工程應(yīng)用中的材料力學(xué)基本問(wèn)題?摘要：本文主要探討材料力學(xué)在工程應(yīng)用中的基本問(wèn)題。首先介紹了材料力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù)，接著闡述了材料力學(xué)的基本假設(shè)，包括連續(xù)性假設(shè)、均勻性假設(shè)、各向同性假設(shè)等。然后詳細(xì)分析了工程應(yīng)用中材料力學(xué)涉及的基本變形形式，如拉伸與壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲等，討論了每種變形形式下的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變以及強(qiáng)度和剛度計(jì)算方法。還介紹了材料力學(xué)性能指標(biāo)，如彈性模量、泊松比、屈服極限、強(qiáng)度極限等，并說(shuō)明其在工程設(shè)計(jì)中的重要性。最后通過(guò)實(shí)際工程案例展示了材料力學(xué)基本問(wèn)題的解決方法及其在工程中的應(yīng)用價(jià)值。

一、引言材料力學(xué)是研究材料在各種外力作用下產(chǎn)生的變形、內(nèi)力、應(yīng)力和強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等問(wèn)題的學(xué)科。在工程領(lǐng)域，無(wú)論是建筑、機(jī)械、航空航天還是其他行業(yè)，都離不開(kāi)材料力學(xué)的知識(shí)。它為工程師提供了分析和設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)及機(jī)械零件的理論基礎(chǔ)，確保工程結(jié)構(gòu)和部件在滿足功能要求的同時(shí)，具有足夠的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性，以保證其安全可靠地工作。

二、材料力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù)2.1研究對(duì)象材料力學(xué)主要研究桿件，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于橫截面尺寸的構(gòu)件。例如橋梁的梁、建筑中的柱子、機(jī)械中的軸等。

2.2任務(wù)1.強(qiáng)度計(jì)算：保證構(gòu)件在外力作用下不發(fā)生破壞，即具有足夠的承載能力。2.剛度計(jì)算：使構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生的變形不超過(guò)規(guī)定的范圍，以滿足使用要求。3.穩(wěn)定性計(jì)算：對(duì)于受壓等類型的構(gòu)件，保證其在受力時(shí)不發(fā)生突然的側(cè)向失穩(wěn)現(xiàn)象。

三、材料力學(xué)的基本假設(shè)3.1連續(xù)性假設(shè)認(rèn)為材料在整個(gè)體積內(nèi)毫無(wú)空隙地充滿了物質(zhì)，這樣在研究構(gòu)件的力學(xué)性能時(shí)，就可以將其視為連續(xù)的介質(zhì)，從而可以用連續(xù)函數(shù)來(lái)描述其力學(xué)行為。

3.2均勻性假設(shè)假定材料在構(gòu)件內(nèi)各處的力學(xué)性能是完全相同的，不隨位置而變化。例如鋼材制成的桿件，無(wú)論在何處截取一小段，其力學(xué)性能都是一樣的。

3.3各向同性假設(shè)假設(shè)材料沿各個(gè)方向的力學(xué)性能是相同的。對(duì)于大多數(shù)工程材料，如鋼材、鋁合金等，在宏觀上可以認(rèn)為是各向同性的。但也有一些材料，如木材、纖維增強(qiáng)復(fù)合材料等，具有各向異性的特點(diǎn)。

3.4小變形假設(shè)構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生的變形與構(gòu)件的原始尺寸相比很小。基于此假設(shè)，可以在建立平衡方程和變形幾何關(guān)系時(shí)，忽略構(gòu)件的變形對(duì)其受力和幾何形狀的影響，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。

