第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合U={?3,?2,?1,0,1,2}，A={x∈Z||x|<2}，則?UA=(

)A.{?1,0,1} B.{?2,?1,0,1,2} C.{?3} D.{?3,?2,2}2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(2,?1)，則|iz|=(

)A.5 B.5 C.3 D.3.(x?A.160 B.60 C.?160 D.?604.已知a<b，c<d，則下列不等式恒成立的是(

)A.a?c<b?d B.ac<bd C.2a+25.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，點M在C上.若M的橫坐標(biāo)為1，且|MF|=2，則p的值為(

)A.12 B.1 C.2 D.6.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若m?α，n?β，α//β，則m//n

B.若m//n，n?α，則m//α

C.若α⊥β，m⊥β，n⊥m，則n⊥α

D.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β7.已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，則“?n∈N?，SA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.在平行四邊形ABCD中，E為邊BC上的動點，O為△ABD外接圓的圓心，2DO=DA+DB，且|DOA.3 B.4 C.6 D.89.圖1是出土于陜西西安的金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯.它杯口外侈，器壁內(nèi)弧，腹部內(nèi)收，圈足外撤，肩部有“6”字形把手.金杯采用復(fù)雜的金筐寶鈿工藝，器腹以如意云頭紋分割，內(nèi)焊團(tuán)花，邊緣排滿小金珠，是唐代金銀器精品.圖2是某校陶藝社團(tuán)的同學(xué)仿照金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯制作的一只團(tuán)花紋陶藝杯，其主體部分(忽略杯底部分)外輪廓可近似看作雙曲線C的一部分.經(jīng)測量，該陶藝杯主體部分上底直徑(即杯口直徑)約6.92cm，下底直徑約4.00cm，腹部最細(xì)處直徑約3.46cm，主體部分高約6.92cm，則下列各數(shù)中與雙曲線C的離心率最接近的是(

)

(參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73)A.2 B.2 C.3 D.10.如圖，正方體ABCD?A′B′C′D′的棱長為2，E為CD的中點，F(xiàn)為線段A′C上的動點，給出下列四個結(jié)論：

①存在唯一的點F，使得A，B′，E，F(xiàn)四點共面；

②EF+D′F的最小值為23；

③存在點F，使得AF⊥D′E；

④有且僅有一個點F，使得平面AEF截正方體ABCD?A′B′C′D′所得截面的面積為25．

A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知直線x?y+2=0與圓x2+y2=r12.已知函數(shù)f(x)=x+1,x>0,x+a,x≤0.當(dāng)a=0時，f(0)=______；若f(x)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)13.已知a1，a2，a3是公比不為1的等比數(shù)列，將a1，a2，a3調(diào)整順序后可構(gòu)成一個等差數(shù)列，則滿足條件的一組a114.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，其中M，N是直線y=12與曲線y=f(x)的兩個相鄰交點.若|MN|=π15.已知函數(shù)f(x)=ex?acosx.給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)a=1時，f(x)在區(qū)間(?π2,0)上單調(diào)遞增；

②對任意實數(shù)a，f(x)都沒有最小值；

③當(dāng)a≠0時，設(shè)f(x)的零點從大到小依次為x1，x2，x3，…，則對任意正整數(shù)i，都有xi?xi+1<π；

④對任意實數(shù)三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

在△ABC中，b2?a2?c2=?117ac．

(Ⅰ)求sinB；

(Ⅱ)若△ABC的面積為1534，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在，求a．

條件①：C=2π3；

條件②：b=517.(本小題14分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB為等邊三角形，AD//BC，AB=AD=12BC=2，∠ABC=60°．

(Ⅰ)求證：AC⊥平面PAB；

(Ⅱ)求直線PD與平面PBC18.(本小題13分)

京廣高速鐵路是世界上運營里程最長的高速鐵路之一，也是中國客運量最大、運輸最為繁忙的高速鐵路之一.某日從北京西到廣州南的部分G字頭高鐵車次情況如下表：

注：以下高鐵車次均能準(zhǔn)點到達(dá)

(Ⅰ)某乘客從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車次從北京西出發(fā)到廣州南，求這趟列車的運行時長不超過10小時的概率；

(Ⅱ)甲、乙、丙3人分別從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車次從北京西出發(fā)到廣州南，其中甲必須上午出發(fā)，乙必須下午出發(fā)，丙的出發(fā)時間沒有限制，且甲、乙、丙3人的選擇互不影響．

(i)記隨機(jī)變量X為甲、乙、丙選取的列車中運行時長不超過10小時的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)甲、乙、丙3人中，誰選取的列車運行時長最短的概率最大？(結(jié)論不要求證明)19.(本小題15分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，以E的兩個焦點與短軸的一個端點為頂點的三角形是等腰直角三角形，且面積為1．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)過點P(2,0)的直線與橢圓E交于不同的兩點M，N.過20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?ax，直線l是曲線y=f(x)在點(t,f(t))(t>0)處的切線．

