2024秋?五華區(qū)月考）歐拉公式eiθ＝cosθ+isinθ是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，將其中的θ取π就得到了歐拉恒等式，數(shù)學(xué)家評價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=12，則|z﹣eiπA．12 B．1 C．54 D5．（2024秋?昭通期中）棣莫佛定理：若復(fù)數(shù)z＝r（cosθ+isinθ），則zn＝rn（cosnθ+isinnθ），計(jì)算(1A．﹣1 B．-12+32i C二．多選題（共4小題）（多選）6．（2024秋?上期中）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z，任意復(fù)數(shù)z都可以表示為三角形式r（cosθ+isinθ），其中r為復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角（也被稱為z的輻角）．利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，法國數(shù)學(xué)家棣莫佛發(fā)現(xiàn)[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫佛定理．根據(jù)以上信息，若復(fù)數(shù)z滿足z5＝32，則z可能的取值為（）A．2(cosπ10+isinC．2(cosπ2+（多選）7．（2024秋?江西月考）歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為eix＝cosx+isinx，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個(gè)公式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”（e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位），依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（）A．復(fù)數(shù)eiπB．復(fù)數(shù)ei2對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 C．復(fù)數(shù)eiπ6D．復(fù)數(shù)eiθ（θ∈[0，π]）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半圓（多選）8．（2024?安徽開學(xué)）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的歐拉公式：eix＝cosx+isinx其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）A．eπ2iB．復(fù)數(shù)eπ4C．sinx=D．若z1=eπ3i，z2=eθi在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)點(diǎn)Z1（多選）9．（2024?大理市校級開學(xué)）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立了歐拉公式exi＝cosx+isinx（x∈R，e≈2.71828?），該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天驕．依據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論正確的是（）A．eπ3B．復(fù)數(shù)ekπ2C．exi?e﹣xi＝1 D．設(shè)復(fù)數(shù)z=e三．填空題（共3小題）10．（2024春?閔行區(qū)校級期末）復(fù)數(shù)z=11+i（i是虛數(shù)單位）的虛部是11．（2024春?臨夏州期末）計(jì)算：(cosπ4+12．（2024春?福建期末）若復(fù)數(shù)z滿足z1+i=i2020+i四．解答題（共3小題）13．（2024秋?邳州市月考）設(shè)復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，設(shè)∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，則任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a+bi都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式，這種形式叫做復(fù)數(shù)三角形式，其中r是復(fù)數(shù)z的模，θ稱為復(fù)數(shù)z的輻角，若0≤θ＜2π，則θ稱為復(fù)數(shù)z的輻角主值，記為argz．（1）若z＝r（cosθ+isinθ），證明：z3＝r3（cos3θ+isin3θ），并寫出zn的三角形式（無需證明）；（2）求方程x5＝1虛根的實(shí)部；（3）證明：n∈N*時(shí)，sinπ參考數(shù)據(jù)：sin1814．（2024秋?豐城市校級期中）已知：①任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ→所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的輻角，r（cosθ+isinθ）叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi②eix＝cosx+isinx被稱為歐拉公式，是復(fù)數(shù)的指數(shù)形式．③方程xn＝1（n為正整數(shù)）有n個(gè)不同的復(fù)數(shù)根．（1）設(shè)ω=-12（2）試求出所有滿足方程x6＝1的復(fù)數(shù)x的值所組成的集合；（3）復(fù)數(shù)z=cosπ1012+isinπ1012，求（z﹣1）（z215．（2024秋?普陀區(qū)校級期中）已知i為虛數(shù)單位．設(shè)θ∈[0，π2]，復(fù)數(shù)z0＝（3sinθ﹣cosθ）+（sin（1）若z0的實(shí)部與虛部相等，求θ的大?。唬?）已知p，q∈R，θ=π2，若z0是方程x2+px+q＝0的一個(gè)虛根，求p與

