第12講傾斜角與斜率5種常見考法歸類

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

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1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計

算公式.

豳基礎(chǔ)知識'

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知識點1直線的傾斜角

1.傾斜角的定義

當(dāng)直線/與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，尤軸正向與直線/向上的方向之間所成的角a叫做直線/的

傾斜角.如圖所示，直線/的傾斜角是/A網(wǎng),直線/'的傾斜角是NBPx.

ITT

2.傾斜角的范圍

直線的傾斜角a的取值范圍是0°Wa<180°,并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.

注：①每一條直線都有一個確定的傾斜角

②已知直線上一點和該直線的傾斜角，可以唯一確定該直線

知識點2直線的斜率

1.斜率的定義

一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率.常用小寫字母上表示，即％=tana（aw90°）.

2.斜率公式

經(jīng)過兩點P1（X1,yi）,P2（X2,丫2）（尤1#尬）的直線的斜率公式為左=￡二￡.當(dāng)?shù)?無2時，直線沒有斜率.

注：①若直線/經(jīng)過點尸1（為，男）,。2（%2，、2）（即分2），則直線尸1尸2的方向向量P1P2的坐標(biāo)為（%2—即，丁2一％），

也可表示為（1,k）,其中「自

②傾斜角a不是90。的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；當(dāng)石=%時，直線與％軸垂

直，直線的傾斜角（z=90°，斜率不存在；當(dāng)％=為時，斜率左=0,直線的傾斜角。=0°,直線與x

軸重合或者平行

③斜率公式與兩點坐標(biāo)的順序無關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時調(diào)換

知識點3斜率與傾斜角的聯(lián)系

傾斜角a

。=0°0°<a<90°a=90°90°<c<180°

（范圍）

斜率k

k=Qk>Q人不存在k<Q

（范圍）

"電解題策面）

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1、求直線的傾斜角的方法及兩點注意

（1）方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角.

（2）兩點注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°,當(dāng)直線與x軸垂直時，傾斜角為90°.

②注意直線傾斜角的取值范圍是0°Wa<180°.

2、利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項

（1）運用公式的前提條件是“X1WX2”，即直線不與X軸垂直，因為當(dāng)直線與X軸垂直時，斜率是不存在的;

（2）斜率公式與兩點P1，己的先后順序無關(guān)，也就是說公式中的XI與X2,M與以可以同時交換位置.

3、在0。^a<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.

傾斜角a0°30°45°60°120°135°150°

斜率左0亞1-1—近

3小一小3

4、斜率與傾斜角的關(guān)系

（1）由傾斜角（或范圍）求斜率（或范圍）利用定義式左=tana（aW90°）解決.

（2）由兩點坐標(biāo)求斜率運用兩點斜率公式自⑴*⑼求解.

Q考點剖析

—IHlIlllllltlllllllllllllllllllllllllllll

考點一：求直線的傾斜角

例1.（2023秋?江西九江?高二?？茧A段練習(xí)）直線的傾斜角a的取值范圍是（

A.(0,7t)B.[0,7t)C.(0,兀]D.。兀］

【答案】B

【分析】利用直線傾斜角的定義得解.

【詳解】直線的傾斜角a的取值范圍是。兀）.

故選:B.

變式1.（2023秋?高二課時練習(xí)）對于下列命題：①若夕是直線/的傾斜角，則0。<e<180。；②若直線傾

斜角為a,則它斜率左=tana；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定

有傾斜角.其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】通過直線的傾斜角的范圍判斷①的正誤；直線的斜率的定義，判斷②的正誤；直線的斜率與傾斜

角的關(guān)系判斷③和④的正誤.

【詳解】對于①：若。是直線的傾斜角，則0。<6<180。；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；

對于②：直線傾斜角為a且￡工90。，它的斜率左=tana；傾斜角為90。時沒有斜率，所以②錯誤；

對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因為傾斜角為90。時沒有斜率，所以③正確；④錯誤；

其中正確說法的個數(shù)為2.

故選：B.

變式2.（2023春.上海黃浦.高二格致中學(xué)?？计谥校┤糁本€/的一個方向向量為卜1,6）,則它的傾斜角為

（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】由題意，求出直線的斜率，從而得出結(jié)果.

【詳解】依題意，卜Lg）是直線/的一個方向向量，

所以直線/的斜率k=-6，

所以直線/的傾斜角為120。.

