第47講空間點(diǎn)、直線、平面之間的

位置關(guān)系

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一．四個(gè)公理

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法

公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．

注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)

推論①：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

推論③：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直

線．

注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)

（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線

共點(diǎn)）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．

知識(shí)點(diǎn)二．直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形

符號(hào)abPa∥baA,b,Ab

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100

特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平兩條異面直線不同在如

面何一個(gè)平面內(nèi)

知識(shí)點(diǎn)三．直線與平面的位置關(guān)系：有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面

平行三種情況．

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

符號(hào)llPl∥

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)數(shù)個(gè)10

知識(shí)點(diǎn)四．平面與平面的位置關(guān)系：有平行、相交兩種情況．

位置關(guān)平行相交（但不垂直）垂直

系

圖形

符號(hào)∥l，l

公共點(diǎn)0無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都

個(gè)數(shù)都在唯一的一條直線在唯一的一條直線上

上

知識(shí)點(diǎn)五．等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互

補(bǔ)．

必考題型全歸納

題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”

例1．（2024·山西大同·高一?？计谥校┤鐖D所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別

為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG:GCDH:HC1:2，求證：

(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；

(2)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上．

例2．（2024·陜西西安·高一?？计谥校?）已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求

證：過(guò)a，b，l有且只有一個(gè)平面；

（2）如圖，在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊AB，

CFAE1

BC上的點(diǎn)，且.求證：直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn).

FBEB3

例3．（2024·河南信陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分

別是AB,AA1上的點(diǎn)，且A1F2FA,BE2AE.

(1)證明：E,C,D1,F四點(diǎn)共面；

(2)設(shè)D1FCEO，證明：A，O，D三點(diǎn)共線.

變式1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為

AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG:GCDH:HC1:2.求證：

(1)E?F?G?H四點(diǎn)共面；

(2)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.

變式2．（2024·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，

G，H分別為棱A1B1，B1C1，AB，BC的中點(diǎn)．

(1)證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；

(2)證明GE，F(xiàn)H，BB1相交于一點(diǎn)．

變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分

，

別是ABAA1的中點(diǎn)．

，，

(1)求證：CED1FDA三線交于點(diǎn)P；

(2)在（1）的結(jié)論中，G是D1E上一點(diǎn)，若FG交平面ABCD于點(diǎn)H，求證：P，E，H三點(diǎn)

共線．

【解題方法總結(jié)】

共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明

（1）證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi)．

（2）證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．

（3）證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．

題型二：截面問(wèn)題

例4．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為23，動(dòng)點(diǎn)P

在對(duì)角線BD1上，過(guò)點(diǎn)P作垂直于BD1的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）

的周長(zhǎng)為y，設(shè)BPx，則當(dāng)x1,5時(shí)，函數(shù)yfx的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A．36,66B．6,26C．0,6D．0,36

例5．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1

的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為線段BC,CC1,BB1上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），

π

①異面直線D1D與AF所成角可以為

4

②當(dāng)G為中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使直線A1G與平面AEF平行

9

③當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，平面AEF截正方體所得的截面面積為

8

④存在點(diǎn)G，使點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

則上述結(jié)論正確的是（）

A．①③B．②④C．②③D．①④

例6．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為AD，C1D1的

中點(diǎn)，過(guò)M，N，B1三點(diǎn)的平面截正方體ABCDA1B1C1D1所得的截面形狀為（）

A．六邊形B．五邊形C．四邊形D．三角形

變式4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在正方體ABCDA1B1C1D1中，M,N分別為AD，C1D1

的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

22

①M(fèi)N//平面AA1C1C；②MNB1C；③直線MN與AC1所成角的余弦值為

3

④過(guò)M,N,B1三點(diǎn)的平面截正方體ABCDA1B1C1D1所得的截面為梯形

A．1B．2C．3D．4

變式5．（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體

ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，對(duì)于如下命題：①異面直線DD1與B1F

5

所成角的余弦值為；②點(diǎn)P為正方形A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)DP//平面B1EF時(shí)，DP的最小

5

32

值為；③過(guò)點(diǎn)D1，E，F(xiàn)的平面截正方體ABCDA1B1C1D1所得的截面周長(zhǎng)為2132；

2

④當(dāng)三棱錐B1BEF的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上時(shí)，球O的體積為6．則正確的命題

個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

變式6．（2024·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E

是棱CC1的中點(diǎn)，過(guò)A,D1,E三點(diǎn)的截面把正方體ABCDA1B1C1D1分成兩部分，則這兩部分

中大的體積與小的體積的比值為（）

171377

A．B．C．D．

7734

-

變式7．（2024·新疆·校聯(lián)考二模）已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)分別為BB1，A1C1

的中點(diǎn)，AA12，AB2，BC32，AC4，如圖所示，若過(guò)A、E、F三點(diǎn)的平面

-

作該直三棱柱ABCA1B1C1的截面，則所得截面的面積為（）

A．10B．15C．25D．30

變式8．（2024·新疆阿克蘇·?？家荒＃┮阎狹，N，P是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB，

