課程基本信息

課例編號2020QJ11SXRA001學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期上

課題空間向量及其線性運算

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(A版)

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年4月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師李翥北京市第五中學(xué)

指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

（1）經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念．

（2）經(jīng)歷由平面向量的線性運算及其法則推廣到空間向量的過程．

（3）掌握空間向量的線性運算和簡單應(yīng)用．

教學(xué)重點：空間向量的概念和線性運算及其應(yīng)用

教學(xué)難點：空間向量的線性運算及其應(yīng)用

教學(xué)過程

時教學(xué)

主要師生活動

間環(huán)節(jié)

問題1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量的概念和線性運算，你能類比平面向量，給出空

間向量的概念和線性運算嗎？

追問(1)：平面向量是什么的？你能類比平面向量給出空間向量的概念嗎？

追問（2）：如何表示平面向量？？你能類比平面向量的表示，給出空間向量

的表示嗎？

師生

問追問（3）：從平面向量的概念出發(fā)，我們又學(xué)習(xí)了不少新的概念.你還記得嗎？

答、

共同有哪些？你能把這些概念推廣到空間向量中嗎？

探究

問題2在學(xué)習(xí)完平面向量的相關(guān)概念以后，我們研究了平面向量的線性運算.你能

類比平面向量的線性運算，得出空間向量的線性運算及運算律嗎？

追問（1）：平面向量的線性運算有哪些？我們?nèi)绾窝芯窟@些運算？

答：平面向量有加法、減法和數(shù)乘運算.先研究它們的定義及運算法則，再

研究它們的運算律；

追問（2）：平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算的定義或法則分別是什么？你

能類比它們得出空間向量的加、減和數(shù)乘運算的定義或法則嗎？

追問（3）：平面向量線性運算的運算律有哪些？你能類比它們得出空間線性

運算的運算律嗎？

由于任意兩個空間向量都可以通過平移，轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，因此，

我們猜想，空間向量的線性運算也具有和平面向量線性運算相同的運算律.

數(shù)學(xué)結(jié)論是需要嚴(yán)格證明的,由合情推理、猜想得到的結(jié)論不一定正確，需要嚴(yán)

格證明.

追問(4)：空間向量線性運算運算律的證明，和平面向量有哪些異同？

除空間向量加法的結(jié)合律以外，其他運算律都可以轉(zhuǎn)化為平面向量線性運算

的運算律進(jìn)行證明.結(jié)合律涉及三個向量，它們可能不在同一個平面內(nèi).

追問（5）如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？

如圖，可將空間中任意三個不共面的向量，通過平移使它們起點重合，分別

平移表示表示這三個向量的線段，構(gòu)成一個平行六面體.我們借助這個平行六面

體來證明加法的結(jié)合律.

一般地，對于三個不共面的向量a，b，c，以任意點O為起點，a，b，c

為鄰邊作平行六面體，則a，b，c的和等于以O(shè)為起點的平行六面體對角線所表

示的向量.

問題3平面向量的線性運算可以解決平面中的很多問題，空間向量的線性運算是

否可以解決空間中相應(yīng)的問題呢？

由平面向量的線性運算，我們研究了平面向量的共線及線性表示等問題.

追問（1）：你還記得兩個向量共線的充要條件嗎？這個充要條件對于空間向

量也成立嗎？

追問（2）：任意兩個空間向量都可以通過平移，移到同一平面內(nèi)，三個向量

呢？

答：任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能共面，也可能不

共面.

追問（3）：你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？它和三個空間向量共面有

什么關(guān)系？

問題4如右圖，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O作射線OA，OB，

OEOFOGOH

OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，使k.

OAOBOCOD

求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面.

追問(1):如何證明E，F(xiàn)，G，H四點共面？

答：可以通過證明E，F(xiàn)，G，H這四點構(gòu)成的三個向量，如

EF，EH，EG共面，來證明這四點共面.

追問(2):如何證明這三個向量共面？

答：根據(jù)向量共面的充要條件，用EF，EH表示EG即可.

追問(3):如何實現(xiàn)上述表示？

答：可以根據(jù)三角形法則，把EF，EH，EG分別用OE,OF,OG,OH等向量來表

示；再利用已知條件，將它們轉(zhuǎn)化用OA,OB,OC,OC表示的形式.而由已知平行四

邊形ABCD，得到AC=AD+AB，從而可以得到OA,OB,OC,OC的關(guān)系，進(jìn)一步得

到OE,OF,OG,OH的關(guān)系，最終用用EF，EH表示EG.

思路小結(jié)：選擇恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素，通過向量運算得出幾何

元素的關(guān)系是解決立體幾何問題的常用方法.

問題5回顧本節(jié)課的探究過程，你都學(xué)到了什么？

1.從知識層面，我們學(xué)習(xí)了空間向量的有關(guān)概念和線性運算.包括空間向量的

概念，表示法以及零向量、單位向量、共線向量等相關(guān)概念；我們把平面向量的

線性運算推廣空間向量，研究了空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算的定義、運算

法則以及運算律；通過空間向量的線性運算，我們有了直線的方向向量，以及空

間中證明向量或點共面的方法.

2.從本節(jié)課的研究方法上來看，我們始終類比平面向量的相關(guān)內(nèi)容，在空間

中進(jìn)行推廣，同時比較它與平面向量的共性和差異，并對