難點(diǎn)與解題模型12特殊全等三角形五種熱考模型

題型一：一線(xiàn)三等角模型

題型二：手拉手模型

題型三：倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型

題型四：截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

題型五：半角模型

藉淮提分

題型一：一線(xiàn)三等角模型

高飛7逅廠承

三步模型抽離法

“一線(xiàn)三等角”模型是指有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上構(gòu)成的全等三角形,這個(gè)角可以是直角,也可以是銳角或鈍角，解題

步驟如下：

第一步：依據(jù)特征找模型

特征1：是否存在兩個(gè)三角形共頂點(diǎn)；

特征2:是否存在一條直線(xiàn)上有三個(gè)等角；

特征3:是否存在等線(xiàn)段

第二步：抽離模型

在題圖中抽離出兩個(gè)全等三角形

第三步：利用性質(zhì)解題

利用全等三角形的性質(zhì)解題

常見(jiàn)基礎(chǔ)模型如下：

圖2圖3

(1)如圖1,已知A48￡1和△BCD,AB1BC,AB=BC,CDLBD,AEVBD.用等式寫(xiě)出線(xiàn)段DE,

CO的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,在正方形48CD中，點(diǎn)￡,尸分別在對(duì)角線(xiàn)AD和邊C。上，AELEF,AE=EF.用等式寫(xiě)

出線(xiàn)段BE,AD,￡＞尸的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【模型遷移】

(3)如圖3,在正方形4BCA中，點(diǎn)￡在對(duì)角線(xiàn)8。上，點(diǎn)/在邊C。的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AELEF,AE=EF.用

等式寫(xiě)出線(xiàn)段BE,AD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【典例1-2】(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與實(shí)踐：如圖1,這個(gè)圖案是3世紀(jì)我國(guó)漢代的趙爽在

注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱(chēng)它為"趙爽弦圖"，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線(xiàn)三直角

模型如圖2,在A4BC中，4=90。，將線(xiàn)段繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線(xiàn)段作DE-B交AB

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)￡.

⑴【觀察感知】如圖2,通過(guò)觀察，線(xiàn)段力B與DE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)【問(wèn)題解決】如圖3,連接CD并延長(zhǎng)交48的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸，若4B=2,/C=6,求下的面積;

⑶【類(lèi)比遷移】在⑵的條件下，連接CE交30于點(diǎn)N,則BN黑=;

(4)【拓展延伸】在⑵的條件下，在直線(xiàn)48上找點(diǎn)尸，使tan/Bb2",請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段/尸的長(zhǎng)度.

【典例1-3】（2024?遼寧?中考真題）如圖，在V48c中，ZABC^90°,乙4c3=a（0°<a<45。）.將線(xiàn)段C4

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線(xiàn)段CD,過(guò)點(diǎn)。作。垂足為￡.

⑴如圖1,求證：△/BC義△CED；

⑵如圖2,//CD的平分線(xiàn)與48的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)尸，連接DF,D尸的延長(zhǎng)線(xiàn)與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)尸,

猜想PC與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

⑶如圖3,在（2）的條件下，將△3EP沿4尸折疊，在a變化過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)尸落在點(diǎn)E的位置時(shí)，連接斯.

①求證：點(diǎn)尸是尸D的中點(diǎn)；

②若CD=20,求尸的面積.

【典例1-4】(2024?海南?中考真題)正方形N8C。中，點(diǎn)E是邊8C上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)5、C重合)，Zl=Z2,

AE=EF,AF交CD于點(diǎn)、H,FG，8c交2C延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.

(1)如圖1,求證：AABE知EGF；

(2)如圖2,尸于點(diǎn)尸，交4D于點(diǎn)

①求證：點(diǎn)尸在NN3C的平分線(xiàn)上；

②當(dāng)=加時(shí)，猜想/尸與9的數(shù)量關(guān)系，并證明；

DH

③作加_L4E?于點(diǎn)N,連接MMHE,當(dāng)時(shí)，若45=6,求5E的值.

【典例1-5】(2024?重慶?中考真題)在中，ZACB=90°,AC=BC,過(guò)點(diǎn)B作3D〃/C.

