3.3立體幾何-2--3-2014年：近三年考情分析：二小一大格局第11題：三棱柱，異面直線所成角第18題：四棱錐，線面平行；二面角與體積第6題：三視圖，體積2015年：第9題：三棱錐體積，外接球的表面積第19題：長方體，線面平行；直線與平面所成角第6題：三視圖，體積2016年：第14題：平行與垂直的判定第19題：平面圖形的翻折，線面垂直；二面角第6題：三視圖，表面積-4-1.證明線線平行和線線垂直的常用方法(1)證明線線平行常用的方法:①利用平行公理,即證兩直線同時和第三條直線平行;②利用平行四邊形進行平行轉化;③利用三角形的中位線定理證線線平行;④利用線面平行、面面平行的性質定理進行平行轉化.-5-(2)證明線線垂直常用的方法:①利用等腰三角形底邊上的中線即高線的性質;②勾股定理;③線面垂直的性質:

只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可,

即l⊥α,a?α?l⊥a.-6-2.證明線面平行和線面垂直的常用方法(1)證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理:

把證明線面平行轉化為證明線線平行;②利用面面平行的性質:

把證明線面平行轉化為證明面面平行.-7-(2)證明線面垂直的常用方法:①利用線面垂直的判定定理:

把線面垂直轉化為證明線線垂直;②利用面面垂直的性質定理:

把證明線面垂直轉化為證明面面垂直;③利用常見結論:

如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面,

則另一條也垂直于這個平面等.即l⊥α,l//b?b⊥a.-8-3.證明面面平行和面面垂直的常用方法(1)證明面面平行的方法①利用面面平行判定定理：

只要找到一個平面內兩條相交直線與另一個平

面平行即可,從而將證明面面平行轉化為證明線

面平行,再轉化為證明線線平行.-9-(2)證明面面垂直的方法①利用面面垂直的判定定理：

即證明一個面過另一個面的一條垂線,將證明

面面垂直轉化為證明線面垂直,一般從現(xiàn)有直線

中尋找,若圖中不存在這樣的直線,則借助中點、

高線或添加輔助線解決.②利用面面垂直的定義:

即證明二面角的平面角是直角-10-4.利用空間向量證明平行與垂直

設直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分別為μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3)則有:(1)線面平行:l∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)線面垂直:

l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.-11-(3)面面平行:α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.(4)面面垂直:

α⊥β?μ⊥v?μ·v=0?a2a3+b2b3+c2c3=0.-12--13-(3)面面夾角的計算:設平面α,β的法向量分別為n1,n2,α與β的夾角為θ,如下圖,-14-6.求點到平面的距離

3.3.1

空間中的平行與垂直-16-考向一考向二例1(2016江蘇,16）如圖,在直三棱柱ABC-中,D,E分別為AB,BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F,A1C1

⊥A1B1.求證:(1)直線DE∥平面A1C1F;

(2)平面B1DE⊥平面A1C1FABCEFA1B1C1D-17-考向一考向二平行與垂直關系的證明

例1(2016江蘇,16)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點,點F在側棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求證:(1)直線DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.答案答案關閉證明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因為D,E分別為AB,BC的中點,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因為DE?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F,所以直線DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因為A1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因為A1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因為B1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因為B1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因為直線B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.-18-考向一考向二突破策略幾何轉化法:從解題方法上說,由于線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)之間可以相互轉化,因此整個解題過程始終沿著線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)的轉化途徑進行.-19-考向一考向二對點訓練1

如圖,三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點.

(1)求證:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求證:平面BCD⊥平面EGH.-20-考向一考向二證明:(1)方法一

如圖,連接DG,CD,設CD∩GF=M,連接MH.在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G為AC的中點,可得DF∥GC,DF=GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形,則M為CD的中點.又H為BC的中點,所以MH∥BD.又MH?平面FGH,BD?平面FGH,所以BD∥平面FGH.方法二

在三棱臺DEF-ABC中,由BC=2EF,H為BC的中點,可得BH∥EF,BH=EF,所以四邊形BHFE為平行四邊形,可得BE∥HF.在△ABC中,G為AC的中點,H為BC的中點,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因為BD?平面ABED,所以BD∥平面FGH.-21-考向一考向二(2)如圖,因為G,H分別為AC,BC的中點,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H為BC的中點,所以EF∥HC,EF=HC,因此四邊形EFCH是平行四邊形.所以CF∥HE.又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH?平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC?平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.-22-考向一考向二例2如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°,E是PA的中點.(1)求證:直線PC∥平面BDE;(2)求證:BD⊥PC.-23-考向一考向二-24-考向一考向二-25-考向一考向二突破策略向量坐標法:利用空間向量證明空間的平行或垂直關系,首先建立空間坐標系,然后用坐標表示直線的方向向量及平面的法向量,最后利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘運算證明.用向量方法證明直線a∥b,只需證明向量a=λb(λ∈R)(其中a,b分別是直線a與b的方向向量);證直線和平面垂直,只需證直線的方向向量與平面的法向量共線;證直線和平面平行,除證直線的方向向量與平面的法向量垂直外,還需強調直線在平面外.-26-考向一考向二對點訓練2

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分別為B1A,C1C,BC的中點,求證:

(1)DE∥平面ABC;(2)B1F⊥平面AEF.解析-27-解析關閉與平行、垂直有關的存在性問題

例3(2016北京,理17)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,(1)求證:PD⊥平面PAB;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在點M,使得BM∥平面PCD?若存在,求

的值;若不存在,說明理由.-28-考向一考向二-29--30-考向一考向二(1)證明:因為平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD,所以PD⊥平面PAB.(2)解:

取AD的中點O,連接PO,CO.因為PA=PD,所以PO⊥AD.又因為PO?平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因為CO?平面ABCD,所以PO⊥CO.因為AC=CD,所以CO⊥AD.如圖建立空間直角坐標系O-xyz.-31-考向一考向二-32-考向一考向二-33-考向一考向二突破策略1.先假設題中的數(shù)學對象存在(或結論成立),然后在這個前提下進行邏輯推理,若由此導出矛盾,則否定假設;否則,給出肯定結論.2.空間向量最適合解決這類探索性問題,解題時無需進行復雜的作圖、論證、推理,只需把要成立的結論當作條件,據(jù)此列方程或方程組,把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解,即通過坐標運算進行判斷,這就是計算推理法.-34-考向一考向二