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平行四邊形的性質(zhì)華師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章

平行四邊形

復(fù)習(xí)舊知問(wèn)題：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平行四邊形的哪些性質(zhì)？平行四邊形的對(duì)邊相等.平行四邊形的對(duì)角相等.思考：平行四邊形除了以上邊和角的特征，其對(duì)角線有什么特征呢？這節(jié)課我們一起探討一下吧.平行四邊形的鄰角互補(bǔ).問(wèn)題：如圖,在□ABCD中,當(dāng)連結(jié)對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O時(shí),除平行四邊形中對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等外,圖中還有相等的線段嗎？并說(shuō)明理由。ABCDOO發(fā)現(xiàn)AO=CO，BO=DO思考（1）請(qǐng)你用演繹推理證明這個(gè)結(jié)論？（2）你能歸納你得到的平行四邊形的性質(zhì)嗎？探究新知說(shuō)明已知：如圖，□ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：OA=OC，OB=OD.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠ABD=∠CDB，∠BAO=∠DCO.∴△ABO≌△CDO.∴OA=OC，OB=OD.ABCDO平行四邊形的性質(zhì)3：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.ABCDO幾何語(yǔ)言∴AO=CO，BO=DO∵四邊形ABCD是□歸納總結(jié)例題解析例1如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，△AOB的周長(zhǎng)為15，AB＝6，那么對(duì)角線AC與BD的和是多少？解：在?ABCD中，∵AB=6,AO+BO+AB=15,∴AO+BO=15-6=9.又∵AO=OC,BO=OD(平行四邊形的對(duì)角線互相平分），∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=2×9=18練一練1、如圖，在□ABCD中，BC=10cm,AC=8cm,BD=14cm,（1）△BOC的周長(zhǎng)是多少？說(shuō)明理由？（2）△ABC與△DBC的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)，長(zhǎng)多少？

ABCDO例題解析例2

如圖，□ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,EF過(guò)點(diǎn)O且與邊AB，CD分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F.求證：OE=OF.ABCDFEO證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠ODF=∠OBE,∠DFO=∠BEO,∴△DOF≌△BOE（AAS）,∴AB∥CD,OD=OB,∴OE=OF.思考改變直線EF的位置，OE=OF還成立嗎?練一練如圖，在□ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E、F.求證：OE=OF.ABCDEFO證明：∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于一點(diǎn)O，∴OD=OB∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠AFD=∠CEB=90°又∵∠DOF=∠BOE∴△ODF≌△OBE∴OF=OE例題解析例3如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,其周長(zhǎng)為16，且三角形AOB的周長(zhǎng)比三角形BOC的周長(zhǎng)小2.求邊AB和BC的長(zhǎng).解：∴AB=3，BC=5.又∵△AOB的周長(zhǎng)+2=△BOC的周長(zhǎng)，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC又∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為16，∴AB+OA+OB+2=BC+OB+OC，即AB+2=BC.∴2(AB+BC)=16，

即4AB+4=16.練一練如圖，在□ABCD中，EF過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)O，且與邊AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，AB=4，AD=3,OF=1.3.求四邊形BCFE的周長(zhǎng).ABCDEFO解：∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，

∴BO=OD，AB//DC

∴∠EBO=∠FDO

又∠EOB=∠FOD

∴△BOE≌△DOF

∴BE=DF

∴四邊形BCFE的周長(zhǎng)=CD+BC+2OF=9.6例4如圖,在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC=21cm,BE⊥AC,垂足為點(diǎn)E,且BE=5cm，AD=7cm.求AD和BC之間的距離.解：設(shè)AD和BC之間的距離為x,則平行四邊形ABCD的面積等于AD?x.∵平行四邊形ABCD的面積=三角形ABC面積的2倍=AC?BE∴AD?x=AC?BE,即7x=21×5∴x=15即AD和BC之間的距離為15cm.例題解析課堂練習(xí)1.如圖，□ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC+BD=16，AD=6，則△BOC的周長(zhǎng)是（）A.10B.14C.20D.22DABCO2.若平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為x和y，一邊長(zhǎng)為12，則x和y的值可能是（）A.8和14B.10和14C.18和20D.10和36BC3.□ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=8，BD=6，AD=a,則a的取值范圍是

；1＜a＜74.如圖,在ABCD中,對(duì)角線AC﹑BD相交于點(diǎn)O,AC+BD=20,△AOB的周長(zhǎng)等于15,則CD=______.55.如圖，□ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，其周長(zhǎng)為16，且△AOB的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)小2.求邊AB和BC的長(zhǎng).BCDAO解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=OC∵△AOB比△BOC周長(zhǎng)小2∴AB+2=BC∵四邊形ABCD周長(zhǎng)為16，∴AB=3,BC=56.如圖，已知?ABCD與?EBFD的頂點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，求證：AE＝CF.證明：如圖，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)．∵四邊形EBFD是