PAGE1-1.1.1命題[學(xué)生用書(shū)P77(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．給出下列語(yǔ)句：①三角函數(shù)莫非不是函數(shù)嗎？②和為有理數(shù)的兩個(gè)數(shù)均為有理數(shù)．③一條直線與一個(gè)平面不是平行就是相交．④作△A′B′C′≌△ABC.⑤這是一棵大樹(shù)．⑥求證eq\r(3)是無(wú)理數(shù)．⑦二次函數(shù)的圖象太美啦?、?是集合{1，2，3，4}中的元素．其中命題的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．6 D．7解析：選A.命題是指可以推斷真假的陳述句，所以②③⑧是命題；①是反問(wèn)句，不是命題；④⑥是祈使句，不是命題；⑤“大樹(shù)”沒(méi)有界定標(biāo)準(zhǔn)，不能推斷真假，不是命題；⑦是感嘆句，不是命題．2．下列命題中，為真命題的是()A．若x2＝4，則x＝2B．若一個(gè)球的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則其體積變?yōu)樵瓉?lái)的8倍C．若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等D．直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝1相切解析：選B.若x2＝4，則x＝±2，故A中命題是假命題；由球的體積公式可知B中命題為真命題；C中命題為假命題，如“3，3，3”和“2，3，4”的平均數(shù)相等，但標(biāo)準(zhǔn)差明顯不相等；圓x2＋y2＝1的圓心(0，0)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝eq\f(\r(2),2)<1，故直線與圓相交，所以D中命題為假命題．3．下列說(shuō)法正確的是()A．命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B．語(yǔ)句“標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，100℃時(shí)水沸騰”不是命題C．命題“對(duì)角線相互垂直的四邊形是菱形”是真命題D．語(yǔ)句“當(dāng)a＞4時(shí)，方程x2－4x＋a＝0有實(shí)根”是假命題解析：選D.對(duì)于A，改寫(xiě)成“若p，則q”的形式應(yīng)為“若有兩個(gè)角是直角，則這兩個(gè)角相等”；B所給語(yǔ)句是命題；C的反例可以是“用邊長(zhǎng)為3的等邊三角形與底邊為3，腰為2的等腰三角形拼成的四邊形不是菱形”來(lái)說(shuō)明．故選D.4．命題“平行四邊形的對(duì)角線既相互平分，也相互垂直”的結(jié)論是()A．這個(gè)四邊形的對(duì)角線相互平分B．這個(gè)四邊形的對(duì)角線相互垂直C．這個(gè)四邊形的對(duì)角線既相互平分，也相互垂直D．這個(gè)四邊形是平行四邊形解析：選C.把命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式后可知C正確．故選C.5．給出命題：方程x2＋ax＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則使該命題為真命題的a的一個(gè)值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：選C.方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，應(yīng)滿意Δ＝a2－4<0，故當(dāng)a＝0時(shí)符合條件．6．把命題“末位數(shù)字是4的整數(shù)肯定能被2整除”改寫(xiě)成“若p，則q”的形式為_(kāi)_________________________________．答案：若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是4，則它肯定能被2整除7．已知命題“函數(shù)f(x)＝cos2ωx－sin2ωx的最小正周期是π”是真命題，則實(shí)數(shù)ω的值為_(kāi)_______．解析：依題意，得f(x)＝cos2ωx－sin2ωx＝cos2ωx，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2π,2ω)))＝π，解得ω＝±1.答案：±18．(2024·福州高二檢測(cè))下列命題是真命題的是__________(填序號(hào))．①空集是任何一個(gè)集合的真子集；②函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線；③若f(x)>M(M為常數(shù))，則函數(shù)y＝f(x)的最小值為M；④若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f（2x）,x－1)的定義域?yàn)閇0，1)．