第3課時(shí)切線長定理

【知識(shí)與技能】

理解掌握切線長的概念和切線長定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心

等概念.

【過程與方法】

利用圓的軸對稱性幫助探求切線長的特征.結(jié)合求證三角形內(nèi)面積最大的圓

的問題，掌握三角形內(nèi)切圓和內(nèi)心的概念.

【情感態(tài)度】

經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力.

【教學(xué)重點(diǎn)】

切線長定理及其應(yīng)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

內(nèi)切圓、內(nèi)心的概念及運(yùn)用.

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

探究如圖，紙上有一⊙O，PA為⊙O的一條切線，沿著直線PO對折，設(shè)

圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B，回答下列問題：（1）OB是⊙O半徑嗎？（2）PB是

⊙O的切線嗎？（3）PA、PB是什么關(guān)系？（4）∠APO和∠BPO有何關(guān)系？

學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，觀察分析，合作交流后，教師抽取幾位學(xué)生回答問題.

分析：OB與OA重合，OA是半徑，∴OB也是半徑.根據(jù)折疊前后的角不

變，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=

∠BPO.而PB經(jīng)過半徑OB的外端點(diǎn)，∴PB是⊙O的切線.

二、思考探究，獲取新知

1.切線長的定義及性質(zhì)

切線長：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到

圓的切線長.

我們知道圓的切線是直線，而切線長是一條線段長，不是直線.

如右圖中，PA、PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，

OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.

由此我們得到切線長定理:

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線

平分兩條切線的夾角.

【教學(xué)說明】這個(gè)定理要讓學(xué)生分清題設(shè)和結(jié)論.題設(shè)：過圓外一點(diǎn)作圓的

切線.結(jié)論：①過圓外的這一點(diǎn)可作該圓的兩條切線.②兩條切線長相等.③這一點(diǎn)

和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

猜想：在上圖中連接AB，則OP與AB有怎樣的關(guān)系？

分析：∵PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn).∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，

∴OP⊥AB，且OP平分AB.

2.三角形的內(nèi)切圓

思考如圖是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用料，并且

使圓的面積盡可能大呢？

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生分析作圖的關(guān)鍵，假設(shè)圓已經(jīng)作出，圓心應(yīng)滿足什么

條件，怎樣根據(jù)這些條件確定圓心？圓心確定后，如何確定半徑？教師引導(dǎo)，學(xué)

生要互相討論來解決這些問題.

假設(shè)符合條件的圓已作出，那么這個(gè)圓與△ABC的三邊都相切，這個(gè)圓的

圓心到△ABC三邊的距離都等于半徑.又因?yàn)槲覀冊诮瞧椒志€這節(jié)中學(xué)過，三角

形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三條邊的距離相等.因此，在△ABC

中，作∠B，∠C的角平分線BM和CN，它們相交于點(diǎn)I，則點(diǎn)I到AB、BC、

AC的距離相等.∴以I為圓心，點(diǎn)I到BC的距離ID為半徑作圓，則⊙I與△ABC

三邊相切.

內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.

【教學(xué)說明】要讓學(xué)生對照圖形理解三角形的內(nèi)切圓的概念，并與三角形的

外接圓進(jìn)行比較.“接”和“切”是說明多邊形的頂點(diǎn)和邊與圓的關(guān)系；多邊形

的頂點(diǎn)都在圓上叫“接”，多邊形的邊都與圓相切叫“切”.

三、典例精析，掌握新知

例1教材第100頁，例2（本題較簡單，教師指點(diǎn)，可由學(xué)生自主完成）

例2如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，連接OP，

交⊙O于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半徑OA及兩切線PA、PB的夾角.

分析：連接OA，設(shè)AO=x，在Rt△AOP中利用勾股定理求出x，由切線長

定理知∠APO=12∠APB.求出∠APO就可得∠APB.

解：連接AO，∵PA是⊙O的切線，∴PA⊥OA，△PAO為直角三角形.

設(shè)OA=x，則OC=x，在Rt△PAO中，OA2+PA2=OP2，∴x2+62=(23+x)2，

解得:x=23.∴OA=23，OP=43，∴∠AOP=60°，∠APO=30°.

∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°.∴⊙O的半徑OA為23，兩切線PA、

PB的夾角為60°.

【教學(xué)說明】例1、例2是利用切線長定理進(jìn)行計(jì)算，在解題過程中，我們

常常用方程來解決幾何問題.

例3如圖，在△ABC中，I是內(nèi)心，∠BIC=100°，則∠A=____.

分析：∵I是內(nèi)心.

∴BI，CI分別是∠ABC，∠ACB的平分線.

∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）.

又∵∠BIC=100°，∴∠IBC+∠ICB=80°.

∴∠ABC+∠ACB=160°.

∴∠A=180°-160°=20°.

【教學(xué)說明】指導(dǎo)學(xué)生利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)解決問題.

四、運(yùn)用新知，深化理解

課本第100頁練習(xí)1、2題.

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生完成課本練習(xí).

五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪幾個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)？你有哪些疑惑？

【教學(xué)說明】學(xué)生自主交流并發(fā)言總結(jié)，教師予以補(bǔ)充和點(diǎn)評，讓學(xué)生完整

地領(lǐng)會(huì)本堂課的知識(shí)要點(diǎn).

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題24.2”