ACGC

圖1圖2

(1)如圖1,若點(diǎn)。在點(diǎn)3的左側(cè)，連接C。，過(guò)點(diǎn)A作4ELCD交3c于點(diǎn)E.若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，求證:

AC=2BD；

(2)如圖2,若點(diǎn)。在點(diǎn)3的右側(cè)，連接4D,點(diǎn)尸是4D的中點(diǎn)，連接8/并延長(zhǎng)交/C于點(diǎn)G,連接CF.過(guò)

后

點(diǎn)尸作FAfL3G交48于點(diǎn)M,CN平濟(jì)NACB交BG于點(diǎn)、N,求證：AM=CN+—BD;

⑶若點(diǎn)。在點(diǎn)8的右側(cè)，連接40,點(diǎn)尸是40的中點(diǎn)，且“尸=/C.點(diǎn)P是直線(xiàn)4C上一動(dòng)點(diǎn)，連接FP,

將尸尸繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到尸0,連接B。，點(diǎn)尺是直線(xiàn)/。上一動(dòng)點(diǎn)，連接QR.在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)

過(guò)程中，當(dāng)5。取得最小值時(shí)，在平面內(nèi)將尺沿直線(xiàn)Q?翻折得到△7。及，連接尸T.在點(diǎn)區(qū)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程

中，直接寫(xiě)出w的最大值.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式1-1](2024?上海寶山?一模)在直線(xiàn)/上放置三個(gè)正方形a,b,c,正方形。的邊長(zhǎng)為3,正方形c的

邊長(zhǎng)為4,則正方形6的面積是.

BE

【變式1-2](2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))如圖，在Rta/BC中，ABLBC,CD//AB,DEJ.AC于點(diǎn),E,

S.AB=CE.求證：ACED義Z\4BC.

4Rk

【變式1-3](2024?甘肅嘉峪關(guān)?二模)矩形/BCD中，0=彳伏＞1),點(diǎn)E是邊8c的中點(diǎn)，連接/E,過(guò)

BC2

點(diǎn)E作AE的垂線(xiàn)EF,與矩形的外角平分線(xiàn)CF交于點(diǎn)F.

(1)(2)

(1)【特例證明】如圖(1),當(dāng)左=2時(shí)，求證：AE=EF；

小明不完整的證明過(guò)程如下，請(qǐng)你幫他補(bǔ)充完整.

Z5=90°,BH=BE,

Z1=Z2=45°,

r.Z^/ffi,=180°-Zl=135°.

:CF平分/DCG,ZDCG=90°,

/.Z3=-ZOCG=45°.

2

:.ZECF=Z3+Z4=135°.

：??…??（只需在答題卡對(duì)應(yīng)區(qū)域?qū)懗鍪Ｓ嘧C明過(guò)程）

（2）【類(lèi)比探究】如圖（2）,當(dāng)后w2時(shí)，求蕓的值（用含左的式子表示）.

【變式1-4］（2024?青海西寧?三模）類(lèi)比探究題：

【建立模型】（1）如圖1,等腰直角三角形48c中，ZACB=90。，CS=G4,直線(xiàn)ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)、C,過(guò)/作，ED

于點(diǎn)D,過(guò)8作BELED于點(diǎn)￡.求證：AACD沿ACBE.

【應(yīng)用模型】（2）如圖2,點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)2是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊作等腰直角

NABC,使NA4C=90。，設(shè)點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為x,點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為乃請(qǐng)寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系.

【拓展拔高】（3）如圖3,矩形4BC。中，AB=3,BC=5,點(diǎn)尸是8C邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸與點(diǎn)8,C

都不重合），現(xiàn)將△尸CO沿直線(xiàn)PD折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)尸處；過(guò)點(diǎn)P作NB尸產(chǎn)的角平分線(xiàn)交48于點(diǎn)￡.設(shè)

BP=x,BE=y,則夕與x的函數(shù)關(guān)系是,BE最大值為.

