矩陣的特征值與特征向量1.4定義1.9設(shè)若和非零向量使得

(1.5)成立,則稱為的特征值,為的屬于(或?qū)?yīng))特征值的特征向量.將式(1.5)改寫為這是含有個未知數(shù)的個方程的齊次線性方程組,它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式

即

這是以為未知數(shù)的一元次方程,其最高次項的系數(shù)為1(稱為首一的).矩陣的特征值與特征向量定義1.10設(shè)稱為的特征矩陣,為的特征多項式,

為

的特征方程.注的特征值就是特征方程的根.由代數(shù)學(xué)的知識知,特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解,其個數(shù)為方程的次數(shù)(重根按重數(shù)計算),因此階方陣在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有個特征值.計算階方陣的特征值與特征向量可按如下步驟進行：第一步：求特征方程的個根,即為的全部特征值;第二步：求解齊次方程組,其非零解即為

的屬于特征值的特征向量.例1.7求下列矩陣的特征值與特征向量：(1)(2)矩陣的特征值與特征向量解(1)

的特征多項式為

因此的特征值為

當(dāng)時,解方程組.由得基礎(chǔ)解系因此屬于特征值的全部特征向量為(為不等于零的任意常數(shù)).

當(dāng)時,解方程組.由矩陣的特征值與特征向量得基礎(chǔ)解系因此屬于特征值的全部特征向量為(為不等于零的任意常數(shù)).

(2)

的特征多項式為所以的特征值為

當(dāng)時,解方程組.由矩陣的特征值與特征向量得基礎(chǔ)解系因此屬于特征值的全部特征向量為(為不等于零的任意常數(shù)).當(dāng)時,解方程組.由得基礎(chǔ)解系因此屬于特征值的全部特征向量為

(不同時為零).矩陣的特征值與特征向量定義1.11設(shè)(互不相同,且),稱為的代數(shù)重數(shù),對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)為的幾何重數(shù).例如,例1.7中的第一個矩陣,特征值1的代數(shù)重數(shù)是2,幾何重數(shù)是1；第二個矩陣,特征是2的代數(shù)重數(shù)是2,幾何重數(shù)是2.定理1.7設(shè)是的特征值,則其代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)滿足證設(shè)屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為,顯然,由基的擴充定理可找到個向量,使線性無關(guān).

令,則是可逆矩陣,且矩陣的特征值與特征向量即

從而,,故矩陣的特征值與特征向量定義1.12設(shè)是的多項式：

對于

規(guī)定

稱

為矩陣的多項式.定理1.8設(shè)的個特征值為

對應(yīng)的特征向量為；又設(shè)為一多項式,則的特征值為,對應(yīng)的特征向量仍為如果,則的任意一個特征值滿足證因為所以對于正整數(shù),有故矩陣的特征值與特征向量當(dāng)時,

.由可知定理1.9設(shè)是方陣的互不相同的個特征值,是分別與之對應(yīng)的特征向量,則線性無關(guān).證利用數(shù)學(xué)歸納法來證明.當(dāng),由于,因此線性無關(guān),即定理成立.

假設(shè)對于個互不相同的特征值定理成立,下面證明對于個互不相同的特征值定理也成立.為此,設(shè)有常數(shù)使用左乘上式,得即從上面兩個等式中消去,得由假設(shè)可知線性無關(guān),故矩陣的特征值與特征向量而互不相同,故

進而可得因此線性無關(guān).注定理1.9還可以推廣到如下的定理1.10,其證明類似,故略去.定理1.10設(shè)是方陣的互不相同的個特征值,是對應(yīng)特征值

的線性無關(guān)的特征向量,那么向量組也線性無關(guān).定理1.11

設(shè)

階方陣的特征值為,則有以下結(jié)論：(1)(稱為矩陣的跡,簡記為).(2).(3)

的特征值是的特征值是(4)方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為0.矩陣的特征值與特征向量定理1.12設(shè)則證

設(shè)