四、工程應(yīng)用中的基本變形形式4.1拉伸與壓縮1.內(nèi)力分析拉伸或壓縮桿件的內(nèi)力稱為軸力。通過(guò)截面法，假想地將桿件在某一截面處截開(kāi)，取其中一部分為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件求出截面上的軸力。軸力的符號(hào)規(guī)定為：拉為正，壓為負(fù)。2.應(yīng)力計(jì)算橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式為\(\sigma=\frac{F_N}{A}\)，其中\(zhòng)(F_N\)為軸力，\(A\)為橫截面面積。正應(yīng)力在橫截面上均勻分布。3.應(yīng)變分析縱向應(yīng)變\(\varepsilon=\frac{\Deltal}{l}\)，其中\(zhòng)(\Deltal\)為桿件的縱向變形量，\(l\)為桿件原始長(zhǎng)度。橫向應(yīng)變\(\varepsilon'=\frac{\Deltad}15zdbxn\)，其中\(zhòng)(\Deltad\)為桿件橫向尺寸的變化量，\(d\)為桿件原始橫向尺寸。4.胡克定律在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即\(\sigma=E\varepsilon\)，其中\(zhòng)(E\)為材料的彈性模量。它反映了材料抵抗彈性變形的能力。5.強(qiáng)度計(jì)算對(duì)于拉伸或壓縮桿件，強(qiáng)度條件為\(\sigma_{max}=\frac{F_{Nmax}}{A}\leq[\sigma]\)，其中\(zhòng)([\sigma]\)為材料的許用應(yīng)力，\(F_{Nmax}\)為桿件中的最大軸力。通過(guò)強(qiáng)度條件可以進(jìn)行截面尺寸設(shè)計(jì)或校核已知尺寸桿件的強(qiáng)度。

例如，某一鋼質(zhì)拉桿，已知其承受的最大拉力\(F=100kN\)，材料的許用應(yīng)力\([\sigma]=160MPa\)，根據(jù)強(qiáng)度條件\(A\geq\frac{F}{[\sigma]}=\frac{100\times10^3N}{160\times10^6Pa}=625\times10^{6}m^2=625mm^2\)，據(jù)此可選擇合適的截面尺寸。

4.2剪切1.內(nèi)力分析剪切構(gòu)件的內(nèi)力稱為剪力，通過(guò)截面法確定。例如鉚釘連接，當(dāng)外力作用使構(gòu)件產(chǎn)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，截面上會(huì)產(chǎn)生剪力。2.應(yīng)力計(jì)算剪切面上的切應(yīng)力計(jì)算公式為\(\tau=\frac{F_S}{A}\)，其中\(zhòng)(F_S\)為剪力，\(A\)為剪切面面積。對(duì)于螺栓、鉚釘?shù)冗B接件，一般需要考慮擠壓應(yīng)力，擠壓應(yīng)力計(jì)算公式為\(\sigma_{bs}=\frac{F_{bs}}{A_{bs}}\)，其中\(zhòng)(F_{bs}\)為擠壓力，\(A_{bs}\)為擠壓面面積。3.強(qiáng)度計(jì)算剪切強(qiáng)度條件為\(\tau_{max}=\frac{F_{Smax}}{A}\leq[\tau]\)，擠壓強(qiáng)度條件為\(\sigma_{bsmax}=\frac{F_{bsmax}}{A_{bs}}\leq[\sigma_{bs}]\)，其中\(zhòng)([\tau]\)和\([\sigma_{bs}]\)分別為材料的許用切應(yīng)力和許用擠壓應(yīng)力。通過(guò)強(qiáng)度條件可對(duì)連接件進(jìn)行設(shè)計(jì)或強(qiáng)度校核。

比如，用螺栓連接兩塊鋼板，已知螺栓所受剪力\(F_S=20kN\)，螺栓直徑\(d=18mm\)，材料的許用切應(yīng)力\([\tau]=100MPa\)，許用擠壓應(yīng)力\([\sigma_{bs}]=280MPa\)。螺栓剪切面面積\(A=\frac{\pid^2}{4}=\frac{\pi\times(18\times10^{3}m)^2}{4}\approx254.5\times10^{6}m^2\)，\(\tau=\frac{F_S}{A}=\frac{20\times10^3N}{254.5\times10^{6}m^2}\approx78.6\times10^6Pa=78.6MPa\lt[\tau]\)，滿足剪切強(qiáng)度要求。若鋼板厚度\(t=10mm\)，螺栓擠壓面面積\(A_{bs}=d\timest=18\times10^{3}m\times10\times10^{3}m=180\times10^{6}m^2\)，假設(shè)螺栓承受的擠壓力\(F_{bs}=F_S=20kN\)，\(\sigma_{bs}=\frac{F_{bs}}{A_{bs}}=\frac{20\times10^3N}{180\times10^{6}m^2}\approx111.1\times10^6Pa=111.1MPa\lt[\sigma_{bs}]\)，也滿足擠壓強(qiáng)度要求。

