4.4.1解直角三角形的應(yīng)用（1）第4章銳角三角函數(shù)湘教版數(shù)學(xué)九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時間：********理解銳角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，能準(zhǔn)確說出在直角三角形中，一個銳角的正弦、余弦、正切所對應(yīng)的比值關(guān)系。?掌握特殊銳角（30°、45°、60°）的三角函數(shù)值，并能熟練運(yùn)用這些值進(jìn)行簡單的計算。?會運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實際問題，如測量高度、距離等問題。?過程與方法目標(biāo)?通過探究直角三角形中邊與角的關(guān)系，經(jīng)歷銳角三角函數(shù)概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納能力。?在推導(dǎo)特殊銳角三角函數(shù)值的過程中，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的邏輯推理能力。?在解決實際問題的過程中，學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力。?情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)?感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)知識在實際生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。?在探究活動中，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識和勇于探索的精神，體驗數(shù)學(xué)活動中的成功感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。?二、教學(xué)重難點(diǎn)?重點(diǎn)?銳角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的概念。?特殊銳角（30°、45°、60°）的三角函數(shù)值。?運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實際問題。?難點(diǎn)?理解銳角三角函數(shù)的概念，即為什么在直角三角形中，一個銳角的三角函數(shù)值只與這個銳角的大小有關(guān)，而與三角形的邊長無關(guān)。?在實際問題中，準(zhǔn)確分析題意，找到合適的直角三角形，并正確運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決問題。?三、教學(xué)方法?情境引入法：創(chuàng)設(shè)生活中的實際情境，如測量建筑物的高度、測量河流的寬度等，讓學(xué)生感受到解決這些問題需要研究直角三角形中邊與角的關(guān)系，從而引出銳角三角函數(shù)的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。?探究式教學(xué)法：組織學(xué)生自主探究直角三角形中邊與角的比值關(guān)系，通過測量、計算、比較等活動，歸納出銳角三角函數(shù)的定義。在推導(dǎo)特殊銳角三角函數(shù)值時，也采用探究式教學(xué)，讓學(xué)生親身體驗知識的形成過程。?講練結(jié)合法：在講解知識點(diǎn)的同時，及時安排針對性的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高解題能力。通過對練習(xí)題的分析和講解，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題方法和技巧，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。?多媒體輔助教學(xué)法：利用多媒體展示實際問題的情境、直角三角形中邊與角的動態(tài)變化過程、特殊銳角三角函數(shù)值的推導(dǎo)過程等，直觀形象地幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念和方法，突破教學(xué)難點(diǎn)。?四、教學(xué)過程?（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）?展示一些生活中的實際問題情境：?問題1：為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對坡面的綠地進(jìn)行噴灌?，F(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？?問題2：在進(jìn)行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角。如圖，為了測量電線桿的高度AB，在離電線桿22.7m的C處，用高1.20m的測角儀CD測得電線桿頂端B的仰角a=22°，求電線桿AB的高。?引導(dǎo)學(xué)生分析這些問題，發(fā)現(xiàn)它們都與直角三角形中邊與角的關(guān)系有關(guān)，從而引出本節(jié)課的主題——銳角三角函數(shù)。?（二）探究新知（20分鐘）?銳角三角函數(shù)的概念?如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA=?斜邊∠A的對邊?

=?ca?

。?把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA=?斜邊∠A的鄰邊?

=?cb?

。?把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA=?∠A的鄰邊∠A的對邊?

=?ba?