故選：C.

變式3.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知直線4的傾斜角4=15。，直線4與4的交點為A,直線4和4向上

的方向所成的角為120。，如圖，則直線4的傾斜角為.

【分析】根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，結(jié)合直線傾斜角的定義可得出直線4的傾斜角.

【詳解】設(shè)直線4的傾斜角為%,因為4和4向上的方向所成的角為120。，

所以,ZBAC=120°,故%=120°+%=120°+15aHi350.

故答案為：135。.

變式4.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）如圖，直線/的傾斜角為（）

A.60°B.120°

C.30°D.150°

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形結(jié)合三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和可求得結(jié)果.

【詳解】由題圖易知/的傾斜角為45。+105。=150。.

故選：D

變式5.【多選】（2023秋?高二課時練習(xí)）若直線I與x軸交于點A,其傾斜角為e,直線/繞點A順

時針旋轉(zhuǎn)45。后得直線4，則直線4的傾斜角可能為（）

A.2+45°B.a+135。C.?-45°D.135。-々

【答案】BC

【分析】由傾斜角的定義，分類討論作出圖形，數(shù)形結(jié)合分析即可.

【詳解】解析：當(dāng)［245。時，直線4的傾斜角為￡-45°（如直線AC旋轉(zhuǎn)至直線A。）；

當(dāng)0?！?<45。時，直線4的傾斜角為180。-（45。-&）=135。+a（如直線AD旋轉(zhuǎn)至直線AB）.

故選：BC.

變式6.(2023?高二課時練習(xí))直線x+l=0與直線x+y-5=0的夾角為

【答案】v

4

【分析】分析兩條直線的傾斜角，即可得夾角大小.

【詳解】直線x+i=o的傾斜角為力IT直線尤+y-5=o的斜率為_1,傾斜角為3邛7r,

24

所以兩條直線的夾角為手-g=

424

故答案為：

4

考點二：求直線的斜率

。^例2.(2023秋?湖南婁底?高二統(tǒng)考期末)已知直線的傾斜角是則此直線的斜率是(

A.BB.-73C.73D.±73

2

【答案】C

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.

【詳解】因為直線的傾斜角是:，

所以此直線的斜率是tan三=6.

故選:C.

變式1.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率.

(1)4(2,3),3(4,5)；

(2)C(-2,3),D(2,T)；

⑶尸(-3,1),0(-3/0).

【答案】(1)存在，1

(2)存在，-1

(3)不存在

【分析】根據(jù)兩點的坐標(biāo)，即可求出過兩點的直線斜率是否存在，以及斜率的值.

【詳解】(1)由題意，存在，直線的斜率配=2|=1.

(2)由題意得，存在，直線CD的斜率J=2二=T?

(3)'/xp=XQ=-3

，直線PQ的斜率不存在.

變式2.(2023秋?天津南開?高二崇化中學(xué)校考期末)已知直線/的一個方向向量為日=(-1,、③，則直線/的

斜率為()

A.1B.73C.BD.-石

3

【答案】D

【分析】利用直線的方向向量與斜率的關(guān)系，即可求出答案.

【詳解】因為直線/的一個方向向量為a=(-1,/，所以直線/的斜率左=走=-右.

-1

故選：D.

變式3.(2023?全國?高二專題練習(xí))如圖，已知直線4,心。的斜率分別為匕狀2，匕，則()

A.k1<k2<k3B.k3<kx<k2

C.k3<k2<kxD.k{<k3<k2

【答案】D

【分析】由題圖，利用直線的斜率和傾斜角的關(guān)系求解.

【詳解】解：設(shè)直線4,4,4的傾斜角分別為%，4，%,

由題圖知，直線乙的傾斜角由為鈍角，，匕<。.

又直線k4的傾斜角?2,?3均為銳角，且%>%，

,0<k3<k2,

/.kx<k3<k2.

故選：D.

變式4.（2023秋?江西?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的斜率為3,則該

等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為,.

【答案】一2g/0.5

【分析】由已知結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系及兩角和與差的正切公式可求.