AA1，CC1的中點(diǎn)，則平面MNP截正方體ABCDA1B1C1D1所得的截面是（）

A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形

變式9．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校┰诶忾L(zhǎng)為3的正方體ABCDA1B1C1D1

中，點(diǎn)Р是側(cè)面ADD1A1上的點(diǎn)，且點(diǎn)Р到棱AA1與到棱AD的距離均為1，用過(guò)點(diǎn)Р且與BD1

垂直的平面去截該正方體，則截面在正方體底面ABCD的投影多邊形的面積是（）

913

A．B．5C．D．8

22

【解題方法總結(jié)】

（1）作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線

都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．

（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出

交線．

題型三：異面直線的判定

例7．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交，則直線a,b的

位置關(guān)系是（）

A．一定是異面直線B．一定是相交直線

C．可能是平行直線D．可能是異面直線，也可能是相交直線

例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)P在直線AD1

上，Q為線段BD的中點(diǎn)，則下列命題中假命題為（）

A．存在點(diǎn)P，使得PQA1C1

B．存在點(diǎn)P，使得PQ//A1B

C．直線PQ始終與直線CC1異面

D．直線PQ始終與直線BC1異面

例9．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在底面半徑為1的圓

柱OO1中，過(guò)旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點(diǎn)，F(xiàn)

是AB的中點(diǎn)，則（）

A．AE=CF，AC與EF是共面直線

B．AECF，AC與EF是共面直線

C．AE=CF，AC與EF是異面直線

D．AECF，AC與EF是異面直線

變式10．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知正方體ABCDA1B1C1D1

MP

中，，N，分別是棱A1D1，D1C1，AB的中點(diǎn)，Q是線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線

中，始終與直線PQ異面的是（）

A．AB1B．BC1C．CA1D．DD1

-

變式11．（2024·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱

長(zhǎng)均為1，點(diǎn)P、M、N分別為棱AA1、AB、A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)

Q由點(diǎn)N出發(fā)向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以下結(jié)論中正確的是（）

A．直線C1Q與直線CP可能相交B．直線C1Q與直線CP始終異面

C．直線C1Q與直線CP可能垂直D．直線C1Q與直線BP不可能垂直

變式12．（2024·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在底面為正方形的棱臺(tái)

中，、、、分別為棱，，，的中點(diǎn)，對(duì)空間任

ABCDA1B1C1D1EFGHCC1BB1CFAF

MM

意兩點(diǎn)、N，若線段MN與線段AE、BD1都不相交，則稱點(diǎn)與點(diǎn)N可視，下列選

項(xiàng)中與點(diǎn)D可視的為（）

A．B1B．FC．HD．G

【解題方法總結(jié)】

判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：

（1）直接法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線是異面

直線．

（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面．

題型四：異面直線所成的角

例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱

AD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1E與BF所成角的大小為．

例11．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD

所成角的大小為．

例12．（2024·新疆喀什·高三統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體

中，下列說(shuō)法中，正確的序號(hào)是.

（1）直線AF與直線DE相交；

（2）直線CH與直線DE平行；

（3）直線BG與直線DE是異面直線；

（4）直線CH與直線BG成60角.

變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去

一小塊，八個(gè)頂點(diǎn)共截去八小塊，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的“阿基米德多

面體”，則異面直線AB與CD所成角的大小是

變式14．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）線段AB的兩端分別在直二面角CD的兩個(gè)面

、內(nèi)，且與這兩個(gè)面都成30角，則直線AB與CD所成的角等于．

變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，等腰梯形ABCD沿對(duì)角線AC翻折，得到空

1

間四邊形D1ABC，若BCCDDAAB1，則直線AD1與BC所成角的大小可能

2

為.（寫出一個(gè)值即可）

【解題方法總結(jié)】

（1）點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長(zhǎng)方體、正方體）模型來(lái)判

斷，常借助正方體為模型．

（2）求異面直線所成的角的三個(gè)步驟

一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．

二證：證明作出的角是異面直線所成的角．

三求：解三角形，求出所作的角．

題型五：平面的基本性質(zhì)

例13．（多選題）（2024·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，是兩個(gè)

不同的平面，則下列命題正確的是（）

A．若l，A且A，則Al

B．若A，B，C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，A，B，則C

C．若A且B，則直線AB

D．若直線a，直線b，則a與b為異面直線

例14．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有下列命題：

①經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面；

②梯形可以確定一個(gè)平面；

③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；

④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．

其中正確命題是（）

A．①B．②C．③D．④

例15．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在

空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個(gè)真命題，在空間中仍然成立的有（）

A．平行于同一條直線的兩條直線必平行

B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行

C．一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

D．一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

變式16．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列命題

中錯(cuò)誤的是（）

A．空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面

B．三角形一定是平面圖形

C．若A，B，C，D既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則平面和平面重合

D．四條邊都相等的四邊形是平面圖形

變式17．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是正方體

ABCDA1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中點(diǎn)，則（）

A．GH2EFB．GH2EF

C．直線EF，GH是異面直線D．直線EF，GH是相交直線

變式18．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為