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文檔簡介

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方向?qū)?shù)與梯度**例子：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標(biāo)原點處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點？問題的答案：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．一問題的提出**0xy方向?qū)?shù)圖示

討論函數(shù)在一點P沿某一方向的變化率問題．**（如圖）**當(dāng)沿著趨于時，是否存在？**

設(shè)函數(shù)在點的某鄰域設(shè)x軸正向到射

有定義，自點引射線的轉(zhuǎn)角為比值稱為函數(shù)沿方向的平均變化率。二方向?qū)?shù)的定義**記為**說明：1)因為沿方向，**2）因為沿反方向，**三方向?qū)?shù)的計算公式證在點是可微的，**所以**推廣：對于三元函數(shù)在點其中沿方向（為其方向角）的方向?qū)?shù)為：**解**例2設(shè)由原點到點（x,y)的向徑為

x軸到的轉(zhuǎn)角為，x軸正向到射線的轉(zhuǎn)角為求其中解：

0xy**故**解令故方向余弦為**例4求在點沿的方向?qū)?shù)。解：**例5求沿橢圓在P(x,y)處求1）外法線方向的方向?qū)?shù)2）內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)**外法線內(nèi)法線****四梯度的概念****結(jié)論**在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量**

類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)**解由梯度計算公式得故**1方向?qū)?shù)的概念2梯度的概念3方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意梯度是一個向量）五小結(jié)**六思考判斷題1方向?qū)?shù)是一個數(shù)值，在任何方向上都存在

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