【詳解】解：設(shè)等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的傾斜角為a,則tana=3,

由題意得該等腰直角三角形兩腰所在直線的傾斜角分別為々+45。，a-45°,

因為tan（a+45°）=tana+tan45。tan（a-45。）=蚪S近=」，

11-tanortan4501-3x11+tancrtan4502

所以該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為為-2,

故答案為：-2,g.

變式5.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABC。四邊所在直線與x

軸的交點分別為（0,0）,（L0）,（2,0）,（4,0）,則正方形ABCD四邊所在直線中過點（0,0）的直線的斜率可以是（）

331

A.2B.—C.—D.一

244

【答案】ABD

【分析】假設(shè)A8所在的直線過點（。刀），分類討論8所在的直線所過的點，結(jié)合圖象分析運算.

【詳解】因為選項斜率均為正值，不妨假設(shè)A3所在的直線過點（。,。），

設(shè)直線A3的傾斜角為ae/g）,斜率為左,

①若8所在的直線過點（1,0）,如圖，可得8C=sina,CD=2cosa,

因為3C=CD,即sinc=2cosa,貝！J《=tana=2；

②若8所在的直線過點（2,0）,如圖，可得3C=2sina,CD=3cosa,

,3

因為5C=CD,即2sinc=3cosc,貝ij%=tana=一；

2

③若8所在的直線過點（4,0）,如圖，可得3C=4sina,CD=cosa,

【點睛】關(guān)鍵點睛：假設(shè)所在的直線過點（0,0）,分類討論CD所在的直線所過的點，數(shù)形結(jié)合處理問題.

考點三：斜率與傾斜角的關(guān)系

（一）由傾斜角求斜率值（范圍）

在］例3.【多選】（2023春?湖南衡陽?高二衡陽市一中?？茧A段練習(xí)）已知經(jīng)過點A（5,/n）和3（2,8）的

直線的傾斜角則實數(shù)加的可能取值有（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】ABC

【分析】根據(jù)斜率公式求解.

【詳解】由題可得心—=,

所以根e（8+g,8+36），

結(jié)合選項可得實數(shù)m的可能取值有11,12,13,

故選:ABC.

變式1.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）過不重合的A（蘇+2,加2_3）,8（3-加-蘇⑵歷兩點的直線/的傾斜角為45。,

則m的取值為.

【答案】—2

加2—3—2m

【分析】由題意得2：2、=1，可求出機(jī)的取值.

m+2-（3-m-m）

【詳解】由題意知如=tan45°=1,

2

而z布-3-2根Bnm-3-2m,

所以2c―；------J7=1，即—;------------7=1-

m-+2-（3-m-m-）+2-3+m+m-

化簡得蘇+3〃z+2=0,解得〃z=-l或〃z=—2

當(dāng)機(jī)=-1時，A（3,-2）,3（3,-2）重合，不符合題意舍去，

當(dāng)相=一2時，46,1）,3（1，-4）,符合題意，

所以"2=-2,

故答案為：—2

變式2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）過兩點A（5,y）,2（3,—1）的直線的傾斜角是135。，則y等于.

【答案】-3

【分析】利用直線斜率與傾斜角關(guān)系和斜率公式左=tana=%二基可得答案.

x2一再

【詳解】因為斜率z=tan135。=—1,所以％==得y=-3.

故答案為：-3.

變式3.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）若經(jīng)過點尸（1-。,1）和。（2。,3）的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)。的取值

范圍是.

【答案】（-8,1）

【分析】根據(jù)傾斜角為鈍角斜率為負(fù)，結(jié)合直線的斜率公式，解不等式即可得到所求范圍.

【詳解】因為直線的傾斜角是鈍角,

3-11

所以斜率C1<0,解得

所以a的取值范圍是（-8,1）.

故答案為：（-8,j）.

變式4.（2023秋?安徽六安?高二校考階段練習(xí)）若過點4（3,4）,。（6,3a）的直線的傾斜角為銳角，則實數(shù)

。的取值范圍為（）

4444

A.〃<—B.QV—C.a>—D.—

3333

【答案】C

【分析】先根據(jù)兩點斜率公式求得斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解

【詳解】因為直線AQ的斜率％=去3a-944

o—33

又因為直線AQ的傾斜角為銳角，

44

所以a—>0,解得a>—.

故選：C

（-）由斜率求傾斜角的值（范圍）

例4.（2023春?上海普陀?高二上海市宜川中學(xué)?？计谀┮阎本€/經(jīng)過點43,6）、8（6,1）.直

線I的傾斜角是.

