微專題13二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)精講構(gòu)建知識(shí)體系考點(diǎn)梳理1.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年6考)表達(dá)式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)aa＞0a＜0圖象(草圖)對(duì)稱軸(1)對(duì)稱軸為直線x＝①(2)利用x＝x1＋x22求解(其中x頂點(diǎn)坐標(biāo)(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為②(2)將一般式配方化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為③增減性在對(duì)稱軸左側(cè)，即當(dāng)x＜－b2a時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸右側(cè)，即當(dāng)x＞－b2a時(shí)，y隨在對(duì)稱軸左側(cè)，即當(dāng)x＜－b2a時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，即當(dāng)x＞－b2a時(shí)，y隨最值當(dāng)x＝－b2a時(shí)，y取最小值當(dāng)x＝－b2a時(shí)，y取最大值2.二次函數(shù)的圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系(2020.10)a的正負(fù)a＞0開口④a＜0開口⑤a，b的值b＝0對(duì)稱軸為y軸a，b同號(hào)對(duì)稱軸在y軸⑥a，b異號(hào)對(duì)稱軸在y軸⑦c的正負(fù)c＝0拋物線過原點(diǎn)c＞0拋物線與y軸交于⑧半軸c＜0拋物線與y軸交于⑨半軸b2－4ac的值b2－4ac＝0與x軸有唯一的交點(diǎn)(頂點(diǎn))b2－4ac＞0與x軸有⑩交點(diǎn)b2－4ac＜0與x軸沒有交點(diǎn)3.二次函數(shù)表達(dá)式的三種形式(6年3考)(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a，h，k為常數(shù)，a≠0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)(3)交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，a，x1，x2為常數(shù)，其中x1，x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))4.二次函數(shù)圖象的平移(6年2考)(1)將y＝ax2＋bx＋cy＝a(x－h(huán))2＋k(2)平移規(guī)律平移前的解析式移動(dòng)方向(m＞0)平移后的解析式簡(jiǎn)記y＝a(x－h(huán))2＋k向左平移m個(gè)單位y＝a(x－h(huán)＋m)2＋k左“＋”右“－”向右平移m個(gè)單位y＝a(x－h(huán)－m)2＋k向上平移m個(gè)單位y＝a(x－h(huán))2＋k＋m上“＋”下“－”向下平移m個(gè)單位y＝a(x－h(huán))2＋k－m5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的確定二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷(1)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)?方程ax2＋bx＋c＝0有?的實(shí)數(shù)根?b2－4ac＞0；(2)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)?方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?b2－4ac?0；(3)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)?方程ax2＋bx＋c＝0?實(shí)數(shù)根?b2－4ac＜0練考點(diǎn)1.已知二次函數(shù)y＝2(x－2)2＋5.(1)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線；頂點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3，y1)，(5，y2)，則y1y2.(填“＞”“＝”或“＜”)2.已知函數(shù)y＝x2－4x＋3.(1)函數(shù)圖象的開口向，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)函數(shù)的圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的坐標(biāo)為.3.(1)已知拋物線y＝x2＋bx＋c過點(diǎn)(0，1)和(1，0)，則拋物線的解析式為；(2)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，(3，0)和(2，3)，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為.4.已知拋物線y＝x2－2x－3.(1)將此二次函數(shù)的圖象先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的二次函數(shù)C1的解析式為，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的二次函數(shù)C2的解析式為；(2)若將拋物線經(jīng)過平移后得到拋物線y＝x2，則平移的方式是.5.已知拋物線y＝x2＋x－2，則一元二次方程x2＋x－2＝0與x軸有個(gè)交點(diǎn)，該一元二次方程的解為.高頻考點(diǎn)考點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年6考)例1已知二次函數(shù)y＝x2－2x－3，根據(jù)要求回答下列問題.(1)該二次函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式為；(2)核心設(shè)問該二次函數(shù)有最值(填“大”或“小”)，其最值為；[2021廣東9題考查](3)核心設(shè)問當(dāng)－3≤x≤0時(shí)，y的最大值為，最小值為；[2021廣東22(2)題考查](4)當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，y的最大值為，最小值為；(5)若點(diǎn)A(5，12)為二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為；(6)核心設(shè)問若點(diǎn)A(－2，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)在該二次函數(shù)圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為；(用“＜”連接)[2024廣東8題考查](7)若(4，y1)，(m，y2)是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且y2＝y(tǒng)1－5，則m的值為.