圖1圖2圖3

題型二：手拉手模型

「籍TMT稼T承

；三步模型抽離法

第一步：依據(jù)特征找模型

特征工：是否存在兩個(gè)等腰三角形；

特征2:是否存在兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且共頂點(diǎn)

第二步：抽離模型

以?xún)蓚€(gè)等腰三角形的腰及對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)圍成的兩個(gè)新三角形全等

第三步：利用性質(zhì)解題

利用全等三角形的性質(zhì)解題

常見(jiàn)基礎(chǔ)模型如下：

圖示D

AB

ABAB

OC在AOAB內(nèi)且拉手線(xiàn)OC在AOAB外且拉手線(xiàn)OC在AOAB外且拉手線(xiàn)

無(wú)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)有交點(diǎn)

條件在等腰△OAB中,OA=OB,在等腰AOCD中,OC=OD,NAOB=NCOD=a,將AOCD

繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一定角度后，連接AC,BD（稱(chēng)為“拉手線(xiàn)”左手拉左手,右手拉右手），若

拉手線(xiàn)有交點(diǎn)，記相交于點(diǎn)，連接OE

結(jié)論LZkAOCg△BOD,AC=BD（即拉手線(xiàn)相等）；

2.EO平分NAED:

3.NAEB=NAOB=a

【中考母題學(xué)方法】

【典例2-1】（2024?新疆?中考真題）【探究】

（1）已知V和V/￡）￡都是等邊三角形.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在2C上時(shí)，連接CE.請(qǐng)?zhí)骄緾4CE和C。之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段3c的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連接CE.請(qǐng)?jiān)俅翁骄緾4CE和。)之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)

明理由.

【運(yùn)用】

(2)如圖3,等邊三角形48c中，48=6,點(diǎn)E在NC上，CE=2內(nèi).點(diǎn)。是直線(xiàn)BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE,

以O(shè)E為邊在DE的右側(cè)作等邊三角形。斯，連接CF.當(dāng)△(?￡尸為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出5。的長(zhǎng).

【典例2-2】(2024?廣西?中考真題)如圖1,V/3C中，05=90°,AB=6.NC的垂直平分線(xiàn)分別交NC,

AB于點(diǎn),M,O,CO平分//C5.

圖2

(1)求證：AABCsACBO；

⑵如圖2,將△NOC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△4OC,旋轉(zhuǎn)角為1(0。＜。＜360。).連接4〃，C'M

①求△4MU面積的最大值及此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)，并說(shuō)明理由；

②當(dāng)是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角4的度數(shù).

【典例2-3】（2024?山東泰安?中考真題）如圖1,在等腰Rt448C中，ZABC=90°,AB=CB,點(diǎn)D,￡分

別在CB上，DB=EB,連接/E,CD,取4E中點(diǎn)尸，連接3F.

圖1

⑴求證：CD=2BF,CDLBF；

（2）將AZ）5E繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.

①請(qǐng)直接寫(xiě)出BF與CD的位置關(guān)系:

②求證：CD=2BF.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式2-1］（2024?浙江寧波?二模）如圖V/2C與V/DE均為等腰直角三角形，AD=^AB=a,直線(xiàn)&D與

直線(xiàn)CE交于點(diǎn)P,在V/2C與V/DE繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，P到直線(xiàn)8C的距離的最小值為（）

C.-yfiaD.—

64

【變式2-2］（2024?吉林長(zhǎng)春?二模）如圖，點(diǎn)C為線(xiàn)段上一點(diǎn)，△D/C、AECB都是等邊三角形，AE.

OC交于點(diǎn)M,DB、EC交于點(diǎn)N,DB、/E交于點(diǎn)P,連結(jié)給出下面四個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N〃AB；

②NDPM=60。；③N/EB=90。；?ACM@DCN.上述結(jié)論中，一定正確的是（填所有正確結(jié)

論的序號(hào)）.

【變式2-3］（2023?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個(gè)三角板抽

象成如圖2所示的VN8C和其中/氏4。=/瓦4。=90。，點(diǎn)3、C、E依次在同一條直線(xiàn)上，連結(jié)

CD.若8c=4,CE=2,則△DCE的面積是.

