試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級數(shù)學中考復習（特殊）平行四邊形的動點問題解答題專題提升訓練1．如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)向點運動，運動到點即停止；同時，點從點出發(fā)向點運動，運動到點即停止，點，的速度都是連接，，，設點，運動的時間為．(1)求為何值時，四邊形是矩形；(2)求為何值時，四邊形是菱形．2．如圖，在四邊形中，，，，，．點P從點A出發(fā)，以的速度向點D運動；點Q從點C出發(fā)，以的速度向點B運動．點P與點Q同時出發(fā)．設運動時間為．(1)用含t的代數(shù)式表示：______；______；______；______；(2)從點P，Q運動開始，經(jīng)過多長時間以點P，Q，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形？(3)從點P，Q運動開始，經(jīng)過多長時間以點A，B，Q，P為頂點的四邊形是矩形？3．如圖，在梯形中，，，，，．動點P從點D出發(fā)，沿線段的方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度的速度向點B運動．點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當點P運動到點A時，點Q隨之停止運動．設運動時間為t（s），當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形為等腰三角形？4．如圖，在四邊形中，，，，動點P從A點開始沿邊以的速度向點D運動，動點Q從C點開始沿邊以的速度向點B運動，P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動的時間為．(1)當t為何值時，四邊形是矩形；(2)當t為何值時，四邊形是平行四邊形；(3)問：四邊形是否能成菱形？若能，求出運動時間，若不能，請說明理由．5．如圖，在四邊形中，，，，點P自點A向D以的速度運動，到D點即停止．點Q自點C向B以的速度運動，到B點即停止，點P，Q同時出發(fā)，設運動時間為．(1)用含t的代數(shù)式表示：________；________；(2)當t為何值時，四邊形是平行四邊形？(3)當t為何值時，四邊形是平行四邊形？6．如圖，在四邊形中，，，，，，動點P從點A出發(fā)沿邊以的速度向點D勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)沿CB邊以的速度向點B勻速運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動的時間為．(1)當時，四邊形是矩形．(2)當t為何值時，四邊形是平行四邊形？(3)當時，直接寫出的長為．7．如圖，在菱形中，，菱形的面積為60，點從點出發(fā)沿折線向終點運動．過點作點所在的邊（或）的垂線，交菱形其它的邊于點，在的右側作矩形．(1)求菱形的高．(2)如圖1，點在上.求證：．(3)若，當過中點時，求的長．8．如圖，在四邊形中，，，，動點P，Q分別從A，C同時出發(fā)，點P以的速度由A向D運動，點Q以的速度由C向B運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點隨之停止運動．設運動時間為．(1)___________cm，___________cm；（分別用含t的式子表示）(2)當點P，Q與四邊形的任意兩個頂點所形成的四邊形為平行四邊形時，求t的值；(3)在（2）的條件下，若，（2）中的平行四邊形為菱形時，直接寫出的長：___________．9．如圖，在直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形OABC是平行四邊形，點A的坐標為，點B的坐標為．(1)求點C的坐標和平行四邊形的對稱中心的點的坐標；(2)動點P從點O出發(fā)，沿方向以每秒1個單位的速度向終點A勻速運動，動點Q從點A出發(fā)，沿方向以每秒2個單位的速度向終點B勻速運動，一點到達終點時另一點停止運動．設點P運動的時間為t秒(t>0)，求當t為何值時，的面積是平行四邊形的一半？(3)當?shù)拿娣e是平行四邊形面積的一半時，在平面直角坐標系中找到一點M，使以M、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標．10．如圖，在平行四邊形中，，，平行四邊形的面積為，動點從點出發(fā)以?1個單位長度的速度在上相D運動，同時動點從點出發(fā)以個單位長度的速度在間往返運動，當點到達點時，動點和同時停止運動，連結設運動時間為秒．(1)直線與之間的距離是_____．(2)當點從點向點運動時（點不與點、重合），設四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關系式(3)當時，求的值．(4)當平分平行四邊形的面積時，直接寫出的值．11．如圖，在四邊形中，，，，，點從開始沿邊向以每秒的速度移動，點從開始沿邊向以每秒的速度移動，如果點、分別從、同時出發(fā)，當其中一點到達終點時運動停止．設運動時間為秒．(1)求證：當時，四邊形是平行四邊形；(2)是否可能平分對角線？若能，求出當為何值時平分；若不能，請說明理由；(3)若是以為腰的等腰三角形，求的值．12．如圖，矩形中，，點P從點A出發(fā)沿向點B移動（不與點A、B重合），一直到達點B為止；同時，點Q從點C出發(fā)沿向點D移動（不與點C、D重合）．運動時間設為t秒．