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）高一同步經(jīng)典題精練之復(fù)數(shù)的三角表示參考答案與試題解析題號12345答案BBDDA一．選擇題（共5小題）1．（2024?惠來縣校級模擬）歐拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．若復(fù)數(shù)z滿足z?eiπ3=2，則|zA．[1，9] B．[1，3] C．[1，5] D．[3，5]【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示；復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】結(jié)合歐拉公式，求出z，再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：eπ則z=故z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)Z(1，-3)，eiθ對應(yīng)的點(diǎn)p為（cosθ，所以|z﹣eiθ|為點(diǎn)Z到點(diǎn)P的距離，其最小值為|OZ|﹣1，最大值為|OZ|+1，|OZ|＝2，故|z﹣eiθ|的取值范圍為[1，3]．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?茂名模擬）已知z1=cosπ3+isinπ3A．0 B．i C．﹣i D．3【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示；復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算．【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】直接利用復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算得答案．【解答】解：∵z1=cos∴z1?z2＝（cosπ3+isinπ3）?（cosπ6+isinπ6故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．3．（2024秋?湖北月考）若z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i是虛數(shù)單位），則|z﹣1﹣4i|的最大值是（）A．-17 B．17 C．17-1 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示．【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i是虛數(shù)單位）所對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，|z﹣1﹣4i|的幾何意義為圓上的動點(diǎn)到定點(diǎn)（1，4）的距離，則其最大值為12故選：D．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的三角表示，考查復(fù)數(shù)模的幾何意義及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4．（2024秋?五華區(qū)月考）歐拉公式eiθ＝cosθ+isinθ是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，將其中的θ取π就得到了歐拉恒等式，數(shù)學(xué)家評價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=12，則|z﹣eiπA．12 B．1 C．54 D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】D【分析】根據(jù)歐拉公式與絕對值不等式，求解即可．【解答】解：由歐拉公式得，eiπ＝cosπ+isinπ＝﹣1，且|z|=1所以|z﹣eiπ|＝|z+1|≤|z|+1=12+即|z﹣eiπ|的最大值為32故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算與絕對值不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．5．（2024秋?昭通期中）棣莫佛定理：若復(fù)數(shù)z＝r（cosθ+isinθ），則zn＝rn（cosnθ+isinnθ），計(jì)算(1A．﹣1 B．-12+32i C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)題目中棣莫佛定理，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得答案．【解答】解：若復(fù)數(shù)z＝r（cosθ+isinθ），則zn＝rn（cosnθ+isinnθ），由棣莫佛定理得：(1故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）6．（2024秋?上期中）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z，任意復(fù)數(shù)z都可以表示為三角形式r（cosθ+isinθ），其中r為復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角（也被稱為z的輻角）．利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，法國數(shù)學(xué)家棣莫佛發(fā)現(xiàn)[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫佛定理．根據(jù)以上信息，若復(fù)數(shù)z滿足z5＝32，則z可能的取值為（）A．2(cosπ10+isinC．2(cosπ2+【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示．【專題】整體思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】BD【分析】根據(jù)棣莫佛定理可得z的一般形式，故可得正確的選項(xiàng)．【解答】解：設(shè)z＝r（cosθ+isinθ），其中r＞0，則z5＝r5（cos5θ+isin5θ）＝32，故r5cos5θ＝32，sin5θ＝0，而cos5θ＞0，故5θ＝2kπ，k∈Z，所以θ=2kπ5，k故r＝2，故z＝2（cos2kπ5+isin2kπ5故BD正確，AC錯(cuò)誤．故選：BD．【點(diǎn)評】本題考查棣莫佛定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024秋?