高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽省安慶市2025屆高三下學(xué)期模擬考試(二模)數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.2.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又，所以，得.故選：C.3.若將函數(shù)圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于原點成中心對稱，則的最小正值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得，由該函數(shù)為奇函數(shù)可知，即，所以的最小正值為.故選：A4.已知等比數(shù)列的前項和為，若，且與的等差中項為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為等比數(shù)列的前項和為，設(shè)其公比為，由已知，故，所以，，則，故，所以，，故.故選：D.5.已知平面向量，則“”是“在方向上的投影向量為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由于在方向上的投影向量，若，則，故，若，則，故選：C.6.函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線但又不與該直線相交，則（）A.函數(shù)不具有奇偶性B.C.函數(shù)的值域為D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，A錯誤；由函數(shù)的圖象過原點，有，即，所以，由于的圖象無限接近直線但又不與該直線相交，故，且，故，于是B，C錯誤；由上面的分析得出函數(shù)，顯然的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D正確；故選：D.7.設(shè)事件為兩個隨機事件，，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由可得，又，所以，所以，即，即，于是.故選：B.8.已知曲線，直線，若與有三個交點，且一個交點平分另兩個交點連成的線段，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】顯然與交于點，由，得，得或，設(shè)另外兩個點為，則，不妨設(shè)，已知一個交點平分另兩個交點連成的線段，當(dāng)時，，此時，則，不合題意；當(dāng)時，，得，解得.又，所以不成立，故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某市為了了解一季度居民的用水情況，隨機抽取了若干居民用戶的水費支出（單位：元）進(jìn)行調(diào)查，將所得樣本數(shù)據(jù)分為4組：，整理得頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.樣本中水費支出位于區(qū)間的頻率為0.03B.按分層抽樣，從水費支出位于區(qū)間和的用戶中共抽取16戶，則應(yīng)從水費支出在的用戶中抽4戶C.水費支出的中位數(shù)的估計值為45D.若從該市全體居民用戶中隨機抽取5戶，以事件發(fā)生的頻率作為概率，則水費支出位于區(qū)間的用戶數(shù)的估計值為3【答案】BD【解析】因，所以樣本中支出在的頻率為A錯誤；，B正確：因，中位數(shù)的估計值為，C錯誤；記抽出的5戶中一季度水費支出位于區(qū)間的用戶數(shù)為，根據(jù)題意可知，D正確.故選:BD.10.如圖，在正三棱柱中，，點為正三棱柱表面上異于點的點，則（）A.存在點，使得B.直線與平面所成的最大角為C.若不共面，則四面體的體積的最大值為D.若，則點的軌跡的長為【答案】ACD【解析】對于A選項，當(dāng)點為中點時，所以，故A正確；對于B選項，當(dāng)點位于點時，為直線與平面所成角，故B錯誤；對于C選項，當(dāng)點位于點（或棱上）時，點到平面的距離最遠(yuǎn)，此時四面體的體積最大，以點為例，此時，故C正確；對于D選項，若，如圖，在棱上取點，使，在棱上取點使，則點的軌跡由圓弧構(gòu)成，且其所在圓的半徑依次為，，圓心角依次為，圓弧的長分別為，故點的軌跡的長為，故D正確；故選：ACD.11.若實數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】設(shè)函數(shù)，顯然為增函數(shù)，，由已知，故，故A正確；由，有，故，則，故，故B正確；由，得，故，故C錯誤；由得，則，由于，得，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與圓相交于兩點，則四邊形的面積等于__________.【答案】9【解析】由已知，圓，圓，圓心，半徑，圓心，半徑，法一：如圖，準(zhǔn)確畫圖，容易發(fā)現(xiàn)四邊形是邊長為3正方形，其面積為9；法二：將兩圓方程相減，可得公共弦所在直線的方程為：到距離為，所以，即，又，所以，四邊形的面積.故答案為：9.13.數(shù)列滿足，則使得的最小正整數(shù)的值為__________.【答案】6【解析】因為，所以，則，又，所以為以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則使得，計算得最小正整數(shù)值為6，故答案為：6.14.