「目錄」

第一講數(shù)與式.................................................................................1

第二講方程與不等式.........................................................................15

第三講反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合............................................................29

第四講二次函數(shù)基礎(chǔ)..........................................................................43

第五講函數(shù)探究..............................................................................61

第六講代數(shù)綜合.............................................................................79

第七講三角形及全等三角形..................................................................99

第八講平行與四邊形基礎(chǔ)....................................................................117

第九講圓的基礎(chǔ)............................................................................135

第十講全等模型.............................................................................152

第十一講四邊形綜合........................................................................163

第十二講圓綜合.............................................................................175

第十三講手拉手模型........................................................................193

第十四講空翻模型.........................................................................206

第十五講半角模型...........................................................................215

第十六講中點(diǎn)模型.........................................................................228

第十七講對(duì)稱(chēng)變換.........................................................................237

1

第一講數(shù)與式

【課前診斷】

1.（2分）使二次根式有意義的x的取值范圍是.

2.（12分）計(jì)算：

⑴（—2）2+-（2015-573）°-|--|（2）（x+y）2-4（升），）+4

22

(3)3A/2+V3-2A/2—3V3(4)5y[a^—飛4a2(a>0)

3.（2分）計(jì)算1—2+3—4+5—6+,??+2015—2016的結(jié)果是（

A.-2016B.-1008C.-1D.0

4.（2分）。一1與3—2。是某正數(shù)的兩個(gè)平方根，則實(shí)數(shù)。的值是（）

4

A.4B.——C.2D.-2

3

5.（2分）2015年元旦期間，北京各大公園接待游客達(dá)245000萬(wàn)人次。其中，冰雪樂(lè)園吸引了大批游客親

身感受冰雪帶來(lái)的快樂(lè)，一起為北京申辦2022年冬奧會(huì)助力加油用科學(xué)記數(shù)法表示245000是

改錯(cuò)區(qū)：

1

【知識(shí)梳理】

考點(diǎn)自查表

考點(diǎn)知識(shí)難度是否掌握

①實(shí)數(shù)的相關(guān)概念☆□

②實(shí)數(shù)的運(yùn)算☆☆□

③整式概念及運(yùn)算☆☆□

④分式的概念及基本性質(zhì)☆□

⑤分式運(yùn)算☆☆□

⑥二次根式☆□

1.實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

（1）相反數(shù)、倒數(shù)、數(shù)軸、絕對(duì)值、科學(xué)記數(shù)法、乘方

①相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).特別地，0的相反數(shù)是.

②倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).

③數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).

④絕對(duì)值：在數(shù)軸上表示數(shù)〃的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫數(shù)。的絕對(duì)值，記作卜一。|表示.正數(shù)的

'一（?>0）

絕對(duì)值等于一：0的絕對(duì)值等于一；女?dāng)?shù)的絕對(duì)值等于；|。卜<一（4=0）

「（4<0）

⑤科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)絕對(duì)值大于10（或者小于1）的實(shí)數(shù)表示成4X10"的形式（其中—《同〈一,〃是整

數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法.

⑥乘方：求〃個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫涉乘方，乘方的結(jié)果叫做事.在4”中，一叫做底數(shù)，一叫做指數(shù),

當(dāng)a"看作。的〃次方的結(jié)果時(shí)，也可讀做。的〃次幕.正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次累都

是一;負(fù)數(shù)的奇次鼎是,負(fù)數(shù)的偶次晶是.

2

3

（2）平方根、立方根

①平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于。，那么這個(gè)數(shù)叫做"的平方根或二次方根.也就是說(shuō)，若丁，

則x就叫做。的.一個(gè)非負(fù)數(shù)々的平方根可用符號(hào)表示為.求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算，

叫做開(kāi)平方.開(kāi)平方與平方是互逆運(yùn)算。一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)

數(shù)沒(méi)有平方根.

②算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，可用符號(hào)表

示為，0的算術(shù)平方根是0;

③立方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于那么這個(gè)數(shù)叫做。的立方根或三次方根，也就是說(shuō)，若

則x就叫做〃的立方根，一個(gè)數(shù)。的立方艱可用符號(hào)表.亞%=.

立方根的有關(guān)性質(zhì)：府=—，（正＞二一。

2.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）實(shí)數(shù)加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取符號(hào)，并把絕對(duì)值一；異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和_；

絕對(duì)值不等時(shí)，取符號(hào)，并用一的絕對(duì)值______絕對(duì)值；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

（2）實(shí)數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于.

（3）實(shí)數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得—，異號(hào)得一，再把絕對(duì)值一；任何數(shù)與0相乘，積仍為一.

（4）實(shí)數(shù)除法法則：除以一個(gè)數(shù)等于;兩數(shù)相除，同號(hào)得異號(hào)得并把絕對(duì)值0

除以任何非。的數(shù)都得0.

（5）實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則：和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算一、一，再算一,最后算

，有一的要先算，同級(jí)運(yùn)算要按照從一到—的順序進(jìn)行.