TT

【答案】￡/30。

0

【分析】根據(jù)兩點確定直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系列式求解即可.

【詳解】因為過43,月）、3（括,1）兩點的直線的斜率為：左=%1=3，

3-V33

因為左=tan<z,a是直線的傾斜角，且1目0,兀）

所以直線的傾斜角為：?=^.

6

故答案為：—■

6

變式1.（2023秋?高二課時練習(xí)）若直線/的斜率上的取值范圍是[0，—）,則該直線的傾斜角a的取值范圍

是.

【答案】0°<?<60°

【分析】由k=tanae[O,代），結(jié)合0°Va<180°.即可得出a的取值范圍.

【詳解】因為左

所以左=tanae[0,叢）,

因為0。4a<180。

所以0。We<60。

故答案為：0。4a<60。

變式2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若直線的傾斜角a滿足更<tana<6,則。的取值范圍是

3

【答案】

【分析】根據(jù)直線傾斜角的范圍解不等式即可.

【詳解】直線的傾斜角戊式0,兀），

-<tan?<^3,

3

71

—<a<?

6

故答案為：

變式3.（2023秋?高二課時練習(xí)）直線/的斜率為鼠且人《一百，與，則直線/的傾斜角的取值范圍是

【答案】3

【分析】畫出直線的區(qū)域，由圖直觀看出直線的傾斜角范圍即可.

【詳解】如圖：

當(dāng)直線/的斜率％e1—道，與J,

直線/的傾斜角的取值范圍為：

故答案為：°，胃u（g，T.

變式5.（2023秋?安徽六安?高二校考階段練習(xí)）將直線MN繞原點旋轉(zhuǎn)60。得到直線MN',若直線的

斜率為1,則直線MN的傾斜角是（）

A.105°B.165°C.15°或75°D.105°或165°

【答案】D

【分析】將繞原點逆時針或順時針旋轉(zhuǎn)60。得到直線MN,求得其傾斜角.

【詳解】因為直線的斜率為1,所以直線A/N'的傾斜角是45。，

若將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到直線MN，則直線MN的傾斜角是105。，

若將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)60。得到直線MN,則直線的傾斜角是165。，

故選：D

考點四：斜率公式的應(yīng)用

（-）利用直線斜率處理共線問題

例5.（2023秋?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）判斷下列三點是否在同一條直線上:

⑴A(-3,1),8(2,-4),。(3,0)；

⑵。（5,-1）,玖-1,2）,4-5,4）.

【答案】（1）4B,C三點不在同一條直線上

（2）D,E,尸三點在同一條直線上

【分析】（1）計算左鉆和3c，根據(jù)其是否相等即可判斷;

（2）計算的E和的尸,根據(jù)其是否相等即可判斷.

1+41-01

【詳解】（1）因為Aw=畢；=T，kAC=-^-=-^,

-3-2-3-36

所以所，無AC，

所以A,B,C三點不在同一條直線上.

.mAL.7—1—21.4+11

（2）因為左DE=7^-=_彳，kDF=

3+1Z—3—3Z

所以kpE=卜口-.

又直線OE與直線DP有公共點D,

所以。，E,尸三點在同一條直線上.

變式1.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知三點4（3,1）,*-2㈤,C（8,11）共線，則上的值為.

【答案】-9

【分析】由條件可得KB=KC，結(jié)合兩點斜率公式列方程求上的值.

【詳解】因為三點A（3』）,3（-2#）,C（8,11）共線,

所以=Kc，

所以臺筆

解得左=一9.

故答案為：-9.

變式2.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知直線/經(jīng)過三點A（5,-3）,3（4,y）,C（-l,9）,則直線/的斜率％=

，尸?

【答案】-2-1

【分析】根據(jù)兩點斜率公式求出直線/的斜率，并根據(jù)心8=心。列出方程，求出答案.

【詳解】由題意得左二左公二22^^=一2,

*c-1-5

由心B=KC可得乜及=一2,解得y=T.

4-5

故答案為：-2,-1

變式3.（2023春?上海松江?高二上海市松江二中校考期中）已知點4（0,-8）,8（2,-2）,C（4,m）,若線段

AB,AC,BC不能構(gòu)成三角形，則機(jī)的值是.

