2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷04（新高考專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第U卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2024?河南周口?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=（l+B\i為虛數(shù)單位，貝吻的虛部為（）

A.2iB.-2iC.2D.-2

2.（5分）（2024?天津和平?二模）若xeR,下列選項中，使“/<1”成立的一個必要不充分條件為（）

A.-2<%<1B.-1<%<1C.0<%<2D.-1<%<0

3.（5分）（2024.貴州貴陽.二模）已知向量日=（1,一2）范=（2,x）,若（3d-司〃@+2%則實數(shù)x=（）

A.2B.1C.0D.-4

4.（5分）（2024?四川達州.二模）下圖是某地區(qū)2016-2023年旅游收入（單位:億元）的條形圖，則下列說法

錯誤的是（）

A.該地區(qū)2016-2019年旅游收入逐年遞增

B.該地區(qū)2016-2023年旅游收入的中位數(shù)是4.30

C.經(jīng)歷了疫情之后，該地區(qū)2023年旅游收入恢復(fù)到接近2018年水平

D.該地區(qū)2016-2023年旅游收入的極差是3.69

5.（5分）（2024?湖北.模擬預(yù)測）已知點P是直線x—y—m=0上的動點，由點P向圓0:/+/=1引切

線，切點分別為M,N且NMPN=90。，若滿足以上條件的點P有且只有一個，則爪=（）

A.V2B.±V2C.2D.±2

6.（5分）（2024?青海西寧?二模）關(guān)于函數(shù)/'（%）?=4sin（3X+勿）（4>0,3>0,0<w<、,有下列四個

說法：①/（%）的最大值為3;②/（久）的相鄰兩個零點分別為功,%2>且有％—亞1=0③/（久）的圖象上相

鄰兩個對稱中心間的距離為去④/（?的圖象關(guān)于直線X=g對稱，若有且僅有一個說法是錯誤的，則/（以=

（）

A.--B.—C.--D.-

2222

7.（5分）（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在四棱錐P-4BCD中，△「/!￡?為等邊三角形，四邊形4BCD為矩形，

且平面PAD1平面力BCD,則直線AC與平面PCD所成角的正弦值為（）

A.-B.—C.—D.1

222

8.（5分）（2024?陜西?模擬預(yù)測）函數(shù)/（汽）滿足In%=:+夕,且均>e,x>+，（％2）=1，則f（%i%2）

1-/w2

的最小值為（）

51

A.eB.1C.-D.-

7e

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.（6分）（2024?黑龍江牡丹江?一模）已知（―20）為函數(shù)/O）=asin2x+cos2久的一個對稱中心，則（）

A.a=gB.函數(shù)y=/（%—9為奇函數(shù)

C.曲線y=f（久）關(guān)于“="對稱D.函數(shù)y=f（x）在（一■單調(diào)遞增

10.（6分）（2024?黑龍江大慶.三模）已知點P（l,夜）是雙曲線C:3/―f=1上一點，過p向雙曲線的兩

條漸近線作垂線，垂足分別為4B,則下列說法正確的是（）

A.雙曲線的浙近線方程為y=±Wx

B.雙曲線的焦點到漸近線的距離為1

C.\PA\-\PB\=l

D.APAB的面積為普

16

11.（6分）（2024.河北?二模）已知函數(shù)/⑺=x（e，+2）,gO）=（x+2）lnx,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（%）在R上單調(diào)遞增

B.若對任意x>0,不等式/（ax）2/（In久2）恒成立，則實數(shù)a的最小值為:

C.函數(shù)g（x）在（0,+8）上存在極值點

D.若/■（久1）=。（外）=t（t>0）,則丫八的最大值為工

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）已知在遞增的等比數(shù)列｛斯｝中，（1遂2a3=1，-+-+-=L則

a32

數(shù)列｛即｝的通項公式為斯=.

13.（5分）（2024?湖南長沙?二模）已知2cos（2%+Dcos（%—巳）—cos3%=：,貝!Jcos（2%+；）=.

