高中數(shù)學(xué)一函數(shù)的周期性

一、知識回顧

1.周期函數(shù)：對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)丁，使得當x取定義域內(nèi)的任何值

時，都有/(x+T)=/W,那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱7■為這個函數(shù)的周期.

2.最小正周期：如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么

這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.3.關(guān)于函數(shù)周期性常用的結(jié)論⑴若滿足

=則r(x+2a)=f[(x+a)+a]=/(x+a)=f(x)所

.1

以2a是函數(shù)的一個周期(a*0);(2)若滿足'f(x),則

1

f(x+2a)=f[(x+a)+a]=/(x+a)=f(x)，所以2a是函數(shù)的一個周期

]a)=1

(a*0);⑶若函數(shù)滿足f(x),同理可得2a是函數(shù)的一個周期慳工口).

(4)如果是R上的周期函數(shù)，且一個周期為T,那么

ra±71T)=f(x)sEZ)

(5)函數(shù)圖像關(guān)于x=a，x=b軸對稱=T=2(a—8)

(6)函數(shù)圖像關(guān)于3。)?(瓦。)中心對稱07=2(。一力)

(7)函數(shù)圖像關(guān)于*="軸對稱，關(guān)于(力?0)中心對稱=T=4(a-b).

二、方法規(guī)律技巧

1?求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如y=Asin(3x+(p),用

27r

公式T=⑷I計算.遞推法：若f(x+a)=-f(x),貝IJf(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)

=f(x),所以周期T=2a.換元法：若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,x=t+a,則f(t)=f(t

+2a),所以周期T=2a.2.判斷函數(shù)的周期只需證明f(x+T)=/W(7V0)便可證明函數(shù)是

周期函數(shù)，且周期為T,函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題.

3.根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，

要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(kEZ且kXO)也是函數(shù)的周期.4.關(guān)于奇偶性、單

調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知

區(qū)間上的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.三、例題講解：

1、設(shè)定義在R上的函數(shù)r(x)滿足r(x)?f(x+2)=2°i2,若〃i)=2,則

r(99)=

2、已知f(x)是R上的奇函數(shù)，對xGR都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，若f(-

1)=-2,則f(2013)等于()A.2B.-2C.-1D.20133、定義在R

上的函數(shù)的圖象關(guān)于點I4'J成中心對稱，且對任意的實數(shù)X都有f(x)=-f

但智

\,f(-1)=1,f(0)=-2,則f(l)+f(2)+…+f(2013)=()A.0B.-2C.1

D.-44,已知周期函數(shù)f(x)的定義域為R,周期為2,且當-1<XW1時，f(x)=l-x.若

直線y=-x+a與曲線y=f(x)恰有2個交點，則實數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成的集合為

351

()A.{a|a=2k+4或2k+4,kCZ}B.{a|a=2k-4或2k+4,k—Z}C.{a|a=2k

工

+1或2k+4,kGZ}D.{a［a=2k+l,kGZ}5、設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，

1,-l^x<0

察U信)G)

在區(qū)間［-1,1］上，f(x)=，其中a,bGR.若f\N/=f\N人

則a+3b的值為.

【綜合點評】函數(shù)周期性的應(yīng)用主要有兩個方面，其一7求函汗仁，理論依據(jù)是周期性的定義，通過加減

周期的整數(shù)管，使得自變量變到適合已知解析式的范圍內(nèi)，進F求值；其二是利用周期函數(shù)醵重復(fù)出現(xiàn)

的特征，先畫出一個周期內(nèi)的函數(shù)圖索，然后依次向二平移周期的整數(shù)倍即得整個定義域內(nèi)的函數(shù)段

募

四、新題變式探究

【變式一】已知定義在R上的函數(shù)“')滿足條件；①對任意的xwR,都有

/(x+4)=/(x)；②對任意的用.立目0,2］且akw，都有“司)</(》2)；③函數(shù)

/(x+2)的圖象關(guān)于y軸對稱.則下列結(jié)論正確的是()AJ⑺</(6$)</(45)B.

/(7)</(4.5)</(6.5)

c/（4.5）</（6.5）</（7）D/（4.5）</（7）</（6.5）

【變式二)設(shè)g(x)是定義在R上,以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f(x)=x+g(x)在區(qū)間［0,1］上的值域為

［2,5L則f(x)在區(qū)間［0,3］上的值域為.