變式1(2024珠海香洲區(qū)二模)對(duì)于拋物線y＝3(x－2)2－1，下列說法正確的是()y隨x的增大而減小B.當(dāng)x＝2時(shí)，y有最大值－1C.若點(diǎn)A(3，y1)，B(1，y2)都在拋物線y＝3(x－2)2－1上，則y1＞y2D.經(jīng)過第一、二、四象限考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系(2020.10)例2如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c，其對(duì)稱軸為直線x＝1.根據(jù)圖象，分析并判斷下列結(jié)論，用“＞”“≥”“＜”“≤”或“＝”填空.例2題圖(1)a0，b0，c0；(2)b2－4ac0；(3)2a＋b0；(4)a＋b＋c0；(5)4a－2b＋c0；(6)c－a0；(7)2c－3b0；(8)a＋bm(am＋b)(m≠0).方法解讀1.根據(jù)b2－4ac的符號(hào)觀察與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：(1)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)→b2－4ac＞0；(2)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)→b2－4ac＝0；(3)與x軸沒有交點(diǎn)→b2－4ac＜0.2.二次函數(shù)圖象與特殊代數(shù)式之間的關(guān)系(1)如遇見2a＋b，2a－b類的式子，可利用對(duì)稱軸與±1比較求解；(2)如遇見a＋b＋c，a－b＋c類的式子，可利用x＝±1，求出y的大小求解；(3)如遇見a，c或b，c關(guān)系的式子，可利用對(duì)稱軸(如：2a＋b)與x等于某個(gè)值時(shí)y的式子(如a＋b＋c)聯(lián)立求解；(4)如遇見(a＋c)2＜b2形式的式子，先因式分解，再利用x等于某兩個(gè)值的式子聯(lián)立求解.例3已知a＋b＝0(a≠0)，ac＞0，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象可能是()考點(diǎn)3二次函數(shù)解析式的確定(含平移)(6年3考)例4如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于點(diǎn)A(－1，0)，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C(0，－3).例4題圖若拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，求該拋物線的解析式；若拋物線向左平移3個(gè)單位后，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求該拋物線的解析式；核心設(shè)問若AO∶BO＝1∶2，求該拋物線的解析式；[2022廣東23(1)題，2020廣東25(1)題考查]若直線y＝2x＋m經(jīng)過點(diǎn)B，C，求該拋物線的解析式.變式3(2024梅州梅縣一模)已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線y＝－2x2＋9x相同，且它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，6)，則這條拋物線的解析式為.考點(diǎn)4二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系(6年2考)例5已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有個(gè)實(shí)數(shù)根.例5題圖變式4已知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＜0，b≠0)經(jīng)過點(diǎn)(－2，0)，(3，0)，則方程cx2＋bx＋a＝0的解為.真題及變式命題點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年6考) 1.(2024廣東8題3分)若點(diǎn)(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，則()A.y3＞y2＞y1 B.y2＞y1＞y3C.y1＞y3＞y2 D.y3＞y1＞y22.(2023廣東10題3分)如圖，拋物線y＝ax2＋c經(jīng)過正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac的值為()第2題圖A.－1 B.－2 C.－3 D.－42.1變思維——將利用對(duì)稱性變?yōu)槔谜叫蔚倪吔顷P(guān)系(2024珠海模擬)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)B，D的坐標(biāo)分別是(－1，－2)，(1，2)，點(diǎn)C在拋物線y＝－12x2＋bx的圖象上，則b－32B.32C.－12D.變式2.1題圖命題點(diǎn)2二次函數(shù)圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系(2020.10) 3.(2020廣東10題3分)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸是直線x＝1.下列結(jié)論：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a＋c＜0；④5a＋b＋2c＞0，正確的有()第3題圖A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)3.1變條件——與表格結(jié)合(2024煙臺(tái))已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x－4－3－115y0595－27下列結(jié)論：①abc＞0；②關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)－4＜x＜1時(shí)，y的取值范圍為0＜y＜5；④若點(diǎn)(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函數(shù)圖象上，則y1＝y(tǒng)2；⑤滿足ax2＋(b＋1)x＋c＜2的x的取值范圍是x＜－2或x＞3.其中正確結(jié)論的序號(hào)為.命題點(diǎn)3二次函數(shù)圖象的平移(6年2考) 4.(2020廣東7題3分)把函數(shù)y＝(x－1)2＋2的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后圖象的函數(shù)解析式為()A.y＝x2＋2 B.y＝(x－1)2＋1 C.y＝(x－2)2＋2 D.y＝(x－1)2＋35.(2021廣東12題4分)把拋物線y＝2x2＋1向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式為.5.1變條件——將拋物線平移變?yōu)樽鴺?biāo)軸平移拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝(x－1)2＋2，若將x軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，將y軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則該拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)表達(dá)式為()y＝(x＋2)2＋4B.y＝(x＋2)2C.y＝(x－4)2＋4D.y＝(x－4)2