14.（5分）（2024.陜西榆林.模擬預(yù)測）已知曲線/（%）=/與g（%）=ln（ax）（a>0）有公共切線，則實數(shù)a

的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（13分）（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在△ABC中，角的對邊分別是a,仇c,tanC=（a-l）tan8.

（1）求證：bcosC=1；

（2）若Q=2,△ABC面積為1,求邊c的長.

16.（15分）（2024?四川雅安?三模）已知函數(shù)/（%）=（a—1）%—2sin%.

⑴若函數(shù)/（%）有極值，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若關(guān)于％的不等式/（%）+%（1+cosx）<0在冗E［。身上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

17.(15分)(2024?河南周口?模擬預(yù)測)如圖，平行六面體力BCD-A/C/i中，底面48CD與平面4BGA

都是邊長為2的菱形，4BCD=NBQDi=120°,側(cè)面BCqB1的面積為咫.

(1)求平行六面體4BCD-&B1C1D1的體積；

(2)求平面BCG2與平面CDDiG的夾角的余弦直

18.(17分)(2024.遼寧錦州?模擬預(yù)測)甲、乙兩名圍棋學(xué)員進行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分,

負(fù)者得0分，平局雙方均得。分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已

知每局比賽中，甲獲勝的概率為a,乙獲勝的概率為0,兩人平局的概率為y(a+0+y=l,a>O,￡>O,y2

0),且每局比賽結(jié)果相互獨立.

⑴若a=|,￡=|,y=I，求進行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；

(2)當(dāng)y=0時，

(i)若比賽最多進行5局，求比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E(X)的最大值；

(ii)若比賽不限制局?jǐn)?shù)，求“甲學(xué)員贏得比賽”的概率(用a,￡表示).

19.（17分）（2024?河南三門峽?模擬預(yù)測）設(shè)有窮數(shù)列4i（九22）的所有項之和為S,所有項的

絕對值之和為T,若數(shù)列/滿足下列兩個條件，則稱其為九階“0-1數(shù)列"：①S=0；②7=1.

⑴若2023階"0—1數(shù)列"Aalta2,…，。2023是遞減的等差數(shù)列，求。2023；

⑵若2k（kEN*）階“0-1數(shù)歹！J”4aL%。2式々21）是等比數(shù)列，求”的通項公式時（1<n<2k,用幾k表

示）；

（3）設(shè)71階“0-1數(shù)列…，。式九N2）的前m項和為%0nG{1,2,3,…㈤）,若加G{1,23…，九}，使得

bm=-I，證明：數(shù)列&&,62，?“,勾622）不可能為九階“0—1數(shù)列”.

2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷04（新高考專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2024?河南周口?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=（1+9、i為虛數(shù)單位，貝反的虛部為（）

A.2iB.-2iC.2D.-2

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和乘方的運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義進行求解即可.

【解答過程】（1+=（1一=（1一i）3=1+3X1?.（一。+3X1x（―i）2+（―i）3=l-3i-3+i=

-2―2i,

因此復(fù)數(shù)（1+1）3的虛部為一2.

故選：D.

2.（5分）（2024.天津和平.二模）若xeR,下列選項中，使“%2<1”成立的一個必要不充分條件為（）

A.-2<x<lB.-1<%<1C.0<%<2D.-1<%<0

【解題思路】根據(jù)題意，*2<1等價于—1<X<L若所求必要條件對應(yīng)的范圍為4,則（-1,1）A,由此

判斷即可得到本題的答案.

【解答過程】不等式/<1等價于—1<x<l,

使<1”成立的一個必要不充分條件，對應(yīng)的集合為4,則（-1,1）是A的真子集，

由此對照各項，可知只有A項符合題意.

故選：A.