(Ⅰ)當(dāng)a=0，t=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求l的方程；

(Ⅱ)若存在l經(jīng)過點(0,0)，求實數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)當(dāng)a=?1時，設(shè)點A(t,f(t))(t>0)，O(0,0)，B為l與y軸的交點，S△AOB表示△AOB的面積.求21.(本小題15分)

已知無窮遞增數(shù)列{an}各項均為正整數(shù)，記數(shù)列{aan}為數(shù)列{an}的自身子數(shù)列．

(Ⅰ)若an=2n?1(n∈N?)，寫出數(shù)列{an}的自身子數(shù)列的前4項；

(Ⅱ)證明：ak+1?ak≤aak+1?aak參考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.C

6.D

7.A

8.C

9.B

10.B

11.212.0

(?∞,1]

13.1，?2，4(答案不唯一)

14.2

315.②④

16.解：(Ⅰ)在△ABC中，因為b2?a2?c2=?117ac，

所以a2+c2?b2=117ac，

由余弦定理cosB=a2+c2?b22ac，

得cosB=1114，

因為B∈(0,π)，

所以sinB=1?cos2B=5314；

(Ⅱ)選擇條件①：

因為C=2π3，

所以sinC=32，cosC=?12，

由題意得S=12absinC=1534，

即34ab=1534，

所以ab=15(1)．

因為cosB=1114，sinB=5314，

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=5314×(?12)+1114×32=3314，

由正弦定理asinA=bsinB，得ab=35(2)，

由①②，解得a2=9，

所以a=3；

選擇條件②：

由題意得S=12acsinB=1534，

所以ac=21(1)．

因為b=5，且b2?a2?c2=?117ac，

所以a2+c2=58，

又(a+c)2=a2+c2+2ac=100，

所以a+c=10(2)

由(1)(2)解得a=3或a=7；

選條件③：

由sinA?sinC=1，可得sinA=1+sinC，

因為C∈(0,π)，所以sinC>0，

所以sinA>1，不成立．

綜上，選擇條件①，a=3；選擇條件②，a=3或a=7．

17.解：(Ⅰ)證明：在△ABC中，因為AB=2，BC=4，∠ABC=60°，

所以AC2=AB2+BC2?2AB×BC×cosB=4+16?2×2×4×12=12．

所以AC=23，18.解：(Ⅰ)上表中的7趟車次中，列車運行時長不超過10小時的有4趟，

所以所求概率為47；

(Ⅱ)(i)甲選取的列車運行時長不超過10小時的概率為24=12，

乙選取的列車運行時長不超過10小時的概率為23，

丙選取的列車運行時長不超過10小時的概率為47

所以X的所有可能取值為0，1，2，3，

P(X=0)=12×13×3X0123P11334所以E(X)=0×342+1×1319.解：(Ⅰ)由題意可得b=c,12×2bc=1,a2=b2+c2.

解得a=2,b=1,c=1．

所以橢圓E的方程為x22+y2=1；

(Ⅱ)證明：由題意知，直線MP的斜率存在．

設(shè)直線MP的方程為y=k(x?2)，點M(x1,y1)f(x1,y1)，N(x2,y2)(x1≠x2)，則Q(1,y1)，

聯(lián)立方程組y=k(x?2)x22+y2=1，消去y整理得(1+2k2)x2?8k2x+8k2?2=0．

因為Δ=64k4?4(1+2k2)(8k2?2)>0，所以k2<12，

且x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k2?21+2k2，

直線NQ的方程為：y?y1=y1?y21?x2(x?1)，

令y=0，得?y1=y1?y21?x2(x?1)，

即?k(x1?2)=k(x1?x2)1?x2(x?1)，

當(dāng)k≠0時，x?1=k(x1?2)(x2?1)k(x1?x2)

=x1x2?x1?2x2+2x1?x2

=x1x2?(x1+x2)?x2+2(x1+x2)?2x2

=4k21+2k2?x28k21+2k2?2x2

=12，

解得x=32，所以直線NQ過定點(32,0)；

當(dāng)k=0時，直線NQ為x軸，過點(32,0)．

綜上，直線NQ過定點(32,0)．

20.解：(Ⅰ)當(dāng)a=0，t=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，

f(x)=lnx，f(t)=f(e)=lne=1，

f′(x)=1x，f′(t)=f′(e)=1e，

所以直線l的方程為y?1=1e(x?e)，即y=1ex；

(Ⅱ)因為f(x)=lnx?ax，所以f(t)=lnt?at，

因為f′(x)=1x+ax2=x+ax2，所以f′(t)=t+at2，

所以直線l的方程為y?(lnt?at)=t+