2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4生活中的優(yōu)化問題舉例（教師用書）教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版選修1-1主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析親愛的小伙伴們，今天我們要一起探索的是高中數(shù)學(xué)選修1-1的第三章——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中的3.4節(jié)“生活中的優(yōu)化問題舉例”。這節(jié)課，我們要將數(shù)學(xué)知識(shí)從書本帶到生活，用導(dǎo)數(shù)的魔法來(lái)解決實(shí)際問題哦！??

這節(jié)課，我們會(huì)用到之前學(xué)過的導(dǎo)數(shù)知識(shí)，比如導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)法則等。這些知識(shí)就像我們的武器，幫助我們分析生活中的優(yōu)化問題。??

舉個(gè)例子，我們可能會(huì)遇到如何設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方體容器，使得其體積最大，表面積最小的問題。這個(gè)問題看似復(fù)雜，但只要我們用導(dǎo)數(shù)來(lái)分析，就能找到最優(yōu)解。??

所以，這節(jié)課，讓我們一起用數(shù)學(xué)的眼睛去發(fā)現(xiàn)生活中的美，用導(dǎo)數(shù)的力量去優(yōu)化我們的生活吧！??核心素養(yǎng)目標(biāo)在本節(jié)課中，我們致力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。學(xué)生將通過分析生活中的優(yōu)化問題，學(xué)會(huì)如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，從而提高解決實(shí)際問題的能力。同時(shí)，通過小組合作和獨(dú)立思考，學(xué)生將提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，進(jìn)一步加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解和應(yīng)用。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)。

同學(xué)們?cè)谶M(jìn)入這節(jié)“生活中的優(yōu)化問題舉例”之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)。他們能夠運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)分析函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，這些是解決優(yōu)化問題的關(guān)鍵。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格。

高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣因人而異，但普遍對(duì)生活中的應(yīng)用場(chǎng)景感興趣。他們的能力在逐步提高，能夠獨(dú)立完成一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生偏好通過視覺和圖形來(lái)理解問題，有的則更傾向于通過文字和符號(hào)進(jìn)行邏輯推理。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)。

在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，這需要較強(qiáng)的抽象思維能力；二是如何正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)解決問題，這可能涉及到復(fù)雜的計(jì)算和邏輯推理；三是理解導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，可能需要一定的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和直觀理解。因此，教學(xué)過程中需要引導(dǎo)學(xué)生逐步克服這些困難，通過實(shí)例分析和小組討論來(lái)加深理解。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源-軟件資源：數(shù)學(xué)繪圖軟件（如GeoGebra），用于動(dòng)態(tài)展示函數(shù)圖像和導(dǎo)數(shù)的變化。

-課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部的教學(xué)管理系統(tǒng)，用于發(fā)布課程資料和作業(yè)。

-信息化資源：網(wǎng)絡(luò)上的數(shù)學(xué)教育資源網(wǎng)站，提供相關(guān)教學(xué)視頻和案例。

-教學(xué)手段：實(shí)物教具（如長(zhǎng)方體容器模型），用于直觀展示優(yōu)化問題的實(shí)際應(yīng)用。

-多媒體設(shè)備：投影儀和計(jì)算機(jī)，用于展示教學(xué)幻燈片和視頻。

-教學(xué)材料：學(xué)生用書《數(shù)學(xué)》（新人教A版選修1-1）、教師用書《數(shù)學(xué)》（新人教A版選修1-1）、練習(xí)冊(cè)等。教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（5分鐘）

1.開場(chǎng)白：同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念和應(yīng)用，今天我們要將數(shù)學(xué)的智慧應(yīng)用到生活中去，解決一些實(shí)際的優(yōu)化問題。大家準(zhǔn)備好了嗎？讓我們一起來(lái)探索數(shù)學(xué)在生活中的奇妙之旅吧！??

2.創(chuàng)設(shè)情境：展示一張日常生活中的圖片，比如一家餐廳的菜單設(shè)計(jì)，引出問題：“如何設(shè)計(jì)菜單，既能吸引顧客，又能最大化利潤(rùn)？”

3.提出問題：引導(dǎo)同學(xué)們思考，這個(gè)問題可以如何用數(shù)學(xué)的方式解決？我們需要哪些數(shù)學(xué)工具？

二、新課講授（15分鐘）

1.導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用：通過講解實(shí)例，說(shuō)明如何利用導(dǎo)數(shù)找到函數(shù)的最大值和最小值，解決優(yōu)化問題。

-舉例：分析一個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面積的關(guān)系，通過導(dǎo)數(shù)找到體積最大且表面積最小的長(zhǎng)方體尺寸。

