天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)

人教A版數(shù)學(xué)必修5第48-52頁(yè)

2.4等比數(shù)列

理學(xué)院數(shù)學(xué)0801劉瑞平

等比數(shù)列教案

一、課題：等比數(shù)列

二、課型：新授課

三、教材分析

等比數(shù)列的學(xué)習(xí)在本章中占很大的比重。在日常生活中，人們經(jīng)常遇到的像存款利息等問(wèn)題，都需要

用有關(guān)等比數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決。本節(jié)內(nèi)容可以類(lèi)比等差數(shù)列進(jìn)行教學(xué)。

四、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)已經(jīng)有了必要的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備和一定的數(shù)學(xué)思維能力，在學(xué)完等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，也已經(jīng)具

有了必要的及數(shù)列相關(guān)的知識(shí)。因此，可以通過(guò)生活中的例子引入等比數(shù)列的概念；然后，再類(lèi)比等差通

項(xiàng)的迭加思想引導(dǎo)學(xué)生用迭乘的思想推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。這樣，學(xué)生既學(xué)習(xí)了知識(shí)又培養(yǎng)了能力。

五、教學(xué)目標(biāo)：

1）知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生理解等比數(shù)列的概念；學(xué)會(huì)利用等比數(shù)列的定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列；利

用通向公式求項(xiàng)。

2）能力目標(biāo)：讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)及生活的普遍聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比的思想方法，掌握迭乘的思想，調(diào)動(dòng)學(xué)

生積極觀(guān)察思考。

3）情感目標(biāo)：使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著探索，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的情趣。

4）教學(xué)重點(diǎn)及教學(xué)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的概念

教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)的推導(dǎo)，有關(guān)等比數(shù)列的證明。

六、教學(xué)方法：講授法，討論法

七、教學(xué)過(guò)程：

1、導(dǎo)入，設(shè)問(wèn)激疑

師：上課之前，先問(wèn)大家一個(gè)問(wèn)題：一張報(bào)紙（厚度大約為0.1mm）,將它對(duì)折50次會(huì)有多厚？如果拿

它做云梯能到哪？

（師生互動(dòng)，一起來(lái)分析這道題目）報(bào)紙厚度為

初始0.1mm

折疊1次0.1X2=0.1X21

折疊2次0.1X2X2=0.1x2

折疊3次0.1X2X2X2=0.1X23

折疊4次0.1X2X2X2X2=0.1X24

可以猜想得出，折疊50次之后，報(bào)紙厚度為0.1X25°。lg250215.05,也就是說(shuō)25°是一個(gè)

250xO.l一

15位整數(shù)，2§5°0x0.1nim=-------------------km,這個(gè)數(shù)字我們不知道他確切的值是多少，但可以知道它是一

1000X1000

個(gè)八位數(shù)。而地球到月球的距離僅有385400km（六位數(shù)）。（讓學(xué)生感受事實(shí)及想象之間的差距）

2、新課引入

回過(guò)頭來(lái)，再次分析報(bào)紙的折疊問(wèn)題。將報(bào)紙每次折疊后的厚度，看成是一個(gè)數(shù)列。

初始0.1mm

折疊1次0.lx2=0.1X21

2

折疊2次0.1X2X2=0.lx2

3

折疊3次0.1X2X2X2=0.lx2

4

折疊4次OJX2X2X2X2=0.lx2

按等差數(shù)列來(lái)看，它是等差數(shù)列嗎？

顯然不是等差數(shù)列，同學(xué)們觀(guān)察一下，這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)及后項(xiàng)有什么關(guān)系？

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些特點(diǎn)：從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)及前一項(xiàng)的比都等于2。

以后，我們就把具有這種特點(diǎn)或特征的數(shù)列稱(chēng)為等比數(shù)列。今天我們就一起來(lái)認(rèn)識(shí)這種新的數(shù)列一

等比數(shù)列。（板書(shū)課題）

（ppt定義）一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)及它前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列叫等

比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比常用字母q來(lái)表示（q^0）o

師：等比數(shù)列的定義還可以用怎樣的式子刻畫(huà)呢？

生：—=q（常數(shù)）（n=l,2,3……）

%

師：以上我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義，接下來(lái)我們就利用定義一起來(lái)判斷以下一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列。

例1、判斷以下數(shù)列是否為等比數(shù)列？

1）1,2,4,8,16,20....