。?銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)。?強(qiáng)調(diào)：?正弦、余弦、正切是在直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它們是一個數(shù)值，沒有單位。?銳角三角函數(shù)值只與銳角的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān)。?讓學(xué)生在練習(xí)本上畫出一個直角三角形，分別指出某個銳角的對邊、鄰邊和斜邊，并寫出這個銳角的正弦、余弦、正切表達(dá)式，加深對概念的理解。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈的臺風(fēng)中于地面10米處折斷倒下，樹頂落在離樹根24米處。問大樹在折斷之前高多少米？[議一議]（1）怎樣將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型？（2）大樹折斷部分是直角三角形的哪條邊？（3）大樹折斷之前的高即為“直角三角形的直角邊與斜邊的和”，你認(rèn)為對嗎？1、仰角、俯角的概念[自主學(xué)習(xí)]仰角、俯角的概念如圖，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫作仰角，在水平線下方的叫俯角。2、與仰角、俯角有關(guān)的實際問題某探險者某天到達(dá)如圖所示的A處時，他準(zhǔn)備估算出離他的目的——海拔為3500m的山峰頂點(diǎn)B處的水平距離。你能幫他想出一個可行的辦法嗎？解析：如圖，BD表示點(diǎn)B的海拔，AE表示點(diǎn)A的海拔，AC⊥BD，垂足為點(diǎn)C。先測量出海拔AE，再測出仰角∠BAC，然后用銳角三角函數(shù)的知識就可求出A，B兩點(diǎn)之間的水平距離AC。[做一做]如圖，如果測得點(diǎn)A的海拔AE為1600m，仰角∠BAC=40°，求A，B兩點(diǎn)之間的水平距離AC（結(jié)果保留整數(shù)）。解：由已知得：BD=3500m，AE=1600m，AC⊥BD，∠BAC=40°，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴BC=BD－AE=1900∴AC≈2264即：A，B兩點(diǎn)之間的水平距離AC約為2264m。例1如圖，在離上海東方明珠塔底部1000m的A處，用儀器測得塔頂?shù)难鼋恰螧AC為25°，儀器距地面高AE為1.7m。求（結(jié)果精確到1m）。解：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m，討論：怎樣把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型？分析：構(gòu)造直角三角形，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題。本題實際上是已知一邊AC及一角∠BAC，從而求BC的值，可根據(jù)直角三角形中各元素之間的關(guān)系求解?！郆C=1000×tan25°≈466.3（m）上海東方明珠塔的高度BD=466.3+1.7=468（m）答：上海東方明珠塔的高度BD為468m。1．如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點(diǎn)A、B在同一水平面上）．為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機(jī)從A地出發(fā)，垂直上升800米到達(dá)C處，在C處觀察B地的俯角為α，則A、B兩地之間的距離為（）A．800sinα米B．800tanα米

C．米

D．米2．荊州市濱江公園旁的萬壽寶塔始建于明嘉靖年間，周邊風(fēng)景秀麗．現(xiàn)在塔底低于地面約7米，某校學(xué)生測得古塔的整體高度約為40米．其測量塔頂相對地面高度的過程如下：先在地面A處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，再向古塔方向行進(jìn)a米后到達(dá)B處，在B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°（如圖所示），那么a的值約為

米（≈1.73，結(jié)果精確到0.1）．30°45°a73333D24.13．天塔是天津市的標(biāo)志性建筑之一，某校數(shù)學(xué)興趣小組要測量天塔的高度，如圖，他們在點(diǎn)A處測得天塔最高點(diǎn)C的仰角為45°，再往天塔方向前進(jìn)至點(diǎn)B處測得最高點(diǎn)C的仰角為54°，AB＝112m，根據(jù)這個興趣小組測得的數(shù)據(jù)，計算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，結(jié)果保留整數(shù)）．x0.73xx4．“中國﹣益陽”網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點(diǎn)，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數(shù)據(jù)：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的長（精確到0.1米）．參考數(shù)據(jù)：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．x4x821.6x5．為了對一棵傾斜的古杉樹AB進(jìn)行保護(hù)，需測量其長度．如圖，在地面上選取一點(diǎn)C，測得∠ACB＝45°，AC＝24m，∠BAC＝66.5°，求這棵古杉樹AB的長度．（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．D2.3x2.3xx66.5°45°241．[2023·泰安]在一次綜合實踐活動中，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對一電視發(fā)射塔的高度進(jìn)行了測量．如圖，在塔前C處，測得該塔頂端B的仰角為50°，后退60m(CD＝60m)到D處有一平臺，在高2m(DE＝2m)的平臺上的E處，測得B的仰角為26.6°，則該電視發(fā)射塔的高度AB約為________m．(精確到1m，參考數(shù)據(jù)：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5)55【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，由題易得AF＝DE＝2m，EF＝AD，BA⊥DA.設(shè)AC＝xm，∵CD＝60m，∴EF＝AD＝AC＋CD＝(x＋60)m.返回2．[2023·孝感]綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測高實踐．如圖，無人機(jī)從地面CD的中點(diǎn)A處豎直上升30米到達(dá)B處，測得博雅樓頂部E的俯角為45°，尚美樓頂部F的俯角為30°，已知博雅樓高度CE為15米，則尚美樓高度DF為_________米(結(jié)果保留根號)．【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)E作EM垂直過點(diǎn)B的水平線于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN垂直過點(diǎn)B的水平線于點(diǎn)N，由題意可知CM＝DN＝AB＝30米．∵CE＝15米，∴EM＝15米．在Rt△EBM中，∵∠EBM＝