課程基本信息

課例編號2020QJ11SXRA057學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期上學(xué)期

課題等比數(shù)列的概念（1）

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師劉薇北京市第二十五中學(xué)

指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中學(xué)

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：（1）通過類比等差數(shù)列，理解等比數(shù)列的定義，并能以方程思想作指導(dǎo)，

理解和運用等比數(shù)列的通項公式.

（2）體會類比、歸納的思想，培養(yǎng)學(xué)生概況、抽象思維等能力.

教學(xué)重點：等比數(shù)列概念的形成及通項公式的簡單應(yīng)用.

教學(xué)難點：等比數(shù)列通項公式的探求.

教學(xué)過程

時教學(xué)環(huán)

主要師生活動

間節(jié)

問題1在前面的學(xué)習(xí)中，我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項起，

每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)”，類比等差數(shù)列的研究思路和

方法，從運算的角度出發(fā)，你覺得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？

請觀察下面幾個問題中的數(shù)列.

1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數(shù)列：

1，，，，；①

分引入2310

鐘99，9，?9，，；②

2310

10，0，100，10，0.?100③

2310

2.《莊5子5?天5下》?中提5到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”意思

是一尺長的棍棒，每日截取它的一半，永遠(yuǎn)截不完.形象地說明了事物具有

無限可分性.用數(shù)學(xué)眼光來看，就是如果把“一尺之錘”的長度看成單位“1”，

那么從第一天開始，各天得到的“棰”的長度依次是

1，1，1，1，1，④

2481632

3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的?情.況下，某

種細(xì)菌每20min就通過分裂繁殖一代，每一個細(xì)

菌都分裂成兩個，那么一個這種細(xì)菌從第1次分

裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是

2，4，8，16，32，64，.⑤

4．某人存入銀行元，存期為?5年，年利率為，那么按照復(fù)利，他5

年內(nèi)每年末得到的本利?和分別多少？?

復(fù)利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利

息.

存入元，

第一年末?，

第二年末?1+?，（以為本金）

2

第三年末?1+?+?1+??=?1+?，（?以1+?為本金，

2232

下面以此類推）?1+?+?1+??=?1+??1+?

第四年末，

334

第五年末?1+?+?1+??=?1+?.

445

即5年?內(nèi)1每+年?末+得?到1的+本?利?和=為?1+?

，，，，.⑥

2345

?1+??1+??1+??1+??1+?

追問1：類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)

列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

我們知道，加法、乘法運算是數(shù)學(xué)中兩類基本的運算，很多變化符合加

法、乘法的運算規(guī)律，我們常常稱為線性變化、指數(shù)變化.

13

分新課我們可以通過除法運算探究以上數(shù)列的取值規(guī)律.

鐘

如果用表示數(shù)列①，那么有

?

a?aa

29，39，，109.

a1a2a9

這表明，數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律：從第2項起，每一項與它的前一項

的比都等于9.

其余幾個數(shù)列也有這樣的取值規(guī)律，請你說出相應(yīng)的規(guī)律.

追問2：類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出

等比數(shù)列的概念嗎？

等差數(shù)列等比數(shù)列

一般地，如果一個數(shù)列從第2一般地，如果一個數(shù)列從第2

項起，每一項與它的前一項的差都項起，每一項與它的前一項的比都

等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫

做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)

列的公差，公差通常會用字母表列的公比，公比通常會用字母表

示.?示.?

用代數(shù)法怎么表述以上定義？

公比的取值范圍是什么？

我們通?過練習(xí)探究一下.

追問3：由等比數(shù)列的定義，判斷下列數(shù)列是不是等比數(shù)列.如果是，寫

出它的公比.

（1），，，，；

（2）1，1.1，1，.21；1.3311.4641

（3）0，2，0，2，，；

（4）4，?，8，16，?3264?128

55555.a

解：（1）設(shè)數(shù)列為，因為n11.1

an

??

所以，是等比數(shù)列.公比

b?=1.1.

（2）設(shè)數(shù)列為，因為2無意義，所以不是等比數(shù)列.

b1

??

由此發(fā)現(xiàn)，等比數(shù)列首項不能為.

公比可以是嗎？?10

如果我?們?nèi)サ魯?shù)0列的第1項，剩下的三項是否組成等比數(shù)列？

bb

此時，2=0，但是3無意義.所以公比不可以是.

b1b2

?0

c

（3）設(shè)數(shù)列為，因為n1=2，所以是等比數(shù)列.q=-2.

cn

??

公比可以是負(fù)數(shù).

d

（4）設(shè)數(shù)列為，因為n1=，所以是等比數(shù)列.q=1.

dn

??

非零常數(shù)列既是公差為的等差數(shù)列，也是公比為的等比數(shù)

列.01

通過上面的練習(xí)可以總結(jié)，等比數(shù)列的公比q可正、可負(fù)，但不可為零.

追問4：在等差數(shù)列中，我們學(xué)習(xí)了等差中項的概念，通過類比，我們

在等比數(shù)列中有什么相應(yīng)的概念？如何定義？

等差數(shù)列等比數(shù)列

由三個數(shù)，，組成最簡單如果在與中間插入一個數(shù)，

的等差數(shù)列，這?時?，叫?做與的等使，，成?等?比數(shù)列，那么叫?做

差中項.根據(jù)等差數(shù)?列定義?可?知，與?的?等比?中項.此時，?.

2

.???=??