(1)若點P、Q均以的速度移動，則：；．（用含t的代數(shù)式表示）(2)若點P為的速度移動，點Q以的速度移動，經(jīng)過多長時間，使為等腰三角形？(3)若點P、Q均以的速度移動，經(jīng)過多長時間，四邊形為菱形．13．在四邊形中，，，，，，點P從點B開始沿向點C以每秒的速度移動，點Q從點D開始沿以每秒的速度移動，設運動時間為t秒，連接．

(1)線段的長度是__________；(2)當________時，線段平分；(3)當________時，；(4)當t為何值時，四邊形的面積是；（請說明理由）(5)當t為何值時，Q在的中垂線上．（請說明理由）14．如圖，在矩形中，，，從點開始沿向終點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果、分別從、同時出發(fā)，當點運動到點時，兩點停止運動，設運動時間是．

(1)為何值時，在的中垂線上？(2)為何值時，的長度為？(3)是否存在的值，使得五邊形的面積為？若存在，請求出此時的值，若不存在，請說明理由．15．已知：如圖，在矩形中，是對角線，，．點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為，同時，點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．過點作于點，連接，設運動時間為（），解答下列問題：

(1)寫出四邊形的面積為與時間的函數(shù)關系式；(2)是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(3)當為何值時，與相似．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級數(shù)學中考復習（特殊）平行四邊形的動點問題解答題專題提升訓練》參考答案1．(1)(2)【分析】本題考查了菱形、矩形的判定與性質，解決此題注意結合方程的思想解題．(1)當四邊形是矩形時，，據(jù)此求得t的值；(2)當四邊形是菱形時，，列方程求得運動的時間t．【詳解】（1）解：由題意，得，則，四邊形是矩形，，，當時，四邊形為矩形，，解得，故當時，四邊形為矩形．（2）解：由（1）可知，四邊形為平行四邊形，當時，四邊形為菱形．在中，，時，四邊形為菱形，解得，故當時，四邊形為菱形．2．(1)；；；(2)經(jīng)過，四邊形是平行四邊形(3)經(jīng)過，四邊形是矩形【分析】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．（1）根據(jù)運動時間乘以速度等于運動路徑求解即可；（2）根據(jù)，構建方程求解即可；（3）根據(jù)，構建方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，，∵，，∴，，故答案為：；；；；（2）解：當時，四邊形是平行四邊形，∴，解得．∴時，四邊形是平行四邊形．（3）解：當時，四邊形是矩形，∴解得，∴時，四邊形是矩形．3．t＝或時，以B，P，Q三點為頂點的三角形為等腰三角形【分析】以B，P，Q為頂點的三角形為等腰三角形有三種情況：當時，當時，當時，由等腰三角形的性質就可以得出結論．【詳解】解：如圖1，當時，作于E，∴，∵，∴，∴，∴．∴．解得：．如圖2，當時，作于E，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，．在中，由勾股定理，得．，解得：；如圖3，當時，作于E，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，，，故方程無解．綜上所述，t＝或時，以B，P，Q三點為頂點的三角形為等腰三角形．【點睛】本題考查了勾股定理的運用，矩形的性質的運用，等腰三角形的性質的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時根據(jù)等腰三角形的性質建立方程是關鍵．4．(1)當時，四邊形是矩形；(2)當時，四邊形是平行四邊形；(3)四邊形不能成菱形，理由見解析【分析】（1）由題意可知，，，則，根據(jù)矩形的性質列方程，求出t的值即可；（2）由題意可知，，，則，根據(jù)平行四邊形的性質列方程，求出t的值即可；（3）過點作于點，則四邊形是矩形，由勾股定理求得，若四邊形是菱形，則四邊形是平行四邊形，結合（2）的結果可知，，即四邊形不能成菱形．【詳解】（1）解：設運動的時間為由題意可知，，，，，四邊形是矩形，，，解得：，即當時，四邊形是矩形；（2）解：由題意可知，，，，，四邊形是平行四邊形，，，解得：，即當時，四邊形是平行四邊形；（3）解：四邊形不能成菱形，理由如下：如圖，過點作于點，則四邊形是矩形，，，，在中，，若四邊形是菱形，則四邊形是平行四邊形，由（2）可知，當時，四邊形是平行四邊形；此時，，四邊形不能成菱形．