圖1圖2

【變式2-4］（2024?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)。是正方形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，A￡FG是等腰直角三

角形，EG=FG,NEGF=90。，當(dāng)A￡FG的頂點(diǎn)G在線(xiàn)段NC（不與A,C重合）上繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，

直角邊EG交邊/。于點(diǎn)直角邊尸G交邊C。于點(diǎn)N.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí)，求證：EM=FN；

（2）如圖2,當(dāng)CG=〃/G（〃為正整數(shù)，"/1）時(shí)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,

①請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段GW,GN之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②若AD=a,CN=b,求工〃的長(zhǎng)(用含。，b的代數(shù)式表示).

題型三：倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型

「■?一?*一■■一■■一■,一?■一■■一■?一??一??一?■一■?一??一?■?一??一??一??一??一?■一■

!指I點(diǎn)I迷I津

1倍長(zhǎng)中線(xiàn)

E

圖一

方法一：直接倍長(zhǎng)法：

如圖一，在A43。中，D為BC中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)至E,使AD=ED,連接BE,

則AADCsAEDB(SAS)

A

7

E

圖二

如圖二，在A43C中，D為BC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B、C作BE、CF垂直于AD,垂足分別為E、F,

則A5EQ三ACT^(AAS)

r

A

圖三

!方法二：間接倍長(zhǎng)法（2）：

如圖三，在A48C中，D為BC中點(diǎn)，M為AB上一點(diǎn)，連接MD并延長(zhǎng)至點(diǎn)N,使DN=DM,連

接CN,則AMD5三AWC（SAS）

i3、過(guò)端點(diǎn)向中線(xiàn)作垂線(xiàn)

基本圖形：如下圖，在AABC中，D為BC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B、C作BE、CF垂直于AD,垂足分別為E、F,

則A5EQsACED（AAS）

A

7

E

【中考母題學(xué)方法】

【典例3-1】（山東泰安?中考真題）若V/2C和△/￡￡＞均為等腰三角形，S.ZBAC=ZEAD=90°.

圖（2）

（1）如圖（1）,點(diǎn)B是。E的中點(diǎn)，判定四邊形2E/C的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）如圖（2）,若點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)，連接G8并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使CB=CO.求證：①EB=DC,②

NEBG=ZBFC.

【典例3-2】（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）輔助線(xiàn)是解決幾何圖形問(wèn)題的利劍，合理添加輔助線(xiàn)，會(huì)使問(wèn)題變

得簡(jiǎn)單，下表給出了三角形中幾個(gè)常見(jiàn)利用中點(diǎn)添加輔助線(xiàn)的模型，請(qǐng)根據(jù)要求解決問(wèn)題.

2.等腰三角形+底邊中3.直角三角形+斜邊中

題眼1.普通三角形+中點(diǎn)4.兩個(gè)中點(diǎn)

點(diǎn)點(diǎn)

A_______EA

L3A

大致圖形

上BC

/A

BCBDC

輔助線(xiàn)名

倍長(zhǎng)中線(xiàn)三線(xiàn)合一斜邊中線(xiàn)中位線(xiàn)

稱(chēng)

延長(zhǎng)8。到點(diǎn)￡,

具體做法連接AD連接CD連接DE

使DE=BD,連接/￡

Z\AED^/\CBDAD1BC

產(chǎn)生效果①②

AE//BCABAD=ACAD

A

BDCAEMNC

圖①圖②

（1）請(qǐng)?jiān)冖?，②中任選擇一個(gè)填空:

你選擇的是，產(chǎn)生效果是.（產(chǎn)生效果寫(xiě)一個(gè)或兩個(gè)）

⑵如圖①，在三角形中，4D是V4BC的一條中線(xiàn)，48=5,/。=3,/。=2,求8C的長(zhǎng).

⑶如圖②，在V4BC中，44=30。,/。=90。,48=4,點(diǎn)M,N是邊NC上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，以為邊在

V/8C內(nèi)部（包括邊界）作等邊三角形APMN,點(diǎn)E,尸分別是aM的中點(diǎn)，當(dāng)APMN的周長(zhǎng)取最大

值時(shí)，求線(xiàn)段所的長(zhǎng).

【典例3-3】（2024?吉林長(zhǎng)春?一模）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣的一個(gè)問(wèn)題:

如圖①，在V/BC中，AB=6,AC=8,第三邊上的中線(xiàn)/O=x,則無(wú)的取值范圍是.