3.（5分）（2024.貴州貴陽.二模）已知向量日=（1,—2）,3=（2,x）,若（32-司〃但+2另），則實數(shù)久=（）

A.2B.1C.0D.-4

【解題思路】借助向量坐標(biāo)運算與向量平行的坐標(biāo)表示計算即可得.

【解答過程】32-3=（1,-6-x）,a+2b^（5,2萬-2）,

由（30一.//5+2石）,則有1x（2x-2）-5x（-6-%）=0,

解得x=-4.

故選：D.

4.（5分）（2024?四川達州.二模）下圖是某地區(qū)2016-2023年旅游收入（單位:億元）的條形圖，則下列說法

錯誤的是（）

A.該地區(qū)2016-2019年旅游收入逐年遞增

B.該地區(qū)2016-2023年旅游收入的中位數(shù)是4.30

C.經(jīng)歷了疫情之后，該地區(qū)2023年旅游收入恢復(fù)到接近2018年水平

D.該地區(qū)2016-2023年旅游收入的極差是3.69

【解題思路】根據(jù)中位數(shù)、極差的定義即可判斷BD；結(jié)合圖形，分析數(shù)據(jù)即可判斷AC.

【解答過程】A：由圖可知該地區(qū)2016-2019年旅游收入逐年遞增，故A正確；

B：由圖可知，2016-2023年旅游收入的中位數(shù)為型產(chǎn)=4.255億元，故B錯誤；

C：從圖表可知2023年旅游收入為4.91億元，接近2018年的5.13億元，故C正確；

D：2016-2023年旅游收入的極差是5.73-2.04=3.69億元，故D正確.

故選:B.

5.（5分）（2024.湖北.模擬預(yù)測）已知點P是直線x—y—m=0上的動點，由點P向圓0:/+V=1引切

線，切點分別為M,N且NMPN=90。，若滿足以上條件的點P有且只有一個，則爪=（）

A.V2B.±V2C.2D.±2

【解題思路】連接。M,ON,結(jié)合圓的切線性質(zhì)可推得點P在以點。為圓心，夜為半徑的圓C上，再由題意可

知該圓與直線x-y-m=0相切，利用點到直線的距離公式，即可求得答案.

【解答過程】連接。M,ON,貝1OM.PN1ON.

又4MPN=90°,OM=ON,所以四邊形MPNO為正方形，:|PO|=&|0N|=VI,

于是點P在以點。為圓心，魚為半徑的圓C上.

又由滿足條件的點P有且只有一個，則圓C與直線％-y-m=0相切，

所以點。到直線x-y-m=0的距離d=V2,翳=V2,解得m=±2.

故選：D.

6.（5分）（2024?青海西寧?二模）關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（3x+9）（4>0,3>0,0<9<小，有下列四個

說法：①f（x）的最大值為3；②f（x）的相鄰兩個零點分別為久1，久2,且有山-久2l=n；③/（久）的圖象上相

鄰兩個對稱中心間的距離為次④/（?的圖象關(guān)于直線x=g對稱，若有且僅有一個說法是錯誤的,則建）=

（）

A.--B.—C.--D.-

2222

【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得②和③相互矛盾，然后分別驗證①②④成立時與①③④成立時的結(jié)論,

即可得到結(jié)果.

【解答過程】說法②可得《=工=71,得到3=1,說法③可得?=工=9則3=2,②和③相互矛盾；

2Cd232

當(dāng)①②④成立時，由題意/=3,a）=l,]+0=2Mi+；,kEZ.

因為9€（0彳），令k=0,得到0=,

所以/'（%）=3sin（X+J得到/（；）=3sin（^+，）=3siny=

說法①③④成立時，由題意/=3,3=2,y4-=2/CTT+pkEZ,

則0=2/cn—：C（0,9,故不合題意.

故選：B.

7.(5分)(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)在四棱錐P-4BCD中，△PAD為等邊三角形，四邊形2BCD為矩形,

且=平面P力。1平面ABC。，則直線AC與平面PCD所成角的正弦值為()

【解題思路】取M為P。的中點，先證明4Ml平面PCD,得乙4cM為所求線面角，由邊長間的關(guān)系求正弦值.