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，平行四邊形的性質，菱形的判定，一元一次方程的應用、動點問題、勾股定理，掌握特殊的四邊形的性質是解題關鍵．5．(1)，(2)當時，四邊形是平行四邊形(3)當時，四邊形是平行四邊形【分析】本題主要考查動點，平行四邊形的綜合，理解動點的運算，掌握平行四邊形的判定是解題的關鍵．（1）根據(jù)路程速度時間，即可用含的式子表示，；（2）根據(jù)四邊形是平行四邊形可得，由此即可求解；（3）根據(jù)題意用含的式子表示，根據(jù)四邊形是平行四邊形可得，由此即可求解．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，，，∴，∵，∴當時，四邊形是平行四邊形，∴，解得，∴當時，四邊形是平行四邊形．（3）解：∵，∴當時，四邊形是平行四邊形，∴，解得，∴當時，四邊形是平行四邊形．6．(1)6(2)(3)【分析】此題考查了平行四邊形的判定與性質以及矩形的判定與性質，勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．（1）由在四邊形中，，，可得當時，四邊形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案．（2）由在四邊形中，，可得當時，四邊形是平行四邊形，即可得方程：，解此方程即可求得答案；（3）過點P作，首先證明出四邊形是矩形，得到，，求出，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）根據(jù)題意得：，，，，，，，在四邊形中，，，當時，四邊形是矩形，，解得：，當時，四邊形是矩形；（2）在四邊形中，，當時，四邊形是平行四邊形，根據(jù)（1）得：，解得：，當時，四邊形是平行四邊形；（3）如圖所示，過點P作當時，，∵∴四邊形是矩形∴，∴∴．7．(1)(2)見解析(3)長為或【分析】此題考查了菱形的性質、勾股定理、等腰三角形的判定和性質、矩形的性質等知識，分類討論方法是解題的關鍵．（1）根據(jù)菱形的面積公式計算，即可；（2）由菱形性質可證，進而證明，即可得出結論；（3）記中點為點O．分點E在上和點E在上兩種情況，求出，進而解題．【詳解】（1）解：∵，面積為60，∴菱形的高為；故答案為：6；（2）證明：如圖1，∵四邊形是菱形，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴．（3）解：記中點為點O，①如圖中，當點在上時，作．則，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴；②如圖中，當點在上時，作．同理，，，，∴，綜上所述，長為或．8．(1)；；(2)2或或4；(3)4或或．【分析】（1）設運動時間為t秒，則，，（2）設秒后四邊是平行四邊形；分情況討論，根據(jù)平行四邊形的性質列出方程解方程即可求解．（3）根據(jù)（2）的三種不同情況根據(jù)菱形四邊相等，分別畫出圖形利用等腰直角三角形性質和勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵點P以的速度由A向D運動，點Q以的速度由C向B運動，∴設運動時間為t秒，則，∵，，∴；故答案為：；；（2）①當時，四邊形是平行四邊形，則：，解得，②當時，四邊形是平行四邊形，則：，解得，③當時，四邊形是平行四邊形，，解得，④當時，，這種情況不可能．綜上所述，綜上所述，t的值為2或或4；（3）①當，四邊形是菱形時，如圖：即：，②當，四邊形是菱形時，即：，，∴過點作，∵，∴，∴，，故此時不存在使四邊形是菱形，③當四邊形是菱形時，即：，，，過點D作，過點K作垂足為H，當在內(nèi)部時，如圖③-1∵，∴四邊形使平行四邊形．∴，，∴∵，∴，∴，∵在中，，∴，∵在中，，∴，當在外部時，如圖③-2，此時，綜上所述：CD長為或或．【點睛】本題考查了四邊形動點問題，平行四邊形的性質與判定，分類討論、構造直角三角形利用勾股定理求解是解題的關鍵．9．(1)點C的坐標為，平行四邊形的對稱中心的點的坐標為；(2)當點P運動4秒時，的面積是平行四邊形的一半；(3)點M的坐標為或或【分析】（1）根據(jù)平行四邊形與直角坐標系中坐標的性質，可直接寫出點的坐標；平行四邊形的對稱中心即是對角線的中點，（2），根據(jù)三角形的面積公式列出方程，繼而求出此時的值即可，（3）根據(jù)（2）中得出的值，找出此時點和的位置，然后根據(jù)平行四邊形的性質直接寫出點的坐標即可，本題考查了平行四邊形的判定與性質，三角形的面積及一元二次方程的應用，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，，點A的坐標為，點B的坐標為．∴點C的坐標為，平行四邊形的對稱中心的點的坐標為，（2）解：根據(jù)題意得：，∴，即：，∵,，，，，，∵，∴，，∴，，，解得：，故答案為：當點P運動4秒時，的面積是平行四邊形的一半，（3）解時，由（2）知，此時點與點重合，畫出圖形如下所示，