生：1）是等比數(shù)列，因?yàn)?_=',（n=l,2,3……）

%2

2）不是等比數(shù)列，因?yàn)?=2,"=9,不等于同一個(gè)常數(shù)。

%a54

3）是等比數(shù)列，因?yàn)?*=q=i

ana

師：有不同意見(jiàn)嗎？

生：當(dāng)aw0時(shí)是等比數(shù)列，當(dāng)z=O時(shí)不是。

師：由此可以聯(lián)想到等比數(shù)列的項(xiàng)和公比有何限制？

生：61rl手。,q手0.

2、設(shè)首項(xiàng)為％,公比為q,它的通項(xiàng)怎么寫(xiě)？

下面，我們類(lèi)比等差數(shù)列，一起來(lái)推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)：

在等差數(shù)列｛〃〃｝中，

類(lèi)比推導(dǎo)：

我們用迭乘的方法證明了猜想的正確性，迭乘的方法在這里體現(xiàn)了極大的優(yōu)越性，當(dāng)然迭乘不是求數(shù)列

通項(xiàng)公式的唯一方法，等我們學(xué)完數(shù)學(xué)歸納法之后，我們還可以給出另一種關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)的推導(dǎo)。我們把

這個(gè)結(jié)果稱(chēng)為等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。（w0,qw0.〃￡N*）

（及剛學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比）

例2、（已知某些項(xiàng)，求a和q）已知一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18,求它的第1項(xiàng)和第

二項(xiàng)。

解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是《，公比是q,則

因此

a2=ar-q

答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)分別是—及8

3

例3、已知數(shù)列｛%｝和物,｝是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證數(shù)列｛4?也是等比數(shù)列。

bn｝

（板書(shū)證明）

證明：設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為P,也“｝的公比為q，｛%｝則數(shù)列｛4方“｝的第n項(xiàng)和第n+1項(xiàng)分別為：

nln即與。

ax-p~-bx?與%?p"也?q,

因?yàn)?+i,包+1=a/'pq\=p%它是一個(gè)及n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列｛%?2｝是一個(gè)以pq為

an-bnaA（pq）

公比的等比數(shù)列。

（師生一起總結(jié)證明思路）

例4、（已知項(xiàng)，求項(xiàng)）已知｛｝是一個(gè)等比數(shù)列，在下表中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)。

an

Q

%。3。5%

28

223

（學(xué)生完成教師預(yù)先發(fā)下的表格，思考）

（課后探索題）已知｛?！埃且粋€(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，公比為4。思考：

1）取出數(shù)列｛%,｝中的奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，請(qǐng)給出證明，并

求出它的首項(xiàng)和公比。

2）在數(shù)列｛。，｝中，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列有什么特點(diǎn)呢？證明你的猜想。

八、本課小結(jié)

這節(jié)課，我們一起認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)了一種新的數(shù)列一一等比數(shù)列。通過(guò)學(xué)習(xí)，我們知道，這種數(shù)列的特點(diǎn)是:

從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)及前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)定值，稱(chēng)之為q.

通過(guò)及等差數(shù)列的類(lèi)比學(xué)習(xí)，可以知道等比數(shù)列的通項(xiàng)是：n

an=a｝-q-'

九、板書(shū)設(shè)計(jì)

等比數(shù)列

證明：設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為P,也“｝的公比為q,｛a｝則

等差：+（〃-1）6?n

nx數(shù)列,2｝的第n項(xiàng)和第n+1項(xiàng)分別為：

等比：an=-q~

%?p"T?仇與

通項(xiàng)推導(dǎo)：

%?pn?&1-q",

迭ax

即6仇（P4廣與岫（pq）"o

乘

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無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列｛。“?