【答案】4

【分析】由線段AB,AC,BC不能構(gòu)成三角形知A,民C三點共線，由心B=KC求得m的值.

【詳解】因為線段A3,AC,8C不能構(gòu)成三角形，所以A氏C三點共線，

顯然直線A3的斜率存在，故"B=MC，即￥￥=竽，解得〃?=4,

2-04

故答案為：4

（二）斜率公式的幾何意義的應(yīng)用

作]例6.（2023秋?高二課時練習(xí)）已知直線/過點A。,3）,且不過第四象限，則直線/的斜率上的最大

值是.

【答案】3

【分析】由直線不過第四象限，可畫出所有符合要求的直線，數(shù)形結(jié)合可得答案.

如圖，只有當(dāng)直線落在圖中所示位置時才符合題意,

3

左no=丁=3,即=0,

故女式0,3],即線/的斜率左的最大值是3.

故答案為：3.

變式1.（2。23.全國.高二專題練習(xí)）若實數(shù)"y滿足y…+3,則代數(shù)式量的取值范圍為

【答案】|，7

【分析】作圖，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，結(jié)合圖象即可得出答案.

如圖，A（l,2）,C(-2,-3),

-3-4

則k=—，=

AC-2-13-2-(-1)

因為*=三號，可表示點C與線段w上任意一點”（x,y）連線的斜率,

由圖象可知，kACkMC<^BC，

所以有qvA|=3cV7.

3x+2

故答案為：（，7.

變式2.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）點M（XQI）在函數(shù)y=e，的圖象上，當(dāng)玉e[0,l）,則長■可

能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

【答案】BC

【分析】根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義為y=e，在xe[o」）部分圖象上的動點"G，yJ與點所成直線的斜率

k,即可求范圍.

【詳解】由—表示河（石,%）與點41,-1）所成直線的斜率左,

X]_1

又知（不認(rèn)）是丫=^在天40」）部分圖象上的動點，圖象如下:

如上圖，如上）,則[e（y,-2],只有B、C滿足.

故選：BC

變式3.（2023秋?廣東深圳?高二深圳中學(xué)?？计谥校┮阎cA（-2,-l）,3（3,0）,若點M（x,y）在線段AB

上，則口的取值范圍（）

A.[。0‘-gu[3,+oo）

B.-p3

C.U[3,+oo）D.[-1,3]

【答案】A

【分析】設(shè)。（T2）,分別求出與A，3，根據(jù)宕表示直線加的斜率即可得到結(jié)果.

X+1

/、2-(-1)2-01

【詳解】設(shè)。(T2),則3=元§=3,kQB=-^=--

因為點M（x,y）在線段A3上，所以若的取值范圍是1-巴-:

。[3,+⑹,

故選：A.

考點五：直線與線段的相交關(guān)系求斜率的范圍

例7.（2023秋?廣東佛山?高二佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點4（-1,1）,

BQ,1),C(2,—+1).

(1)求直線BC,AC的斜率和傾斜角；

(2)若。為AA6C的邊AB上一動點，求直線CD的斜率和傾斜角a的取值范圍.

【答案】⑴直線BC的斜率若，傾斜角為直線4c的斜率且，傾斜角為5

336

兀兀

(2)

63

【分析】(1)根據(jù)兩點間的斜率公式計算斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可;

(2)數(shù)形結(jié)合，根據(jù)斜率與傾斜角變化的規(guī)律分析即可.

【詳解】(1)由斜率公式得：臉^c=^+1~1=—

BC2-12-(-1)3

因為斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角的范圍是[0,辦，

(2)如圖，當(dāng)直線由C4逆時針旋轉(zhuǎn)到CB時,

直線。與線段A8恒有交點，即￡>在線段A8上，此時左由心°增大到即c，

7171

左的取值范圍為，傾斜角a的取值范圍為

63

變式1.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))已知兩點4-3,4),3(3,2),過點尸(1,0)的直線/與線段AB有公共點.

(1)求直線/的斜率k的取值范圍；

(2)求直線/的傾斜角a的取值范圍.

【答案】⑴1]3L+”).

(2)45°<a<135°.

【分析】(1)由圖可知要使直線/與線段A3有公共點，只需直線/的斜率上滿足左(七^或左從而可

求得答案；

(2)由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出直線/的傾斜角a的取值范圍.

