重難點(diǎn)10輕松解決空間幾何體的體積問題

【題型歸納目錄】

題型一：直接法

題型二：割補(bǔ)法

題型三：換底法

題型四：祖迪原理

【典型例題】

題型一：直接法

【典例1-1】(2024?高三?四川?期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面平面

ABCD,△口是邊長(zhǎng)為2的正三角形，延長(zhǎng)DP至點(diǎn)E,使得尸為線段DE的中點(diǎn).

(1)證明：3E7/平面PAC.

(2)若ACLPB,求四棱錐E—ABCD的體積.

【典例1-2】(2024.高三.內(nèi)蒙古錫林郭勒盟.期末)如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面ABCD,

AB//CD,NCZM=60。，AB=2AD=2CD=S,尸為棱SA上的一點(diǎn)，且AP=2尸S=4.

D——C

(1)證明：SC〃平面。尸3；

⑵求四棱錐S-ABCD的體積.

【變式1-1](2024.高二.陜西咸陽?階段練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是正方形，且尸B=PD.

⑴若叢，平面ABCD,AB=2PA=2,求三棱錐P-BCD的體積;

(2)求證：BD1PC.

題型二：割補(bǔ)法

【典例2-1】(2024?全國?高三專題練習(xí))在多面體ASBCGA中，四邊形BCC內(nèi)為矩形，。，M分別為

AC,BC的中點(diǎn)，4S/AB用，\S=^BBX,CCX=8,A瓦=^G=4,幺與G=90°.

(1)求多面體ASBCG瓦的體積;

(2)求三棱錐瓦的體積.

【典例2-2】(2024?廣東東莞?高一校考階段練習(xí))如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CD-A耳GR中，截去三

棱錐4-A8。，求

（i）截去的三棱錐4-AB。的表面積；

（2）剩余的幾何體AB￡2-DBC的體積.

【變式2-1］（2024?遼寧沈陽?高二學(xué)業(yè)考試）過棱長(zhǎng)為2的正方體的三個(gè)頂點(diǎn)作一截面，此截面恰好切去

一個(gè)三棱錐，則該正方體剩余幾何體的體積為（）

題型三：換底法

【典例3-1】（2024.高一.湖南張家界.期中）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，ZABC=ZACD=90°,

ZBAC=ZCAD=6O°,R4_L平面ABC。，PA=2,AB=1.設(shè)M,N分別為PD,AD的中點(diǎn).

（1）求證：平面C^W〃平面E4B；

（2）求三棱錐C-PAB的體積.

【典例3-2】（2024.高三.四川成都.期末）如圖，四棱錐P-ABCD中，AD//BC,BCLCD,

BC=2CD=2.AD=272,平面ABCD4平面PAC.

p

(1)證明：PC1AB；

(2)若PA=PC=^AC,M是叢的中點(diǎn)，求三棱錐C-P3M的體積.

2

【變式3-1](2024?高三?全國?階段練習(xí))如圖，在五面體MCDE中，四邊形A3CD的對(duì)角線AC/D交于

4J3

點(diǎn)尸，AABC為等邊三角形，AB±AD,BC±CD,AE=CE=*,AB=2.

3

⑴證明：AC_L平面3OE；

(2)若求五面體的體積.

題型四：祖晅原理

【典例4-1】(2024?高一?安徽合肥?期中)我國古代數(shù)學(xué)家祖唯求幾何體的體積時(shí)，提出一個(gè)原理：塞勢(shì)即

同，則積不容異.意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)等高的幾何體被平行于這兩個(gè)面的平面去截，若

截面積相等，則兩個(gè)幾何體的體積相等，這個(gè)定理的推廣是：夾在兩個(gè)平行平面間的幾何體，被平行于這

兩個(gè)平面的平面所截，若截得兩個(gè)截面面積比為上則兩個(gè)幾何體的體積比也為左.已知線段長(zhǎng)為4,

直線/過點(diǎn)A且與A2垂直，以B為圓心，以1為半徑的圓繞/旋轉(zhuǎn)一周，得到環(huán)體/；以A,B分別為上

下底面的圓心，以1為上下底面半徑的圓柱體N；過AB且與/垂直的平面為夕，平面&〃￡，且距離為〃，

若平面a截圓柱體N所得截面面積為每，平面a截環(huán)體M所得截面面積為邑，我們可以求出"的比值，

進(jìn)而求出環(huán)體M體積為

【典例4-2］（2024?高一?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）祖眶Cgeng）（5世紀(jì)—6世紀(jì)），字景爍，祖沖之之子，范陽

郡道縣（今河北省流水縣）人，南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家.他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了下面的體

積計(jì)算原理：“塞勢(shì)既同，則積不容異”.這就是“祖晅原理”.用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個(gè)平行平面之間

的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積

相等”.例如可以用祖晅原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，半徑為R的半球與底面半徑和高都為R的圓柱放

置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為R,高為R的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)

平行于底面的平面a去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體

2

的體積相等.若球心到平面a的距離為則平面a截半球所得的較小部分的幾何體的體積等

【變式4-1］（2024?江西九江?二模）根據(jù)祖眶原理，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于