江西月考）歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為eix＝cosx+isinx，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個(gè)公式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”（e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位），依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（）A．復(fù)數(shù)eiπB．復(fù)數(shù)ei2對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 C．復(fù)數(shù)eiπ6D．復(fù)數(shù)eiθ（θ∈[0，π]）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半圓【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】利用歐拉公式將復(fù)數(shù)化為cosx+isinx的形式，然后應(yīng)用復(fù)數(shù)的相關(guān)知識判斷即可．【解答】解：對于A，eiπ2=cos對于B，ei2＝cos2+isin2，因?yàn)?∈（π2，π所以cos2＜0，sin2＞0，復(fù)數(shù)ei2對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，選項(xiàng)B正確；對于C，eiπ6=cosπ6對于D，eiθ＝cosθ+isinθ，且|eiθ|＝|cosθ+isinθ|＝1，復(fù)數(shù)eiθ（θ∈[0，π]）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1的半圓，選項(xiàng)D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的三角表示，以及復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．（多選）8．（2024?安徽開學(xué)）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的歐拉公式：eix＝cosx+isinx其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）A．eπ2iB．復(fù)數(shù)eπ4C．sinx=D．若z1=eπ3i，z2=eθi在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)點(diǎn)Z1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示；復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解；新文化類．【答案】AC【分析】根據(jù)題意得到eπ2i=i判斷A；求出eπ4i=22+22i，得到對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)判斷B；計(jì)算出eix＝cosx+isinx，e﹣ix＝cosx﹣isinx判斷C；計(jì)算出Z1(12，32)，【解答】解：對于A，eπ2i=cosπ2對于B，eπ故eπ4i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(對于C，eix＝cosx+isinx，e﹣ix＝cos（﹣x）+isin（﹣x）＝cosx﹣isinx，故eix-e對于D，若z1=e故Z1(12，32)，Z則|OZ1|＝|OZ2|＝1，故S△當(dāng)sin∠Z1OZ2＝1，即∠Z1OZ2＝90°時(shí)，面積取得最大值，最大值為12，故D故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．（多選）9．（2024?大理市校級開學(xué)）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立了歐拉公式exi＝cosx+isinx（x∈R，e≈2.71828?），該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天驕．依據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論正確的是（）A．eπ3B．復(fù)數(shù)ekπ2C．exi?e﹣xi＝1 D．設(shè)復(fù)數(shù)z=e【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示．【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解；新文化類．【答案】CD【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)及三角函數(shù)的概念，根據(jù)歐拉公式exi＝cosx+isinx逐項(xiàng)計(jì)算，判斷正誤即可．【解答】解：e=(12+由歐拉公式得，ekπ則k為偶數(shù)時(shí)，ekπ2i=±1，k為奇數(shù)時(shí)，exi?e﹣xi＝（cosx+isinx）[cos（﹣x）+isin（﹣x）]＝（cosx+isinx）（cosx﹣isinx）＝cos2x﹣（isinx）2＝1，故C正確；∵z=∴|z|=|故選：CD．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共3小題）10．（2024春?閔行區(qū)校級期末）復(fù)數(shù)z=11+i（i是虛數(shù)單位）的虛部是【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示．【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】化簡復(fù)數(shù)z，可得z的虛部．【解答】解：z=11+i=故答案為：-1【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024春?臨夏州期末）計(jì)算：(cosπ4+【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義．【專題】對應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】﹣1．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡即可．【解答】解：cosπ4則(cosπ4+isin故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．12．（2024春?福建期末）若復(fù)數(shù)z滿足z1+i=i2020+i2021【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示．