【解答過程】平面P4D_L平面4BCD,又平面PADC平面2BCD=AD,

CDu平面4BCD,CDLAD,貝。CD_L平面PAD,

又CDu平面PCD,故平面PCD1平面PAD,

取PD的中點M,連接AM,CM,如圖所示，

平面PCDCl平面PAD=PD,平面AMu平面PAD,

△PAD為等邊三角形，貝!MM1PD,故4M1平面PCD,

則直線AC與平面PCD所成角即為aACM,

令BC=a,貝!]28=缶，AC=V3a,AM=^-a,

故sin/ACM=—=

AC2

故選：A.

8.(5分)(2024.陜西.模擬預(yù)測)函數(shù)f(%)滿足In%=叱咒且%i>e,x>eJOJ+f(x)=1，則/(%i%2)

i-/w22

的最小值為()

5I

A.eB.1C.-D.-

7e

【解題思路】通過解方程可得f(%)的解析式,由/(%i)+/(x2)=1化簡可得In%1?ln%2=1noi?汽2)+3,

結(jié)合基本不等式可得InQq?*2)26,運用分離常數(shù)法化簡可得/(右物)=1--2進而可得其最小值.

【解答過程】因為也”=含器，所以Inx-lnx"(x)-l-f(x)=0,即f(%)=黑|，

又因為〃久1)+/。2)=1，

--2

p-rr?InXi-1,lnx2l4口門(ln%Ll)(ln%2+l)+(ln%2-l)(ln%i+l)21nx1lnx24

j/TKAI--1,及~1,

InXi+llnx2+l(lnx1+l)(lnx2+l)(In%1+1)(lnx2+1)

所以In%1?ln%2=In(久i?%2)+3,

因為%i>e,x2>e,所以In%]>1,lnx2>1，

所以In與?Inx2=ln(x「犯)+3W

整理得ln2(%i?x2)—41ri(%i?x2)—12>0,

解得ln(%i?%2)N6或ln(%i?&)<-2(舍)，

所以“中2)=，產(chǎn);=1--2一=當(dāng)且僅當(dāng)『戶=即的1=工2=e3時取等號.

，'，1noi%2)+lln(x1-x2)+l6+17(In(%1-X2)=6”

故/01%2)的最小值為2

故選：C.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.(6分)(2024?黑龍江牡丹江?一模)已知(一,0)為函數(shù)/(")=asin2x+cos2久的一個對稱中心，則()

A.a=V3B.函數(shù)y=f(久一習(xí)為奇函數(shù)

C.曲線y=/(x)關(guān)于x=*j'稱D.函數(shù)y=/(￡)在單調(diào)遞增

【解題思路】根據(jù)對稱可得a=手，即可由輔助角公式求解f(x)=^sin9x+f,結(jié)合選項，即可逐一代

入求解.

【解答過程】解：因為0)為函數(shù)f(久)=asin2久+cos2x的一個對稱中心,

所以f(Y)=asin2(-勺+cos2(-力=0,

即一苧a+1=0,解得Q=苧，故A錯誤；

所以/(汽)=sin2x+cos2x=學(xué)sin(2%+三)，

y=/(%-J=誓sin(2%-^+三)=^sin2%,顯然為奇函數(shù)，故B正確;

fU=Vsin(2x+=VsinT=-sinT='是取小值，

所以曲線y=/(x)關(guān)于x=^對稱，故C正確；

當(dāng)xe（—監(jiān)4）時，2%+=e（-p=）,所以函數(shù)y=/（x）在（―,吟）單調(diào)遞增，故D正確.

故選：BCD.