【詳解】（1）因為解-3,4）,3（3,2）,尸（1,0）,

4-02-0

所以七.=〒7=7,左PB=J=1

—J—1J—L

因為直線/與線段48有公共點，

所以由圖可知直線/的斜率上滿足人（原A或％2kPB,

所以直線/的斜率上的取值范圍是（一叫T51,+e）.

（2）由題意可知直線I的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,

因為直線PB的傾斜角是45。，直線PA的傾斜角是135。,

所以a的取值范圍是45°VaV135。.

變式2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知A（3,3）,3（T,2）,C（0,-2）.

（1）求直線AB和AC的斜率；

（2）若點。在線段BC（包括端點）上移動時，求直線的斜率的變化范圍.

【答案】（1）直線A8的斜率為:，直線AC的斜率為［

一一

⑵315

【分析】（1）根據(jù)斜率公式運算求解；

（2）根據(jù)傾斜角和斜率之間的關(guān)系分析求解.

2-31

【詳解】（1）由斜率公式可得直線A3的斜率05二二三='，

直線AC的斜率kAC=上?1=,

AC3-03

故直線48的斜率為;，直線AC的斜率為g.

（2）如圖所示，當(dāng)。由8運動到C時，直線AO的傾斜角增大且為銳角，

直線AD的斜率由kAB增大到kAC,

所以直線的斜率的變化范圍是

變式3.（2023秋?江西撫州?高二統(tǒng)考期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點A（-M）,B（1』）,C（2,指+1）,。為的

邊AC上一動點，則直線斜率％的變化范圍是（）

A.0,與B.（一8,0]。[冬+[

C.D.（—00,0]kj|^A/3,+oo）

【答案】D

【分析】作出圖象，求出的斜率，再結(jié)合圖象即可得解.

因為。為AABC的邊AC上一動點，

所以直線斜率％的變化范圍是

故選：D.

變式4.（2023秋.安徽滁州?高二校考期中）已知點A（T2）,3（2,-2）,C（0,3）,若點M（a,b）是線段4B上

的一點（。片0）,則直線CM的斜率的取值范圍是（）

A.-plB._：,0）U（。/]

,51（51,.

C.-1,-D.-00,--u[lr,+oo）

【答案】D

【分析】利用圖像結(jié)合直線的斜率范圍求解即可.

【詳解】由斜率公式可得3c=9==i，得的0=手==-1，

—1—（J2—（32

由圖像可知，

當(dāng)/介于AO之間時，直線斜率的取值范圍為[1,+8）,

當(dāng)M介于3。之間時，直線斜率的取值范圍為

所以直線CN的斜率的取值范圍為1-8,-g□],+<?）,

故選：D.

變式5.（2023秋?安徽蕪湖?高二安徽省無為襄安中學(xué)校考階段練習(xí)）經(jīng)過點P（O,1）作直線/,若直線/與連

接A（2,3）,3（-1,2）的線段總有公共點，則直線/的斜率的取值范圍是

【答案】kW-1或左21

【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，利用斜率坐公式結(jié)合圖形求解作答.

【詳解】如圖，直線/與線段總有公共點，即直線/以直線為起始位置，繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)到直線PB

即可，

直線/的斜率為左，直線尸AP3的斜率分別為心4,⑥B，于是左或左之跖4,

ffi]k=------=l,kpB=--------=-1,因止匕女或左21，

PA2—0—1—0

所以直線/的斜率的取值范圍是左4-1或421.

故答案為：上V-L或421

變式6.（2023秋?江蘇連云港?高二?？茧A段練習(xí)）已知點4（-2,3）,網(wǎng)3,2）,若直線ax+y+2=0與線段至

沒有交點，則。的取值范圍是（）

C5]「4]

A.-00,--u-,+00B.

I2jL3）

【答案】B

【分析】求出直線C4,CB的斜率，結(jié)合圖形得出。的范圍.

【詳解】???直線《x+y+2=0過定點C（0,-2）,且葭=一：,心=^，

54

由圖可知直線與線段AB沒有交點時，斜率-〃滿足＜-〃＜§,

||西真題演練I?