【探究方法】小明同學(xué)通過(guò)組內(nèi)合作交流，得到了如下解決方法：

（1）如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)4,使得的'=/〃，連結(jié)/'C,根據(jù)"SAS”可以判定八4a）絲__________,

得出4c=4B=6.在△44，C中，HC=6,AC=8,AA'=2x,故中線(xiàn)4D的長(zhǎng)x的取值范圍是.

【活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)】當(dāng)條件中出現(xiàn)"中點(diǎn)"，"中線(xiàn)"等條件時(shí)，可以考慮將中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散

的已知條件和所求的問(wèn)題集中到同一個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問(wèn)題，這種作輔助線(xiàn)的方法叫做"倍長(zhǎng)中線(xiàn)”法.

【問(wèn)題解決】（2）如圖③，已知NB=/C,AD=AE,ZBAE+ZCAD=1SQ°,連接BE和。，點(diǎn)廠是CD

的中點(diǎn)，連接人尸.求證：5￡=24尸.小明發(fā)現(xiàn)，如圖④，延長(zhǎng)/尸至點(diǎn)H,使而=/尸，連接4。，通過(guò)

證明義A。/'/,可推得8￡=44'=2/尸.

下面是小明的部分證明過(guò)程:

證明：延長(zhǎng)4尸至點(diǎn)4,使而=/尸，連接HD,

:點(diǎn)尸是CD的中點(diǎn),

CF=DF.

VAF=A'F,ZAFC=ZA'FD,

：.AACF^AA'DF(SAS),

AA'D=AC,ZA'DF=ZACF,

：.A'D//AC,NA'DA+ZCAD=180°.

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程.

【問(wèn)題拓展】（3）如圖⑤，在V/3C和中，AB=AE,AC=AF,482。+/胡尸=180。，點(diǎn)初,

N分別是BC和EF的中點(diǎn).若BC=4,EF=6,則MN的取值范圍是.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式3-1］（2023?黑龍江大慶?三模）如圖，四邊形中，NABD=NBDE=9Q°,C為邊BD上一點(diǎn)、,

連接NC,EC,M為/E的中點(diǎn)，延長(zhǎng)8M交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)廠，4C交BM于點(diǎn)G,連接。M交CE于點(diǎn)H.

（1）求證；

{2}^AB=BC,DC=DE,求證：四邊形MGC”為矩形.

【變式3-2］（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】

如圖1,在RtZk/BC中，NBAC=90。,仙=AC,點(diǎn)、D,E分別在邊力B,/C上，AD=AE,連接DE,CD,

BE,P為CD的中點(diǎn)，連接AP.

E

圖1圖2圖3

【數(shù)學(xué)思考】

（1）線(xiàn)段4P與的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由.

【猜想證明】

（2）若把V/DE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，猜想（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證

明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出新的結(jié)論并說(shuō)明理由.

【深入探究】

（3）若把VNOE繞點(diǎn)/逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖3的位置，若N是的中點(diǎn)，連接/N,若4N=1,直接寫(xiě)

出CD的長(zhǎng).

【變式3-3](2024?重慶蒙江?二模)在等邊V48c中，。為8C邊上一點(diǎn)，DE，AC于E.

(1)如圖1,若/B=6,BD=2,求cos/NDE的值；

(2)如圖2,線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)交。E于尸，點(diǎn)G為4D的中點(diǎn)，連接8G,BF,GF,求證：BGfGF;

⑶如圖3,將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線(xiàn)段DM,點(diǎn)、N為BC邊上點(diǎn)D右邊一動(dòng)點(diǎn),連接BM、MN,

當(dāng)8M+血W取得最小值時(shí)，直接寫(xiě)出四:形3團(tuán)的值.

3AMe

題型四：截長(zhǎng)補(bǔ)短法

『指I,百I(mǎi)迷I津

"截長(zhǎng)補(bǔ)短法”是初中幾何題中一種添加輔助線(xiàn)的方法，也是把幾何題化難為易的一種靠略，截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊

上截取一條線(xiàn)段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過(guò)延長(zhǎng)或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問(wèn)題.

