模塊05立體幾何與空間向量一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)是三個(gè)不同平面，且，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（24-25高三上·重慶·期末）如圖，在正四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，設(shè)，則用表示為（

）

A． B．C． D．3．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知是空間中的兩個(gè)不同的平面，l，m，n是三條不同的直線.下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．（24-25高三上·湖北武漢·期中）如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（

）A．B．C．四邊形的周長為D．四邊形的面積為5．（24-25高三上·天津紅橋·期末）球面上有三點(diǎn)，若，且球心到所在平面的距離，等于球的半徑的一半，則該球的球面面積為（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知正方體的棱長為2，且滿足且，則的最小值是（

）A． B． C． D．7．（24-25高三上·黑龍江·期末）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)滿足：，分別是圓柱的上，下底面的兩條直徑，且該三棱錐體積的最大值為6，則圓柱的體積為（

）A． B． C． D．8．（24-25高二下·福建南平·期末）如圖，正方體中，，，，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（24-25高三上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）已知直線，，平面，，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則10．（24-25高三上·河北廊坊·期末）如圖所示，棱長為的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的倍B．若點(diǎn)平面，且與所成角是，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支C．三棱錐的外接球的表面積為D．若線段，則的最小值是11．（24-25高三上·貴州貴陽·開學(xué)考試）如圖，在長方體中，，點(diǎn)為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面B．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，直線與直線所成角的余弦值為C．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積是定值D．點(diǎn)到直線距離的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（24-25高二上·江蘇徐州·期中）已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則的值為．13．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比.14．（2025·上海·模擬預(yù)測）已知P是一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)，是母線，，該圓錐的底面半徑是1．B、C分別在圓錐的底面上，則異面直線與所成角的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，．

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；16．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn).是平面外的一點(diǎn)，且有.

(1)證明：；(2)已知，，，直線與平面所成角的正弦值為.（i）求的面積；（ii）求三棱錐的體積.17．（24-25高三上·天津北辰·期末）如圖，在四棱柱中，平面，其中是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.18．（24-25高三上·天津紅橋·期末）在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，其中是棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面夾角的正弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離；19．（24-25高三上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）如圖，在四棱錐中，，，，是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，點(diǎn)E是棱上的一點(diǎn).

(1)若，求證：平面；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值；(3)求點(diǎn)到直線的距離的最小值.模塊05立體幾何與空間向量一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)是三個(gè)不同平面，且，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理，及它們之間的推出關(guān)系，即可以作出判斷.【詳解】由于，，由平面平行的性質(zhì)定理可得：，所以是的充分條件；但當(dāng)，，并不能推出，也有可能相交，所以是的不必要條件；故選:A.2．（24-25高三上·重慶·期末）如圖，在正四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，設(shè)，則用表示為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】由圖及空間向量加減法可得答案.【詳解】由圖可得：.故選：C3．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知是空間中的兩個(gè)不同的平面，l，m，n是三條不同的直線.下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】對(duì)于A：根據(jù)線面垂直的判定定理分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)面面垂直的判定定理分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)線面平面的判定定理分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)平行關(guān)系可知，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)線面垂直的判定定理可知：需保證m，n相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)面面垂直的判定定理可知：需推出線面垂直，現(xiàn)有條件不能得出，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)線面平面的判定定理可知：需保證，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則，且，所以，故D正確；故選：D.4．（24-25高三上·湖北武漢·期中）如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（

）A．B．C．四邊形的周長為D．四邊形的面積為【答案】D【分析】利用斜二測畫法將圖形還原計(jì)算幾何圖形的面積與周長以及相關(guān).【詳解】如圖可知，四邊形的周長為，四邊形的面積為.故選:D.5．（24-25高三上·天津紅橋·期末）球面上有三點(diǎn)，若，且球心到所在平面的距離，等于球的半徑的一半，則該球的球面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出的外接圓半徑，再利用球面的截面小圓性質(zhì)求出球的半徑，可求表面積.【詳解】令外接圓的半徑為，球的半徑為，由，得，所以為直角三角形，則，即，因?yàn)榍蛐牡剿谄矫娴木嚯x，等于球的半徑的一半，所以，解得，所以球的表面積為.故選：A.6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知正方體的棱長為2，且滿足且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由且，得到，E，A，C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)E在平面上，從而的最小值為點(diǎn)D到平面的距離求解.【詳解】由題意得，，∴，即，由共面向量定理得，，E，A，C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)E在平面上，則的最小值為點(diǎn)D到平面的距離．以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，A2,0,0，，，∴，，DA=2,0,0，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，取，D到平面的距離，即的最小值為．故選：B7．（24-25高三上·黑龍江·期末）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)滿足：，分別是圓柱的上，下底面的兩條直徑，且該三棱錐體積的最大值為6，則圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先應(yīng)用到平面的距離相等，再應(yīng)用三棱錐體積公式計(jì)算結(jié)合不等關(guān)系計(jì)算圓柱體積即可.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，圓柱的高為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以到平面的距離也為，故，所以圓柱的體積為.故選:C.8．（24-25高二下·福建南平·期末）如圖，正方體中，，，，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用坐標(biāo)法，利用線面角的向量求法，三角函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為.則，，，，，.所以，，，．設(shè)平面的法向量為，則令，則，，可得.又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，從而當(dāng)時(shí)，取到最大值，又，故時(shí)直線與平面所成的角最大．故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（24-25高三上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）已知直線，，平面，，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】BC【分析】由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可得A錯(cuò)誤，B正確；由線面垂直的的性質(zhì)可得C正確，D錯(cuò)誤；【詳解】選項(xiàng)A中，可能在內(nèi)，也可能與平行，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，因?yàn)?，，，所以，故B正確；選項(xiàng)C中，因?yàn)?，，所以，又，所以，故C正確；選項(xiàng)D中，因?yàn)?，，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（24-25高三上·河北廊坊·期末）如圖所示，棱長為的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的倍B．若點(diǎn)平面，且與所成角是，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支C．三棱錐的外接球的表面積為D．若線段，則的最小值是【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷A；利用坐標(biāo)法，列出關(guān)于異面直線所成角的余弦值的式子，即可判斷B；利用坐標(biāo)法，求三棱錐的外接球的球心坐標(biāo)和半徑，即可判斷C；利用坐標(biāo)法，表示兩點(diǎn)間的距離，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即可求最值.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0、、、、，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1則，取，則，，所以，點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，所以，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，，，