2?=問題?+2?你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？

追問1：回憶一下，等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程，類比猜想，等比數(shù)

列如何推導(dǎo)通項公式？

等差數(shù)列等比數(shù)列

，，

?2=?1+?，?2=?1?，

2

?3=?2+?=?1+2?，?3=?2?=?1??=?1?，

23

?4=?3+?=?1+3??4=?3?=?1??=?1?

?歸?納得，由?此?可得.

??1

??=?1+??1??≥又??=?1?，?這≥就2是說，

01?1

2當(dāng)時，上式也成立.當(dāng)?1=?時1?上=式?也1?成立.

因此?=，1首項為，公差為的等差數(shù)因此?=，1首項為，公比為的等比數(shù)

?1??1?

列的通項公式為列的通項公式為

????

??1

??=?1+??1?.??=?1?.

上述推理過程屬于歸納推理，由歸納推理所獲得的結(jié)論僅僅是一種猜

想，用4.4節(jié)數(shù)學(xué)歸納法可以給出嚴(yán)格的證明，上述通項公式是正確的.

追問2：除了歸納法以外，我們還用什么方法同樣推導(dǎo)出等差數(shù)列的通

項公式？（累加法）類比等比數(shù)列，從運算角度出發(fā)，可以用什么方法推導(dǎo)

等比數(shù)列的通項公式？（累乘法）

等差數(shù)列等比數(shù)列

a

，2q，

a1

?2??1=?

，a

3q，

32

???=?a2

，

a

4，

?4??3=?q

a3

，

，

??

，?a?

nq，

???1

???=?an1

左右兩邊分別依次相加，得到

左右兩邊分別依次相乘，得到

a

，nqn1，

a1

????1=??1?

所以，

所以.

??=?1+??1?.??1

問題3在等差數(shù)列中，公差的等差??數(shù)=?1?

列可以與相應(yīng)的一次函數(shù)建立聯(lián)系?，≠那0么對于等

比數(shù)列，公比滿足什么條件的數(shù)列可以與相應(yīng)

的函數(shù)建立類似?的聯(lián)系？

類似于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，由

a

aaqn11qn可知，當(dāng)且時，

n1q

?>0?≠1

a

等比數(shù)列的第項是指數(shù)型函數(shù)fx1qxxR當(dāng)時的函

q

??????=?

數(shù)值，即.如圖所示.

反之??，=?任?給指數(shù)型函數(shù)（，為常數(shù)，

?

，，且），則，??=??，，??，構(gòu)

2?

?成≠一0個等?比>數(shù)0列?≠，1其首項?1為=，??公比?為2=.?????=???

?

追問1：類比?指?數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?，?你能說說公?比的等比數(shù)列的單調(diào)性

嗎？?>0

a

分析：因為fx1qxxR的單調(diào)性不僅與的取值范圍有關(guān)，

q

?

也與的正負(fù)有關(guān)，所以我們可以總結(jié)如下：

?1

指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性0單<調(diào)?遞<減1單?調(diào)>遞1增?=1

?

等比數(shù)列?=?的單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增不變

?

??=?

等比數(shù)列單調(diào)遞減單?1調(diào)>遞0增不變

??1

的單調(diào)??性=?1?

單調(diào)遞增單?1調(diào)<遞0減不變

例1若等比數(shù)列的第4項和第6項分別為48和12，求的第5

項.????

追問1：等比數(shù)列通項公式由哪些量的值確定？

分析：等比數(shù)列由，唯一確定，可利用條件列出關(guān)于，的方

?11

8程（組），進行求解.?????

知識應(yīng)

分

用解法1：由，，得

鐘

46

?=48?=1，2①

3②

?1?=48

5

?1?=12.1

②的兩邊分別除以①的兩邊，得q2

4

11

解得q或.

22

1

把q代入①，得.

2

?1=384

此時.

4

41

?5=1?1?=384×2=24

把q代入①，得.

2

?1=?384

此時.

4

41

51

因此，?=?的?第=5?項3是842×4或?-224.=?24

小結(jié)：只??要給定兩個獨立的條件，就能確定等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的

某一項.

追問2：觀察所求的與、有什么聯(lián)系？

解法2：因為是與?5的?4等比?6中項，所以

?5?4?6.

2

所以?5=?4?6=48.×12=576

因此，?5=±的5第765=項±是2424或-24.

例2已知??等比數(shù)列的公比為，試用的第項表示.

解：由題意，得??????????

，①

??1

??=?1?.②

??1

②的兩邊分別除以①?的?兩=邊?1，?得

a

nqnm，

am

所以

.

???

小結(jié)：等比數(shù)列的任?意?=一?項??都可以由該數(shù)列的某一項和公比表示.

追問：類比等比數(shù)列的這個結(jié)論，等差數(shù)列也有類似的結(jié)論嗎？

由，①

??=?1+??1?.②

②的兩邊分別減?①?=的兩?1邊+，?得?1?

，

所以?????=????

.

所以，等差和等?比?數(shù)=列??的+任?意?一?項?都可以由該數(shù)列的某一項和公差或公

比表示.

本課小結(jié)：

等差數(shù)列等比數(shù)列

一般地，如果一個數(shù)列一般地，如果一個數(shù)列

從第2項起，每一項與它的從第2項起，每一項與它的

前一項的差都等于同一個前一項的比都等于同一個常

常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等概念數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比

差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)

數(shù)列的公差，公差通常會用列的公比，公比通常會用字

字母表示.