截長(zhǎng)或補(bǔ)短后，如果出現(xiàn)的全等三角形或特殊三角形能推動(dòng)證明，那么輔助線(xiàn)是成功的，否則，就應(yīng)該換

I

;一個(gè)截長(zhǎng)或補(bǔ)短的方式，甚至換一種解題思路.

方法截長(zhǎng)法補(bǔ)短法

條件在AABC中AD平分/84。/。=2/8,求證：AB=AC+CD

圖示A4

B〃<、、；

，‘

方法在AB上截取4E=AC,連接DE延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E,使CO=CE,連接DE

結(jié)論AACD^AAEDMBD^/^AED

△DEB是等腰三角形△CDE是等腰三角形

【中考母題學(xué)方法】

【典例4-1】（2024?黑龍江牡丹江,中考真題）數(shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個(gè)問(wèn)題，讓同學(xué)們探究.在

中，44cs=90。,/A4c=30。，點(diǎn)。在直線(xiàn)BC上，將線(xiàn)段ND繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線(xiàn)段,過(guò)點(diǎn)E

炸EF〃BC,交直線(xiàn)48于點(diǎn)？

（1）當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC上時(shí)，如圖①，求證：BD+EF=AB；

分析問(wèn)題：某同學(xué)在思考這道題時(shí)，想利用ND=NE構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在上截取=

連接DW,通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，最終證出結(jié)論：

推理證明：寫(xiě)出圖①的證明過(guò)程：

探究問(wèn)題：

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段8c的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段C2的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖③，請(qǐng)判斷并直接

寫(xiě)出線(xiàn)段AD,EF,之間的數(shù)量關(guān)系；

拓展思考：

(3)在(1)(2)的條件下，若4。=6百，CD=2BD,貝|跖=.

【典例4-2】如圖，△A8C和△是等腰三角形，S.AB=AC,BD=CD,NBAC=80。，NBDC=100。，以

D為頂點(diǎn)作一個(gè)50。角，角的兩邊分別交邊力B,4C于點(diǎn)E、F,連接EF,點(diǎn)E、F分別在48、CA延長(zhǎng)線(xiàn)上，

則BE、EF、FC之間存在什么樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由.

E

D

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式4-1】課堂上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：

圖2

圖1

圖3圖4

如圖1,在“3C中，平分交3C于點(diǎn)D,^.AB+BD=AC,求證：ZABC=2ZACB,小明的方

法是：如圖2,在NC上截取4E,使4E=4B,連接。E,構(gòu)造全等三角形來(lái)證明.

⑴小天提出，如果把小明的方法叫做"截長(zhǎng)法"，那么還可以用“補(bǔ)短法"通過(guò)延長(zhǎng)線(xiàn)段構(gòu)造全等三角形進(jìn)

行證明.輔助線(xiàn)的畫(huà)法是：延長(zhǎng)至F,使昉=,連接。尸請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線(xiàn)的畫(huà)法，并在

圖1中畫(huà)出相應(yīng)的輔助線(xiàn)；

(2)小蕓通過(guò)探究，將老師所給的問(wèn)題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問(wèn)題：

如圖3,點(diǎn)。在AABC的內(nèi)部，AD,BD,CD分別平分/胡C,ZABC,ZACB,且4B+AD=/C.求證：

48C=24CS.請(qǐng)你解答小蕓提出的這個(gè)問(wèn)題(書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程)；

⑶小東將老師所給問(wèn)題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：

如果在“3C中，ZABC=2ZACB,點(diǎn)。在邊3c上，AB+BD=AC,那么40平分/A4c小東判斷這個(gè)

命題也是真命題，老師說(shuō)小東的判斷是正確的.請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明.

【變式4-2］如圖，正方形/BCD中，E是8c的中點(diǎn),交/DCE外角的平分線(xiàn)于下.

(2)如圖，當(dāng)E是BC上任意一點(diǎn)，而其它條件不變,/E=EF是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成

【變式4-3】如圖，"BC為等腰直角三角形，AB=AC,/BAC=90。，點(diǎn)。在線(xiàn)段AB上，連接CD,ZADC

=60。，AD=2,過(guò)C作CE_LCD,且CE=C。，連接DE,交BC于F.