此時軸，軸，，，，，根據(jù)平行四邊形的性質，可知，，∴，即，，即：，，即：，故答案為：點M的坐標為或或．10．(1)(2)(3)或或(4)或或【分析】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質，勾股定理，矩形的判定和性質，梯形的面積等知識點，合理利用分類討論思想進行分類討論是解題的關鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的面積為，列式運算即可；（2）過點作于，則，根據(jù)梯形的面積公式即可求解；（3）過點作于，利用勾股定理求出，當時，可得四邊形為矩形，則，，分類討論點在往返運動時的代數(shù)式，通過求解即可；（4）分三種情況根據(jù)梯形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：設直線與之間的距離是，∵，平行四邊形的面積為，∴，∴，即直線與之間的距離是，（2）過點作于，如圖所示：∵直線與之間的距離是，∴，∵動點從點出發(fā)以個單位長度的速度在間往返運動，∴當點從點向點運動時（點不與點、重合），，，∴四邊形的面積∴；（3）過點作于，∵，，∴，∵，，，∴，，∴四邊形為矩形，∴，，當時，由題意得：，∴，解得；當時，由題意得：，∴，解得；當時，由題意得：，∴，解得，不符合題意．∴當PQ⊥BC時，t的值為或；（4）∵平行四邊形的面積為，∴當平分平行四邊形的面積時，，當時，由題意得：，，∴，解得；當時，由題意得：，，∴，解得；當時，由題意得：，，∴，解得．綜上所述，當平分平行四邊形的面積時或或．11．(1)見解析(2)當秒時，平分對角線(3)若是以為腰的等腰三角形，的值為或【分析】（1）由題意可得當秒時，兩點停止運動，在運動過程中，，即可得，，由，即可求得，又由，即可判定四邊形是平行四邊形；（2）首先連接交于點，若平分對角線，則，易證得，則可得，解此方程即可求得答案．（3）分兩種情況：①當時，作于，于，與，如圖所示：則，，，得出，，由得出方程，解方程即可；②當時，由勾股定理得出方程，即可得出答案．【詳解】（1）證明：，當秒時，兩點停止運動，在運動過程中，，，，當時，，，又，，四邊形為平行四邊形；（2）解：能平分對角線，當秒時，平分對角線．理由如下：連接交于點，如圖1所示：若平分對角線，則，，，，在和中，，，，，解得，符合題意，當秒時，平分對角線．（3）解：分兩種情況：①當時，作于，于，與，如圖2所示：則，，，,，，，，，，解得：；②當時，由勾股定理得：，，整理得：，解得（舍去）；綜上所述：若是以為腰的等腰三角形，的值為或．【點睛】此題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質、解方程．注意掌握方程思想與數(shù)形結合思想的應用是解題的關鍵．12．(1)，(2)經(jīng)過時，，為等腰三角形(3)經(jīng)過時，四邊形是菱形【分析】（1）根據(jù)路程、速度、時間的關鍵即可解答；（2）如圖：過P作于點E，利用等腰三角形三線合一的性質，據(jù)此列方程求解即可；（3）當時，四邊形是菱形，然后列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵點P、Q均以的速度移動，∴．故答案為，．（2）解：如圖：過點P作于點E，

∴，∵，∴，在矩形中，∴四邊形是矩形，∴，又∵，∴，∵，∴，∴∴當時，，為等腰三角形．（3）解：在矩形中，，依題知，∴，∴四邊形是平行四邊形，當時，四邊形是菱形，∴，在中，，∵，∴，∴，解得：t＝∴當時，四邊形是菱形．【點睛】本題主要考查了動點問題、菱形的判定和性質、矩形的判定和性質、勾股定理等知識點，學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形是解答本題的關鍵．13．(1)(2)(3)(4)不存在這樣的t值，理由見詳解(5)，理由見詳解【分析】（1）過D點作于N點，先證明四邊形是矩形，再利用勾股定理求出，問題隨之得解；（2）根據(jù)線段平分，可得，即有，即有，再根據(jù)運動可得，即有，則得方程，解方程即可作答；（3）先證明四邊形是矩形，即有，根據(jù)運動可知：，，可得，即有方程，解方程即可求解；（4）當四邊形為梯形時，根據(jù)運動可知：，，即有，根據(jù)，可得，根據(jù)，應舍去；當四邊形為平行四邊形時，同理可知沒有符合要求的t值，問題得解；（5）過Q點作于M點，連接，，先證明是等腰三角形，即有，進而有，再證明四邊形是矩形，根據(jù)，可得，問題隨之得解．【詳解】（1）過D點作于N點，如圖，

∵，，，∴，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）如圖，

∵，線段平分，∴，∵，，∴，∴，根據(jù)運動可知：，∴，∴，解得：，故答案為；（3）如圖，

∵，，，∴，，∴四邊形是矩形，∴，根據(jù)運動可知：，，∴，∴，解得：，（4）不存在這樣的t值，理由：當四邊形為梯形時，如圖，

根據(jù)運動可知：，，∴，∵，，，∴梯形的面積為：，∵四邊形的面積是，∴，解得：，∵，∴，故不符合題意，應舍去；當四邊形為平行四邊形時，∴，∴，∴，∴，∴，即此時沒有符合要求的t值；綜上：不存在這樣的t值，使得四邊形的面積是；（5）如圖，過Q點作于M點，連接，，

∵Q在的中垂線上，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∵，