-------------------llllllllilllllllillllllllllllllilllllllll------------------------

1.直線y=2與直線x+y-2=0的夾角是（）

,兀c兀-兀c3兀

A.-B.-C.-D.—

4324

【答案】A

【分析】由斜率得傾斜角后求解，

【詳解】直線＞=2的傾斜角為o,直線尤+〉-2=0的斜率為t,傾斜角為

4

兩條直線的夾角為f,

4

故選：A

2.圖中的直線4,,4的斜率分別為匕，&，%，則有（）

A.k1<k2<k3B.尤>左2>/

C.k、<卜3<k2D.k3<kt<k2

【答案】C

【分析】根據(jù)直線斜率的概念，結(jié)合圖象，可直接得出結(jié)果.

【詳解】由圖象可得，&<0小<七,

故選：C

3.若三點A（2,2）,3（a,0）,C（O,b）,（而.0）共線，則工+。的值等于—

ab

【答案】1/0.5

【分析】由三點共線，利用斜率的公式可得”+6=ga6,進(jìn)而可求目標(biāo)式的值.

【詳解】由題知，直線AC的斜率存在，由三點共線可知aw2.

2-02-b1

由kAB=%AC得：----=----，a+b=—ab,又ab手4,

2-a2-02

.1.1-1

???—,

ab2

故答案為：5

/'''''

I［圖過關(guān)檢測

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

一、單選題

1.（2023秋?貴州貴陽?高二統(tǒng)考期末）以下四個命題，正確的是（）

A.若直線/的斜率為1,則其傾斜角為45?；?35。

B.經(jīng)過A。，。），3（-1,3）兩點的直線的傾斜角為銳角

C.若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應(yīng)

D.若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應(yīng)

【答案】D

【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的概念依次判斷選項即可.

【詳解】A：直線的斜率為1,則直線的傾斜角為45°,故A錯誤；

B：過點A、8的直線的斜率為左=37-_0=一：3＜0,

-1-12

3

即tana=-5＜0（a為直線的傾斜角），則口為鈍角，故B錯誤；

C：當(dāng)直線的傾斜角為90°時，該直線的斜率不存在，故C錯誤；

D：若直線的斜率存在，則必存在對應(yīng)的傾斜角，故D正確.

故選：D.

2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知一直線經(jīng)過兩A（L2）,B（a,3）,且傾斜角為135。，則〃的值為（

A.-6B.-4

C.0D.6

【答案】C

【分析】由兩點坐標(biāo)求出直線的斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值列式求得。的值.

【詳解】直線經(jīng)過兩41,2）,8（。,3）,.

又直線的傾斜角為135。，斜率一定存在，

則直線的斜率為左

a-1

.?.t2=tan135。=-1,即a=0.

a—1

故選：C.

3.（2023秋?北京密云?高二統(tǒng)考期末）已知直線/：＞=尤-8.則下列結(jié)論正確的是（）

A.點（2,6）在直線/上B.直線/的傾斜角為5

C.直線/在V軸上的截距為8D.直線/的一個方向向量為戶=（1,-1）

【答案】B

【分析】逐個分析各個選項.

【詳解】對于A項，當(dāng)x=2,>=6時，代入直線方程后得6H2-8,.?.點(2,6)不在直線/上，故A項錯

誤；

TT

對于B項，設(shè)直線/的傾斜角為凡...tanO=l,又；Me。乃)，，故B項正確；

對于C項，令x=0得：y=-8,.?.直線/在y軸上的截距為-8,故選項C錯誤；

對于D項，?.?直線/的一個方向向量為歐=(1,-1),.?.左=?=-1,這與已知％=1相矛盾，故選項D錯誤.

故選：B.

4.(2023秋.山西臨汾.高二統(tǒng)考期末)若三點4(2,-3),3(4,3),C(5㈤在同一直線上，則實數(shù)b等于()

A.-12B.-6C.6D.12

【答案】C

【分析】由題意得七B=KC，列式求解即可.

【詳解】因為3B=^C，又3B=??=3,3C=?^=*，

所以3=等b+3，即匕=6.

故選：C.

5.(2023春?山東濱州?高一校考階段練習(xí))過點P(-2,m),Q(m,4)的直線的斜率為1,那么小的值為()

A.1或4B.4C.1或3D.1

【答案】D

【分析】利用直線的斜率公式求解.

