PAGEPAGE8題組層級快練(五十七)1．(2015·廣東，文)已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4，0)，則m＝()A．2 B．3C．4 D．9答案B解析由4＝eq\r(25－m2)(m>0)?m＝3，故選B.2．若橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且長軸長是短軸長的兩倍．則m的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．2 D．4答案A解析將原方程變形為x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1.由題意知a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，∴a＝eq\r(\f(1,m))，b＝1.∴eq\r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq\f(1,4).3．(2024·濟(jì)南模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若長軸的長為6，且兩焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1答案B解析由題意知2a＝6，2c＝eq\f(1,3)×6，所以a＝3，c＝1，則b＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，所以此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.4．(2024·佛山一模)若橢圓mx2＋ny2＝1的離心率為eq\f(1,2)，則eq\f(m,n)＝()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,3)C.eq\f(\r(3),2)或eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(3,4)或eq\f(4,3)答案D解析將橢圓方程標(biāo)準(zhǔn)化為eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，∵e2＝1－eq\f(b2,a2)，∴eq\f(b2,a2)＝1－e2＝eq\f(3,4)，①若a2＝eq\f(1,m)，b2＝eq\f(1,n)，則eq\f(m,n)＝eq\f(3,4)；②若a2＝eq\f(1,n)，b2＝eq\f(1,m)，則eq\f(m,n)＝eq\f(4,3)，故選D.5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2).過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1答案B解析依據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵e＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).依據(jù)△ABF2的周長為16得4a＝16，因此a＝4，b＝2eq\r(2)，所以橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.6．(2024·青海西寧復(fù)習(xí)檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是橢圓eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)A(1，1)，B(0，－1)，則|PA|＋|PB|的最大值為()A．5 B．4C．3 D．2答案A解析∵橢圓的方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是橢圓的一個焦點(diǎn)，設(shè)另一個焦點(diǎn)為C(0，1)，如圖所示，依據(jù)橢圓的定義知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.7．若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)答案B解析由題意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b.又c2＝a2－b2，消去b整理，得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．8．如圖，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其中左焦點(diǎn)為F(－2eq\r(5)，0)，P為C上一點(diǎn)，滿意|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,10)＝1 D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,25)＝1答案B解析設(shè)橢圓的焦距為2c，右焦點(diǎn)為F1，連接PF1，如圖所示．由F(－2eq\r(5)，0)，得c＝2eq\r(5).由|OP|＝|OF|＝|OF1|，知PF1⊥PF.在Rt△PFF1中，由勾股定理，得|PF1|＝eq\r(|F1F|2－|PF|2)＝eq\r(（4\r(5)）2－42)＝8.由橢圓定義，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，從而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2eq\r(5))2＝16，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1.9．(2024·鄭州市高三預(yù)料)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),2) B．2－eq\r(3)C.eq\r(5)－2 D.eq\r(6)－eq\r(3)答案D解析設(shè)|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝eq\r(2)m.由橢圓的定義可得△ABF1的周長為4a，即有4a＝2m＋eq\r(2)m，即m＝(4－2eq\r(2))a，則|AF2|＝2a－m＝(2eq\r(2)－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－eq\r(2))2a2＋4(eq\r(2)－1)2a2，即有c2＝(9－6eq\r(2))a2，即c＝(eq\r(6)－eq\r(3))a，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)－eq\r(3)，故選D.10．(2024·河南三門峽二模)橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)△FMN的周長最大時，△FMN的面積是()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(6\r(5),5)C.eq\f(8\r(5),5) D.eq\f(4\r(5),5)答案C解析設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由橢圓的定義得，△FMN的周長C＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2a－|F′M|)＋(2a－|F′N|)＝4a＋|MN|－|F′M|－|F′N|≤4a，當(dāng)MN過點(diǎn)F′時取等號，即當(dāng)直線x＝m過右焦點(diǎn)F′時，△FMN的周長最大．由橢圓的定義可得c＝eq\r(5－4)＝1.把x＝1代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得eq\f(1,5)＋eq\f(y2,4)＝1，解得y＝±eq\f(4\r(5),5).所以△FMN的面積S＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(4\r(5),5)＝eq\f(8\r(5),5).故選C.11．(2024·遼寧大連二模)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為eq\f(b,3)，則橢圓的離心率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案C解析由短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個三角形，又由三角形面積公式得eq\f(1,2)×2c·b＝eq\f(1,2)(2a＋2c)·eq\f(b,3)，得a＝2c，即e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故選C.12．(2024·云南保山期末)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)為F1，若橢圓上存在一點(diǎn)P，滿意以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(\r(5),3)答案D解析設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，另一個焦點(diǎn)為F2，由題意知，|OM|＝b，又OM是△F2PF1的中位線，∴|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|＝b，|PF2|＝2b，由橢圓的定義知|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2b.又|MF1|＝eq\f(1,2)|PF1|＝eq\f(1,2)(2a－2b)＝a－b，又|OF1|＝c，在直角三角形OMF1中，由勾股定理得(a－b)2＋b2＝c2，又a2－b2＝c2，可得2a＝3b，故有4a2＝9b2＝9(a2－c2)，由此可求得離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，故選D.13．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點(diǎn)，以F2為圓心作圓，已知圓F2經(jīng)過橢圓的中心，且與橢圓相交于點(diǎn)M，若直線MF1恰與圓F2相切，則該橢圓的離心率為()A.eq\r(3)－1 B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)答案A解析由題意知∠F1MF2＝eq\f(π,2)，|MF2|＝c，|F1M|＝2a－c，則c2＋(2a－c)2＝4c2，e2＋2e－2＝0，解得e＝eq\r(3)－1.14．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的隨意一點(diǎn)，則|OP|2＋|PF|2的最小值為________．答案2解析由題意可知，O(0，0)，F(xiàn)(1，0)，設(shè)P(eq\r(2)cosα，sinα)，則|OP|2＋|PF|2＝2cos2α＋sin2α＋(eq\r(2)cosα－1)2＋sin2α＝2cos2α－2eq\r(2)cosα＋3＝2(cosα－eq\f(\r(2),2))2＋2，所以當(dāng)cosα＝eq\f(\r(2),2)時，|OP|2＋|PF|2取得最小值2.15．(2024·云南昆明質(zhì)檢)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，當(dāng)m取最大值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．答案(－3，0)或(3，0)解析記橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.則m＝|PF1|·|PF2|≤(eq\f(|PF1|＋|PF2|,2))2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝5，即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時，m取得最大值25.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3，0)或(3，0)．16．(2024·上海虹口一模)一個底面半徑為2的圓柱被與底面所成角是60°的平面所截，截面是一個橢圓，則該橢圓的焦距等于________．答案4eq\r(3)解析∵底面半徑為2的圓柱被與底面成60°的平面所截，其截面是一個橢圓，∴這個橢圓的短半軸長為2，長半軸長為eq\f(2,cos60°)＝4.∵a2＝b2＋c2，∴c＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，∴橢圓的焦距為4eq\r(3).17.如圖所示，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；(2)若橢圓的焦距為2，且eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，求橢圓的方程．答案(1)eq\f(\r(2),2)(2)eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1解析(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝eq\r(2)c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)B(x，y)，由eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，解得x＝eq\f(3,2)，y＝－eq\f(b,2).代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1.即eq\f(9,4a2)＋eq\f(1,4)＝1，解得a2＝3.所以橢圓方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.18．(2014·課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點(diǎn)為N.(1)若