考點(diǎn)精講①－b2a②(－b2a，4ac－b24⑤向下⑥左側(cè)⑦右側(cè)⑧正⑨負(fù)⑩兩個(gè)?兩個(gè)不相等?＝?無練考點(diǎn)1.(1)x＝2，(2，5)；(2)＜2.(1)上，(0，3)；(2)兩，(1，0)和(3，0)3.(1)y＝x2－2x＋1；(2)y＝－3(x－1)(x－3)4.(1)y＝x2－2x，y＝x2－4x＋3；(2)先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度(答案不唯一)5.兩；x1＝－2，x2＝1高頻考點(diǎn)例1(1)y＝(x－1)2－4；(2)小，－4；(3)12，－3；(4)0，－4；(5)(－3，12)；(6)y2＜y1＜y3；(7)－1或3.變式1D【解析】∵拋物線y＝3(x－2)2－1＝3x2－12x＋11，a＝3＞0，對(duì)稱軸為直線x＝2，∴當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∵拋物線開口向上，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y取最小值為－1，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；由題意得拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小，∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，｜3－2｜＝｜1－2｜，∴y1＝y(tǒng)2，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∵當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小，且當(dāng)x＝0時(shí)，y＝11，∴當(dāng)x＜0時(shí)，y＞11，故圖象不經(jīng)過第三象限，故D選項(xiàng)正確，符合題意.例2(1)＞，＜，＜；(2)＞；(3)＝；(4)＜；(5)＞；(6)＜；【解析】由圖象可知，a＞0，c＜0，c－a＜0.(7)＜；【解析】∵對(duì)稱軸為直線x＝1，∴－b2a＝1，∴a＝－b2，將x＝－1代入二次函數(shù)解析式得y＝a－b＋c＜0，－b2－b＋c＜0，2c(8)≤【解析】將x＝1代入二次函數(shù)解析式得y＝a＋b＋c，將x＝m代入得y＝am2＋bm＋c，當(dāng)m＝1時(shí)，a＋b＋c＝am2＋bm＋c，即a＋b＝m(am＋b)；當(dāng)m≠1時(shí)，∵當(dāng)x＝1時(shí)y取得最小值，∴a＋b＋c＜am2＋bm＋c，即a＋b＜m(am＋b)，綜上所述，a＋b≤m(am＋b).例3C【解析】∵a＋b＝0，∴a＝－b，∴對(duì)稱軸為直線x＝－b2a＝a2a＝12，∵ac＞0，∴a例4解：(1)∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－b2a∴b＝－4a，∴y＝ax2＋bx＋c＝ax2－4ax＋c，將A(－1，0)，C(0，－3)代入y＝ax2－4ax＋c中，得a+4解得a＝3∴b＝－125∴拋物線的解析式為y＝35x2－125(2)由題意，拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3，0)，∵該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，∴可設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)，將點(diǎn)C(0，－3)代入，得－3＝－3a，解得a＝1，∴拋物線的解析式為y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3；(3)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，∴AO＝1，∵AO∶BO＝1∶2，∴BO＝2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，將A(－1，0)，B(2，0)，C(0，－3)分別代入y＝ax2＋bx＋c中，得a－解得a＝3∴拋物線的解析式為y＝32x2－32(4)將C(0，－3)代入y＝2x＋m中，得m＝－3，∴直線BC的解析式為y＝2x－3，令2x－3＝0，解得x＝32∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(32將A(－1，0)，B(32，0)，C(0，－3)分別代入y＝ax2＋bx＋c得a－解得a=2b＝∴該拋物線的解析式為y＝2x2－x－3.變式3y＝－2(x＋1)2＋6【解析】∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，6)，∴拋物線解析式可設(shè)為y＝a(x＋1)2＋6，∵拋物線y＝a(x＋1)2＋6的形狀、開口方向均與拋物線y＝－2x2＋9x相同，∴a＝－2，∴這條拋物線的解析式為y＝－2(x＋1)2＋6.例5兩【解析】∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第二象限，且開口向下，∴拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝－1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.變式4x1＝－12，x2＝13【解析】∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)(－2，0)，(3，0)，∴對(duì)稱軸為直線x＝12，即－b2a＝12，∴b＝－a，∴a＝－b.將點(diǎn)(－2，0)代入y＝ax2＋bx＋c中，得4a－2b＋c＝0，∴－4b－2b＋c＝0，∴c＝6b，∴6bx2＋bx－b＝0，即6x2＋x－1＝0，解得x1＝－12真題及變式1.A【解析】∵二次函數(shù)的解析式為y＝x2，∴該二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為y軸，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，∵2＞1＞0，∴y3＞y2＞y1.2.B【解析】如解圖，連接AC交y軸于點(diǎn)D，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c，即OB＝c，∵四邊形OABC是正方形，∴AC＝OB＝2AD＝2OD＝c，AC⊥OB，∴A(c2，c2)，∴c2＝a×c24第2題解圖變式2.1D【解析】如解圖，過點(diǎn)C作MN⊥x軸，作BM⊥MN于點(diǎn)M，DN⊥MN于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝DC，∴∠BCM＋∠DCN＝90°＝∠BCM＋∠CBM，∴∠DCN＝∠CBM，∵∠BMC＝∠CND＝90°，∴△CBM≌△DCN(AAS)，∴CN＝BM，DN＝CM，設(shè)C(a，b)，∵點(diǎn)B，D的坐標(biāo)分別是(－1，－2)，(1，2)，∴a+1=2－ba－1=b+2，解得a=2b＝－1，∴C(2，－1