-分析：展示如何通過求導(dǎo)找到函數(shù)的極值點(diǎn)，并解釋為什么這些點(diǎn)是優(yōu)化問題的解。

2.數(shù)學(xué)建模：講解如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，包括變量選擇、方程建立等。

-舉例：分析一家工廠如何優(yōu)化生產(chǎn)流程以減少成本，建立數(shù)學(xué)模型并求解。

3.實(shí)際案例討論：討論一些具體的實(shí)際案例，如最優(yōu)投資組合、最短路徑問題等。

-分析：針對(duì)案例，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，提出可能的解決方案，并討論其可行性。

三、實(shí)踐活動(dòng)（20分鐘）

1.小組合作：將學(xué)生分成小組，每個(gè)小組選擇一個(gè)生活中的優(yōu)化問題，進(jìn)行小組討論和方案設(shè)計(jì)。

-舉例：設(shè)計(jì)一個(gè)班級(jí)活動(dòng)，如最佳座位安排，以小組為單位進(jìn)行優(yōu)化。

2.分享交流：各小組匯報(bào)自己的討論成果，其他小組和老師進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充。

-舉例：小組展示如何通過數(shù)學(xué)方法解決班級(jí)活動(dòng)座位安排問題，包括模型建立和解決方案。

3.實(shí)踐操作：利用軟件工具，如GeoGebra，進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證小組的優(yōu)化方案。

-舉例：使用GeoGebra模擬長(zhǎng)方體容器體積和表面積的變化，驗(yàn)證最優(yōu)解的合理性。

四、學(xué)生小組討論（10分鐘）

1.舉例回答：小組討論如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

-舉例：討論如何將一家餐廳的菜單設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為最大化利潤(rùn)的數(shù)學(xué)模型。

2.舉例回答：小組討論如何選擇合適的變量和方程來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。

-舉例：討論在餐廳菜單設(shè)計(jì)中，哪些變量是關(guān)鍵的，如何通過這些變量建立方程。

3.舉例回答：小組討論如何驗(yàn)證和優(yōu)化他們的解決方案。

-舉例：討論如何通過實(shí)驗(yàn)和計(jì)算來(lái)驗(yàn)證小組的菜單設(shè)計(jì)是否能吸引更多顧客。

五、總結(jié)回顧（5分鐘）

1.總結(jié)：回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在解決優(yōu)化問題中的應(yīng)用。

-內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)如何幫助我們找到函數(shù)的極值點(diǎn)，如何建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。

2.重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：指出本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，如如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問題。

-重點(diǎn)：重點(diǎn)在于理解導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，難點(diǎn)在于建模和計(jì)算。

3.展望：鼓勵(lì)學(xué)生在生活中繼續(xù)觀察和發(fā)現(xiàn)優(yōu)化問題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決。

-內(nèi)容：鼓勵(lì)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于日常生活，提升解決問題的能力。

用時(shí)：共計(jì)45分鐘教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：介紹導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要性，如何通過導(dǎo)數(shù)來(lái)分析市場(chǎng)需求、成本函數(shù)等經(jīng)濟(jì)問題。

-最優(yōu)化理論：探討最優(yōu)化理論的基本概念，包括局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解，以及如何在實(shí)際問題中尋找最優(yōu)解。

-優(yōu)化算法：介紹一些常見的優(yōu)化算法，如梯度下降法、牛頓法等，以及它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問題中的應(yīng)用。

2.拓展建議：

-學(xué)生可以閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)書籍，如《數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)論》，以了解導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。

-鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或相關(guān)活動(dòng)，如美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（MCM/ICM），通過解決實(shí)際問題來(lái)提高自己的數(shù)學(xué)建模能力。

-建議學(xué)生觀看在線課程或教學(xué)視頻，如Coursera上的《優(yōu)化方法》課程，以加深對(duì)優(yōu)化理論的理解。

-引導(dǎo)學(xué)生閱讀科學(xué)雜志或?qū)W術(shù)論文，如《運(yùn)籌學(xué)雜志》，了解優(yōu)化算法的最新研究進(jìn)展。

3.拓展內(nèi)容：

-經(jīng)濟(jì)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

-介紹需求函數(shù)和供給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何通過導(dǎo)數(shù)分析市場(chǎng)需求和供給的變化。

-講解成本函數(shù)和收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何利用導(dǎo)數(shù)來(lái)分析企業(yè)的成本控制和收益最大化問題。