(1)求ACDE的面積；(2)證明：DF+CF=EF.

E

ADB

【變式4-4］在△4BC中，BE,CD為AABC的角平分線(xiàn)，BE,CD交于點(diǎn)F.

(1)求證：N8FC=90°+[4力；

(2)已知乙4=60°.

①如圖1,若8。=4,BC=6.5,求CE的長(zhǎng);

②如圖2,若BF=4C,求NAEB的大小.

圖1圖2

題型五：半角模型

「藉TATIT承

I---------------------------------------------------------

半角模型

X1已知：AABC是等邊三角形，。為A4BC外一點(diǎn)，

/\ZBDC=120°,BD=CD,點(diǎn)、E,F分別在AB,AC上，

等邊三角形含

/\TV/EDF=60°.

半角6\(

結(jié)論1：EF=BE+CF,

D

/DEB=NDEF,ZDFC=ZDFE.

11）已知：四邊形ABC。是正方形，點(diǎn)E,F分別在BC,CD

正方形含半角上，ZEAF=45Q.

\/結(jié)論2：EF=BE+DF,

8ECZAEB=ZAEF,NAFD=NAFE.

1已知：AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,

等腰直角三角

點(diǎn)D,E在BC上，ZDAE=45°.

形含半角////ww

B/)EC結(jié)論3：DE2=BD2+CE2.

【中考母題學(xué)方法】

【典例5-1］（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知V/BC是等腰三角形，AB=AC,AMAN=-ABAC,

2

NM4N在/A4c的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在BC上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線(xiàn)段BM、NC、之間的數(shù)量關(guān)

系.

（1）如圖①，當(dāng)N8NC=90。時(shí)，探究如下：

由NB/C=90。，4B=/C可知，將繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得至黑489，貝!ICN=5P且NPBM=90。，

連接PM,易證△4WP也△㈤W,可得"P=ACV,在Rt△尸即/中，BM-+BP1=MP\則有

BM2+NC2^MN2.

（2）當(dāng)NB/C=60。時(shí)，如圖②：當(dāng)N8/C=120。時(shí)，如圖③，分別寫(xiě)出線(xiàn)段8M、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)

系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明.

【典例5-2】（2024?四川樂(lè)山?中考真題）在一堂平面幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問(wèn)題:

【問(wèn)題情境】

如圖1,在V/BC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。、￡在邊BC上，且/ZU￡=45。，BD=3,CE=4,

求DE的長(zhǎng).

解：如圖2,將繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△/C。，連接ED.

由旋轉(zhuǎn)的特征得=ZB=ZACD',AD^AD'<BD=CD'.

VABAC=90°,ADAE=45°,

ZBAD+ZEAC=45°.

'：ABAD=ACAD',

AZCAD'+ZEAC=45°,即NENO=45°.

???ZDAE=AD'AE.

在ADAE和△ONE1中，

4Q-AD',/DAE=ND'AE，AE=AE,

①.

DE=D'E-

又：ECD'ECAACD'ECAB90°,

.?.在RtZ\EC。中，②.

,:CD'=BD=3,CE=4,

/.DE=D'E=③.

【問(wèn)題解決】

上述問(wèn)題情境中，"①"處應(yīng)填：；"②"處應(yīng)填：;"③"處應(yīng)填：.

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以

不變應(yīng)萬(wàn)變.

【知識(shí)遷移】

如圖3,在正方形4BCD中，點(diǎn)￡、尸分別在邊8C、CD±,滿(mǎn)足4CE尸的周長(zhǎng)等于正方形/BCD的周長(zhǎng)的

一半，連結(jié)/￡、AF,分別與對(duì)角線(xiàn)5。交于M、N兩點(diǎn).探究現(xiàn)公MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明.

【拓展應(yīng)用】

如圖4,在矩形4BCZ）中，點(diǎn)￡、尸分別在邊3C、CD上,且NE4F=NCEF=45。.探究BE、EF、Z用的數(shù)

量關(guān)系：（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）.

【問(wèn)題再探】

如圖5,在V/2C中，ZABC=90°,AB=4,8C=3,點(diǎn)￡在邊NC