4.3扭轉(zhuǎn)1.內(nèi)力分析受扭桿件的內(nèi)力稱為扭矩，通過(guò)截面法確定。取桿件某一截面以左或右部分為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件求出截面上的扭矩。扭矩的符號(hào)規(guī)定為：按右手螺旋法則，拇指指向截面外法線方向，四指彎曲方向與扭矩轉(zhuǎn)向一致時(shí)扭矩為正，反之為負(fù)。2.應(yīng)力計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式為\(\tau=\frac{T\rho}{I_p}\)，其中\(zhòng)(T\)為扭矩，\(\rho\)為所求點(diǎn)到圓心的距離，\(I_p\)為極慣性矩。對(duì)于實(shí)心圓軸\(I_p=\frac{\pid^4}{32}\)，對(duì)于空心圓軸\(I_p=\frac{\pi}{32}(D^4d^4)\)，其中\(zhòng)(D\)為外徑，\(d\)為內(nèi)徑。3.強(qiáng)度計(jì)算扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件為\(\tau_{max}=\frac{T_{max}}{W_t}\leq[\tau]\)，其中\(zhòng)(T_{max}\)為桿件中的最大扭矩，\(W_t\)為抗扭截面模量。對(duì)于實(shí)心圓軸\(W_t=\frac{\pid^3}{16}\)，對(duì)于空心圓軸\(W_t=\frac{\pi}{16}(D^4d^4)/D\)。通過(guò)強(qiáng)度條件可對(duì)受扭圓軸進(jìn)行設(shè)計(jì)或強(qiáng)度校核。4.剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件為\(\theta=\frac{T}{GI_p}\times\frac{180}{\pi}\leq[\theta]\)，其中\(zhòng)(\theta\)為單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，\(G\)為材料的切變模量，\([\theta]\)為許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。剛度條件用于控制桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形量。

例如，一實(shí)心圓軸，已知傳遞功率\(P=50kW\)，轉(zhuǎn)速\(n=200r/min\)，軸的許用切應(yīng)力\([\tau]=40MPa\)，許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角\([\theta]=0.5°/m\)，材料切變模量\(G=80GPa\)。首先計(jì)算扭矩\(T=9549\frac{P}{n}=9549\times\frac{50kW}{200r/min}\approx2387N\cdotm\)。根據(jù)強(qiáng)度條件\(d\geq\sqrt[3]{\frac{16T}{\pi[\tau]}}=\sqrt[3]{\frac{16\times2387N\cdotm}{\pi\times40\times10^6Pa}}\approx0.067m=67mm\)。再根據(jù)剛度條件\(d\geq\sqrt[4]{\frac{32T}{G\pi[\theta]}\times\frac{180}{\pi}}=\sqrt[4]{\frac{32\times2387N\cdotm}{80\times10^9Pa\times\pi\times0.5\times\frac{\pi}{180}}}\approx0.074m=74mm\)，所以軸的直徑應(yīng)取\(74mm\)。