10.（6分）（2024.黑龍江大慶.三模）已知點P（l,a）是雙曲線C:3——f=1上一點，過p向雙曲線的兩

條漸近線作垂線，垂足分別為4B,則下列說法正確的是（）

A.雙曲線的浙近線方程為y=±Wx

B.雙曲線的焦點到漸近線的距離為1

C.\PA\-\PB\=l

D.APAB的面積為經(jīng)

16

【解題思路】首先根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，判斷A,再根據(jù)點到直線的距離判斷BC,最后根據(jù)幾何

關(guān)系，求乙4PB,再代入面積公式，即可求解.

【解答過程】因為雙曲線的方程為C:3/—V=1,所以。=孚,b=i,所以雙曲線的漸近線方程為y=

+-x=士百%.故A正確；

a

雙曲線的右焦點（言,0）到漸近線y=bx的距離為d=1=1，故B正確；

由點到直線的距離公式可得伊川?\PB\=喀回xM竽=[.故C錯誤.

如圖，因為K（M=百，所以乙4。乂=60。.在和AOBD中，APAD=AOBD=90°,

/.PDA=AODB,所以N4PD=NBOD=60。，所以

SAPAB=1x|P*.|PB|sin60。=5x：x￥=t，故D正確.

zz4Zlo

故選：ABD.

11.（6分）（2024.河北.二模）已知函數(shù)f（%）=%（e"+2）,g（%）=（%+2）ln%,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（%）在R上單調(diào)遞增

B.若對任意%>0,不等式/（a%）>/（In/）恒成立，則實數(shù)a的最小值為|

C.函數(shù)g(%)在(0,+8)上存在極值點

D.若/(%i)=g(%2)=>0),則一餐木的最大值為工

【解題思路】對于A,直接求得單調(diào)區(qū)間即可；對于BCD,構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值即可.

【解答過程】對于A,f(x)的定義域為R,f'(x)=(x+l)e，+2,令m(x)=尸(x),

則m'(x)=(%+2)e”,,,.當(dāng)xe(—8,—2)時，mr(x)<0；

當(dāng)x￡(-2,+8)時,m'(x)>0,m(x)即尸(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞減,

在(—2,+8)上單調(diào)遞增，

?,?/'(%)>尸(-2)=-e—2+2=2-2>0,.??/(%)在R上單調(diào)遞增，故A正確；

2

對于B,由A知/(%)在R上單調(diào)遞增，由/(a%)>/(In/)得Q%>Inx,則當(dāng)％>0時，a>哈=手，令八(%)=

一^,則加(%)=2a)2;?當(dāng)％W(0,e)時，h'{x)>0；當(dāng)％e(e,+8)時，”(%)<0,h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，

在(e,+8)上單調(diào)遞減，.??%(%)max=Me)=：,.?.a之：，即。的最小值為j故B正確；

對于C,g(%)的定義域為(0,+8),g，(%)=In%+平=Inx+|+1,令?i(%)=g'(%),

則4(%)=工一2=二,?.?當(dāng)％E(。，2)時，"(%)V0；當(dāng)％6(2,+8)時，

nA(x)>0;幾(%)即g'Cr)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

???g'(x)之“(2)=ln2+2>0,g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無極值點，故C錯誤；

對于D,若/(%i)=9(久2)=>0)，

則久i(e%i+2)=(x2+2)lnx2=v/(0)=0,^(1)=0,t>0,

由AC知：均為定義域上的增函數(shù)，，4>0,x2>1,

X1X1X1

由％i(e*i+2)=(x2+2)ln第2得久i(e*i+2)=(e+2)lne=(x2+2)lnx2,*'-x2=e,%(，+2)=

f

X=T令P(t)=T,則p'(t)=8二?,?當(dāng)tG(0,e)時,p'(t)>0；

1(e二，十片zjLi-c

當(dāng)tE(e,+8)時，p，(t)v0,???p(t)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+8)上單調(diào)遞減，

P(t)max=P(e)=即的最大值為《故D正確.