這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖1所示，一個(gè)容器

是半徑為R的半球，另一個(gè)容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個(gè)底面半徑和高均為R的圓錐，這兩

個(gè)容器的容積相等.若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同.如圖2,一個(gè)

圓柱形容器的底面半徑為4cm,高為10cm,里面注入高為1cm的水，將一個(gè)半徑為4cm的實(shí)心球緩慢放入

容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為cm.（注：次、1.26）

圖1圖2

【過關(guān)測(cè)試】

1.（2024.高二.貴州六盤水?期末）我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖唯提出了一個(gè)原理：“累勢(shì)既同，則積不容

異”.也就是說“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩

個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.現(xiàn)有某幾何體和一個(gè)圓錐滿足祖晅原理的條件，若

該圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4的半圓，則該幾何體的體積為.

2.（2024.四川瀘州.三模）如圖，已知直四棱柱■的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，E,尸分別

為AA，A8的中點(diǎn).

G

（1）求證：直線CF、ZM交于一點(diǎn);

⑵若M=4,求多面體BCDtEF的體積.

3.（2024?高一?陜西西安?期中）如圖甲，在直角三角形ABC中，已知ABLBC,3c=4,AB=8,D,E分別

是AS,AC的中點(diǎn).將△AOE沿。E折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A的位置，且平面其￡>￡，平面。8CE,連接

得到如圖乙所示的四棱錐A-O8CE，M為線段AQ上一點(diǎn).

⑴證明：平面。BCE；

（2）過B,C,〃三點(diǎn)的平面與線段4石相交于點(diǎn)N,直線EM與2C所成角的大小為45。，求三棱錐

A-BCN的體積.

4.（2024.高一.陜西渭南.期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD人平面ABEF,

AF//BE,AB±BE,BE=2,AF=1.

⑴求證：AC_L平面5￡>E；

（2）求三棱錐a-zxy的體積.

5.（2024?高一?福建寧德?階段練習(xí)）點(diǎn)￡,P分別是邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD的邊AB,3C的中點(diǎn)，沿圖

1中的虛線DE,EF,FD將VAZ）E,ABEF,ACDF,折起使A,B,C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為點(diǎn)

P,如圖2.

（1）頂點(diǎn)尸在平面DE尸內(nèi)的正投影為點(diǎn)。，點(diǎn)0在平面尸EF的正投影為點(diǎn)連接并延長(zhǎng)交E尸于點(diǎn)

G證明：G是E尸的中點(diǎn)；

（2）作出點(diǎn)M在平面尸的上的正投影R（說明做法的理由）并求四面體PQMR的體積

6.（2024?高一.湖南永州?階段練習(xí)）如圖，四棱錐P-AfiCD的底面為正方形，底面ABCD設(shè)平面

PAD與平面PBC的交線為I.

p

⑴證明：△平面PDC；

(2)0為/上的一點(diǎn)，當(dāng)PD=45=2時(shí)求三棱錐。-ABC的體積;

7.(2024.高一.廣東深圳?期中)如圖，在三棱柱ABC-A耳G中，側(cè)面ACQA為菱形，ZA,AC=60°,

AC=2,側(cè)面為正方形.點(diǎn)M為4C的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)7/為AC的中點(diǎn)，且

1AB.

⑴證明：〃平面BCG瓦；

(2)證明：3C1平面ACGA；

(3)求三棱錐A-ABG的體積

8.(2024.高三.河南?階段練習(xí))己知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形，陽，平面ABCD,

TT

PD=AD=CD=2,ZBAD=-,E為尸C上一點(diǎn).

p

(1)平面P4Dc平面25C=/,證明：BC//1.

jr

(2)當(dāng)直線BE與平面BCD的夾角為二時(shí)，求三棱錐P—BDE的體積.

9.(2024?高一.北京密云.期末)如圖，在四棱柱ABCD-A4GA中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱

抽，平面ABCD,例=2,M是。A的中點(diǎn).

⑴求證：22〃平面AWC；

(2)證明：AC1BD,；

(3)求三棱錐3-M4c的體積.

10.(2024?高一?黑龍江大慶.期末)在四棱錐P-/1BCD中，平面ABCD,四邊形A8CD是ZZMB=60。

的菱形，上4=AB=2,點(diǎn)〃是PC的中點(diǎn).

⑴證明：B4〃平面MD8；

(2)求三棱錐尸-ADM的體積.

11.(2024?高一?河南許昌?階段練習(xí))如圖，正方體ABCD-A宣C。'的棱長(zhǎng)為°,連接

AC',A'D,AB,BD,BC',C'D,,得到一個(gè)三棱錐；求：

(1)三棱錐A-BCD的表面積與正方體表面積的比值;

⑵三棱錐A-3C'。的體積.

12.(9-10高二下?廣東佛山?期末)如圖，在三棱柱ABC-A/￡中，AC=3,BC=4,A5=5,

例=4,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，CG，平面ABC.

(1)求證：AC±BC、

(2)求證：AG//平面C。與；

⑶求三棱錐G-瓦。的體積.

13.（2024?高一.福建福州?期末）如圖，正方形A8C。中，點(diǎn)