4.4彎曲1.內(nèi)力分析梁彎曲時(shí)的內(nèi)力有剪力\(F_S\)和彎矩\(M\)。通過(guò)截面法，取梁的某一截面以左或右部分為研究對(duì)象，利用平衡方程可求出截面上的剪力和彎矩。剪力和彎矩的符號(hào)規(guī)定：使梁段產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)；使梁段產(chǎn)生下凸變形的彎矩為正，反之為負(fù)。2.應(yīng)力計(jì)算梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式為\(\sigma=\frac{My}{I_z}\)，其中\(zhòng)(M\)為彎矩，\(y\)為所求點(diǎn)到中性軸的距離，\(I_z\)為截面慣性矩。對(duì)于矩形截面\(I_z=\frac{bh^3}{12}\)，對(duì)于圓形截面\(I_z=\frac{\pid^4}{64}\)等。梁橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式為\(\tau=\frac{F_SS_z}{I_zb}\)，其中\(zhòng)(S_z\)為所求切應(yīng)力點(diǎn)以上（或以下）部分截面面積對(duì)中性軸的靜矩。3.強(qiáng)度計(jì)算梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為\(\sigma_{max}=\frac{M_{max}}{W_z}\leq[\sigma]\)，其中\(zhòng)(M_{max}\)為梁中的最大彎矩，\(W_z\)為抗彎截面模量。對(duì)于矩形截面\(W_z=\frac{bh^2}{6}\)，對(duì)于圓形截面\(W_z=\frac{\pid^3}{32}\)等。梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為\(\tau_{max}=\frac{F_{Smax}S_{zmax}}{I_zb}\leq[\tau]\)。通過(guò)強(qiáng)度條件可對(duì)梁進(jìn)行設(shè)計(jì)或強(qiáng)度校核。4.剛度計(jì)算梁的剛度條件為\(y_{max}=\frac{FL^3}{3EI}\leq[y]\)，其中\(zhòng)(y_{max}\)為梁的最大撓度，\(F\)為作用在梁上的載荷，\(L\)為梁的跨度，\(E\)為材料彈性模量，\(I\)為截面慣性矩，\([y]\)為許用撓度。對(duì)于梁的轉(zhuǎn)角也有相應(yīng)的剛度條件，如\(\theta_{max}=\frac{FL^2}{2EI}\leq[\theta]\)，其中\(zhòng)([\theta]\)為許用轉(zhuǎn)角。剛度條件用于控制梁的變形量，使其滿足工程使用要求。

例如，一簡(jiǎn)支梁，跨度\(L=4m\)，承受均布載荷\(q=10kN/m\)，材料的許用應(yīng)力\([\sigma]=160MPa\)，彈性模量\(E=200GPa\)，許用撓度\([y]=\frac{L}{400}\)。首先計(jì)算最大彎矩\(M_{max}=\frac{1}{8}qL^2=\frac{1}{8}\times10kN/m\times(4m)^2=20kN\cdotm\)。根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件，假設(shè)梁為矩形截面，設(shè)寬度\(b=100mm\)，則\(h\geq\sqrt[2]{\frac{6M_{max}}{b[\sigma]}}=\sqrt[2]{\frac{6\times20\times10^3N\cdotm}{0.1m\times160\times10^6Pa}}\approx0.087m=87mm\)。再計(jì)算最大撓度\(y_{max}=\frac{5qL^4}{384EI}\)，將\(I=\frac{bh^3}{12}\)代入，若取\(h=100mm\)，\(y_{max}=\frac{5\times10kN/m\times(4m)^4}{384\times200\times10^9Pa\times\frac{0.1m\times(0.1m)^3}{12}}\approx0.013m=13mm\)，\([y]=\frac{L}{400}=\frac{4m}{400}=0.01m=10mm\)，不滿足剛度要求，需調(diào)整截面尺寸。

五、材料力學(xué)性能指標(biāo)5.1彈性模量\(E\)反映材料抵抗彈性變形的能力，\(E\)值越大，材料越不容易產(chǎn)生彈性變形。

5.2泊松比\(\nu\)材料在單向受拉或受壓時(shí)，橫向正應(yīng)變與軸向正應(yīng)變的絕對(duì)值的比值。它反映了材料橫向變形與縱向變形之間的關(guān)系。

5.3屈服極限\(\sigma_s\)材料開(kāi)始產(chǎn)生明顯塑性變形時(shí)的應(yīng)力。當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限后，材料的變形將不再完全是彈性變形，會(huì)產(chǎn)生塑性變形。

5.4強(qiáng)度極限\(\sigma_b\)材料所能承受的最大應(yīng)力，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限時(shí)，材料將發(fā)生斷裂。

這些材料力學(xué)性能指標(biāo)是工程設(shè)計(jì)中選擇材料和進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算的重要依據(jù)