將3個1，3個2，3個3共9個數(shù)分別填入如圖方格中，使得每行、每列的和都是3的倍數(shù)的概率為__________.【答案】【解析】將3個1，3個2，3個3共9個數(shù)填入一共有種方法.每行，每列的和為3的倍數(shù)有兩種可能：①每行或每列的數(shù)字相同，有種方法，②每行或每列的數(shù)字1，2，3各一個，有種方法.所以每行，每列的和都是3的倍數(shù)的概率為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.Deepseek席卷全球引發(fā)了AI浪潮.某中學(xué)為豐富學(xué)生個性化學(xué)習(xí)生活，組織成立Deepseek應(yīng)用學(xué)生社團(tuán)組織，成立數(shù)據(jù)運用、模型設(shè)計、場景分析、遷移學(xué)習(xí)等四個學(xué)生社團(tuán)并計劃招募成員，由于報名人數(shù)超過計劃數(shù)，將采用隨機抽取的方法確定最終成員.下表記錄了四個社團(tuán)的招募計劃人數(shù)及報名人數(shù).社團(tuán)計劃人數(shù)報名人數(shù)數(shù)據(jù)運用50100模型設(shè)計60場景分析160遷移學(xué)習(xí)160200甲同學(xué)報名參加這四個學(xué)生社團(tuán)，記為甲同學(xué)最終被招募的社團(tuán)個數(shù)，已知，.（1）求甲同學(xué)至多獲得三個社團(tuán)招募的概率；（2）求甲同學(xué)最終被招募的社團(tuán)個數(shù)的期望.解：（1）由于事件“甲同學(xué)至多獲得三個社團(tuán)招募”與事件“”是對立的，所以甲同學(xué)至多獲得三個社團(tuán)招莫的概率是（2）解法1：設(shè)甲同學(xué)被數(shù)據(jù)運用，模型設(shè)計，場景分析，遷移學(xué)習(xí)等各社團(tuán)招?依次記作事件.由題意可知，，，又，解得，則,，，所以的分布列為：01234.解法2：設(shè)甲同學(xué)被數(shù)據(jù)運用，模型設(shè)計，場景分析，遷移學(xué)習(xí)等各社團(tuán)招募依次記作事件.由題意可知，，，又，解得.設(shè)甲同學(xué)報名數(shù)據(jù)運用，模型設(shè)計，場景分析3個社團(tuán)，最終被招募的社團(tuán)個數(shù)，由于其被招募的概率均為，所以服從二項分布，故；甲同學(xué)被遷移學(xué)習(xí)社團(tuán)招募的概率為，最終被遷移學(xué)習(xí)社團(tuán)招募的個數(shù)為，則也服從二項分布，，從而，故.16.在中，角所對的邊分別為，且.（1）證明：；（2）若角為銳角，且的面積為，求邊長的大小.（1）證明：證法1：由正弦定理得，.∵，∴，即，∵，∴，故，∵，∴，∴或，∴或（舍），故.證法2：由正弦定理得，，由余弦定理得，，∴，即，∴，∴.∵，∴，即，∵，∴，∴或，∴或（舍），故.（2）解：由，得，即，∴，∵，∴，故，∵，∴，即，故，∴，即，故，，∴為等腰直角三角形，∵，∴.17.如圖，在矩形中，為中點，在邊上，且，將沿翻折至，得到五棱錐為中點.（1）求證：平面：（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，取中點，連接，因為在矩形中，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，因為平面，所以平面，在中，分別為的中點，所以，因為平面，所以平面，因為平面平面，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）解：取中點，連接，如圖所示，因為在矩形中，，所以在中，，且，因為平面平面，且平面平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，并過點分別作與平行直線為軸，與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得：，所以，設(shè)平面的法向量為，有，所以，取，得平面的一個法向量為又，設(shè)直線與平面所成角的，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，過的直線交于兩點.（1）求拋物線的方程：（2）求證：拋物線在兩點處的切線互相垂直；（3）設(shè)為線段的中點，以線段為直徑的圓交拋物線在處的切線于點，試判斷是否為定值，并證明你的結(jié)論.（1）解：易知，拋物線開口向上，且焦點坐標(biāo)為，所以橢圓的焦點也在軸上，則由，解得：，所以拋物線的方程為.（2）證明：因為直線與拋物線有兩個交點，所以其斜率必存在，設(shè)直線的方程為由，則對求導(dǎo)得，設(shè)拋物線在兩點處的切線斜率分別為，則，即拋物線在兩點處的切線互相垂直.（3）解：解法1：由（2）可知即，則與軸的交點坐標(biāo)為，于是于是，所以為定值.解法2：設(shè)拋物線在兩點的切線，切線交點為，故，聯(lián)立解得點坐標(biāo)為，由（2）知點坐標(biāo)為，且，所以，故，即，因為，所以，即，故在中，，所以，即，所以為定值.解法3：因為，故，又，所以，，即，由（2）知，所以，故，即，所以為定值.19.定義在同一數(shù)集上的函數(shù)，按一定順序排成一列，稱為數(shù)集上的函數(shù)列，記為的導(dǎo)函數(shù)為.（1）若滿足，證明：為等比數(shù)列：（2）定義在上的函數(shù)