【詳解】解：因為直線過點尸廠2,優(yōu))，Q(m,4),且斜率為1,

所以A==1,解得〃7=1,

m+2

故選：D

77r

6.(2023春?河南安陽?高二安陽一中校聯(lián)考開學(xué)考試)已知點A(2,3),3(-l,x),直線A3的傾斜角為不，

貝I]x=()

A.3-3A/3B.3+—C.3+3石D.6

3

【答案】C

【分析】根據(jù)斜率公式列式計算即可.

【詳解】因為直線AB的傾斜角為三，A（2,3）,3（-l,無）,

可得直線AB的斜率為加=口=tang=-6，

可得工=3+3技

故選：C

7.（2023秋?湖南湘潭?高二校聯(lián)考期末）若直線/的斜率為左,且左2=3,則直線/的傾斜角為（

A.30°或150。B.45°或135°C.6?；?20°D.90°或180。

【答案】C

【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】設(shè)直線/的傾斜角為a,0°<a<180

因為左2=3,所以左=±5/§\

當(dāng)k=A/3時，即tana=也，則a=60°；

當(dāng)k=-6時，即tana=—括，則a=120°,

所以直線/的傾斜角為60?；?20。.

故選：C.

8.（2023秋?山西晉中?高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點A（0,2）,B（T,0）的直線的斜率為（）

A.—2B.—C.；D.2

22

【答案】D

【分析】利用斜率公式即可求得經(jīng)過點4（0,2）,3（-1,0）的直線的斜率.

【詳解】由斜率公式可得：者、=2,

則經(jīng)過點4（0,2）,3（-1,0）的直線的斜率為2

故選：D

9.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）若直線/經(jīng)過點”（2,3）,N（4,3）,則直線/的傾斜角為（）

A.0°B.30°

C.60°D.90°

【答案】A

【分析】由M,N兩點的縱坐標(biāo)相等，可直接得到直線的傾斜角.

【詳解】因為河(2,3),N(4,3)兩點的縱坐標(biāo)相等，

所以直線/平行于無軸，

所以直線/的傾斜角為0。.

故選：A

10.(2023秋?四川宜賓?高二四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校校考期末)設(shè)直線/的斜率為％,且-gv上<1,

則直線/的傾斜角的取值范圍為()

[旬"TB.[o，』u[zT

【答案】A

【分析】設(shè)直線/的傾斜角為口，04々<兀，則有左=tane,0<cr<7i,作出y=tana(0(&<兀)的圖象，由

圖可得a的范圍，即可得答案.

【詳解】設(shè)直線/的傾斜角為a。4c〈n，

貝!I有左=tana,OWa〈兀，

作出y=tana(0Va<7i)的圖象，如圖所示：

故選：A.

11.(2023秋?江蘇連云港?高二校考期末)經(jīng)過兩點A。,機(jī))，見機(jī)-1,3)的直線的傾斜角是銳角，則實數(shù)機(jī)

的范圍是()

A.(-<?,-3)o(-2,+co)B.(-3,-2)

C.(2,3)D.(T?,2)53,+?>)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式，即可得答案.

【詳解】由題意經(jīng)過兩點A。,機(jī)），*加-1,3）的直線的傾斜角是銳角,

3-/77

可知〃Z-1W1，且---->0,

m-2

解得2<〃?<3,即實數(shù)機(jī)的范圍是（2,3）,

故選：C

12.（2023春?上海浦東新?高二上海市實驗學(xué)校?？计谥校┮阎獌牲c4（2,-1）,6（-5-3）,直線/過點（1,1）,

若直線/與線段A8相交，則直線/的斜率取值范圍是（）

A.（-oo,-2]|Jg'+s）B.-2,-1

C.-D.^-=0,-—U[2,+co）

【答案】A

【分析】根據(jù)直線過定點P（1』），畫出圖形，再求出心，依的斜率，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】如圖所示：

若直線/與線段相交,

則上4kM或k>kPB,

nn、,7—1—1c7-3—12

因為％=三1=-2,=3

所以直線/的斜率取值范圍是（-雙-2]U

故選：A.

【點睛】本題主要考查直線斜率的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

13.（2023秋?江蘇連云港?高二校考期末）經(jīng)過點P（0,-1）作直線/,且直線/與連接點A（L-2）,3（2,1）的

線段總有公共點，則直線/的傾斜角a的取值范圍是（）

A