【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】2i．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及乘法運(yùn)算計(jì)算即可．【解答】解：z1+所以z＝（1+i）2＝2i．故答案為：2i．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?邳州市月考）設(shè)復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，設(shè)∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，則任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a+bi都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式，這種形式叫做復(fù)數(shù)三角形式，其中r是復(fù)數(shù)z的模，θ稱為復(fù)數(shù)z的輻角，若0≤θ＜2π，則θ稱為復(fù)數(shù)z的輻角主值，記為argz．（1）若z＝r（cosθ+isinθ），證明：z3＝r3（cos3θ+isin3θ），并寫出zn的三角形式（無需證明）；（2）求方程x5＝1虛根的實(shí)部；（3）證明：n∈N*時(shí)，sinπ參考數(shù)據(jù)：sin18【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明過程見解答；zn的三角形式為zn＝rn（cosnθ+isinnθ）．（2）x5＝1虛根有四個(gè)，其實(shí)部分別為﹣cosπ5，cos2π5，﹣cos3π（3）證明過程見解答．【分析】（1）由z＝r（cosθ+isinθ），利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則與三角恒等變換公式，即可證明z3＝r3（cos3θ+isin3θ），進(jìn)而猜出zn的三角形式zn＝rn（cosnθ+isinnθ）；（2）設(shè)x＝r（cosθ+isinθ），r∈R，r≠0，θ∈[0，2π），利用（1）的結(jié)論解方程x5＝1，求出r，θ的值即可；（3）由于cos（2n+1）θ+isin（2n+1）θ＝（cosθ+isinθ）n，利用二項(xiàng)展開式，比較虛部得到sinθk，1≤k≤2n，（其中θk=kπ2n+1，k＝1，2，…，2n+1）為多項(xiàng)式C2n+11(1-x2)n-C2n【解答】解：（1）證明：若z＝r（cosθ+isinθ），則：z2＝r2（cos2θ+isin2θ）2＝r2（cos2θ+i2sin2θ+isin2θ）＝r2（cos2θ﹣sin2θ+2isinθcosθ）＝r2（cos2θ+isin2θ），z3＝r2（cos2θ+isin2θ）?r（cosθ+isinθ）＝r3（cos2θcosθ+i2sin2θsinθ+icos2θsinθ+isin2θcosθ）＝r3[cos2θcosθ﹣sin2θsinθ+i（cos2θsinθ+sin2θcosθ）＝r3[cos（2θ+θ）isin（2θ+θ\＝r3（cos3θ+isin3θ），∴z3＝r3（cos3θ+isin3θ），zn的三角形式為zn＝rn（cosnθ+isinnθ）．（2）設(shè)x＝r（cosθ+isinθ），r∈R，r≠0，θ∈[0，2π]，則x5＝r5（cos5θ+isin5θ）＝r5cos5θ+ir5sin5θ＝1，∴r5cos5θ＝1，r5sin5θ+ir5sin5θ＝1，∴r5cos5θ＝1，r5sin5θ＝0，∴sin5θ＝0，∴r5cos5θ＝1，r5sin5θ＝0，∴sin5θ＝0，∴cos5θ=1∴θ=0r=1或θ=2π5∴x5＝1虛根有四個(gè)，其實(shí)部分別為﹣cosπ5，cos2π5，﹣cos3π（3）證明：∵cos（2n+1）θ+isin（2n+1）θ＝（cosθ+isinθ）n，利用二項(xiàng)展開式，比較虛部得：sin（2n+1）θ=C2n+11=C令θk=kπ2n+1，k＝1，2，…，∵sin（2n+1）θk＝0，1≤k≤2n+1，則sinθk，1≤k≤2n為方程C2n+11(1-x2)n-C∵sin2θk＝sin2θ2n+1﹣k，1≤k≤2n，∴sinθk，1≤k≤n為方程C2n+11(1-t)n-C∵上述多項(xiàng)式的最高項(xiàng)系數(shù)為（﹣1）n（C2n+11+C2n末項(xiàng)系數(shù)（常數(shù)項(xiàng)）為C2∴由韋達(dá)定理得sin2θ1sin∵sinθk≥0，∴sinθ1sinθ2sinθ3…sinθn=2∴n∈N*時(shí)，sinπ【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則、三角恒等變換公式、復(fù)數(shù)的三角形式、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識，是難題．14．（2024秋?豐城市校級期中）已知：①任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ→所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的輻角，r（cosθ+isinθ）叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi②eix＝cosx+isinx被稱為歐拉公式，是復(fù)數(shù)的指數(shù)形式．③方程xn＝1（n為正整數(shù)）有n個(gè)不同的復(fù)數(shù)根．（1）設(shè)ω=-12（2）試求出所有滿足方程x6＝1的復(fù)數(shù)x的值所組成的集合；（3）復(fù)數(shù)z=cosπ1012+isinπ1012，求（z﹣1）（z2【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示；虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】（1）-12（2）{﹣1，1，-12+32i，-12-3（3）﹣2024．【分析】（1）利用歐拉公式及ω3＝1可求得ω2024；（2）設(shè)x＝cosθ+isinθ，依題意，可求得cos6θ＝1?6θ＝2kπ，k∈Z，對k賦值可求得復(fù)數(shù)x的值所組成的集合；（3）依題意，可得（2n）2024＝1?x2024﹣1＝0的根為1，z，z2…，z2023，分析可得（x﹣z）（x﹣z2）?（x﹣z2023）＝1+x+?+x2023，再令x＝1可求得答案．