（6）實(shí)數(shù)的運(yùn)算律：

加法交換律：a+b=（a,。為任意實(shí)數(shù)）

加法結(jié)合律：（a+b）+c=（a,btc為任意實(shí)數(shù)）

乘法交換律：ab=（a,〃為任意實(shí)數(shù)）

乘法結(jié)合律：=。。。）（〃,b為任意實(shí)數(shù)）

乘法分配律：a（b+c）=（a,Ac表示任意實(shí)數(shù)）

4

3.整式概念及運(yùn)算法則

（1）整式概念

①代數(shù)式:用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫做代數(shù)式.

②單項(xiàng)式:由數(shù)字或字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式.

③多項(xiàng)式:幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).

④同類(lèi)項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng).

（2）整式運(yùn)算法則

①整式的加減法：（1）去括號(hào)；（2）合并同類(lèi)項(xiàng)。

②整式的乘法：心（機(jī)，〃都是正整數(shù)）=都是正整數(shù)）

（abS1=（〃都是正整數(shù)）=a2-b2

(a+b)2=(a-b)2=

③整式的除法：屋+4=（九〃都是正整數(shù),。工0）

注意：（1）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是.

（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.

（3）計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，同時(shí)要注意單項(xiàng)式的符號(hào).

（4）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的展開(kāi)式中，有同類(lèi)項(xiàng)的要。

（5）公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

（6）。°=___（awO）;0-P=（awO,p為正整數(shù)）

（7）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加，單項(xiàng)式除

以多項(xiàng)式是不能這么計(jì)算的。

④因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解（或者分解因式）.

因式分解的一般步驟：

（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：二項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用

分解因式；三項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用、分解因式；四項(xiàng)式及四項(xiàng)式以上的可以嘗試

__________分解因式.

（3）分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。因式分解的方法：

5

i.提公因式法：ma-\-mb+mc=；

ii.運(yùn)用公式法：a2—b2=?a1±2ab-\-lr=

iii.十字相乘法：xL-\-(a-\-b)x-\-ab=.

iv.分組分解法：ac+ad+be+bd==

4.分式概念及基本性質(zhì)

AA

①分式定義：用43表示兩個(gè)整式，A+B可以表示成2■的形式，如果B中含有字母且8工0,式子色?就

BB

叫做分式，其中力叫做這個(gè)分式的分子，B叫做這個(gè)分式的分母(6。0).

②分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值_____。用式子表示

AA.rAA—C

為乙=2-2或乙=一上(CwO),其中A,B,C均為整式。

BBCBB)

5.分式的運(yùn)算

①約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，叫做分式的約分；約分時(shí)，若分子分母還有多項(xiàng)式，應(yīng)

先進(jìn)行，然后找去他們的公因式再約分.

②最簡(jiǎn)分式：分子分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式，分式運(yùn)算結(jié)果都要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

③分式通分：

(1)當(dāng)分母是單項(xiàng)式時(shí)，取系數(shù)的與各字母的的積為最簡(jiǎn)公分母，把各分式化成分母相同的

分式.

(2)當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般先分解因式，然后再確定.進(jìn)行分式乘除法時(shí)，注意符號(hào)法則，兩數(shù)

相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù).分式乘除的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)分式，而分式的賣(mài)方，把分子、分母各自乘方.

④主要公式：

(1)同分母加減法則：2±￡=住(4.0)

aaa

(2)異分母加減法則：2±4=如±也=必主包(axo,cHO)

acacacac

,、——A、上bdbdbebdbd

(3)分式的乘法與除法:----=—;—^―=----=—.

acacaaacac

6.二次根式

①定義：二次根式：形如的式子叫做二次根式，"J-”稱(chēng)為二次根號(hào);

②最簡(jiǎn)二次根式滿足下面條件：

(1)被開(kāi)放數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式(被開(kāi)方數(shù)不能存在小數(shù)、分?jǐn)?shù)形式)

6

（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式

（3）分母中不含二次根式

③同類(lèi)二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)，這幾個(gè)二次根式

就叫做同類(lèi)二次根式

④基本性質(zhì)：

（1）&之。（心°）雙重非負(fù)性；

（2）（?>0）.

⑶"第

［一4（4T<0）

常見(jiàn)化簡(jiǎn)：我=2&；V12=273；V18=3^/2；圓=26通=2；V27=3

⑤運(yùn)算：

（1）加減：化為最簡(jiǎn)二次根式后，合并同類(lèi)項(xiàng)；

（2）乘法：4a-4b=4ab（<?>0,Z?>0）

⑶除法：(a>0,b>0)

【典型例題】

【例題1】上的算術(shù)平方根為_(kāi)_________.

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【練習(xí)1］后的算術(shù)平方根是

【例題2】式子有意義的X的范圍是.

【練習(xí)2.1］若^■有意義,則x的取值范圍是

【練習(xí)2.2】當(dāng)x時(shí)，J3-2元有意義.

【例題3】化簡(jiǎn)：|指一G|一13-卡|.

【練習(xí)3.1】化簡(jiǎn)：|百一2k24=

【練習(xí)3.2】計(jì)算：卜歷一，耳一3（、后一五）+/5

7

【例題4】1.已知實(shí)數(shù)滿足,一4|+4二8=0,則以為了的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是

【練習(xí)4.1】若a、b為實(shí)數(shù),且滿足kz—Z+Q^nO,則人一。