解析：空集是任何一個(gè)非空集合的真子集，故①是假命題；函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一群孤立的點(diǎn)，故②是假命題；若f(x)>M(M為常數(shù))，則函數(shù)y＝f(x)的最小值肯定不為M，故③是假命題；若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f（2x）,x－1)中的x應(yīng)滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤2,x－1≠0))，解得0≤x<1，則g(x)的定義域?yàn)閇0，1)，故④是真命題．答案：④9．把下列命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式，并推斷命題的真假．(1)當(dāng)ac<bc時(shí)，a<b；(2)面積相等的兩個(gè)三角形全等；(3)當(dāng)ab＝0時(shí)，a＝0或b＝0.解：(1)若ac<bc，則a<b.由于ac<bc，c<0時(shí)，a>b，所以是假命題．(2)若兩個(gè)三角形的面積相等，則這兩個(gè)三角形全等．是假命題．(3)若ab＝0，則a＝0或b＝0.是真命題．10．推斷“函數(shù)f(x)＝2x－x2有三個(gè)零點(diǎn)”是否為命題．若是命題，是真命題還是假命題？說(shuō)明理由．解：這是一個(gè)可以推斷真假的陳述句，所以是命題，且是真命題，理由如下：函數(shù)f(x)＝2x－x2的零點(diǎn)即方程2x－x2＝0的實(shí)數(shù)根，也就是方程2x＝x2的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y＝2x，y＝x2的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易知指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象與拋物線y＝x2有三個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)＝2x－x2有三個(gè)零點(diǎn)．[B實(shí)力提升]11．“紅豆生南國(guó)，春來(lái)發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思．”這是唐代詩(shī)人王維的《相思》，這首詩(shī)中，在當(dāng)時(shí)條件下，可以作為命題的是()A．紅豆生南國(guó) B．春來(lái)發(fā)幾枝C．愿君多采擷 D．此物最相思解析：選A.“紅豆生南國(guó)”是陳述句，所述事務(wù)在唐代是事實(shí)，所以本句是命題，且是真命題；“春來(lái)發(fā)幾枝”是疑問(wèn)句，“愿君多采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不是命題，故選A.12．給出如下三個(gè)命題：①設(shè)a，b∈R，且ab≠0，若eq\f(a,b)＜1，則eq\f(b,a)＞1；②若四個(gè)非零實(shí)數(shù)a，b，c，d依次不成等比數(shù)列，則ad≠bc；③若f(x)＝log2x，則f(|x|)是偶函數(shù)．其中假命題的序號(hào)是()A．①②③ B．①②C．②③ D．①③解析：選B.①舉反例，eq\f(a,b)＝－1＜1，但eq\f(b,a)＝－1＜1，①是假命題；②舉反例：a＝1，b＝2，c＝8，d＝16，說(shuō)明此命題是假命題，②是假命題；③f(|x|)＝log2|x|，其定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，任取x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(|－x|)＝log2|－x|＝f(|x|)，故f(|x|)是偶函數(shù)，③是真命題．13．已知A：5x－1>a，B：x>1，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)a，使得利用A，B構(gòu)造的命題“若p，則q”為真命題．解：若視A為p，則命題“若p，則q”為“若x>eq\f(1＋a,5)，則x>1”．由命題為真命題可知eq\f(1＋a,5)≥1，解得a≥4；若視B為p，則命題“若p，則q”為“若x>1，則x>eq\f(1＋a,5)”．由命題為真命題可知eq\f(1＋a,5)≤1，解得a≤4.故a取任一實(shí)數(shù)均可利用A，B構(gòu)造出一個(gè)真命題，比如這里取a＝1，則有真命題“若x>1，則x>eq\f(2,5)”．14．(選做題)(1)已知“方程ax2＋bx＋1＝0有解”是真命題，求a，b滿意的條件；(2)已知命題“若x1<x2<0，則eq\f(a,x1)>eq\f(a,x2)”是假命題，求a滿意的條件．解：(1)因?yàn)閍x2＋bx＋1＝0有解，所以當(dāng)a＝0時(shí)，bx＋1＝0有解，只有b≠0時(shí)，方程有解x＝－eq\f(1,b).當(dāng)a≠0時(shí)，方程為一元二次方程，有解的條件為Δ＝b2－4a≥0.綜上，當(dāng)a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0時(shí)，