故選：ABD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）已知在遞增的等比數(shù)列｛&J中，a1a2a3=1,-+-+-=J,則

0-10-32

數(shù)列｛廝｝的通項公式為即=2n-2（nEN*）.

。1。3=1

｛工+2=”解出的值的,。3,

Oia32

即可求出公比，得出通項.

【解答過程】設(shè)等比數(shù)列｛%J的公比為分因為的a2a3=1，所以謁=1，解得。2=1，

（CL-xClo—1

又三+2+工=彳，所以有1,1-5,

由｛斯｝是遞增的等比數(shù)列，解得由=|,。3=2,

所以q=￡=2,即有a“=［x2nT=27l-2.

故答案為：2n-2（n&N*y

13.（5分）（2024.湖南長沙.二模）已知2cos（2x+①cos—自一cos3x=｝，貝ijcos（2x+.

【解題思路】由3x=（2x+［）+（x—3結(jié)合兩角和的余弦公式化簡條件可求得cos（x+媒，再利用二

倍角的余弦公式求cos（2x+§即可.

【解答過程】因為2cos（2x+E）cos（x-巳）-cos3x=%

所以2cos（2x+己）cos（x--cos［（2%+自+1一自］=；，

所以cos（2x+gcos（x—已）+sin（2x+Jsin（x—己）=

所以cos（%+］）=（

所以cos（2x+］）=2cos2（x+：）-1=-.

故答案為：-1

o

14.（5分）（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）已知曲線/（x）=/與g（x）=ln（ax）（a>0）有公共切線，則實數(shù)a

的最大值為伍.

【解題思路】先設(shè)出切點，求導(dǎo)得到切線方程，斜率截距對應(yīng)相等，得到1-Ina=總+Ing,構(gòu)造函數(shù)Mx）=

A+ln%,轉(zhuǎn)化為存在性問題，最終求最值即可.

nax

【解答過程】設(shè)曲線/（X）=/與g（x）=In（ax）（a>0）的切點分別為（%],好），（x2-l（2））?

:/'(x)=2x,g'(%)=:?k1=2%],k2—

Ay—xl=2xr(%—y—ln(a%2)=—x2)

7cl

2%-i-1i

%2,--+ln(d%2)—1=0,即1—Ina=—4-ln%2,

4%2

、好+ln(ax2)—1=0軌2

令h(%)=+In%,則h'(%)=2x-r

當(dāng)。<x<爭寸，》（%）<0,單調(diào)遞減；當(dāng)%〉g時，》（汽）>0,h（%）單調(diào)遞增,

.,?/i(x)>h(y)=^+ln^即1—Ina>|+In即Ina<lnV2e,即0<a4V2e.

故答案為：庫.

四、解答題：本題共5小題,共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（13分）（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在AABC中，角的對邊分別是a,b,c,tanC=（a—l）tanB.

(1)求證:bcosC=1；

（2）若a=2,AaBC面積為1,求邊c的長.

【解題思路】（1）根據(jù)題中等式利用同角三角函數(shù)商關(guān)系公式，兩角和的正弦公式，三角和內(nèi)角和定理,

正弦定理化簡得到結(jié)果;

（2）利用（1）的結(jié)果計算sinC=,再利用三角形面積公式計算出a,從最后利用余弦定理計算出c；

【解答過程】（1）證明：根據(jù)tanC=（a—l）tanB,以及tanC='吧，tanB='世

cosCcosB

得=(0-sinCcosB=(a—l)cosCsinB.

所以acosCsinB=sinCcosB+cosCsinB,即acosCsinB=sin(C+B),

根據(jù)8+C=TT—4得sin(C+B)=sin/.

所以acosCsinB=sin/,

由正弦定理，得abcosC=a,因此bcosC=1.

-1

⑵由⑴知，cosC「，sinC=

2

SLABC=(absinC=b=Vfo—1=1,

所以爐=2,得b=yj2,cosC=亨,

又。=2,

所以由余弦定理得c=y/a2+b2—2abcosC=^4+2—2x2xV2Xy=V2.