【綜合點評】充分利用周期函數(shù)的定義將所求函數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的求值問題是

解題關(guān)鍵.

五、易錯試題常警惕

易錯典例1：若函數(shù)/?=在定義域上為奇函數(shù)，則實數(shù)k=.

易錯典例2:定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，T是它的一個正周

期.若將方程f(x)=o在閉區(qū)間［-T,T］上的根的個數(shù)記為n,則n可能為()A.0

B.1c.3D.5【變式】設(shè)r(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當時，r(x)是單

調(diào)函數(shù)，則滿足X+4,的所有X之和為()A.-3B.3C.-8D.8

練習(xí)：A基礎(chǔ)測試1.【江蘇省南京市2014屆高三9月學(xué)情調(diào)研】設(shè)函數(shù)「(又)是定義

在R上的偶函數(shù),當*之0時，r(x)=2'+l.若f(a)=3,則實數(shù)Q的值為.

2.【2014屆吉林市普通高中高中畢業(yè)班復(fù)習(xí)檢測】給出下列函數(shù)①.P=xcosx②

.y=sin-③=④尸e'e;其中是奇函數(shù)的是()

A.脆B.（D@C.D.（3）@

3.【虹口區(qū)2013學(xué)年度第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科期終教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測試題】已知

，=/（*）是定義在R上的偶函數(shù)，且在1°'>8）上單調(diào)遞增，則滿足

<fI1）的實數(shù)m的范圍是.

4.【吉林市普通中學(xué)2013-2014學(xué)年度高中畢業(yè)班摸底測試理】/（X）tan.v+sinx+1

若/⑹=2則/（-。）=（）

A.OB.3C.-1D.-25.【安徽省示范高中2014屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)

考數(shù)學(xué)（II）1已知偶函數(shù)fl*）對任意*￡R均滿足f（2+x）=/（2-*）,且當

-24x40時r（*）=l%3（lT）,則（014）的值是

B能力提升訓(xùn)練

1.【江西省2014屆高三新課程適應(yīng)性考試理科數(shù)學(xué)】已知函數(shù)曠=/（'）是周期為2

的周期函數(shù)，且當時，r（x）=2團一1,則函數(shù)

尸00=/00-|10X|的零點個數(shù)是（）A.9B,10C.11D.122.【山西省

忻州一中、康杰中學(xué)、臨汾一中、長治二中四校2014屆高三第二次聯(lián)考】定義在R上

的奇函數(shù)y=/（*）滿足r（3）=。，且不等式r（x）>-xf'（x）在（。-8）上恒

成立，則函數(shù)g（x）=*/（x）+ig|*+i|的零點的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.13.【廣東省中山市一中2014屆高三第二次統(tǒng)

測】奇函數(shù)r(x)滿足對任意XCR都有/'(x+2)=-/(x)成立，且r(l)=8,

則，(2012)+/(2013)+/(2014)的值為()

A.2B.4C.6D.8

4.【廣東省廣州市海珠區(qū)2014屆高三入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)理試題】已知函數(shù)FOO是定

義在/上的奇函數(shù)，若對于任意的實數(shù)*之口，都有

r(x+2)=f(x)且當*W[0,2)時(1,魚)則2-由4a42+6的值

為()

A.-1B.-2C.2D.1

5.[2014屆山東省日照市高三校際聯(lián)考】已函數(shù)是定義在

烏m

X。上的奇函數(shù)，在f(x)上時x2(I)求函數(shù)x>x0的解析式;

(II)解不等式「(2*-1)+/(1一*')之。

c思維擴展訓(xùn)練1.【湖北孝感高中2014屆高三年級九月調(diào)研考試】已知y(x)是

定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且04xV2時，r(x)=x2-2x貝IJ10VX412時,

3

2.［2014屆新余一中宜春中學(xué)高三年級聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】已知函數(shù)/（x）是定義在R上的偶

函數(shù)，且對任意的xCR都有/（x+2）=/（x）.當0WXW1時，f（x）=x.若直線y=x+a與函數(shù)y

=/（x）的圖像在。2）內(nèi)恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)a的值是（）（）

工