-最優(yōu)化理論：

-介紹拉格朗日乘數(shù)法，解釋如何通過這種方法來(lái)解決具有約束條件的優(yōu)化問題。

-講解非線性規(guī)劃的基本概念，如目標(biāo)函數(shù)和約束條件，以及如何使用數(shù)值方法求解。

-優(yōu)化算法：

-介紹梯度下降法的基本原理，解釋如何通過迭代更新來(lái)逼近最優(yōu)解。

-講解牛頓法的原理和應(yīng)用，說(shuō)明如何利用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)加速收斂速度。教學(xué)反思與改進(jìn)親愛的小伙伴們，每次教學(xué)結(jié)束后，我們都要進(jìn)行一次教學(xué)反思，這樣我們才能更好地成長(zhǎng)和改進(jìn)。以下是我對(duì)這節(jié)課的一些反思和改進(jìn)措施。

首先，我要說(shuō)的是導(dǎo)入新課的部分。我發(fā)現(xiàn)，盡管我努力通過實(shí)際的案例來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但還是有部分同學(xué)對(duì)于將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中的概念感到有些抽象。為了改進(jìn)這一點(diǎn)，我打算在未來(lái)的教學(xué)中，嘗試引入更多的實(shí)際生活場(chǎng)景，比如通過手機(jī)APP的使用、網(wǎng)絡(luò)瀏覽器的優(yōu)化等，讓學(xué)生更容易理解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

在實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)谛〗M討論和匯報(bào)時(shí)，有的小組能夠很好地完成任務(wù)，而有的小組則顯得有些混亂。這讓我意識(shí)到，小組合作的組織和管理是一個(gè)需要特別關(guān)注的問題。為了改進(jìn)這一點(diǎn)，我打算在未來(lái)的教學(xué)中，提前準(zhǔn)備一些明確的合作規(guī)則和流程，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)小組合作效果的評(píng)估，確保每個(gè)學(xué)生都能在小組活動(dòng)中有所收獲。

此外，我在學(xué)生小組討論環(huán)節(jié)中，發(fā)現(xiàn)了一些值得注意的點(diǎn)。有些學(xué)生在討論時(shí)，往往只是簡(jiǎn)單地陳述自己的觀點(diǎn)，而缺乏深入的分析和邏輯推理。這讓我認(rèn)識(shí)到，我們需要在課堂上加強(qiáng)對(duì)邏輯思維能力的培養(yǎng)。因此，我計(jì)劃在未來(lái)的教學(xué)中，增加一些邏輯思維訓(xùn)練的環(huán)節(jié)，比如分析論證、假設(shè)推理等，以幫助學(xué)生提升這方面的能力。

最后，我想說(shuō)的是，教學(xué)反思是一個(gè)持續(xù)的過程。在未來(lái)的教學(xué)中，我會(huì)更加關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，提供個(gè)性化的學(xué)習(xí)支持。同時(shí)，我也會(huì)不斷更新自己的教學(xué)方法，嘗試新的教學(xué)工具和資源，以適應(yīng)不斷變化的教學(xué)環(huán)境。內(nèi)容邏輯關(guān)系①本文重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-導(dǎo)數(shù)的概念

-導(dǎo)數(shù)的幾何意義

-導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則

-導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值和最值問題中的應(yīng)用

②重點(diǎn)詞句：

-“導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。”

-“導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在該點(diǎn)的切線斜率。”

-“求函數(shù)極值的方法之一是利用導(dǎo)數(shù)找極值點(diǎn)。”

③邏輯關(guān)系：

-導(dǎo)數(shù)的概念引出導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即曲線在某一點(diǎn)的切線斜率。

-通過導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則，學(xué)生能夠計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。

-導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值和最值問題中的應(yīng)用，通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而找到函數(shù)的極值點(diǎn)。課后作業(yè)1.作業(yè)內(nèi)容：

-已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，求\(f(x)\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)。

-解答：

-\(f'(x)=3x^2-6x\)

-\(f'(1)=3(1)^2-6(1)=3-6=-3\)

-所以\(f(x)\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)為-3。

2.作業(yè)內(nèi)容：

-函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x}\)在\(x=4\)處的切線斜率是多少？

-解答：

-\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

-\(f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\times2}=\frac{1}{4}\)

-所以切線斜率為\(\frac{1}{4}\)。

3.作業(yè)內(nèi)容：

-已知函數(shù)\(g(x)=e^x\)，求\(g(x)\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)。

-解答：

-\(g'(x)=e^x\)

-\(g'(0)=e^0=1\)

-所以\(g(x)\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)為1。

4.作業(yè)內(nèi)容：

-函數(shù)\(h(x)=\ln(x)\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是多少？

-解答：

-\(h'(x)=\frac{1}{x}\)

-\(h'(1)=\frac{1}{1}=1\)

-所以\(h(x)\)在\(