16.(15分)(2024?四川雅安?三模)已知函數(shù)/(%)=(a—1)%—2sin%.

(1)若函數(shù)/(%)有極值，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若關(guān)于％的不等式/(%)+x(l+cosx)<0在％E身上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)先對函數(shù)求導(dǎo)，分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與極值的關(guān)系即可求解.

(2)由已知變形為2sin%—xcosx—ax>0恒成立，構(gòu)造函數(shù)九(久)=2sinx—xcosx—ax,xG[。身，分類討

論研究函數(shù)的單調(diào)性，利用最值列不等式求解即可.

【解答過程】(1)依題意，/A(x)=a—1—2cosx,令尸(第)=0,得a=1+2cos;r,

因為1+2cos%￡所以當(dāng)。4一1時，/'(%)40,/(%)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>3時，/'(%)>0,故/(%)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)一l<aV3時，((%)=0有變號零點，此時函數(shù)/(%)存在極值；

綜上a6(—1,3).

(2)依題意，由/(汽)+x(l+cosx)<0,

得(a—1)%—2sinx+x(l+cosx)<0,即2sin%—xcosx—ax>0,

設(shè)h(%)=2sinx—xcosx-ax,xE[o,1],

貝=2cos%—cosx+xsinx—a=cos%+xsinx—a,

設(shè)=cosx+xsinx—a,貝！=xcosx,

當(dāng)久E[o)；]時，mz(x)>0,m(%)單調(diào)遞增；

所以在％e[o上，"(%)<八'0=]—a，且"(0)=1—a,

當(dāng)]—a<0,即a>多寸，h/(x)>0,九(汽)在[0/n]上單調(diào)遞減，

則h(%)</i(0)=0,不符合題意，舍去，

當(dāng);一a>0,即時，

(i)若1—a<0,即1VaV

三久0€(04)，使得九Go)=0,當(dāng)OV%V%o時，//(%())V0,%(%)在(O,%。)內(nèi)單調(diào)遞減，/i(x)</i(0)=0,

不符合題意，舍去,

(ii)若1—aN0,即a<1,h.'(x)>0恒成立,

h(x)在xe[oj]上單調(diào)遞增，則h(x)2h(0)=0,符合題意.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為(—8,1].

17.(15分)(2024?河南周口?模擬預(yù)測)如圖，平行六面體力BCD-4送16。1中，底面力BCD與平面ABCi/

都是邊長為2的菱形，Z-BCD=N8QD1=120°,側(cè)面BCC/i的面積為/區(qū).

(1)求平行六面體力BCD-4/1的￡>1的體積；

(2)求平面BCQBi與平面CDDiG的夾角的余弦值.

【解題思路】(1)連接4C,4的，根據(jù)菱形的性質(zhì)、余弦定理，結(jié)合線面垂直的判定定理、三角形面積公

式、棱柱的體積公式進行求解即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

【解答過程】(1)連接4C,AQ,

因為底面4BCD與平面均為菱形，且/BCD=LBCR=120°,

所以△43。與448Q均為等邊三角形，

取A8的中點。，連接OC,OQ,貝。。C1AB,0cli48,則。C=。的=百，

因為側(cè)面BCQZ的面積為后，

所以△BCG1的面積為手，則如2x2sinNCBG=?，

所以sin/CBG=乎，則cos/CBCi=i

在ABCCi中，CC^=22+22-2x2x2x=6,貝ijCC1=①，

所以。+。番=ccf,所以。CiOQ.

因為48C0C=0,AB.OCa^^ABCD,

所以。的1平面ABCD,

故平行六面體48CD-4/停1。1的體積^=SABCD?。6=2X2sin60°x次=6.

(2)由(1)可知，4B,0C,0G兩兩垂直，以。為原點，以。B,OC,OG所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz.