【解答】解：（1）由ω=-12+32i＝則ω3=(ei2π3)3=ei2π＝則ω2024（2）設(shè)x＝cosθ+isinθ，則x6＝（cosθ+isinθ）6＝（eiθ）6＝ei6θ＝cos6θ+isin6θ＝1，故cos6θ＝1，6θ＝2kπ，k∈Z，則當(dāng)k＝0，1，2，3，4，5時(shí)，分別對應(yīng)的θ=0，π故相應(yīng)的x=1，1故由所有的復(fù)數(shù)x所組成的集合為{﹣1，1，-12+32i，-12-3（3）若z＝cosx+isinx，則zn＝（cosx+isinx）n＝（eix）n＝einx＝cosnx+isinnx，因?yàn)閦=則(z易知，關(guān)于x的方程x2024﹣1＝0的根為1，z，z2…，z2023，故x2024﹣1＝（x﹣1）（x﹣z）（x﹣z2）?（x﹣z2023），又x2024﹣1＝（x﹣1）（1+x+x2+x2023），故（x﹣z）（x﹣z2）?（x﹣z2023）＝1+x+?+x2023，令x＝1，可得（1﹣z）（1﹣z2）?（1﹣z2023）＝1+1+?+12023＝2024，且2023為奇數(shù)，所以（z﹣1）（z2﹣1）?（z2022﹣1）＝﹣2024．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力，屬于難題．15．（2024秋?普陀區(qū)校級期中）已知i為虛數(shù)單位．設(shè)θ∈[0，π2]，復(fù)數(shù)z0＝（3sinθ﹣cosθ）+（sin（1）若z0的實(shí)部與虛部相等，求θ的大?。唬?）已知p，q∈R，θ=π2，若z0是方程x2+px+q＝0的一個(gè)虛根，求p與【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示；實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對定理．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】（1）θ=（2）p＝﹣6，q＝10．【分析】（1）由實(shí)部與虛部相等建立等量關(guān)系，結(jié)合角的范圍計(jì)算可得結(jié)果；（2）代入θ=π2可得復(fù)數(shù)z0，將復(fù)數(shù)【解答】解：（1）由z0＝（3sinθ﹣cosθ）+（sinθ+cosθ）i的實(shí)部與虛部相等，得3sinθ﹣cosθ＝sinθ+cosθ，即sinθ＝cosθ，∵θ∈[0，π2]∴θ=（2）∵θ=π2，∴z0＝（3sinθ﹣cosθ）+（sinθ+cosθ）i＝代入方程x2+px+q＝0，可得：（3+i）2+p（3+i）+q＝0，即3p+q+8+（6+p）i＝0，則3p+q【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算，考查方程思想，是基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a(bǔ)+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把a(bǔ)＝0且b≠0的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠0，且b＝0叫做實(shí)數(shù)．復(fù)數(shù)的模為a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中2．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部【知識點(diǎn)的認(rèn)識】i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a(bǔ)+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把a(bǔ)＝0且b≠0的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠0，且b＝0叫做實(shí)數(shù)．復(fù)數(shù)的模為a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中【解題方法點(diǎn)撥】﹣分解復(fù)數(shù)：通過給定的復(fù)數(shù)表達(dá)式，提取實(shí)部和虛部．﹣應(yīng)用：在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，分開處理實(shí)部和虛部，簡化計(jì)算過程．【命題方向】﹣實(shí)部與虛部的提取：考查如何從復(fù)數(shù)表達(dá)式中提取實(shí)部和虛部．﹣實(shí)部虛部的運(yùn)算：如何利用實(shí)部和虛部進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算和解決問題．若復(fù)數(shù)z＝a2﹣3+2ai的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝_____．解：若復(fù)數(shù)z＝a2﹣3+2ai的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案為：﹣3或1．3．復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0，0），對應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）→平面向量OZ→2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．【解題方法點(diǎn)撥】﹣點(diǎn)的表示：將復(fù)數(shù)a+bi作為復(fù)平面上的點(diǎn)（a，b）進(jìn)行圖示．﹣幾何運(yùn)算：利用復(fù)平面上的點(diǎn)進(jìn)行幾何運(yùn)算和分析．【命題方向】﹣復(fù)平面的幾何表示：考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的點(diǎn)表示及其幾何意義．﹣復(fù)數(shù)的幾何應(yīng)用：如何在復(fù)平面中使用復(fù)數(shù)解決幾何問題．4．復(fù)數(shù)的?！局R點(diǎn)的認(rèn)識】1．復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a+bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．2、復(fù)數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、復(fù)數(shù)的模：OZ→的長度叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=5．復(fù)