若與所成角是，則，整理為，為雙曲線方程，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，、、、，設(shè)三棱錐的外接球的球心坐標(biāo)為，半徑為，則,方程組中前個(gè)式子和后個(gè)式子相減，得，得，再回代方程組得，，所以三棱錐的外接球的表面積為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，可設(shè)點(diǎn)，即，，，，上式的意義可以理解為平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離和的倍，顯然，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離和的最小值是兩定點(diǎn)和間的距離，距離為，所以的最小值是，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是坐標(biāo)法的使用，不僅可以表示角，距離，還可以求解軌跡方程，球心坐標(biāo)等問題.11．（24-25高三上·貴州貴陽·開學(xué)考試）如圖，在長方體中，，點(diǎn)為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面B．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，直線與直線所成角的余弦值為C．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積是定值D．點(diǎn)到直線距離的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用空間向量求出向量夾角余弦判斷B；利用三棱錐體積公式判斷C；利用空間向量求出點(diǎn)到直線的距離最小值判斷D.【詳解】在長方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，對(duì)于A，，，，，，即，而平面，因此平面，A正確；對(duì)于B，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，點(diǎn)到平面的距離為，而的面積，因此三棱錐的體積23是定值，C正確；對(duì)于D，，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（24-25高二上·江蘇徐州·期中）已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則的值為．【答案】/-0.5【分析】，，兩兩成角，模都為1，以這三個(gè)向量為基底，進(jìn)行向量數(shù)量積運(yùn)算.【詳解】根據(jù)題意ABCD為正四面體，，，兩兩成角，,由，，所以．故答案為：13．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比.【答案】【分析】利用圓臺(tái)的體積公式，得到，求解答案即可.【詳解】由已知結(jié)合圓臺(tái)的體積公式即可求解．因?yàn)榧?、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比．故答案為：．14．（2025·上?！つM預(yù)測）已知P是一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)，是母線，，該圓錐的底面半徑是1．B、C分別在圓錐的底面上，則異面直線與所成角的最小值為．【答案】【分析】過作交底面圓錐于點(diǎn)，則為異面直線與所成角，結(jié)合余弦定理與余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得的取值范圍，從而得所求最值.【詳解】如圖，過作交底面圓錐于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則為異面直線與所成角，所以，又，所以，即，因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，故異面直線與所成角的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，．

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，得到，再由為的中點(diǎn)，得到，結(jié)合，列出方程求得，得到為的中點(diǎn)，進(jìn)而證得，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可求解.（2）根據(jù)題意，求得，得到，進(jìn)而得到，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可證得平面平面.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，又因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，解得，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）證明：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?16．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn).是平面外的一點(diǎn)，且有.

(1)證明：；(2)已知，，，直線與平面所成角的正弦值為.（i）求的面積；（ii）求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)（i）；（ii）.【分析】（1）由空間向量的運(yùn)算可得，，再由線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明；（2）（i）由余弦定理求，根據(jù)同角的平方關(guān)系求出，再由三角形面積公式即可求解；（ii）由（i）得即為與平面所成角，根據(jù)及即可求解.【詳解】（1）因?yàn)镋為邊AB的中點(diǎn)，所以.又，即，即.，所以.又因?yàn)椋?，?因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?

（2）（i）由余弦定理可得，所以，所以.（ii）由（1）可知，平面，所以即為與平面所成角.因?yàn)?，所以，，所以，?設(shè)到平面的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，則.因?yàn)?，又，所?17．（24-25高三上·天津北辰·期末）如圖，在四棱柱中，平面，其中是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得平面；（2）求出平面的法向量，結(jié)合（1）中的信息，利用面面角的向量求法計(jì)算可得結(jié)果；（3）利用空間中點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算即可得解.【詳解】（1）平面，平面，平面，,又，以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，不妨設(shè)，得所以平面的一個(gè)法向量為，，有，故.又平面，所以平面．（2）由（1）可知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，不妨設(shè)，得，所以平面的一個(gè)法向量為，于是，所以，平面與平面的夾角余弦值為.（3）由，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以，點(diǎn)到平面的距離為.18．（24-25高三上·天津紅橋·期末）在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，其中是棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面夾角的正弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離；【答案】(1)證明見解析(2)(3)1【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則由三角形的中位線定理可得，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由已知可證得，且，所以以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式即可求解；（3）利用空間向量中的距離公式可求