貝C(0,A/3,0),Ci(0,0,V3),D(-2,V3,0),

BC=(-l,V3,0),CC;=(0,-V3,V3),C5=(-2,0,0),

設(shè)平面BCG4的法向量為沅=Oi，yi，zi),

由伴「U得［若+冊L*取以=L則沅=(迎LD

\<CC1-m=0,1―V3yl+V3zi=0,

設(shè)平面CDDiC的法向量為日=(x2,y2,z2),,

由［空工=0,得，屋鏟取1,則完

2

［CG?元=0,t-V3y2+A/3Z2=0,

設(shè)平面BCQB］與平面CDDiG的夾角為

所以cos。=|cos(m,n)|—誓.

18.(17分)(2024.遼寧錦州?模擬預(yù)測)甲、乙兩名圍棋學(xué)員進行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分,

負(fù)者得0分，平局雙方均得。分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已

知每局比賽中，甲獲勝的概率為a,乙獲勝的概率為0,兩人平局的概率為y(a+0+y=l,a>O,￡>O,y2

0),且每局比賽結(jié)果相互獨立.

(1)若a=|，S=|,y=3求進行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；

(2)當(dāng)y=。時，

(i)若比賽最多進行5局，求比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E(X)的最大值；

(ii)若比賽不限制局?jǐn)?shù)，求“甲學(xué)員贏得比賽”的概率(用a,￡表示).

【解題思路】(1)用事件4B,C分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”，“平局”，記“進行4局比賽后甲學(xué)

員贏得比賽”為事件N,則事件N包括事件：力444,4CC4C4C4CC44共5種，即可求解；

(2)(i)由題意得X的所有可能取值為：2,4,5,求出對應(yīng)的概率，列出分布列及求出數(shù)學(xué)期望，并求出最

大值；

(ii)由(1)得前兩局比賽結(jié)果可能有：AA,BB,AB,BA,其中事件A4表示“甲學(xué)員贏得比賽”，事件表示

“乙學(xué)員贏得比賽“，事件力表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時，甲學(xué)

員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同，所以P(M)=P(4A)?1+P(BB)?0+PQ4B)?

P(M)+P(B4)?P(M)即可求解.

【解答過程】(1)用事件4B,C分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”，“平局”，

則P(4)=a=|,P(B)=S=I，P(C)=y=p

記“進行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N,

則事件N包括事件：ABAA,BAAA.ACCA,CACA,CCAA^5種，

所以P(N)=P{ABAA)+P(BAAA)+P(ACCA)+P{CACA)+P{CCAA)

=2P(B)PQ4)PG4)PQ4)+3P(C)P(C)P(A)P(A)

(2)(i)因為y=0,所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝''和"乙獲勝”，即a+0=l,

由題意得X的所有可能取值為：2,4,5,

P(X=2)=a2+儼,

P(X=4)=(a0+pa)a2+(a。+0a)倍=2a隊心+伊)，

P(X=5)=(a/?+0a)?(必+Ba)-1=4a?儼，

所以X的分布列為：

X245

pa2+儼2aBice2+仃)4a2嚴(yán)

所以X的期望為：

E(X)=2(a2+r)+8as(a?+>)+20a2/?2

=2(1-2a￡)+8as(1-2鄧)+20a2s2

=4a2優(yōu)+4a0+2

因為a+/?=122Ja。,所以

等號成立時，a=8=*所以O(shè)<a0w}

所以E(X)=4a2儼+4a/?+2=(2a￡+I)2+1<(2xi+l)2+1=y,

故E(X)的最大值為：y.

22

(ii)記“甲學(xué)員贏得比賽”為事件M,則P(M)=』=』，

由(1)得前兩局比賽結(jié)果可能有：AA,BB,AB,BA,

其中事件A4表示，，甲學(xué)員贏得比賽，，，事件BB表示“乙學(xué)員贏得比賽”，

事件48,84表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，

當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時，甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同，

所以P(M)=P(A4)?14-P(BB)-0+PQ4B)?